Theorem subid1d 11458

Description: Identity law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subid1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Proof of Theorem subid1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		subid1 11378	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  0cc0 11003   − cmin 11341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-ltxr 11148  df-sub 11343

This theorem is referenced by:  suble0  11628  lesub0  11631  ltm1  11960  nn0sub  12428  max0sub  13092  modid  13797  modeqmodmin  13845  muldivbinom2  14167  bcn0  14214  bcnn  14216  hashfzo0  14334  hashfz0  14336  ccatlid  14491  pfxmpt  14583  pfxfv  14587  swrdpfx  14611  pfxpfx  14612  cshwsublen  14700  remul2  15034  clim0c  15411  rlimrecl  15484  o1rlimmul  15523  rlimno1  15558  incexclem  15740  supcvg  15760  pwdif  15772  geolim  15774  fallfacval3  15916  binomfallfaclem2  15944  bpolydiflem  15958  bpoly3  15962  addmodlteqALT  16233  dvdsmod  16237  ndvdssub  16317  nn0seqcvgd  16478  phiprmpw  16684  pczpre  16756  pcaddlem  16797  pcmpt2  16802  prmreclem4  16828  4sqlem9  16855  4sqlem11  16864  ramcl  16938  oddvdsnn0  19454  odf1o2  19483  srgbinomlem4  20145  zndvds0  21485  freshmansdream  21509  psrlidm  21897  psdmul  22079  coe1sclmul  22194  coe1sclmul2  22196  cply1mul  22209  recld2  24728  i1fadd  25621  mbfi1fseqlem6  25646  itgposval  25722  dveflem  25908  dv11cn  25931  lhop1lem  25943  coemulc  26185  plydivlem3  26228  plyrem  26238  vieta1lem2  26244  aareccl  26259  aalioulem3  26267  aaliou2b  26274  dvntaylp  26304  taylthlem1  26306  psercn  26361  pserdvlem2  26363  abelthlem2  26367  abelthlem3  26368  abelthlem5  26370  abelthlem7  26373  sinmpi  26421  cosppi  26424  sinhalfpim  26427  sincosq2sgn  26433  logcnlem3  26578  logcnlem4  26579  advlog  26588  efopn  26592  logtayl  26594  pythag  26752  chordthmlem5  26771  atanlogsublem  26850  rlimcnp  26900  efrlim  26904  efrlimOLD  26905  rlimcxp  26909  cxploglim2  26914  emcllem5  26935  zetacvg  26950  lgamgulmlem2  26965  lgamcvg2  26990  0sgmppw  27134  ppiub  27140  chtublem  27147  logfacrlim  27160  logexprlim  27161  chtppilimlem2  27410  rplogsumlem2  27421  dchrisumlem3  27427  dchrvmasumiflem1  27437  dchrisum0lem2  27454  selberg2lem  27486  logdivbnd  27492  pntrsumo1  27501  pntrlog2bndlem4  27516  pntpbnd1  27522  axlowdimlem17  28934  crctcshlem4  29796  clwlkclwwlklem2a1  29967  clwlkclwwlklem2a  29973  clwlkclwwlklem3  29976  clwlkclwwlk  29977  ipidsq  30685  nmcfnexi  32026  sgnsub  32815  constrrtcc  33743  nn0constr  33769  constraddcl  33770  constrnegcl  33771  constrdircl  33773  constrremulcl  33775  constrrecl  33777  constrimcl  33778  constrmulcl  33779  constrreinvcl  33780  constrinvcl  33781  constrresqrtcl  33785  constrabscl  33786  cos9thpiminplylem1  33790  cos9thpinconstrlem1  33797  knoppndvlem10  36554  poimirlem19  37678  poimirlem20  37679  ftc1anc  37740  cntotbnd  37835  aks4d1p1p2  42102  aks4d1p1p7  42106  posbezout  42132  bcled  42210  irrapxlem3  42856  irrapxlem4  42857  pell14qrgt0  42891  pell1qrgaplem  42905  acongeq  43015  jm2.18  43020  hashnzfz  44352  hashnzfz2  44353  hashnzfzclim  44354  bccn1  44376  binomcxplemnotnn0  44388  dstregt0  45322  absimlere  45516  ellimcabssub0  45656  0ellimcdiv  45686  clim0cf  45691  fprodsubrecnncnvlem  45944  ioodvbdlimc2lem  45971  dvnxpaek  45979  dvnmul  45980  itgsbtaddcnst  46019  stoweidlem7  46044  stoweidlem11  46048  stoweidlem26  46063  dirkertrigeqlem2  46136  fourierdlem57  46200  fourierdlem60  46203  fourierdlem61  46204  fourierdlem68  46211  fourierdlem104  46247  fourierdlem107  46250  fourierdlem109  46252  etransclem4  46275  etransclem23  46294  etransclem27  46298  etransclem31  46302  etransclem35  46306  sigarexp  46896  sigaradd  46903  m1modmmod  47388  dignn0flhalflem1  48646  ehl2eudisval0  48756  2sphere0  48781  line2  48783  line2x  48785  itschlc0yqe  48791  itschlc0xyqsol1  48797  itschlc0xyqsol  48798