Theorem reccld 11927

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 11820	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  0cc0 11044  1c1 11045   / cdiv 11811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812

This theorem is referenced by:  recgt0  12004  expmulz  14049  rlimdiv  15588  rlimno1  15596  isumdivc  15706  fsumdivc  15728  geolim  15812  georeclim  15814  clim2div  15831  prodfdiv  15838  divcn  24735  dvmptdivc  25845  dvmptdiv  25854  dvexp3  25858  logtayl  26545  dvcncxp1  26628  cxpeq  26643  logbrec  26668  ang180lem1  26695  ang180lem2  26696  ang180lem3  26697  isosctrlem2  26705  dvatan  26821  efrlim  26855  efrlimOLD  26856  amgm  26877  lgamgulmlem2  26916  lgamgulmlem3  26917  igamf  26937  igamcl  26938  lgam1  26950  dchrinvcl  27140  dchrabs  27147  2lgslem3c  27285  dchrmusumlem  27409  vmalogdivsum2  27425  pntrlog2bndlem2  27465  pntrlog2bndlem6  27470  nmlno0lem  30695  nmlnop0iALT  31897  branmfn  32007  leopmul  32036  arginv  32644  constrinvcl  33736  cos9thpiminplylem2  33746  cos9thpiminply  33751  cos9thpinconstrlem2  33753  cos9thpinconstr  33754  logdivsqrle  34614  dvtan  37637  dvasin  37671  areacirclem1  37675  areacirclem4  37678  lcmineqlem5  41994  lcmineqlem6  41995  lcmineqlem12  42001  aks4d1p1p7  42035  readvrec2  42322  readvrec  42323  pell14qrdich  42830  mpaaeu  43112  areaquad  43178  hashnzfzclim  44284  binomcxplemnotnn0  44318  oddfl  45249  climrec  45574  climdivf  45583  reclimc  45624  divlimc  45627  ioodvbdlimc1lem2  45903  ioodvbdlimc2lem  45905  stoweidlem7  45978  stoweidlem37  46008  wallispilem4  46039  wallispi  46041  wallispi2lem1  46042  stirlinglem1  46045  stirlinglem3  46047  stirlinglem4  46048  stirlinglem5  46049  stirlinglem7  46051  stirlinglem10  46054  stirlinglem11  46055  stirlinglem12  46056  stirlinglem15  46059  dirkertrigeq  46072  fourierdlem30  46108  fourierdlem83  46160  fourierdlem95  46172  eenglngeehlnmlem1  48699  eenglngeehlnmlem2  48700  seccl  49712  csccl  49713  young2d  49767