Theorem reccld 12090

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 11985	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  0cc0 11204  1c1 11205   / cdiv 11977

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978

This theorem is used by:  recgt0  12167  expmulz  14255  rlimdiv  15819  rlimno1  15827  isumdivc  15936  fsumdivc  15958  geolim  16045  georeclim  16047  clim2div  16064  prodfdiv  16071  divcn  25195  dvmptdivc  26291  dvmptdiv  26300  dvexp3  26304  logtayl  26994  dvcncxp1  27077  cxpeq  27091  logbrec  27116  ang180lem1  27143  ang180lem2  27144  ang180lem3  27145  isosctrlem2  27153  dvatan  27269  efrlim  27303  amgm  27324  lgamgulmlem2  27363  lgamgulmlem3  27364  igamf  27384  igamcl  27385  lgam1  27397  dchrinvcl  27586  dchrabs  27593  2lgslem3c  27731  dchrmusumlem  27855  vmalogdivsum2  27871  pntrlog2bndlem2  27911  pntrlog2bndlem6  27916  nmlno0lem  31401  nmlnop0iALT  32603  branmfn  32713  leopmul  32742  arginv  33386  constrinvcl  34452  cos9thpiminplylem2  34462  cos9thpiminply  34467  cos9thpinconstrlem2  34469  cos9thpinconstr  34470  logdivsqrle  35326  dvtan  38682  dvasin  38716  areacirclem1  38720  areacirclem4  38723  lcmineqlem5  43177  lcmineqlem6  43178  lcmineqlem12  43184  aks4d1p1p7  43218  readvrec2  43506  readvrec  43507  pell14qrdich  43970  mpaaeu  44246  areaquad  44312  hashnzfzclim  45400  binomcxplemnotnn0  45434  oddfl  46388  climrec  46709  climdivf  46718  reclimc  46757  divlimc  46760  ioodvbdlimc1lem2  47036  ioodvbdlimc2lem  47038  stoweidlem7  47111  stoweidlem37  47141  wallispilem4  47172  wallispi  47174  wallispi2lem1  47175  stirlinglem1  47178  stirlinglem3  47180  stirlinglem4  47181  stirlinglem5  47182  stirlinglem7  47184  stirlinglem10  47187  stirlinglem11  47188  stirlinglem12  47189  stirlinglem15  47192  dirkertrigeq  47205  fourierdlem30  47241  fourierdlem83  47293  fourierdlem95  47305  ppivalnnnprmge6  48805  eenglngeehlnmlem1  49944  eenglngeehlnmlem2  49945  seccl  51012  csccl  51013  young2d  51159