Theorem reccld 11954

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 11846	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  0cc0 11067  1c1 11068   / cdiv 11838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839

This theorem is referenced by:  recgt0  12031  expmulz  14115  rlimdiv  15664  rlimno1  15672  isumdivc  15782  fsumdivc  15804  geolim  15891  georeclim  15893  clim2div  15910  prodfdiv  15917  divcn  24918  dvmptdivc  26015  dvmptdiv  26024  dvexp3  26028  logtayl  26713  dvcncxp1  26796  cxpeq  26810  logbrec  26835  ang180lem1  26862  ang180lem2  26863  ang180lem3  26864  isosctrlem2  26872  dvatan  26988  efrlim  27022  amgm  27043  lgamgulmlem2  27082  lgamgulmlem3  27083  igamf  27103  igamcl  27104  lgam1  27116  dchrinvcl  27305  dchrabs  27312  2lgslem3c  27450  dchrmusumlem  27574  vmalogdivsum2  27590  pntrlog2bndlem2  27630  pntrlog2bndlem6  27635  nmlno0lem  30953  nmlnop0iALT  32155  branmfn  32265  leopmul  32294  arginv  32910  constrinvcl  34031  cos9thpiminplylem2  34041  cos9thpiminply  34046  cos9thpinconstrlem2  34048  cos9thpinconstr  34049  logdivsqrle  34905  dvtan  38130  dvasin  38164  areacirclem1  38168  areacirclem4  38171  lcmineqlem5  42611  lcmineqlem6  42612  lcmineqlem12  42618  aks4d1p1p7  42652  readvrec2  42931  readvrec  42932  pell14qrdich  43407  mpaaeu  43688  areaquad  43754  hashnzfzclim  44859  binomcxplemnotnn0  44893  oddfl  45818  climrec  46140  climdivf  46149  reclimc  46188  divlimc  46191  ioodvbdlimc1lem2  46467  ioodvbdlimc2lem  46469  stoweidlem7  46542  stoweidlem37  46572  wallispilem4  46603  wallispi  46605  wallispi2lem1  46606  stirlinglem1  46609  stirlinglem3  46611  stirlinglem4  46612  stirlinglem5  46613  stirlinglem7  46615  stirlinglem10  46618  stirlinglem11  46619  stirlinglem12  46620  stirlinglem15  46623  dirkertrigeq  46636  fourierdlem30  46672  fourierdlem83  46724  fourierdlem95  46736  ppivalnnnprmge6  48196  eenglngeehlnmlem1  49320  eenglngeehlnmlem2  49321  seccl  50332  csccl  50333  young2d  50387