Theorem subid1d 11522

Description: Identity law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subid1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Proof of Theorem subid1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		subid1 11442	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068   − cmin 11405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407

This theorem is referenced by:  suble0  11692  lesub0  11695  ltm1  12024  nn0sub  12492  max0sub  13156  modid  13858  modeqmodmin  13906  muldivbinom2  14228  bcn0  14275  bcnn  14277  hashfzo0  14395  hashfz0  14397  ccatlid  14551  pfxmpt  14643  pfxfv  14647  swrdpfx  14672  pfxpfx  14673  cshwsublen  14761  remul2  15096  clim0c  15473  rlimrecl  15546  o1rlimmul  15585  rlimno1  15620  incexclem  15802  supcvg  15822  pwdif  15834  geolim  15836  fallfacval3  15978  binomfallfaclem2  16006  bpolydiflem  16020  bpoly3  16024  addmodlteqALT  16295  dvdsmod  16299  ndvdssub  16379  nn0seqcvgd  16540  phiprmpw  16746  pczpre  16818  pcaddlem  16859  pcmpt2  16864  prmreclem4  16890  4sqlem9  16917  4sqlem11  16926  ramcl  17000  oddvdsnn0  19474  odf1o2  19503  srgbinomlem4  20138  zndvds0  21460  freshmansdream  21484  psrlidm  21871  psdmul  22053  coe1sclmul  22168  coe1sclmul2  22170  cply1mul  22183  recld2  24703  i1fadd  25596  mbfi1fseqlem6  25621  itgposval  25697  dveflem  25883  dv11cn  25906  lhop1lem  25918  coemulc  26160  plydivlem3  26203  plyrem  26213  vieta1lem2  26219  aareccl  26234  aalioulem3  26242  aaliou2b  26249  dvntaylp  26279  taylthlem1  26281  psercn  26336  pserdvlem2  26338  abelthlem2  26342  abelthlem3  26343  abelthlem5  26345  abelthlem7  26348  sinmpi  26396  cosppi  26399  sinhalfpim  26402  sincosq2sgn  26408  logcnlem3  26553  logcnlem4  26554  advlog  26563  efopn  26567  logtayl  26569  pythag  26727  chordthmlem5  26746  atanlogsublem  26825  rlimcnp  26875  efrlim  26879  efrlimOLD  26880  rlimcxp  26884  cxploglim2  26889  emcllem5  26910  zetacvg  26925  lgamgulmlem2  26940  lgamcvg2  26965  0sgmppw  27109  ppiub  27115  chtublem  27122  logfacrlim  27135  logexprlim  27136  chtppilimlem2  27385  rplogsumlem2  27396  dchrisumlem3  27402  dchrvmasumiflem1  27412  dchrisum0lem2  27429  selberg2lem  27461  logdivbnd  27467  pntrsumo1  27476  pntrlog2bndlem4  27491  pntpbnd1  27497  axlowdimlem17  28885  crctcshlem4  29750  clwlkclwwlklem2a1  29921  clwlkclwwlklem2a  29927  clwlkclwwlklem3  29930  clwlkclwwlk  29931  ipidsq  30639  nmcfnexi  31980  sgnsub  32762  constrrtcc  33725  nn0constr  33751  constraddcl  33752  constrnegcl  33753  constrdircl  33755  constrremulcl  33757  constrrecl  33759  constrimcl  33760  constrmulcl  33761  constrreinvcl  33762  constrinvcl  33763  constrresqrtcl  33767  constrabscl  33768  cos9thpiminplylem1  33772  cos9thpinconstrlem1  33779  knoppndvlem10  36509  poimirlem19  37633  poimirlem20  37634  ftc1anc  37695  cntotbnd  37790  aks4d1p1p2  42058  aks4d1p1p7  42062  posbezout  42088  bcled  42166  irrapxlem3  42812  irrapxlem4  42813  pell14qrgt0  42847  pell1qrgaplem  42861  acongeq  42972  jm2.18  42977  hashnzfz  44309  hashnzfz2  44310  hashnzfzclim  44311  bccn1  44333  binomcxplemnotnn0  44345  dstregt0  45280  absimlere  45475  ellimcabssub0  45615  0ellimcdiv  45647  clim0cf  45652  fprodsubrecnncnvlem  45905  ioodvbdlimc2lem  45932  dvnxpaek  45940  dvnmul  45941  itgsbtaddcnst  45980  stoweidlem7  46005  stoweidlem11  46009  stoweidlem26  46024  dirkertrigeqlem2  46097  fourierdlem57  46161  fourierdlem60  46164  fourierdlem61  46165  fourierdlem68  46172  fourierdlem104  46208  fourierdlem107  46211  fourierdlem109  46213  etransclem4  46236  etransclem23  46255  etransclem27  46259  etransclem31  46263  etransclem35  46267  sigarexp  46857  sigaradd  46864  m1modmmod  47359  dignn0flhalflem1  48604  ehl2eudisval0  48714  2sphere0  48739  line2  48741  line2x  48743  itschlc0yqe  48749  itschlc0xyqsol1  48755  itschlc0xyqsol  48756