Theorem subid1d 11606

Description: Identity law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subid1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Proof of Theorem subid1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		subid1 11526	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  0cc0 11152   − cmin 11489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11491

This theorem is referenced by:  suble0  11774  lesub0  11777  ltm1  12106  nn0sub  12573  max0sub  13234  modid  13932  modeqmodmin  13978  muldivbinom2  14298  bcn0  14345  bcnn  14347  hashfzo0  14465  hashfz0  14467  ccatlid  14620  pfxmpt  14712  pfxfv  14716  swrdpfx  14741  pfxpfx  14742  cshwsublen  14830  remul2  15165  clim0c  15539  rlimrecl  15612  o1rlimmul  15651  rlimno1  15686  incexclem  15868  supcvg  15888  pwdif  15900  geolim  15902  fallfacval3  16044  binomfallfaclem2  16072  bpolydiflem  16086  bpoly3  16090  addmodlteqALT  16358  dvdsmod  16362  ndvdssub  16442  nn0seqcvgd  16603  phiprmpw  16809  pczpre  16880  pcaddlem  16921  pcmpt2  16926  prmreclem4  16952  4sqlem9  16979  4sqlem11  16988  ramcl  17062  oddvdsnn0  19576  odf1o2  19605  srgbinomlem4  20246  zndvds0  21586  freshmansdream  21610  psrlidm  21999  psdmul  22187  coe1sclmul  22300  coe1sclmul2  22302  cply1mul  22315  recld2  24849  i1fadd  25743  mbfi1fseqlem6  25769  itgposval  25845  dveflem  26031  dv11cn  26054  lhop1lem  26066  coemulc  26308  plydivlem3  26351  plyrem  26361  vieta1lem2  26367  aareccl  26382  aalioulem3  26390  aaliou2b  26397  dvntaylp  26427  taylthlem1  26429  psercn  26484  pserdvlem2  26486  abelthlem2  26490  abelthlem3  26491  abelthlem5  26493  abelthlem7  26496  sinmpi  26543  cosppi  26546  sinhalfpim  26549  sincosq2sgn  26555  logcnlem3  26700  logcnlem4  26701  advlog  26710  efopn  26714  logtayl  26716  pythag  26874  chordthmlem5  26893  atanlogsublem  26972  rlimcnp  27022  efrlim  27026  efrlimOLD  27027  rlimcxp  27031  cxploglim2  27036  emcllem5  27057  zetacvg  27072  lgamgulmlem2  27087  lgamcvg2  27112  0sgmppw  27256  ppiub  27262  chtublem  27269  logfacrlim  27282  logexprlim  27283  chtppilimlem2  27532  rplogsumlem2  27543  dchrisumlem3  27549  dchrvmasumiflem1  27559  dchrisum0lem2  27576  selberg2lem  27608  logdivbnd  27614  pntrsumo1  27623  pntrlog2bndlem4  27638  pntpbnd1  27644  axlowdimlem17  28987  crctcshlem4  29849  clwlkclwwlklem2a1  30020  clwlkclwwlklem2a  30026  clwlkclwwlklem3  30029  clwlkclwwlk  30030  ipidsq  30738  nmcfnexi  32079  constrrtcc  33740  sgnsub  34525  knoppndvlem10  36503  poimirlem19  37625  poimirlem20  37626  ftc1anc  37687  cntotbnd  37782  aks4d1p1p2  42051  aks4d1p1p7  42055  posbezout  42081  bcled  42159  irrapxlem3  42811  irrapxlem4  42812  pell14qrgt0  42846  pell1qrgaplem  42860  acongeq  42971  jm2.18  42976  hashnzfz  44315  hashnzfz2  44316  hashnzfzclim  44317  bccn1  44339  binomcxplemnotnn0  44351  dstregt0  45231  absimlere  45429  ellimcabssub0  45572  0ellimcdiv  45604  clim0cf  45609  fprodsubrecnncnvlem  45862  ioodvbdlimc2lem  45889  dvnxpaek  45897  dvnmul  45898  itgsbtaddcnst  45937  stoweidlem7  45962  stoweidlem11  45966  stoweidlem26  45981  dirkertrigeqlem2  46054  fourierdlem57  46118  fourierdlem60  46121  fourierdlem61  46122  fourierdlem68  46129  fourierdlem104  46165  fourierdlem107  46168  fourierdlem109  46170  etransclem4  46193  etransclem23  46212  etransclem27  46216  etransclem31  46220  etransclem35  46224  sigarexp  46814  sigaradd  46821  m1modmmod  48370  dignn0flhalflem1  48464  ehl2eudisval0  48574  2sphere0  48599  line2  48601  line2x  48603  itschlc0yqe  48609  itschlc0xyqsol1  48615  itschlc0xyqsol  48616