Theorem lesub0 10956

Description: Lemma to show a nonnegative number is zero. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lesub0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 − 𝐴)) ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem lesub0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 10441	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		letri3 10524	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
3	1, 2	sylan2 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
4		ancom 453	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 0))
5		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		0red 10441	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
7		simpl 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		lesub2 10934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ (𝐵 − 0) ≤ (𝐵 − 𝐴)))
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1352	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ (𝐵 − 0) ≤ (𝐵 − 𝐴)))
10	7	recnd 10466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	10	subid1d 10785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
12	11	breq1d 4935	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 0) ≤ (𝐵 − 𝐴) ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 − 𝐴)))
13	9, 12	bitrd 271	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 − 𝐴)))
14	13	ancoms 451	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 − 𝐴)))
15	14	anbi2d 620	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 0) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 − 𝐴))))
16	4, 15	syl5bb 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 − 𝐴))))
17	3, 16	bitr2d 272	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 − 𝐴)) ↔ 𝐴 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   class class class wbr 4925  (class class class)co 6974  ℝcr 10332  0cc0 10333   ≤ cle 10473   − cmin 10668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671

This theorem is referenced by:  lesub0i  10987