Theorem reccld 12126

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 12021	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240   / cdiv 12013

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014

This theorem is used by:  recgt0  12203  expmulz  14291  rlimdiv  15857  rlimno1  15865  isumdivc  15974  fsumdivc  15996  geolim  16083  georeclim  16085  clim2div  16102  prodfdiv  16109  divcn  25244  dvmptdivc  26340  dvmptdiv  26349  dvexp3  26353  logtayl  27045  dvcncxp1  27128  cxpeq  27142  logbrec  27167  ang180lem1  27194  ang180lem2  27195  ang180lem3  27196  isosctrlem2  27204  dvatan  27320  efrlim  27354  amgm  27375  lgamgulmlem2  27414  lgamgulmlem3  27415  igamf  27435  igamcl  27436  lgam1  27448  dchrinvcl  27637  dchrabs  27644  2lgslem3c  27782  dchrmusumlem  27906  vmalogdivsum2  27922  pntrlog2bndlem2  27962  pntrlog2bndlem6  27967  nmlno0lem  31452  nmlnop0iALT  32654  branmfn  32764  leopmul  32793  arginv  33435  constrinvcl  34516  cos9thpiminplylem2  34526  cos9thpiminply  34531  cos9thpinconstrlem2  34533  cos9thpinconstr  34534  logdivsqrle  35390  dvtan  38856  dvasin  38890  areacirclem1  38894  areacirclem4  38897  lcmineqlem5  43349  lcmineqlem6  43350  lcmineqlem12  43356  aks4d1p1p7  43390  readvrec2  43678  readvrec  43679  pell14qrdich  44142  mpaaeu  44417  areaquad  44479  hashnzfzclim  45567  binomcxplemnotnn0  45601  oddfl  46567  climrec  46888  climdivf  46897  reclimc  46936  divlimc  46939  ioodvbdlimc1lem2  47215  ioodvbdlimc2lem  47217  stoweidlem7  47290  stoweidlem37  47320  wallispilem4  47351  wallispi  47353  wallispi2lem1  47354  stirlinglem1  47357  stirlinglem3  47359  stirlinglem4  47360  stirlinglem5  47361  stirlinglem7  47363  stirlinglem10  47366  stirlinglem11  47367  stirlinglem12  47368  stirlinglem15  47371  dirkertrigeq  47384  fourierdlem30  47420  fourierdlem83  47472  fourierdlem95  47484  ppivalnnnprmge6  48984  eenglngeehlnmlem1  50181  eenglngeehlnmlem2  50182  seccl  51271  csccl  51272  young2d  51418