Theorem subid1d 11494

Description: Identity law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subid1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Proof of Theorem subid1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		subid1 11414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038   − cmin 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379

This theorem is referenced by:  suble0  11664  lesub0  11667  ltm1  11997  nn0sub  12487  max0sub  13148  modid  13855  modeqmodmin  13903  muldivbinom2  14225  bcn0  14272  bcnn  14274  hashfzo0  14392  hashfz0  14394  ccatlid  14549  pfxmpt  14641  pfxfv  14645  swrdpfx  14669  pfxpfx  14670  cshwsublen  14758  remul2  15092  clim0c  15469  rlimrecl  15542  o1rlimmul  15581  rlimno1  15616  incexclem  15801  supcvg  15821  pwdif  15833  geolim  15835  fallfacval3  15977  binomfallfaclem2  16005  bpolydiflem  16019  bpoly3  16023  addmodlteqALT  16294  dvdsmod  16298  ndvdssub  16378  nn0seqcvgd  16539  phiprmpw  16746  pczpre  16818  pcaddlem  16859  pcmpt2  16864  prmreclem4  16890  4sqlem9  16917  4sqlem11  16926  ramcl  17000  oddvdsnn0  19519  odf1o2  19548  srgbinomlem4  20210  zndvds0  21530  freshmansdream  21554  psrlidm  21940  psdmul  22132  coe1sclmul  22247  coe1sclmul2  22249  cply1mul  22261  recld2  24780  i1fadd  25662  mbfi1fseqlem6  25687  itgposval  25763  dveflem  25946  dv11cn  25968  lhop1lem  25980  coemulc  26220  plydivlem3  26261  plyrem  26271  vieta1lem2  26277  aareccl  26292  aalioulem3  26300  aaliou2b  26307  dvntaylp  26336  taylthlem1  26338  psercn  26391  pserdvlem2  26393  abelthlem2  26397  abelthlem3  26398  abelthlem5  26400  abelthlem7  26403  sinmpi  26451  cosppi  26454  sinhalfpim  26457  sincosq2sgn  26463  logcnlem3  26608  logcnlem4  26609  advlog  26618  efopn  26622  logtayl  26624  pythag  26781  chordthmlem5  26800  atanlogsublem  26879  rlimcnp  26929  efrlim  26933  rlimcxp  26937  cxploglim2  26942  emcllem5  26963  zetacvg  26978  lgamgulmlem2  26993  lgamcvg2  27018  0sgmppw  27161  ppiub  27167  chtublem  27174  logfacrlim  27187  logexprlim  27188  chtppilimlem2  27437  rplogsumlem2  27448  dchrisumlem3  27454  dchrvmasumiflem1  27464  dchrisum0lem2  27481  selberg2lem  27513  logdivbnd  27519  pntrsumo1  27528  pntrlog2bndlem4  27543  pntpbnd1  27549  axlowdimlem17  29027  crctcshlem4  29888  clwlkclwwlklem2a1  30062  clwlkclwwlklem2a  30068  clwlkclwwlklem3  30071  clwlkclwwlk  30072  ipidsq  30781  nmcfnexi  32122  sgnsub  32910  esplyind  33719  vietalem  33723  constrrtcc  33879  nn0constr  33905  constraddcl  33906  constrnegcl  33907  constrdircl  33909  constrremulcl  33911  constrrecl  33913  constrimcl  33914  constrmulcl  33915  constrreinvcl  33916  constrinvcl  33917  constrresqrtcl  33921  constrabscl  33922  cos9thpiminplylem1  33926  cos9thpinconstrlem1  33933  knoppndvlem10  36781  poimirlem19  37960  poimirlem20  37961  ftc1anc  38022  cntotbnd  38117  aks4d1p1p2  42509  aks4d1p1p7  42513  posbezout  42539  bcled  42617  irrapxlem3  43252  irrapxlem4  43253  pell14qrgt0  43287  pell1qrgaplem  43301  acongeq  43411  jm2.18  43416  hashnzfz  44747  hashnzfz2  44748  hashnzfzclim  44749  bccn1  44771  binomcxplemnotnn0  44783  dstregt0  45715  absimlere  45907  ellimcabssub0  46047  0ellimcdiv  46077  clim0cf  46082  fprodsubrecnncnvlem  46335  ioodvbdlimc2lem  46362  dvnxpaek  46370  dvnmul  46371  itgsbtaddcnst  46410  stoweidlem7  46435  stoweidlem11  46439  stoweidlem26  46454  dirkertrigeqlem2  46527  fourierdlem57  46591  fourierdlem60  46594  fourierdlem61  46595  fourierdlem68  46602  fourierdlem104  46638  fourierdlem107  46641  fourierdlem109  46643  etransclem4  46666  etransclem23  46685  etransclem27  46689  etransclem31  46693  etransclem35  46697  sigarexp  47287  sigaradd  47294  m1modmmod  47812  dignn0flhalflem1  49091  ehl2eudisval0  49201  2sphere0  49226  line2  49228  line2x  49230  itschlc0yqe  49236  itschlc0xyqsol1  49242  itschlc0xyqsol  49243