Theorem lesub0 11625

Description: Lemma to show a nonnegative number is zero. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lesub0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 − 𝐴)) ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem lesub0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11106	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		letri3 11189	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
3	1, 2	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
4		ancom 460	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 0))
5		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		0red 11106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
7		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		lesub2 11603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ (𝐵 − 0) ≤ (𝐵 − 𝐴)))
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ (𝐵 − 0) ≤ (𝐵 − 𝐴)))
10	7	recnd 11131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	10	subid1d 11452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
12	11	breq1d 5098	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 0) ≤ (𝐵 − 𝐴) ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 − 𝐴)))
13	9, 12	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 − 𝐴)))
14	13	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 − 𝐴)))
15	14	anbi2d 630	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 0) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 − 𝐴))))
16	4, 15	bitrid 283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 − 𝐴))))
17	3, 16	bitr2d 280	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 − 𝐴)) ↔ 𝐴 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5088  (class class class)co 7340  ℝcr 10996  0cc0 10997   ≤ cle 11138   − cmin 11335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-id 5508  df-po 5521  df-so 5522  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338

This theorem is referenced by:  lesub0i  11656