Theorem subid1d 11485

Description: Identity law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subid1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Proof of Theorem subid1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		subid1 11405	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029   − cmin 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370

This theorem is referenced by:  suble0  11655  lesub0  11658  ltm1  11988  nn0sub  12478  max0sub  13139  modid  13846  modeqmodmin  13894  muldivbinom2  14216  bcn0  14263  bcnn  14265  hashfzo0  14383  hashfz0  14385  ccatlid  14540  pfxmpt  14632  pfxfv  14636  swrdpfx  14660  pfxpfx  14661  cshwsublen  14749  remul2  15083  clim0c  15460  rlimrecl  15533  o1rlimmul  15572  rlimno1  15607  incexclem  15792  supcvg  15812  pwdif  15824  geolim  15826  fallfacval3  15968  binomfallfaclem2  15996  bpolydiflem  16010  bpoly3  16014  addmodlteqALT  16285  dvdsmod  16289  ndvdssub  16369  nn0seqcvgd  16530  phiprmpw  16737  pczpre  16809  pcaddlem  16850  pcmpt2  16855  prmreclem4  16881  4sqlem9  16908  4sqlem11  16917  ramcl  16991  oddvdsnn0  19510  odf1o2  19539  srgbinomlem4  20201  zndvds0  21540  freshmansdream  21564  psrlidm  21950  psdmul  22142  coe1sclmul  22257  coe1sclmul2  22259  cply1mul  22271  recld2  24790  i1fadd  25672  mbfi1fseqlem6  25697  itgposval  25773  dveflem  25956  dv11cn  25978  lhop1lem  25990  coemulc  26230  plydivlem3  26272  plyrem  26282  vieta1lem2  26288  aareccl  26303  aalioulem3  26311  aaliou2b  26318  dvntaylp  26348  taylthlem1  26350  psercn  26404  pserdvlem2  26406  abelthlem2  26410  abelthlem3  26411  abelthlem5  26413  abelthlem7  26416  sinmpi  26464  cosppi  26467  sinhalfpim  26470  sincosq2sgn  26476  logcnlem3  26621  logcnlem4  26622  advlog  26631  efopn  26635  logtayl  26637  pythag  26794  chordthmlem5  26813  atanlogsublem  26892  rlimcnp  26942  efrlim  26946  efrlimOLD  26947  rlimcxp  26951  cxploglim2  26956  emcllem5  26977  zetacvg  26992  lgamgulmlem2  27007  lgamcvg2  27032  0sgmppw  27175  ppiub  27181  chtublem  27188  logfacrlim  27201  logexprlim  27202  chtppilimlem2  27451  rplogsumlem2  27462  dchrisumlem3  27468  dchrvmasumiflem1  27478  dchrisum0lem2  27495  selberg2lem  27527  logdivbnd  27533  pntrsumo1  27542  pntrlog2bndlem4  27557  pntpbnd1  27563  axlowdimlem17  29041  crctcshlem4  29903  clwlkclwwlklem2a1  30077  clwlkclwwlklem2a  30083  clwlkclwwlklem3  30086  clwlkclwwlk  30087  ipidsq  30796  nmcfnexi  32137  sgnsub  32925  esplyind  33734  vietalem  33738  constrrtcc  33895  nn0constr  33921  constraddcl  33922  constrnegcl  33923  constrdircl  33925  constrremulcl  33927  constrrecl  33929  constrimcl  33930  constrmulcl  33931  constrreinvcl  33932  constrinvcl  33933  constrresqrtcl  33937  constrabscl  33938  cos9thpiminplylem1  33942  cos9thpinconstrlem1  33949  knoppndvlem10  36797  poimirlem19  37974  poimirlem20  37975  ftc1anc  38036  cntotbnd  38131  aks4d1p1p2  42523  aks4d1p1p7  42527  posbezout  42553  bcled  42631  irrapxlem3  43270  irrapxlem4  43271  pell14qrgt0  43305  pell1qrgaplem  43319  acongeq  43429  jm2.18  43434  hashnzfz  44765  hashnzfz2  44766  hashnzfzclim  44767  bccn1  44789  binomcxplemnotnn0  44801  dstregt0  45733  absimlere  45925  ellimcabssub0  46065  0ellimcdiv  46095  clim0cf  46100  fprodsubrecnncnvlem  46353  ioodvbdlimc2lem  46380  dvnxpaek  46388  dvnmul  46389  itgsbtaddcnst  46428  stoweidlem7  46453  stoweidlem11  46457  stoweidlem26  46472  dirkertrigeqlem2  46545  fourierdlem57  46609  fourierdlem60  46612  fourierdlem61  46613  fourierdlem68  46620  fourierdlem104  46656  fourierdlem107  46659  fourierdlem109  46661  etransclem4  46684  etransclem23  46703  etransclem27  46707  etransclem31  46711  etransclem35  46715  sigarexp  47305  sigaradd  47312  m1modmmod  47824  dignn0flhalflem1  49103  ehl2eudisval0  49213  2sphere0  49238  line2  49240  line2x  49242  itschlc0yqe  49248  itschlc0xyqsol1  49254  itschlc0xyqsol  49255