Theorem reccld 12008

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 11901	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   / cdiv 11892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893

This theorem is referenced by:  recgt0  12085  expmulz  14124  rlimdiv  15660  rlimno1  15668  isumdivc  15778  fsumdivc  15800  geolim  15884  georeclim  15886  clim2div  15903  prodfdiv  15910  divcn  24808  dvmptdivc  25919  dvmptdiv  25928  dvexp3  25932  logtayl  26619  dvcncxp1  26702  cxpeq  26717  logbrec  26742  ang180lem1  26769  ang180lem2  26770  ang180lem3  26771  isosctrlem2  26779  dvatan  26895  efrlim  26929  efrlimOLD  26930  amgm  26951  lgamgulmlem2  26990  lgamgulmlem3  26991  igamf  27011  igamcl  27012  lgam1  27024  dchrinvcl  27214  dchrabs  27221  2lgslem3c  27359  dchrmusumlem  27483  vmalogdivsum2  27499  pntrlog2bndlem2  27539  pntrlog2bndlem6  27544  nmlno0lem  30720  nmlnop0iALT  31922  branmfn  32032  leopmul  32061  arginv  32671  constrinvcl  33753  cos9thpiminplylem2  33763  cos9thpiminply  33768  logdivsqrle  34628  dvtan  37640  dvasin  37674  areacirclem1  37678  areacirclem4  37681  lcmineqlem5  41992  lcmineqlem6  41993  lcmineqlem12  41999  aks4d1p1p7  42033  readvrec2  42351  readvrec  42352  pell14qrdich  42839  mpaaeu  43121  areaquad  43187  hashnzfzclim  44294  binomcxplemnotnn0  44328  oddfl  45254  climrec  45580  climdivf  45589  reclimc  45630  divlimc  45633  ioodvbdlimc1lem2  45909  ioodvbdlimc2lem  45911  stoweidlem7  45984  stoweidlem37  46014  wallispilem4  46045  wallispi  46047  wallispi2lem1  46048  stirlinglem1  46051  stirlinglem3  46053  stirlinglem4  46054  stirlinglem5  46055  stirlinglem7  46057  stirlinglem10  46060  stirlinglem11  46061  stirlinglem12  46062  stirlinglem15  46065  dirkertrigeq  46078  fourierdlem30  46114  fourierdlem83  46166  fourierdlem95  46178  eenglngeehlnmlem1  48665  eenglngeehlnmlem2  48666  seccl  49562  csccl  49563  young2d  49617