Theorem reccld 11988

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 11883	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  0cc0 11104  1c1 11105   / cdiv 11875

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876

This theorem is used by:  recgt0  12065  expmulz  14149  rlimdiv  15702  rlimno1  15710  isumdivc  15820  fsumdivc  15842  geolim  15929  georeclim  15931  clim2div  15948  prodfdiv  15955  divcn  25036  dvmptdivc  26133  dvmptdiv  26142  dvexp3  26146  logtayl  26834  dvcncxp1  26917  cxpeq  26931  logbrec  26956  ang180lem1  26983  ang180lem2  26984  ang180lem3  26985  isosctrlem2  26993  dvatan  27109  efrlim  27143  amgm  27164  lgamgulmlem2  27203  lgamgulmlem3  27204  igamf  27224  igamcl  27225  lgam1  27237  dchrinvcl  27426  dchrabs  27433  2lgslem3c  27571  dchrmusumlem  27695  vmalogdivsum2  27711  pntrlog2bndlem2  27751  pntrlog2bndlem6  27756  nmlno0lem  31154  nmlnop0iALT  32356  branmfn  32466  leopmul  32495  arginv  33101  constrinvcl  34172  cos9thpiminplylem2  34182  cos9thpiminply  34187  cos9thpinconstrlem2  34189  cos9thpinconstr  34190  logdivsqrle  35046  dvtan  38349  dvasin  38383  areacirclem1  38387  areacirclem4  38390  lcmineqlem5  42828  lcmineqlem6  42829  lcmineqlem12  42835  aks4d1p1p7  42869  readvrec2  43150  readvrec  43151  pell14qrdich  43624  mpaaeu  43905  areaquad  43971  hashnzfzclim  45060  binomcxplemnotnn0  45094  oddfl  46025  climrec  46347  climdivf  46356  reclimc  46395  divlimc  46398  ioodvbdlimc1lem2  46674  ioodvbdlimc2lem  46676  stoweidlem7  46749  stoweidlem37  46779  wallispilem4  46810  wallispi  46812  wallispi2lem1  46813  stirlinglem1  46816  stirlinglem3  46818  stirlinglem4  46819  stirlinglem5  46820  stirlinglem7  46822  stirlinglem10  46825  stirlinglem11  46826  stirlinglem12  46827  stirlinglem15  46830  dirkertrigeq  46843  fourierdlem30  46879  fourierdlem83  46931  fourierdlem95  46943  ppivalnnnprmge6  48406  eenglngeehlnmlem1  49545  eenglngeehlnmlem2  49546  seccl  50556  csccl  50557  young2d  50680