Theorem reccld 11987

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 11883	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   / cdiv 11875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876

This theorem is referenced by:  recgt0  12064  expmulz  14078  rlimdiv  15596  rlimno1  15604  isumdivc  15714  fsumdivc  15736  geolim  15820  georeclim  15822  clim2div  15839  prodfdiv  15846  divcn  24606  dvmptdivc  25717  dvmptdiv  25726  dvexp3  25730  logtayl  26404  dvcncxp1  26487  cxpeq  26501  logbrec  26523  ang180lem1  26550  ang180lem2  26551  ang180lem3  26552  isosctrlem2  26560  dvatan  26676  efrlim  26710  amgm  26731  lgamgulmlem2  26770  lgamgulmlem3  26771  igamf  26791  igamcl  26792  lgam1  26804  dchrinvcl  26992  dchrabs  26999  2lgslem3c  27137  dchrmusumlem  27261  vmalogdivsum2  27277  pntrlog2bndlem2  27317  pntrlog2bndlem6  27322  nmlno0lem  30313  nmlnop0iALT  31515  branmfn  31625  leopmul  31654  logdivsqrle  33960  dvtan  36841  dvasin  36875  areacirclem1  36879  areacirclem4  36882  lcmineqlem5  41204  lcmineqlem6  41205  lcmineqlem12  41211  aks4d1p1p7  41245  pell14qrdich  41909  mpaaeu  42194  areaquad  42267  hashnzfzclim  43383  binomcxplemnotnn0  43417  oddfl  44285  climrec  44617  climdivf  44626  reclimc  44667  divlimc  44670  ioodvbdlimc1lem2  44946  ioodvbdlimc2lem  44948  stoweidlem7  45021  stoweidlem37  45051  wallispilem4  45082  wallispi  45084  wallispi2lem1  45085  stirlinglem1  45088  stirlinglem3  45090  stirlinglem4  45091  stirlinglem5  45092  stirlinglem7  45094  stirlinglem10  45097  stirlinglem11  45098  stirlinglem12  45099  stirlinglem15  45102  dirkertrigeq  45115  fourierdlem30  45151  fourierdlem83  45203  fourierdlem95  45215  eenglngeehlnmlem1  47510  eenglngeehlnmlem2  47511  seccl  47882  csccl  47883  young2d  47939