Theorem reccld 11910

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 11803	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   / cdiv 11794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795

This theorem is referenced by:  recgt0  11987  expmulz  14031  rlimdiv  15569  rlimno1  15577  isumdivc  15687  fsumdivc  15709  geolim  15793  georeclim  15795  clim2div  15812  prodfdiv  15819  divcn  24815  dvmptdivc  25925  dvmptdiv  25934  dvexp3  25938  logtayl  26625  dvcncxp1  26708  cxpeq  26723  logbrec  26748  ang180lem1  26775  ang180lem2  26776  ang180lem3  26777  isosctrlem2  26785  dvatan  26901  efrlim  26935  efrlimOLD  26936  amgm  26957  lgamgulmlem2  26996  lgamgulmlem3  26997  igamf  27017  igamcl  27018  lgam1  27030  dchrinvcl  27220  dchrabs  27227  2lgslem3c  27365  dchrmusumlem  27489  vmalogdivsum2  27505  pntrlog2bndlem2  27545  pntrlog2bndlem6  27550  nmlno0lem  30868  nmlnop0iALT  32070  branmfn  32180  leopmul  32209  arginv  32827  constrinvcl  33930  cos9thpiminplylem2  33940  cos9thpiminply  33945  cos9thpinconstrlem2  33947  cos9thpinconstr  33948  logdivsqrle  34807  dvtan  37871  dvasin  37905  areacirclem1  37909  areacirclem4  37912  lcmineqlem5  42287  lcmineqlem6  42288  lcmineqlem12  42294  aks4d1p1p7  42328  readvrec2  42616  readvrec  42617  pell14qrdich  43111  mpaaeu  43392  areaquad  43458  hashnzfzclim  44563  binomcxplemnotnn0  44597  oddfl  45526  climrec  45849  climdivf  45858  reclimc  45897  divlimc  45900  ioodvbdlimc1lem2  46176  ioodvbdlimc2lem  46178  stoweidlem7  46251  stoweidlem37  46281  wallispilem4  46312  wallispi  46314  wallispi2lem1  46315  stirlinglem1  46318  stirlinglem3  46320  stirlinglem4  46321  stirlinglem5  46322  stirlinglem7  46324  stirlinglem10  46327  stirlinglem11  46328  stirlinglem12  46329  stirlinglem15  46332  dirkertrigeq  46345  fourierdlem30  46381  fourierdlem83  46433  fourierdlem95  46445  eenglngeehlnmlem1  48983  eenglngeehlnmlem2  48984  seccl  49995  csccl  49996  young2d  50050