Theorem subid1d 11517

Description: Identity law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subid1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Proof of Theorem subid1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		subid1 11437	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  (class class class)co 7381  ℂcc 11057  0cc0 11059   − cmin 11400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-id 5531  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-ltxr 11207  df-sub 11402

This theorem is referenced by:  suble0  11687  lesub0  11690  ltm1  12019  nn0sub  12517  max0sub  13185  modid  13892  modeqmodmin  13940  muldivbinom2  14262  bcn0  14309  bcnn  14311  hashfzo0  14429  hashfz0  14431  ccatlid  14586  pfxmpt  14678  pfxfv  14682  swrdpfx  14706  pfxpfx  14707  cshwsublen  14795  remul2  15129  clim0c  15506  rlimrecl  15579  o1rlimmul  15618  rlimno1  15653  incexclem  15838  supcvg  15858  pwdif  15870  geolim  15872  fallfacval3  16014  binomfallfaclem2  16042  bpolydiflem  16056  bpoly3  16060  addmodlteqALT  16331  dvdsmod  16335  ndvdssub  16415  nn0seqcvgd  16576  phiprmpw  16783  pczpre  16855  pcaddlem  16896  pcmpt2  16901  prmreclem4  16927  4sqlem9  16954  4sqlem11  16963  ramcl  17037  oddvdsnn0  19556  odf1o2  19585  srgbinomlem4  20247  zndvds0  21571  freshmansdream  21595  psrlidm  21982  psdmul  22200  coe1sclmul  22314  coe1sclmul2  22316  cply1mul  22328  recld2  24844  i1fadd  25726  mbfi1fseqlem6  25751  itgposval  25827  dveflem  26010  dv11cn  26032  lhop1lem  26044  coemulc  26284  plydivlem3  26325  plyrem  26335  vieta1lem2  26341  aareccl  26356  aalioulem3  26364  aaliou2b  26371  dvntaylp  26400  taylthlem1  26402  psercn  26455  pserdvlem2  26457  abelthlem2  26461  abelthlem3  26462  abelthlem5  26464  abelthlem7  26467  sinmpi  26518  cosppi  26521  sinhalfpim  26524  sincosq2sgn  26530  logcnlem3  26675  logcnlem4  26676  advlog  26685  efopn  26689  logtayl  26691  pythag  26848  chordthmlem5  26867  atanlogsublem  26946  rlimcnp  26996  efrlim  27000  rlimcxp  27004  cxploglim2  27009  emcllem5  27030  zetacvg  27045  lgamgulmlem2  27060  lgamcvg2  27085  0sgmppw  27228  ppiub  27234  chtublem  27241  logfacrlim  27254  logexprlim  27255  chtppilimlem2  27504  rplogsumlem2  27515  dchrisumlem3  27521  dchrvmasumiflem1  27531  dchrisum0lem2  27548  selberg2lem  27580  logdivbnd  27586  pntrsumo1  27595  pntrlog2bndlem4  27610  pntpbnd1  27616  axlowdimlem17  29094  crctcshlem4  29955  clwlkclwwlklem2a1  30129  clwlkclwwlklem2a  30135  clwlkclwwlklem3  30138  clwlkclwwlk  30139  ipidsq  30848  nmcfnexi  32189  sgnsub  32978  esplyind  33816  vietalem  33820  constrrtcc  33976  nn0constr  34002  constraddcl  34003  constrnegcl  34004  constrdircl  34006  constrremulcl  34008  constrrecl  34010  constrimcl  34011  constrmulcl  34012  constrreinvcl  34013  constrinvcl  34014  constrresqrtcl  34018  constrabscl  34019  cos9thpiminplylem1  34023  cos9thpinconstrlem1  34030  knoppndvlem10  36897  poimirlem19  38076  poimirlem20  38077  ftc1anc  38138  cntotbnd  38233  aks4d1p1p2  42625  aks4d1p1p7  42629  posbezout  42655  bcled  42733  irrapxlem3  43339  irrapxlem4  43340  pell14qrgt0  43374  pell1qrgaplem  43388  acongeq  43498  jm2.18  43503  hashnzfz  44834  hashnzfz2  44835  hashnzfzclim  44836  bccn1  44858  binomcxplemnotnn0  44870  dstregt0  45799  absimlere  45991  ellimcabssub0  46131  0ellimcdiv  46161  clim0cf  46166  fprodsubrecnncnvlem  46419  ioodvbdlimc2lem  46446  dvnxpaek  46454  dvnmul  46455  itgsbtaddcnst  46494  stoweidlem7  46519  stoweidlem11  46523  stoweidlem26  46538  dirkertrigeqlem2  46611  fourierdlem57  46675  fourierdlem60  46678  fourierdlem61  46679  fourierdlem68  46686  fourierdlem104  46722  fourierdlem107  46725  fourierdlem109  46727  etransclem4  46750  etransclem23  46769  etransclem27  46773  etransclem31  46777  etransclem35  46781  sigarexp  47371  sigaradd  47378  m1modmmod  47896  dignn0flhalflem1  49175  ehl2eudisval0  49285  2sphere0  49310  line2  49312  line2x  49314  itschlc0yqe  49320  itschlc0xyqsol1  49326  itschlc0xyqsol  49327