Theorem reccld 11995

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 11890	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  0cc0 11111  1c1 11112   / cdiv 11882

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883

This theorem is used by:  recgt0  12072  expmulz  14157  rlimdiv  15716  rlimno1  15724  isumdivc  15833  fsumdivc  15855  geolim  15942  georeclim  15944  clim2div  15961  prodfdiv  15968  divcn  25056  dvmptdivc  26153  dvmptdiv  26162  dvexp3  26166  logtayl  26854  dvcncxp1  26937  cxpeq  26951  logbrec  26976  ang180lem1  27003  ang180lem2  27004  ang180lem3  27005  isosctrlem2  27013  dvatan  27129  efrlim  27163  amgm  27184  lgamgulmlem2  27223  lgamgulmlem3  27224  igamf  27244  igamcl  27245  lgam1  27257  dchrinvcl  27446  dchrabs  27453  2lgslem3c  27591  dchrmusumlem  27715  vmalogdivsum2  27731  pntrlog2bndlem2  27771  pntrlog2bndlem6  27776  nmlno0lem  31174  nmlnop0iALT  32376  branmfn  32486  leopmul  32515  arginv  33121  constrinvcl  34186  cos9thpiminplylem2  34196  cos9thpiminply  34201  cos9thpinconstrlem2  34203  cos9thpinconstr  34204  logdivsqrle  35061  dvtan  38354  dvasin  38388  areacirclem1  38392  areacirclem4  38395  lcmineqlem5  42833  lcmineqlem6  42834  lcmineqlem12  42840  aks4d1p1p7  42874  readvrec2  43155  readvrec  43156  pell14qrdich  43629  mpaaeu  43910  areaquad  43976  hashnzfzclim  45065  binomcxplemnotnn0  45099  oddfl  46030  climrec  46352  climdivf  46361  reclimc  46400  divlimc  46403  ioodvbdlimc1lem2  46679  ioodvbdlimc2lem  46681  stoweidlem7  46754  stoweidlem37  46784  wallispilem4  46815  wallispi  46817  wallispi2lem1  46818  stirlinglem1  46821  stirlinglem3  46823  stirlinglem4  46824  stirlinglem5  46825  stirlinglem7  46827  stirlinglem10  46830  stirlinglem11  46831  stirlinglem12  46832  stirlinglem15  46835  dirkertrigeq  46848  fourierdlem30  46884  fourierdlem83  46936  fourierdlem95  46948  ppivalnnnprmge6  48411  eenglngeehlnmlem1  49550  eenglngeehlnmlem2  49551  seccl  50561  csccl  50562  young2d  50686