MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reccld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reccld 11398
Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
reccld (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 reccld.2 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
3 reccl 11294 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
41, 2, 3syl2anc 587 1 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2114  wne 3011  (class class class)co 7140  cc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   / cdiv 11286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287
This theorem is referenced by:  recgt0  11475  expmulz  13471  rlimdiv  14993  rlimno1  15001  isumdivc  15110  fsumdivc  15132  geolim  15217  georeclim  15219  clim2div  15236  prodfdiv  15243  dvmptdivc  24566  dvmptdiv  24575  dvexp3  24579  logtayl  25249  dvcncxp1  25330  cxpeq  25344  logbrec  25366  ang180lem1  25393  ang180lem2  25394  ang180lem3  25395  isosctrlem2  25403  dvatan  25519  efrlim  25553  amgm  25574  lgamgulmlem2  25613  lgamgulmlem3  25614  igamf  25634  igamcl  25635  lgam1  25647  dchrinvcl  25835  dchrabs  25842  2lgslem3c  25980  dchrmusumlem  26104  vmalogdivsum2  26120  pntrlog2bndlem2  26160  pntrlog2bndlem6  26165  nmlno0lem  28574  nmlnop0iALT  29776  branmfn  29886  leopmul  29915  logdivsqrle  31995  dvtan  35065  dvasin  35099  areacirclem1  35103  areacirclem4  35106  lcmineqlem5  39282  lcmineqlem6  39283  lcmineqlem12  39289  exp11d  39441  pell14qrdich  39740  mpaaeu  40024  areaquad  40096  hashnzfzclim  40960  binomcxplemnotnn0  40994  oddfl  41847  climrec  42184  climdivf  42193  reclimc  42234  divlimc  42237  ioodvbdlimc1lem2  42513  ioodvbdlimc2lem  42515  stoweidlem7  42588  stoweidlem37  42618  wallispilem4  42649  wallispi  42651  wallispi2lem1  42652  stirlinglem1  42655  stirlinglem3  42657  stirlinglem4  42658  stirlinglem5  42659  stirlinglem7  42661  stirlinglem10  42664  stirlinglem11  42665  stirlinglem12  42666  stirlinglem15  42669  dirkertrigeq  42682  fourierdlem30  42718  fourierdlem83  42770  fourierdlem95  42782  eenglngeehlnmlem1  45090  eenglngeehlnmlem2  45091  seccl  45215  csccl  45216  young2d  45272
  Copyright terms: Public domain W3C validator