Theorem reccld 12036

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 11929	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   / cdiv 11920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921

This theorem is referenced by:  recgt0  12113  expmulz  14149  rlimdiv  15682  rlimno1  15690  isumdivc  15800  fsumdivc  15822  geolim  15906  georeclim  15908  clim2div  15925  prodfdiv  15932  divcn  24892  dvmptdivc  26003  dvmptdiv  26012  dvexp3  26016  logtayl  26702  dvcncxp1  26785  cxpeq  26800  logbrec  26825  ang180lem1  26852  ang180lem2  26853  ang180lem3  26854  isosctrlem2  26862  dvatan  26978  efrlim  27012  efrlimOLD  27013  amgm  27034  lgamgulmlem2  27073  lgamgulmlem3  27074  igamf  27094  igamcl  27095  lgam1  27107  dchrinvcl  27297  dchrabs  27304  2lgslem3c  27442  dchrmusumlem  27566  vmalogdivsum2  27582  pntrlog2bndlem2  27622  pntrlog2bndlem6  27627  nmlno0lem  30812  nmlnop0iALT  32014  branmfn  32124  leopmul  32153  logdivsqrle  34665  dvtan  37677  dvasin  37711  areacirclem1  37715  areacirclem4  37718  lcmineqlem5  42034  lcmineqlem6  42035  lcmineqlem12  42041  aks4d1p1p7  42075  readvrec2  42391  readvrec  42392  pell14qrdich  42880  mpaaeu  43162  areaquad  43228  hashnzfzclim  44341  binomcxplemnotnn0  44375  oddfl  45289  climrec  45618  climdivf  45627  reclimc  45668  divlimc  45671  ioodvbdlimc1lem2  45947  ioodvbdlimc2lem  45949  stoweidlem7  46022  stoweidlem37  46052  wallispilem4  46083  wallispi  46085  wallispi2lem1  46086  stirlinglem1  46089  stirlinglem3  46091  stirlinglem4  46092  stirlinglem5  46093  stirlinglem7  46095  stirlinglem10  46098  stirlinglem11  46099  stirlinglem12  46100  stirlinglem15  46103  dirkertrigeq  46116  fourierdlem30  46152  fourierdlem83  46204  fourierdlem95  46216  eenglngeehlnmlem1  48658  eenglngeehlnmlem2  48659  seccl  49269  csccl  49270  young2d  49324