Theorem reccld 11674

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 11570	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   / cdiv 11562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563

This theorem is referenced by:  recgt0  11751  expmulz  13757  rlimdiv  15285  rlimno1  15293  isumdivc  15404  fsumdivc  15426  geolim  15510  georeclim  15512  clim2div  15529  prodfdiv  15536  dvmptdivc  25034  dvmptdiv  25043  dvexp3  25047  logtayl  25720  dvcncxp1  25801  cxpeq  25815  logbrec  25837  ang180lem1  25864  ang180lem2  25865  ang180lem3  25866  isosctrlem2  25874  dvatan  25990  efrlim  26024  amgm  26045  lgamgulmlem2  26084  lgamgulmlem3  26085  igamf  26105  igamcl  26106  lgam1  26118  dchrinvcl  26306  dchrabs  26313  2lgslem3c  26451  dchrmusumlem  26575  vmalogdivsum2  26591  pntrlog2bndlem2  26631  pntrlog2bndlem6  26636  nmlno0lem  29056  nmlnop0iALT  30258  branmfn  30368  leopmul  30397  logdivsqrle  32530  dvtan  35754  dvasin  35788  areacirclem1  35792  areacirclem4  35795  lcmineqlem5  39969  lcmineqlem6  39970  lcmineqlem12  39976  aks4d1p1p7  40010  pell14qrdich  40607  mpaaeu  40891  areaquad  40963  hashnzfzclim  41829  binomcxplemnotnn0  41863  oddfl  42705  climrec  43034  climdivf  43043  reclimc  43084  divlimc  43087  ioodvbdlimc1lem2  43363  ioodvbdlimc2lem  43365  stoweidlem7  43438  stoweidlem37  43468  wallispilem4  43499  wallispi  43501  wallispi2lem1  43502  stirlinglem1  43505  stirlinglem3  43507  stirlinglem4  43508  stirlinglem5  43509  stirlinglem7  43511  stirlinglem10  43514  stirlinglem11  43515  stirlinglem12  43516  stirlinglem15  43519  dirkertrigeq  43532  fourierdlem30  43568  fourierdlem83  43620  fourierdlem95  43632  eenglngeehlnmlem1  45971  eenglngeehlnmlem2  45972  seccl  46338  csccl  46339  young2d  46395