Theorem lemul12a 12168

Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lemul12a	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem lemul12a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
2		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
3	2	ad2antlr 740	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4		simplrr 790	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
5		0re 11303	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		letr 11397	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 0 ≤ 𝐷))
7	5, 6	mp3an1 1477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 0 ≤ 𝐷))
8	7	exp4b 436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐷 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐶 → (𝐶 ≤ 𝐷 → 0 ≤ 𝐷))))
9	8	com23 87	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐶 → (𝐷 ∈ ℝ → (𝐶 ≤ 𝐷 → 0 ≤ 𝐷))))
10	9	imp41 431	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 0 ≤ 𝐷)
11	10	ad2ant2l 759	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 0 ≤ 𝐷)
12	4, 11	jca 521	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))
13	1, 3, 12	jca32 525	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))))
14		simpr 490	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))
15		lemul12b 12167	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
16	13, 14, 15	sylc 66	. 2 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷))
17	16	ex 418	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  0cc0 11193   · cmul 11198   ≤ cle 11337

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537

This theorem is used by:  lemulge11  12172  lediv12a  12203  lemul12ad  12252  expge1  14235  leexp1a  14311  faclbnd4lem1  14430  faclbnd6  14436  o1rlimmul  15779  mertenslem1  16046  iimulcl  25251  aaliou3lem2  26663  logfacubnd  27541  lgslem3  27619  dchrisum0flblem2  27829  pntlemr  27922  pellqrex  43865