Theorem subid1d 11481

Description: Identity law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subid1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Proof of Theorem subid1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		subid1 11401	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026   − cmin 11364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366

This theorem is referenced by:  suble0  11651  lesub0  11654  ltm1  11983  nn0sub  12451  max0sub  13111  modid  13816  modeqmodmin  13864  muldivbinom2  14186  bcn0  14233  bcnn  14235  hashfzo0  14353  hashfz0  14355  ccatlid  14510  pfxmpt  14602  pfxfv  14606  swrdpfx  14630  pfxpfx  14631  cshwsublen  14719  remul2  15053  clim0c  15430  rlimrecl  15503  o1rlimmul  15542  rlimno1  15577  incexclem  15759  supcvg  15779  pwdif  15791  geolim  15793  fallfacval3  15935  binomfallfaclem2  15963  bpolydiflem  15977  bpoly3  15981  addmodlteqALT  16252  dvdsmod  16256  ndvdssub  16336  nn0seqcvgd  16497  phiprmpw  16703  pczpre  16775  pcaddlem  16816  pcmpt2  16821  prmreclem4  16847  4sqlem9  16874  4sqlem11  16883  ramcl  16957  oddvdsnn0  19473  odf1o2  19502  srgbinomlem4  20164  zndvds0  21505  freshmansdream  21529  psrlidm  21917  psdmul  22109  coe1sclmul  22224  coe1sclmul2  22226  cply1mul  22240  recld2  24759  i1fadd  25652  mbfi1fseqlem6  25677  itgposval  25753  dveflem  25939  dv11cn  25962  lhop1lem  25974  coemulc  26216  plydivlem3  26259  plyrem  26269  vieta1lem2  26275  aareccl  26290  aalioulem3  26298  aaliou2b  26305  dvntaylp  26335  taylthlem1  26337  psercn  26392  pserdvlem2  26394  abelthlem2  26398  abelthlem3  26399  abelthlem5  26401  abelthlem7  26404  sinmpi  26452  cosppi  26455  sinhalfpim  26458  sincosq2sgn  26464  logcnlem3  26609  logcnlem4  26610  advlog  26619  efopn  26623  logtayl  26625  pythag  26783  chordthmlem5  26802  atanlogsublem  26881  rlimcnp  26931  efrlim  26935  efrlimOLD  26936  rlimcxp  26940  cxploglim2  26945  emcllem5  26966  zetacvg  26981  lgamgulmlem2  26996  lgamcvg2  27021  0sgmppw  27165  ppiub  27171  chtublem  27178  logfacrlim  27191  logexprlim  27192  chtppilimlem2  27441  rplogsumlem2  27452  dchrisumlem3  27458  dchrvmasumiflem1  27468  dchrisum0lem2  27485  selberg2lem  27517  logdivbnd  27523  pntrsumo1  27532  pntrlog2bndlem4  27547  pntpbnd1  27553  axlowdimlem17  29031  crctcshlem4  29893  clwlkclwwlklem2a1  30067  clwlkclwwlklem2a  30073  clwlkclwwlklem3  30076  clwlkclwwlk  30077  ipidsq  30785  nmcfnexi  32126  sgnsub  32918  esplyind  33731  vietalem  33735  constrrtcc  33892  nn0constr  33918  constraddcl  33919  constrnegcl  33920  constrdircl  33922  constrremulcl  33924  constrrecl  33926  constrimcl  33927  constrmulcl  33928  constrreinvcl  33929  constrinvcl  33930  constrresqrtcl  33934  constrabscl  33935  cos9thpiminplylem1  33939  cos9thpinconstrlem1  33946  knoppndvlem10  36721  poimirlem19  37836  poimirlem20  37837  ftc1anc  37898  cntotbnd  37993  aks4d1p1p2  42320  aks4d1p1p7  42324  posbezout  42350  bcled  42428  irrapxlem3  43062  irrapxlem4  43063  pell14qrgt0  43097  pell1qrgaplem  43111  acongeq  43221  jm2.18  43226  hashnzfz  44557  hashnzfz2  44558  hashnzfzclim  44559  bccn1  44581  binomcxplemnotnn0  44593  dstregt0  45526  absimlere  45719  ellimcabssub0  45859  0ellimcdiv  45889  clim0cf  45894  fprodsubrecnncnvlem  46147  ioodvbdlimc2lem  46174  dvnxpaek  46182  dvnmul  46183  itgsbtaddcnst  46222  stoweidlem7  46247  stoweidlem11  46251  stoweidlem26  46266  dirkertrigeqlem2  46339  fourierdlem57  46403  fourierdlem60  46406  fourierdlem61  46407  fourierdlem68  46414  fourierdlem104  46450  fourierdlem107  46453  fourierdlem109  46455  etransclem4  46478  etransclem23  46497  etransclem27  46501  etransclem31  46505  etransclem35  46509  sigarexp  47099  sigaradd  47106  m1modmmod  47600  dignn0flhalflem1  48857  ehl2eudisval0  48967  2sphere0  48992  line2  48994  line2x  48996  itschlc0yqe  49002  itschlc0xyqsol1  49008  itschlc0xyqsol  49009