Theorem subid1d 11546

Description: Identity law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subid1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Proof of Theorem subid1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		subid1 11466	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088   − cmin 11429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236  df-sub 11431

This theorem is referenced by:  suble0  11716  lesub0  11719  ltm1  12048  nn0sub  12545  max0sub  13213  modid  13920  modeqmodmin  13968  muldivbinom2  14290  bcn0  14337  bcnn  14339  hashfzo0  14457  hashfz0  14459  ccatlid  14614  pfxmpt  14706  pfxfv  14710  swrdpfx  14734  pfxpfx  14735  cshwsublen  14823  sgnsub  15133  remul2  15171  clim0c  15548  rlimrecl  15621  o1rlimmul  15660  rlimno1  15695  incexclem  15880  supcvg  15900  pwdif  15912  geolim  15914  fallfacval3  16056  binomfallfaclem2  16084  bpolydiflem  16098  bpoly3  16102  addmodlteqALT  16373  dvdsmod  16377  ndvdssub  16457  nn0seqcvgd  16618  phiprmpw  16825  pczpre  16897  pcaddlem  16938  pcmpt2  16943  prmreclem4  16969  4sqlem9  16996  4sqlem11  17005  ramcl  17079  oddvdsnn0  19605  odf1o2  19634  srgbinomlem4  20302  zndvds0  21660  freshmansdream  21684  psrlidm  22071  psdmul  22289  coe1sclmul  22403  coe1sclmul2  22405  cply1mul  22417  recld2  24933  i1fadd  25815  mbfi1fseqlem6  25840  itgposval  25916  dveflem  26099  dv11cn  26121  lhop1lem  26133  coemulc  26373  plydivlem3  26417  plyrem  26427  vieta1lem2  26433  aareccl  26448  aalioulem3  26456  aaliou2b  26463  dvntaylp  26492  taylthlem1  26494  psercn  26547  pserdvlem2  26549  abelthlem2  26553  abelthlem3  26554  abelthlem5  26556  abelthlem7  26559  sinmpi  26610  cosppi  26613  sinhalfpim  26616  sincosq2sgn  26622  logcnlem3  26767  logcnlem4  26768  advlog  26777  efopn  26781  logtayl  26783  pythag  26940  chordthmlem5  26959  atanlogsublem  27038  rlimcnp  27088  efrlim  27092  rlimcxp  27096  cxploglim2  27101  emcllem5  27122  zetacvg  27137  lgamgulmlem2  27152  lgamcvg2  27177  0sgmppw  27320  ppiub  27326  chtublem  27333  logfacrlim  27346  logexprlim  27347  chtppilimlem2  27596  rplogsumlem2  27607  dchrisumlem3  27613  dchrvmasumiflem1  27623  dchrisum0lem2  27640  selberg2lem  27672  logdivbnd  27678  pntrsumo1  27687  pntrlog2bndlem4  27702  pntpbnd1  27708  axlowdimlem17  29217  crctcshlem4  30078  clwlkclwwlklem2a1  30252  clwlkclwwlklem2a  30258  clwlkclwwlklem3  30261  clwlkclwwlk  30262  ipidsq  30971  nmcfnexi  32312  esplyind  33882  vietalem  33886  constrrtcc  34042  nn0constr  34068  constraddcl  34069  constrnegcl  34070  constrdircl  34072  constrremulcl  34074  constrrecl  34076  constrimcl  34077  constrmulcl  34078  constrreinvcl  34079  constrinvcl  34080  constrresqrtcl  34084  constrabscl  34085  cos9thpiminplylem1  34089  cos9thpinconstrlem1  34096  knoppndvlem10  36972  poimirlem19  38150  poimirlem20  38151  ftc1anc  38212  cntotbnd  38307  aks4d1p1p2  42699  aks4d1p1p7  42703  posbezout  42729  bcled  42807  irrapxlem3  43413  irrapxlem4  43414  pell14qrgt0  43448  pell1qrgaplem  43462  acongeq  43572  jm2.18  43577  hashnzfz  44894  hashnzfz2  44895  hashnzfzclim  44896  bccn1  44918  binomcxplemnotnn0  44930  dstregt0  45859  absimlere  46051  ellimcabssub0  46191  0ellimcdiv  46221  clim0cf  46226  fprodsubrecnncnvlem  46479  ioodvbdlimc2lem  46506  dvnxpaek  46514  dvnmul  46515  itgsbtaddcnst  46554  stoweidlem7  46579  stoweidlem11  46583  stoweidlem26  46598  dirkertrigeqlem2  46671  fourierdlem57  46735  fourierdlem60  46738  fourierdlem61  46739  fourierdlem68  46746  fourierdlem104  46782  fourierdlem107  46785  fourierdlem109  46787  etransclem4  46810  etransclem23  46829  etransclem27  46833  etransclem31  46837  etransclem35  46841  sigarexp  47431  sigaradd  47438  m1modmmod  47956  dignn0flhalflem1  49246  ehl2eudisval0  49356  2sphere0  49381  line2  49383  line2x  49385  itschlc0yqe  49391  itschlc0xyqsol1  49397  itschlc0xyqsol  49398