Theorem reccld 11951

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 11844	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069   / cdiv 11835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836

This theorem is referenced by:  recgt0  12028  expmulz  14073  rlimdiv  15612  rlimno1  15620  isumdivc  15730  fsumdivc  15752  geolim  15836  georeclim  15838  clim2div  15855  prodfdiv  15862  divcn  24759  dvmptdivc  25869  dvmptdiv  25878  dvexp3  25882  logtayl  26569  dvcncxp1  26652  cxpeq  26667  logbrec  26692  ang180lem1  26719  ang180lem2  26720  ang180lem3  26721  isosctrlem2  26729  dvatan  26845  efrlim  26879  efrlimOLD  26880  amgm  26901  lgamgulmlem2  26940  lgamgulmlem3  26941  igamf  26961  igamcl  26962  lgam1  26974  dchrinvcl  27164  dchrabs  27171  2lgslem3c  27309  dchrmusumlem  27433  vmalogdivsum2  27449  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem6  27494  nmlno0lem  30722  nmlnop0iALT  31924  branmfn  32034  leopmul  32063  arginv  32671  constrinvcl  33763  cos9thpiminplylem2  33773  cos9thpiminply  33778  cos9thpinconstrlem2  33780  cos9thpinconstr  33781  logdivsqrle  34641  dvtan  37664  dvasin  37698  areacirclem1  37702  areacirclem4  37705  lcmineqlem5  42021  lcmineqlem6  42022  lcmineqlem12  42028  aks4d1p1p7  42062  readvrec2  42349  readvrec  42350  pell14qrdich  42857  mpaaeu  43139  areaquad  43205  hashnzfzclim  44311  binomcxplemnotnn0  44345  oddfl  45276  climrec  45601  climdivf  45610  reclimc  45651  divlimc  45654  ioodvbdlimc1lem2  45930  ioodvbdlimc2lem  45932  stoweidlem7  46005  stoweidlem37  46035  wallispilem4  46066  wallispi  46068  wallispi2lem1  46069  stirlinglem1  46072  stirlinglem3  46074  stirlinglem4  46075  stirlinglem5  46076  stirlinglem7  46078  stirlinglem10  46081  stirlinglem11  46082  stirlinglem12  46083  stirlinglem15  46086  dirkertrigeq  46099  fourierdlem30  46135  fourierdlem83  46187  fourierdlem95  46199  eenglngeehlnmlem1  48726  eenglngeehlnmlem2  48727  seccl  49739  csccl  49740  young2d  49794