Theorem reccld 11924

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 11816	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   / cdiv 11807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808

This theorem is referenced by:  recgt0  12001  expmulz  14070  rlimdiv  15608  rlimno1  15616  isumdivc  15726  fsumdivc  15748  geolim  15835  georeclim  15837  clim2div  15854  prodfdiv  15861  divcn  24835  dvmptdivc  25932  dvmptdiv  25941  dvexp3  25945  logtayl  26624  dvcncxp1  26707  cxpeq  26721  logbrec  26746  ang180lem1  26773  ang180lem2  26774  ang180lem3  26775  isosctrlem2  26783  dvatan  26899  efrlim  26933  amgm  26954  lgamgulmlem2  26993  lgamgulmlem3  26994  igamf  27014  igamcl  27015  lgam1  27027  dchrinvcl  27216  dchrabs  27223  2lgslem3c  27361  dchrmusumlem  27485  vmalogdivsum2  27501  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem6  27546  nmlno0lem  30864  nmlnop0iALT  32066  branmfn  32176  leopmul  32205  arginv  32820  constrinvcl  33917  cos9thpiminplylem2  33927  cos9thpiminply  33932  cos9thpinconstrlem2  33934  cos9thpinconstr  33935  logdivsqrle  34794  dvtan  37991  dvasin  38025  areacirclem1  38029  areacirclem4  38032  lcmineqlem5  42472  lcmineqlem6  42473  lcmineqlem12  42479  aks4d1p1p7  42513  readvrec2  42793  readvrec  42794  pell14qrdich  43297  mpaaeu  43578  areaquad  43644  hashnzfzclim  44749  binomcxplemnotnn0  44783  oddfl  45711  climrec  46033  climdivf  46042  reclimc  46081  divlimc  46084  ioodvbdlimc1lem2  46360  ioodvbdlimc2lem  46362  stoweidlem7  46435  stoweidlem37  46465  wallispilem4  46496  wallispi  46498  wallispi2lem1  46499  stirlinglem1  46502  stirlinglem3  46504  stirlinglem4  46505  stirlinglem5  46506  stirlinglem7  46508  stirlinglem10  46511  stirlinglem11  46512  stirlinglem12  46513  stirlinglem15  46516  dirkertrigeq  46529  fourierdlem30  46565  fourierdlem83  46617  fourierdlem95  46629  ppivalnnnprmge6  48089  eenglngeehlnmlem1  49213  eenglngeehlnmlem2  49214  seccl  50225  csccl  50226  young2d  50280