Theorem reccld 11915

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 11807	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030   / cdiv 11798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799

This theorem is referenced by:  recgt0  11992  expmulz  14061  rlimdiv  15599  rlimno1  15607  isumdivc  15717  fsumdivc  15739  geolim  15826  georeclim  15828  clim2div  15845  prodfdiv  15852  divcn  24853  dvmptdivc  25950  dvmptdiv  25959  dvexp3  25963  logtayl  26642  dvcncxp1  26725  cxpeq  26739  logbrec  26764  ang180lem1  26791  ang180lem2  26792  ang180lem3  26793  isosctrlem2  26801  dvatan  26917  efrlim  26951  amgm  26972  lgamgulmlem2  27011  lgamgulmlem3  27012  igamf  27032  igamcl  27033  lgam1  27045  dchrinvcl  27234  dchrabs  27241  2lgslem3c  27379  dchrmusumlem  27503  vmalogdivsum2  27519  pntrlog2bndlem2  27559  pntrlog2bndlem6  27564  nmlno0lem  30882  nmlnop0iALT  32084  branmfn  32194  leopmul  32223  arginv  32839  constrinvcl  33957  cos9thpiminplylem2  33967  cos9thpiminply  33972  cos9thpinconstrlem2  33974  cos9thpinconstr  33975  logdivsqrle  34834  dvtan  38037  dvasin  38071  areacirclem1  38075  areacirclem4  38078  lcmineqlem5  42518  lcmineqlem6  42519  lcmineqlem12  42525  aks4d1p1p7  42559  readvrec2  42838  readvrec  42839  pell14qrdich  43314  mpaaeu  43595  areaquad  43661  hashnzfzclim  44766  binomcxplemnotnn0  44800  oddfl  45726  climrec  46048  climdivf  46057  reclimc  46096  divlimc  46099  ioodvbdlimc1lem2  46375  ioodvbdlimc2lem  46377  stoweidlem7  46450  stoweidlem37  46480  wallispilem4  46511  wallispi  46513  wallispi2lem1  46514  stirlinglem1  46517  stirlinglem3  46519  stirlinglem4  46520  stirlinglem5  46521  stirlinglem7  46523  stirlinglem10  46526  stirlinglem11  46527  stirlinglem12  46528  stirlinglem15  46531  dirkertrigeq  46544  fourierdlem30  46580  fourierdlem83  46632  fourierdlem95  46644  ppivalnnnprmge6  48104  eenglngeehlnmlem1  49228  eenglngeehlnmlem2  49229  seccl  50240  csccl  50241  young2d  50295