Theorem reccld 11901

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 11794	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  0cc0 11017  1c1 11018   / cdiv 11785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786

This theorem is referenced by:  recgt0  11978  expmulz  14022  rlimdiv  15560  rlimno1  15568  isumdivc  15678  fsumdivc  15700  geolim  15784  georeclim  15786  clim2div  15803  prodfdiv  15810  divcn  24806  dvmptdivc  25916  dvmptdiv  25925  dvexp3  25929  logtayl  26616  dvcncxp1  26699  cxpeq  26714  logbrec  26739  ang180lem1  26766  ang180lem2  26767  ang180lem3  26768  isosctrlem2  26776  dvatan  26892  efrlim  26926  efrlimOLD  26927  amgm  26948  lgamgulmlem2  26987  lgamgulmlem3  26988  igamf  27008  igamcl  27009  lgam1  27021  dchrinvcl  27211  dchrabs  27218  2lgslem3c  27356  dchrmusumlem  27480  vmalogdivsum2  27496  pntrlog2bndlem2  27536  pntrlog2bndlem6  27541  nmlno0lem  30794  nmlnop0iALT  31996  branmfn  32106  leopmul  32135  arginv  32755  constrinvcl  33858  cos9thpiminplylem2  33868  cos9thpiminply  33873  cos9thpinconstrlem2  33875  cos9thpinconstr  33876  logdivsqrle  34735  dvtan  37783  dvasin  37817  areacirclem1  37821  areacirclem4  37824  lcmineqlem5  42199  lcmineqlem6  42200  lcmineqlem12  42206  aks4d1p1p7  42240  readvrec2  42531  readvrec  42532  pell14qrdich  43026  mpaaeu  43307  areaquad  43373  hashnzfzclim  44479  binomcxplemnotnn0  44513  oddfl  45442  climrec  45765  climdivf  45774  reclimc  45813  divlimc  45816  ioodvbdlimc1lem2  46092  ioodvbdlimc2lem  46094  stoweidlem7  46167  stoweidlem37  46197  wallispilem4  46228  wallispi  46230  wallispi2lem1  46231  stirlinglem1  46234  stirlinglem3  46236  stirlinglem4  46237  stirlinglem5  46238  stirlinglem7  46240  stirlinglem10  46243  stirlinglem11  46244  stirlinglem12  46245  stirlinglem15  46248  dirkertrigeq  46261  fourierdlem30  46297  fourierdlem83  46349  fourierdlem95  46361  eenglngeehlnmlem1  48899  eenglngeehlnmlem2  48900  seccl  49911  csccl  49912  young2d  49966