Theorem reccld 12007

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 11903	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936  (class class class)co 7414  ℂcc 11130  0cc0 11132  1c1 11133   / cdiv 11895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896

This theorem is referenced by:  recgt0  12084  expmulz  14099  rlimdiv  15618  rlimno1  15626  isumdivc  15736  fsumdivc  15758  geolim  15842  georeclim  15844  clim2div  15861  prodfdiv  15868  divcn  24779  dvmptdivc  25890  dvmptdiv  25899  dvexp3  25903  logtayl  26587  dvcncxp1  26670  cxpeq  26685  logbrec  26707  ang180lem1  26734  ang180lem2  26735  ang180lem3  26736  isosctrlem2  26744  dvatan  26860  efrlim  26894  efrlimOLD  26895  amgm  26916  lgamgulmlem2  26955  lgamgulmlem3  26956  igamf  26976  igamcl  26977  lgam1  26989  dchrinvcl  27179  dchrabs  27186  2lgslem3c  27324  dchrmusumlem  27448  vmalogdivsum2  27464  pntrlog2bndlem2  27504  pntrlog2bndlem6  27509  nmlno0lem  30596  nmlnop0iALT  31798  branmfn  31908  leopmul  31937  logdivsqrle  34276  dvtan  37137  dvasin  37171  areacirclem1  37175  areacirclem4  37178  lcmineqlem5  41498  lcmineqlem6  41499  lcmineqlem12  41505  aks4d1p1p7  41539  pell14qrdich  42283  mpaaeu  42568  areaquad  42638  hashnzfzclim  43753  binomcxplemnotnn0  43787  oddfl  44653  climrec  44985  climdivf  44994  reclimc  45035  divlimc  45038  ioodvbdlimc1lem2  45314  ioodvbdlimc2lem  45316  stoweidlem7  45389  stoweidlem37  45419  wallispilem4  45450  wallispi  45452  wallispi2lem1  45453  stirlinglem1  45456  stirlinglem3  45458  stirlinglem4  45459  stirlinglem5  45460  stirlinglem7  45462  stirlinglem10  45465  stirlinglem11  45466  stirlinglem12  45467  stirlinglem15  45470  dirkertrigeq  45483  fourierdlem30  45519  fourierdlem83  45571  fourierdlem95  45583  eenglngeehlnmlem1  47804  eenglngeehlnmlem2  47805  seccl  48175  csccl  48176  young2d  48232