Theorem subid1d 11528

Description: Identity law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subid1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Proof of Theorem subid1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		subid1 11448	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070   − cmin 11411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-ltxr 11218  df-sub 11413

This theorem is referenced by:  suble0  11698  lesub0  11701  ltm1  12030  nn0sub  12528  max0sub  13196  modid  13903  modeqmodmin  13951  muldivbinom2  14273  bcn0  14320  bcnn  14322  hashfzo0  14440  hashfz0  14442  ccatlid  14597  pfxmpt  14689  pfxfv  14693  swrdpfx  14717  pfxpfx  14718  cshwsublen  14806  remul2  15140  clim0c  15517  rlimrecl  15590  o1rlimmul  15629  rlimno1  15664  incexclem  15849  supcvg  15869  pwdif  15881  geolim  15883  fallfacval3  16025  binomfallfaclem2  16053  bpolydiflem  16067  bpoly3  16071  addmodlteqALT  16342  dvdsmod  16346  ndvdssub  16426  nn0seqcvgd  16587  phiprmpw  16794  pczpre  16866  pcaddlem  16907  pcmpt2  16912  prmreclem4  16938  4sqlem9  16965  4sqlem11  16974  ramcl  17048  oddvdsnn0  19567  odf1o2  19596  srgbinomlem4  20258  zndvds0  21582  freshmansdream  21606  psrlidm  21993  psdmul  22211  coe1sclmul  22325  coe1sclmul2  22327  cply1mul  22339  recld2  24855  i1fadd  25737  mbfi1fseqlem6  25762  itgposval  25838  dveflem  26021  dv11cn  26043  lhop1lem  26055  coemulc  26295  plydivlem3  26336  plyrem  26346  vieta1lem2  26352  aareccl  26367  aalioulem3  26375  aaliou2b  26382  dvntaylp  26411  taylthlem1  26413  psercn  26466  pserdvlem2  26468  abelthlem2  26472  abelthlem3  26473  abelthlem5  26475  abelthlem7  26478  sinmpi  26529  cosppi  26532  sinhalfpim  26535  sincosq2sgn  26541  logcnlem3  26686  logcnlem4  26687  advlog  26696  efopn  26700  logtayl  26702  pythag  26859  chordthmlem5  26878  atanlogsublem  26957  rlimcnp  27007  efrlim  27011  rlimcxp  27015  cxploglim2  27020  emcllem5  27041  zetacvg  27056  lgamgulmlem2  27071  lgamcvg2  27096  0sgmppw  27239  ppiub  27245  chtublem  27252  logfacrlim  27265  logexprlim  27266  chtppilimlem2  27515  rplogsumlem2  27526  dchrisumlem3  27532  dchrvmasumiflem1  27542  dchrisum0lem2  27559  selberg2lem  27591  logdivbnd  27597  pntrsumo1  27606  pntrlog2bndlem4  27621  pntpbnd1  27627  axlowdimlem17  29105  crctcshlem4  29966  clwlkclwwlklem2a1  30140  clwlkclwwlklem2a  30146  clwlkclwwlklem3  30149  clwlkclwwlk  30150  ipidsq  30859  nmcfnexi  32200  sgnsub  32989  esplyind  33833  vietalem  33837  constrrtcc  33993  nn0constr  34019  constraddcl  34020  constrnegcl  34021  constrdircl  34023  constrremulcl  34025  constrrecl  34027  constrimcl  34028  constrmulcl  34029  constrreinvcl  34030  constrinvcl  34031  constrresqrtcl  34035  constrabscl  34036  cos9thpiminplylem1  34040  cos9thpinconstrlem1  34047  knoppndvlem10  36923  poimirlem19  38102  poimirlem20  38103  ftc1anc  38164  cntotbnd  38259  aks4d1p1p2  42651  aks4d1p1p7  42655  posbezout  42681  bcled  42759  irrapxlem3  43365  irrapxlem4  43366  pell14qrgt0  43400  pell1qrgaplem  43414  acongeq  43524  jm2.18  43529  hashnzfz  44860  hashnzfz2  44861  hashnzfzclim  44862  bccn1  44884  binomcxplemnotnn0  44896  dstregt0  45825  absimlere  46017  ellimcabssub0  46157  0ellimcdiv  46187  clim0cf  46192  fprodsubrecnncnvlem  46445  ioodvbdlimc2lem  46472  dvnxpaek  46480  dvnmul  46481  itgsbtaddcnst  46520  stoweidlem7  46545  stoweidlem11  46549  stoweidlem26  46564  dirkertrigeqlem2  46637  fourierdlem57  46701  fourierdlem60  46704  fourierdlem61  46705  fourierdlem68  46712  fourierdlem104  46748  fourierdlem107  46751  fourierdlem109  46753  etransclem4  46776  etransclem23  46795  etransclem27  46799  etransclem31  46803  etransclem35  46807  sigarexp  47397  sigaradd  47404  m1modmmod  47922  dignn0flhalflem1  49201  ehl2eudisval0  49311  2sphere0  49336  line2  49338  line2x  49340  itschlc0yqe  49346  itschlc0xyqsol1  49352  itschlc0xyqsol  49353