Theorem reccld 11885

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 11778	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  0cc0 11001  1c1 11002   / cdiv 11769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770

This theorem is referenced by:  recgt0  11962  expmulz  14010  rlimdiv  15548  rlimno1  15556  isumdivc  15666  fsumdivc  15688  geolim  15772  georeclim  15774  clim2div  15791  prodfdiv  15798  divcn  24781  dvmptdivc  25891  dvmptdiv  25900  dvexp3  25904  logtayl  26591  dvcncxp1  26674  cxpeq  26689  logbrec  26714  ang180lem1  26741  ang180lem2  26742  ang180lem3  26743  isosctrlem2  26751  dvatan  26867  efrlim  26901  efrlimOLD  26902  amgm  26923  lgamgulmlem2  26962  lgamgulmlem3  26963  igamf  26983  igamcl  26984  lgam1  26996  dchrinvcl  27186  dchrabs  27193  2lgslem3c  27331  dchrmusumlem  27455  vmalogdivsum2  27471  pntrlog2bndlem2  27511  pntrlog2bndlem6  27516  nmlno0lem  30765  nmlnop0iALT  31967  branmfn  32077  leopmul  32106  arginv  32723  constrinvcl  33778  cos9thpiminplylem2  33788  cos9thpiminply  33793  cos9thpinconstrlem2  33795  cos9thpinconstr  33796  logdivsqrle  34655  dvtan  37710  dvasin  37744  areacirclem1  37748  areacirclem4  37751  lcmineqlem5  42066  lcmineqlem6  42067  lcmineqlem12  42073  aks4d1p1p7  42107  readvrec2  42394  readvrec  42395  pell14qrdich  42902  mpaaeu  43183  areaquad  43249  hashnzfzclim  44355  binomcxplemnotnn0  44389  oddfl  45319  climrec  45643  climdivf  45652  reclimc  45691  divlimc  45694  ioodvbdlimc1lem2  45970  ioodvbdlimc2lem  45972  stoweidlem7  46045  stoweidlem37  46075  wallispilem4  46106  wallispi  46108  wallispi2lem1  46109  stirlinglem1  46112  stirlinglem3  46114  stirlinglem4  46115  stirlinglem5  46116  stirlinglem7  46118  stirlinglem10  46121  stirlinglem11  46122  stirlinglem12  46123  stirlinglem15  46126  dirkertrigeq  46139  fourierdlem30  46175  fourierdlem83  46227  fourierdlem95  46239  eenglngeehlnmlem1  48769  eenglngeehlnmlem2  48770  seccl  49782  csccl  49783  young2d  49837