Theorem reccld 12079

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 11974	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  0cc0 11193  1c1 11194   / cdiv 11966

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967

This theorem is used by:  recgt0  12156  expmulz  14244  rlimdiv  15806  rlimno1  15814  isumdivc  15923  fsumdivc  15945  geolim  16032  georeclim  16034  clim2div  16051  prodfdiv  16058  divcn  25182  dvmptdivc  26278  dvmptdiv  26287  dvexp3  26291  logtayl  26981  dvcncxp1  27064  cxpeq  27078  logbrec  27103  ang180lem1  27130  ang180lem2  27131  ang180lem3  27132  isosctrlem2  27140  dvatan  27256  efrlim  27290  amgm  27311  lgamgulmlem2  27350  lgamgulmlem3  27351  igamf  27371  igamcl  27372  lgam1  27384  dchrinvcl  27573  dchrabs  27580  2lgslem3c  27718  dchrmusumlem  27842  vmalogdivsum2  27858  pntrlog2bndlem2  27898  pntrlog2bndlem6  27903  nmlno0lem  31388  nmlnop0iALT  32590  branmfn  32700  leopmul  32729  arginv  33332  constrinvcl  34398  cos9thpiminplylem2  34408  cos9thpiminply  34413  cos9thpinconstrlem2  34415  cos9thpinconstr  34416  logdivsqrle  35272  dvtan  38568  dvasin  38602  areacirclem1  38606  areacirclem4  38609  lcmineqlem5  43063  lcmineqlem6  43064  lcmineqlem12  43070  aks4d1p1p7  43104  readvrec2  43392  readvrec  43393  pell14qrdich  43855  mpaaeu  44136  areaquad  44202  hashnzfzclim  45291  binomcxplemnotnn0  45325  oddfl  46263  climrec  46584  climdivf  46593  reclimc  46632  divlimc  46635  ioodvbdlimc1lem2  46911  ioodvbdlimc2lem  46913  stoweidlem7  46986  stoweidlem37  47016  wallispilem4  47047  wallispi  47049  wallispi2lem1  47050  stirlinglem1  47053  stirlinglem3  47055  stirlinglem4  47056  stirlinglem5  47057  stirlinglem7  47059  stirlinglem10  47062  stirlinglem11  47063  stirlinglem12  47064  stirlinglem15  47067  dirkertrigeq  47080  fourierdlem30  47116  fourierdlem83  47168  fourierdlem95  47180  ppivalnnnprmge6  48680  eenglngeehlnmlem1  49818  eenglngeehlnmlem2  49819  seccl  50812  csccl  50813  young2d  50959