Theorem reccld 11958

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 11851	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   / cdiv 11842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843

This theorem is referenced by:  recgt0  12035  expmulz  14080  rlimdiv  15619  rlimno1  15627  isumdivc  15737  fsumdivc  15759  geolim  15843  georeclim  15845  clim2div  15862  prodfdiv  15869  divcn  24766  dvmptdivc  25876  dvmptdiv  25885  dvexp3  25889  logtayl  26576  dvcncxp1  26659  cxpeq  26674  logbrec  26699  ang180lem1  26726  ang180lem2  26727  ang180lem3  26728  isosctrlem2  26736  dvatan  26852  efrlim  26886  efrlimOLD  26887  amgm  26908  lgamgulmlem2  26947  lgamgulmlem3  26948  igamf  26968  igamcl  26969  lgam1  26981  dchrinvcl  27171  dchrabs  27178  2lgslem3c  27316  dchrmusumlem  27440  vmalogdivsum2  27456  pntrlog2bndlem2  27496  pntrlog2bndlem6  27501  nmlno0lem  30729  nmlnop0iALT  31931  branmfn  32041  leopmul  32070  arginv  32678  constrinvcl  33770  cos9thpiminplylem2  33780  cos9thpiminply  33785  cos9thpinconstrlem2  33787  cos9thpinconstr  33788  logdivsqrle  34648  dvtan  37671  dvasin  37705  areacirclem1  37709  areacirclem4  37712  lcmineqlem5  42028  lcmineqlem6  42029  lcmineqlem12  42035  aks4d1p1p7  42069  readvrec2  42356  readvrec  42357  pell14qrdich  42864  mpaaeu  43146  areaquad  43212  hashnzfzclim  44318  binomcxplemnotnn0  44352  oddfl  45283  climrec  45608  climdivf  45617  reclimc  45658  divlimc  45661  ioodvbdlimc1lem2  45937  ioodvbdlimc2lem  45939  stoweidlem7  46012  stoweidlem37  46042  wallispilem4  46073  wallispi  46075  wallispi2lem1  46076  stirlinglem1  46079  stirlinglem3  46081  stirlinglem4  46082  stirlinglem5  46083  stirlinglem7  46085  stirlinglem10  46088  stirlinglem11  46089  stirlinglem12  46090  stirlinglem15  46093  dirkertrigeq  46106  fourierdlem30  46142  fourierdlem83  46194  fourierdlem95  46206  eenglngeehlnmlem1  48730  eenglngeehlnmlem2  48731  seccl  49743  csccl  49744  young2d  49798