Theorem reccld 11922

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 11815	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   / cdiv 11806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807

This theorem is referenced by:  recgt0  11999  expmulz  14043  rlimdiv  15581  rlimno1  15589  isumdivc  15699  fsumdivc  15721  geolim  15805  georeclim  15807  clim2div  15824  prodfdiv  15831  divcn  24827  dvmptdivc  25937  dvmptdiv  25946  dvexp3  25950  logtayl  26637  dvcncxp1  26720  cxpeq  26735  logbrec  26760  ang180lem1  26787  ang180lem2  26788  ang180lem3  26789  isosctrlem2  26797  dvatan  26913  efrlim  26947  efrlimOLD  26948  amgm  26969  lgamgulmlem2  27008  lgamgulmlem3  27009  igamf  27029  igamcl  27030  lgam1  27042  dchrinvcl  27232  dchrabs  27239  2lgslem3c  27377  dchrmusumlem  27501  vmalogdivsum2  27517  pntrlog2bndlem2  27557  pntrlog2bndlem6  27562  nmlno0lem  30880  nmlnop0iALT  32082  branmfn  32192  leopmul  32221  arginv  32837  constrinvcl  33950  cos9thpiminplylem2  33960  cos9thpiminply  33965  cos9thpinconstrlem2  33967  cos9thpinconstr  33968  logdivsqrle  34827  dvtan  37918  dvasin  37952  areacirclem1  37956  areacirclem4  37959  lcmineqlem5  42400  lcmineqlem6  42401  lcmineqlem12  42407  aks4d1p1p7  42441  readvrec2  42728  readvrec  42729  pell14qrdich  43223  mpaaeu  43504  areaquad  43570  hashnzfzclim  44675  binomcxplemnotnn0  44709  oddfl  45637  climrec  45960  climdivf  45969  reclimc  46008  divlimc  46011  ioodvbdlimc1lem2  46287  ioodvbdlimc2lem  46289  stoweidlem7  46362  stoweidlem37  46392  wallispilem4  46423  wallispi  46425  wallispi2lem1  46426  stirlinglem1  46429  stirlinglem3  46431  stirlinglem4  46432  stirlinglem5  46433  stirlinglem7  46435  stirlinglem10  46438  stirlinglem11  46439  stirlinglem12  46440  stirlinglem15  46443  dirkertrigeq  46456  fourierdlem30  46492  fourierdlem83  46544  fourierdlem95  46556  eenglngeehlnmlem1  49094  eenglngeehlnmlem2  49095  seccl  50106  csccl  50107  young2d  50161