Theorem lemul12a 12179

Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lemul12a	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem lemul12a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
2		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
3	2	ad2antlr 740	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4		simplrr 790	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
5		0re 11314	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		letr 11408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 0 ≤ 𝐷))
7	5, 6	mp3an1 1477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 0 ≤ 𝐷))
8	7	exp4b 436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐷 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐶 → (𝐶 ≤ 𝐷 → 0 ≤ 𝐷))))
9	8	com23 87	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐶 → (𝐷 ∈ ℝ → (𝐶 ≤ 𝐷 → 0 ≤ 𝐷))))
10	9	imp41 431	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → 0 ≤ 𝐷)
11	10	ad2ant2l 759	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → 0 ≤ 𝐷)
12	4, 11	jca 521	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))
13	1, 3, 12	jca32 525	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))))
14		simpr 490	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))
15		lemul12b 12178	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
16	13, 14, 15	sylc 66	. 2 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷))
17	16	ex 418	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  0cc0 11204   · cmul 11209   ≤ cle 11348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548

This theorem is used by:  lemulge11  12183  lediv12a  12214  lemul12ad  12263  expge1  14246  leexp1a  14322  faclbnd4lem1  14441  faclbnd6  14447  o1rlimmul  15792  mertenslem1  16059  iimulcl  25264  aaliou3lem2  26676  logfacubnd  27554  lgslem3  27632  dchrisum0flblem2  27842  pntlemr  27935  pellqrex  43980