Theorem reccld 11890

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 11783	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006  1c1 11007   / cdiv 11774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775

This theorem is referenced by:  recgt0  11967  expmulz  14015  rlimdiv  15553  rlimno1  15561  isumdivc  15671  fsumdivc  15693  geolim  15777  georeclim  15779  clim2div  15796  prodfdiv  15803  divcn  24786  dvmptdivc  25896  dvmptdiv  25905  dvexp3  25909  logtayl  26596  dvcncxp1  26679  cxpeq  26694  logbrec  26719  ang180lem1  26746  ang180lem2  26747  ang180lem3  26748  isosctrlem2  26756  dvatan  26872  efrlim  26906  efrlimOLD  26907  amgm  26928  lgamgulmlem2  26967  lgamgulmlem3  26968  igamf  26988  igamcl  26989  lgam1  27001  dchrinvcl  27191  dchrabs  27198  2lgslem3c  27336  dchrmusumlem  27460  vmalogdivsum2  27476  pntrlog2bndlem2  27516  pntrlog2bndlem6  27521  nmlno0lem  30773  nmlnop0iALT  31975  branmfn  32085  leopmul  32114  arginv  32731  constrinvcl  33786  cos9thpiminplylem2  33796  cos9thpiminply  33801  cos9thpinconstrlem2  33803  cos9thpinconstr  33804  logdivsqrle  34663  dvtan  37709  dvasin  37743  areacirclem1  37747  areacirclem4  37750  lcmineqlem5  42125  lcmineqlem6  42126  lcmineqlem12  42132  aks4d1p1p7  42166  readvrec2  42453  readvrec  42454  pell14qrdich  42961  mpaaeu  43242  areaquad  43308  hashnzfzclim  44414  binomcxplemnotnn0  44448  oddfl  45378  climrec  45702  climdivf  45711  reclimc  45750  divlimc  45753  ioodvbdlimc1lem2  46029  ioodvbdlimc2lem  46031  stoweidlem7  46104  stoweidlem37  46134  wallispilem4  46165  wallispi  46167  wallispi2lem1  46168  stirlinglem1  46171  stirlinglem3  46173  stirlinglem4  46174  stirlinglem5  46175  stirlinglem7  46177  stirlinglem10  46180  stirlinglem11  46181  stirlinglem12  46182  stirlinglem15  46185  dirkertrigeq  46198  fourierdlem30  46234  fourierdlem83  46286  fourierdlem95  46298  eenglngeehlnmlem1  48837  eenglngeehlnmlem2  48838  seccl  49850  csccl  49851  young2d  49905