Theorem reccld 12008

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 11903	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   / cdiv 11895

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896

This theorem is used by:  recgt0  12085  expmulz  14172  rlimdiv  15733  rlimno1  15741  isumdivc  15850  fsumdivc  15872  geolim  15959  georeclim  15961  clim2div  15978  prodfdiv  15985  divcn  25096  dvmptdivc  26192  dvmptdiv  26201  dvexp3  26205  logtayl  26897  dvcncxp1  26980  cxpeq  26994  logbrec  27019  ang180lem1  27046  ang180lem2  27047  ang180lem3  27048  isosctrlem2  27056  dvatan  27172  efrlim  27206  amgm  27227  lgamgulmlem2  27266  lgamgulmlem3  27267  igamf  27287  igamcl  27288  lgam1  27300  dchrinvcl  27489  dchrabs  27496  2lgslem3c  27634  dchrmusumlem  27758  vmalogdivsum2  27774  pntrlog2bndlem2  27814  pntrlog2bndlem6  27819  nmlno0lem  31274  nmlnop0iALT  32476  branmfn  32586  leopmul  32615  arginv  33218  constrinvcl  34283  cos9thpiminplylem2  34293  cos9thpiminply  34298  cos9thpinconstrlem2  34300  cos9thpinconstr  34301  logdivsqrle  35158  dvtan  38419  dvasin  38453  areacirclem1  38457  areacirclem4  38460  lcmineqlem5  42899  lcmineqlem6  42900  lcmineqlem12  42906  aks4d1p1p7  42940  readvrec2  43236  readvrec  43237  pell14qrdich  43710  mpaaeu  43991  areaquad  44057  hashnzfzclim  45146  binomcxplemnotnn0  45180  oddfl  46111  climrec  46433  climdivf  46442  reclimc  46481  divlimc  46484  ioodvbdlimc1lem2  46760  ioodvbdlimc2lem  46762  stoweidlem7  46835  stoweidlem37  46865  wallispilem4  46896  wallispi  46898  wallispi2lem1  46899  stirlinglem1  46902  stirlinglem3  46904  stirlinglem4  46905  stirlinglem5  46906  stirlinglem7  46908  stirlinglem10  46911  stirlinglem11  46912  stirlinglem12  46913  stirlinglem15  46916  dirkertrigeq  46929  fourierdlem30  46965  fourierdlem83  47017  fourierdlem95  47029  ppivalnnnprmge6  48529  eenglngeehlnmlem1  49667  eenglngeehlnmlem2  49668  seccl  50676  csccl  50677  young2d  50823