Theorem reccld 12033

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 11926	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   / cdiv 11917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918

This theorem is referenced by:  recgt0  12110  expmulz  14145  rlimdiv  15678  rlimno1  15686  isumdivc  15796  fsumdivc  15818  geolim  15902  georeclim  15904  clim2div  15921  prodfdiv  15928  divcn  24905  dvmptdivc  26017  dvmptdiv  26026  dvexp3  26030  logtayl  26716  dvcncxp1  26799  cxpeq  26814  logbrec  26839  ang180lem1  26866  ang180lem2  26867  ang180lem3  26868  isosctrlem2  26876  dvatan  26992  efrlim  27026  efrlimOLD  27027  amgm  27048  lgamgulmlem2  27087  lgamgulmlem3  27088  igamf  27108  igamcl  27109  lgam1  27121  dchrinvcl  27311  dchrabs  27318  2lgslem3c  27456  dchrmusumlem  27580  vmalogdivsum2  27596  pntrlog2bndlem2  27636  pntrlog2bndlem6  27641  nmlno0lem  30821  nmlnop0iALT  32023  branmfn  32133  leopmul  32162  logdivsqrle  34643  dvtan  37656  dvasin  37690  areacirclem1  37694  areacirclem4  37697  lcmineqlem5  42014  lcmineqlem6  42015  lcmineqlem12  42021  aks4d1p1p7  42055  readvrec2  42369  readvrec  42370  pell14qrdich  42856  mpaaeu  43138  areaquad  43204  hashnzfzclim  44317  binomcxplemnotnn0  44351  oddfl  45227  climrec  45558  climdivf  45567  reclimc  45608  divlimc  45611  ioodvbdlimc1lem2  45887  ioodvbdlimc2lem  45889  stoweidlem7  45962  stoweidlem37  45992  wallispilem4  46023  wallispi  46025  wallispi2lem1  46026  stirlinglem1  46029  stirlinglem3  46031  stirlinglem4  46032  stirlinglem5  46033  stirlinglem7  46035  stirlinglem10  46038  stirlinglem11  46039  stirlinglem12  46040  stirlinglem15  46043  dirkertrigeq  46056  fourierdlem30  46092  fourierdlem83  46144  fourierdlem95  46156  eenglngeehlnmlem1  48586  eenglngeehlnmlem2  48587  seccl  48980  csccl  48981  young2d  49035