Theorem reccld 11398

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 11294	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   / cdiv 11286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287

This theorem is referenced by:  recgt0  11475  expmulz  13471  rlimdiv  14994  rlimno1  15002  isumdivc  15111  fsumdivc  15133  geolim  15218  georeclim  15220  clim2div  15237  prodfdiv  15244  dvmptdivc  24568  dvmptdiv  24577  dvexp3  24581  logtayl  25251  dvcncxp1  25332  cxpeq  25346  logbrec  25368  ang180lem1  25395  ang180lem2  25396  ang180lem3  25397  isosctrlem2  25405  dvatan  25521  efrlim  25555  amgm  25576  lgamgulmlem2  25615  lgamgulmlem3  25616  igamf  25636  igamcl  25637  lgam1  25649  dchrinvcl  25837  dchrabs  25844  2lgslem3c  25982  dchrmusumlem  26106  vmalogdivsum2  26122  pntrlog2bndlem2  26162  pntrlog2bndlem6  26167  nmlno0lem  28576  nmlnop0iALT  29778  branmfn  29888  leopmul  29917  logdivsqrle  32031  dvtan  35107  dvasin  35141  areacirclem1  35145  areacirclem4  35148  lcmineqlem5  39321  lcmineqlem6  39322  lcmineqlem12  39328  exp11d  39497  pell14qrdich  39810  mpaaeu  40094  areaquad  40166  hashnzfzclim  41026  binomcxplemnotnn0  41060  oddfl  41908  climrec  42245  climdivf  42254  reclimc  42295  divlimc  42298  ioodvbdlimc1lem2  42574  ioodvbdlimc2lem  42576  stoweidlem7  42649  stoweidlem37  42679  wallispilem4  42710  wallispi  42712  wallispi2lem1  42713  stirlinglem1  42716  stirlinglem3  42718  stirlinglem4  42719  stirlinglem5  42720  stirlinglem7  42722  stirlinglem10  42725  stirlinglem11  42726  stirlinglem12  42727  stirlinglem15  42730  dirkertrigeq  42743  fourierdlem30  42779  fourierdlem83  42831  fourierdlem95  42843  eenglngeehlnmlem1  45151  eenglngeehlnmlem2  45152  seccl  45276  csccl  45277  young2d  45333