MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reccld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reccld 11397
Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
reccld (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 reccld.2 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
3 reccl 11293 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  wne 3013  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   / cdiv 11285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286
This theorem is referenced by:  recgt0  11474  expmulz  13463  rlimdiv  14990  rlimno1  14998  isumdivc  15107  fsumdivc  15129  geolim  15214  georeclim  15216  clim2div  15233  prodfdiv  15240  dvmptdivc  24489  dvmptdiv  24498  dvexp3  24502  logtayl  25170  dvcncxp1  25251  cxpeq  25265  logbrec  25287  ang180lem1  25314  ang180lem2  25315  ang180lem3  25316  isosctrlem2  25324  dvatan  25440  efrlim  25474  amgm  25495  lgamgulmlem2  25534  lgamgulmlem3  25535  igamf  25555  igamcl  25556  lgam1  25568  dchrinvcl  25756  dchrabs  25763  2lgslem3c  25901  dchrmusumlem  26025  vmalogdivsum2  26041  pntrlog2bndlem2  26081  pntrlog2bndlem6  26086  nmlno0lem  28497  nmlnop0iALT  29699  branmfn  29809  leopmul  29838  logdivsqrle  31820  dvtan  34823  dvasin  34859  areacirclem1  34863  areacirclem4  34866  exp11d  39067  pell14qrdich  39344  mpaaeu  39628  areaquad  39701  hashnzfzclim  40531  binomcxplemnotnn0  40565  oddfl  41419  climrec  41760  climdivf  41769  reclimc  41810  divlimc  41813  ioodvbdlimc1lem2  42093  ioodvbdlimc2lem  42095  stoweidlem7  42169  stoweidlem37  42199  wallispilem4  42230  wallispi  42232  wallispi2lem1  42233  stirlinglem1  42236  stirlinglem3  42238  stirlinglem4  42239  stirlinglem5  42240  stirlinglem7  42242  stirlinglem10  42245  stirlinglem11  42246  stirlinglem12  42247  stirlinglem15  42250  dirkertrigeq  42263  fourierdlem30  42299  fourierdlem83  42351  fourierdlem95  42363  eenglngeehlnmlem1  44652  eenglngeehlnmlem2  44653  seccl  44777  csccl  44778  young2d  44834
  Copyright terms: Public domain W3C validator