Theorem reccld 12063

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 11956	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   / cdiv 11947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948

This theorem is referenced by:  recgt0  12140  expmulz  14159  rlimdiv  15694  rlimno1  15702  isumdivc  15812  fsumdivc  15834  geolim  15918  georeclim  15920  clim2div  15937  prodfdiv  15944  divcn  24911  dvmptdivc  26023  dvmptdiv  26032  dvexp3  26036  logtayl  26720  dvcncxp1  26803  cxpeq  26818  logbrec  26843  ang180lem1  26870  ang180lem2  26871  ang180lem3  26872  isosctrlem2  26880  dvatan  26996  efrlim  27030  efrlimOLD  27031  amgm  27052  lgamgulmlem2  27091  lgamgulmlem3  27092  igamf  27112  igamcl  27113  lgam1  27125  dchrinvcl  27315  dchrabs  27322  2lgslem3c  27460  dchrmusumlem  27584  vmalogdivsum2  27600  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem6  27645  nmlno0lem  30825  nmlnop0iALT  32027  branmfn  32137  leopmul  32166  logdivsqrle  34627  dvtan  37630  dvasin  37664  areacirclem1  37668  areacirclem4  37671  lcmineqlem5  41990  lcmineqlem6  41991  lcmineqlem12  41997  aks4d1p1p7  42031  pell14qrdich  42825  mpaaeu  43107  areaquad  43177  hashnzfzclim  44291  binomcxplemnotnn0  44325  oddfl  45192  climrec  45524  climdivf  45533  reclimc  45574  divlimc  45577  ioodvbdlimc1lem2  45853  ioodvbdlimc2lem  45855  stoweidlem7  45928  stoweidlem37  45958  wallispilem4  45989  wallispi  45991  wallispi2lem1  45992  stirlinglem1  45995  stirlinglem3  45997  stirlinglem4  45998  stirlinglem5  45999  stirlinglem7  46001  stirlinglem10  46004  stirlinglem11  46005  stirlinglem12  46006  stirlinglem15  46009  dirkertrigeq  46022  fourierdlem30  46058  fourierdlem83  46110  fourierdlem95  46122  eenglngeehlnmlem1  48471  eenglngeehlnmlem2  48472  seccl  48842  csccl  48843  young2d  48899