Theorem reccld 11915

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 11807	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030   / cdiv 11798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799

This theorem is referenced by:  recgt0  11992  expmulz  14061  rlimdiv  15599  rlimno1  15607  isumdivc  15717  fsumdivc  15739  geolim  15826  georeclim  15828  clim2div  15845  prodfdiv  15852  divcn  24845  dvmptdivc  25942  dvmptdiv  25951  dvexp3  25955  logtayl  26637  dvcncxp1  26720  cxpeq  26734  logbrec  26759  ang180lem1  26786  ang180lem2  26787  ang180lem3  26788  isosctrlem2  26796  dvatan  26912  efrlim  26946  efrlimOLD  26947  amgm  26968  lgamgulmlem2  27007  lgamgulmlem3  27008  igamf  27028  igamcl  27029  lgam1  27041  dchrinvcl  27230  dchrabs  27237  2lgslem3c  27375  dchrmusumlem  27499  vmalogdivsum2  27515  pntrlog2bndlem2  27555  pntrlog2bndlem6  27560  nmlno0lem  30879  nmlnop0iALT  32081  branmfn  32191  leopmul  32220  arginv  32835  constrinvcl  33933  cos9thpiminplylem2  33943  cos9thpiminply  33948  cos9thpinconstrlem2  33950  cos9thpinconstr  33951  logdivsqrle  34810  dvtan  38005  dvasin  38039  areacirclem1  38043  areacirclem4  38046  lcmineqlem5  42486  lcmineqlem6  42487  lcmineqlem12  42493  aks4d1p1p7  42527  readvrec2  42807  readvrec  42808  pell14qrdich  43315  mpaaeu  43596  areaquad  43662  hashnzfzclim  44767  binomcxplemnotnn0  44801  oddfl  45729  climrec  46051  climdivf  46060  reclimc  46099  divlimc  46102  ioodvbdlimc1lem2  46378  ioodvbdlimc2lem  46380  stoweidlem7  46453  stoweidlem37  46483  wallispilem4  46514  wallispi  46516  wallispi2lem1  46517  stirlinglem1  46520  stirlinglem3  46522  stirlinglem4  46523  stirlinglem5  46524  stirlinglem7  46526  stirlinglem10  46529  stirlinglem11  46530  stirlinglem12  46531  stirlinglem15  46534  dirkertrigeq  46547  fourierdlem30  46583  fourierdlem83  46635  fourierdlem95  46647  ppivalnnnprmge6  48101  eenglngeehlnmlem1  49225  eenglngeehlnmlem2  49226  seccl  50237  csccl  50238  young2d  50292