Theorem reccld 11983

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 11879	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   / cdiv 11871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872

This theorem is referenced by:  recgt0  12060  expmulz  14074  rlimdiv  15592  rlimno1  15600  isumdivc  15710  fsumdivc  15732  geolim  15816  georeclim  15818  clim2div  15835  prodfdiv  15842  dvmptdivc  25482  dvmptdiv  25491  dvexp3  25495  logtayl  26168  dvcncxp1  26251  cxpeq  26265  logbrec  26287  ang180lem1  26314  ang180lem2  26315  ang180lem3  26316  isosctrlem2  26324  dvatan  26440  efrlim  26474  amgm  26495  lgamgulmlem2  26534  lgamgulmlem3  26535  igamf  26555  igamcl  26556  lgam1  26568  dchrinvcl  26756  dchrabs  26763  2lgslem3c  26901  dchrmusumlem  27025  vmalogdivsum2  27041  pntrlog2bndlem2  27081  pntrlog2bndlem6  27086  nmlno0lem  30077  nmlnop0iALT  31279  branmfn  31389  leopmul  31418  logdivsqrle  33693  gg-divcn  35194  dvtan  36586  dvasin  36620  areacirclem1  36624  areacirclem4  36627  lcmineqlem5  40946  lcmineqlem6  40947  lcmineqlem12  40953  aks4d1p1p7  40987  pell14qrdich  41655  mpaaeu  41940  areaquad  42013  hashnzfzclim  43129  binomcxplemnotnn0  43163  oddfl  44035  climrec  44367  climdivf  44376  reclimc  44417  divlimc  44420  ioodvbdlimc1lem2  44696  ioodvbdlimc2lem  44698  stoweidlem7  44771  stoweidlem37  44801  wallispilem4  44832  wallispi  44834  wallispi2lem1  44835  stirlinglem1  44838  stirlinglem3  44840  stirlinglem4  44841  stirlinglem5  44842  stirlinglem7  44844  stirlinglem10  44847  stirlinglem11  44848  stirlinglem12  44849  stirlinglem15  44852  dirkertrigeq  44865  fourierdlem30  44901  fourierdlem83  44953  fourierdlem95  44965  eenglngeehlnmlem1  47471  eenglngeehlnmlem2  47472  seccl  47843  csccl  47844  young2d  47900