Theorem subid1d 10975

Description: Identity law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subid1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Proof of Theorem subid1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		subid1 10895	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526   − cmin 10859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861

This theorem is referenced by:  suble0  11143  lesub0  11146  ltm1  11471  nn0sub  11935  max0sub  12577  modid  13259  modeqmodmin  13304  muldivbinom2  13619  bcn0  13666  bcnn  13668  hashfzo0  13787  hashfz0  13789  ccatlid  13931  pfxmpt  14031  pfxfv  14035  swrdpfx  14060  pfxpfx  14061  cshwsublen  14149  remul2  14481  clim0c  14856  rlimrecl  14929  o1rlimmul  14967  rlimno1  15002  incexclem  15183  supcvg  15203  pwdif  15215  geolim  15218  fallfacval3  15358  binomfallfaclem2  15386  bpolydiflem  15400  bpoly3  15404  addmodlteqALT  15667  dvdsmod  15670  ndvdssub  15750  nn0seqcvgd  15904  phiprmpw  16103  pczpre  16174  pcaddlem  16214  pcmpt2  16219  prmreclem4  16245  4sqlem9  16272  4sqlem11  16281  ramcl  16355  oddvdsnn0  18664  odf1o2  18690  srgbinomlem4  19286  zndvds0  20242  psrlidm  20641  coe1sclmul  20911  coe1sclmul2  20913  cply1mul  20923  recld2  23419  i1fadd  24299  mbfi1fseqlem6  24324  itgposval  24399  dveflem  24582  dv11cn  24604  lhop1lem  24616  coemulc  24852  plydivlem3  24891  plyrem  24901  vieta1lem2  24907  aareccl  24922  aalioulem3  24930  aaliou2b  24937  dvntaylp  24966  taylthlem1  24968  psercn  25021  pserdvlem2  25023  abelthlem2  25027  abelthlem3  25028  abelthlem5  25030  abelthlem7  25033  sinmpi  25080  cosppi  25083  sinhalfpim  25086  sincosq2sgn  25092  logcnlem3  25235  logcnlem4  25236  advlog  25245  efopn  25249  logtayl  25251  pythag  25403  chordthmlem5  25422  atanlogsublem  25501  rlimcnp  25551  efrlim  25555  rlimcxp  25559  cxploglim2  25564  emcllem5  25585  zetacvg  25600  lgamgulmlem2  25615  lgamcvg2  25640  0sgmppw  25782  ppiub  25788  chtublem  25795  logfacrlim  25808  logexprlim  25809  chtppilimlem2  26058  rplogsumlem2  26069  dchrisumlem3  26075  dchrvmasumiflem1  26085  dchrisum0lem2  26102  selberg2lem  26134  logdivbnd  26140  pntrsumo1  26149  pntrlog2bndlem4  26164  pntpbnd1  26170  axlowdimlem17  26752  crctcshlem4  27606  clwlkclwwlklem2a1  27777  clwlkclwwlklem2a  27783  clwlkclwwlklem3  27786  clwlkclwwlk  27787  ipidsq  28493  nmcfnexi  29834  freshmansdream  30909  sgnsub  31912  knoppndvlem10  33973  poimirlem19  35076  poimirlem20  35077  ftc1anc  35138  cntotbnd  35234  irrapxlem3  39765  irrapxlem4  39766  pell14qrgt0  39800  pell1qrgaplem  39814  acongeq  39924  jm2.18  39929  hashnzfz  41024  hashnzfz2  41025  hashnzfzclim  41026  bccn1  41048  binomcxplemnotnn0  41060  dstregt0  41912  absimlere  42119  ellimcabssub0  42259  0ellimcdiv  42291  clim0cf  42296  fprodsubrecnncnvlem  42549  ioodvbdlimc2lem  42576  dvnxpaek  42584  dvnmul  42585  itgsbtaddcnst  42624  stoweidlem7  42649  stoweidlem11  42653  stoweidlem26  42668  dirkertrigeqlem2  42741  fourierdlem57  42805  fourierdlem60  42808  fourierdlem61  42809  fourierdlem68  42816  fourierdlem104  42852  fourierdlem107  42855  fourierdlem109  42857  etransclem4  42880  etransclem23  42899  etransclem27  42903  etransclem31  42907  etransclem35  42911  sigarexp  43473  sigaradd  43480  m1modmmod  44935  dignn0flhalflem1  45029  ehl2eudisval0  45139  2sphere0  45164  line2  45166  line2x  45168  itschlc0yqe  45174  itschlc0xyqsol1  45180  itschlc0xyqsol  45181