Theorem subid1d 10673

Description: Identity law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subid1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Proof of Theorem subid1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		subid1 10593	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  (class class class)co 6878  ℂcc 10222  0cc0 10224   − cmin 10556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-ltxr 10368  df-sub 10558

This theorem is referenced by:  suble0  10834  lesub0  10837  ltm1  11155  nn0sub  11632  max0sub  12276  modid  12950  modeqmodmin  12995  muldivbinom2  13303  bcn0  13350  bcnn  13352  hashfzo0  13466  hashfz0  13468  ccatlid  13606  swrd0valOLD  13671  swrd0fOLD  13678  swrdidOLD  13679  pfxmpt  13721  pfxfv  13725  swrdswrd0OLD  13751  swrdpfx  13752  pfxpfx  13754  spllenOLD  13831  splfv1OLD  13833  splfv2aOLD  13835  cshwsublen  13881  remul2  14211  clim0c  14579  rlimrecl  14652  o1rlimmul  14690  rlimno1  14725  incexclem  14906  supcvg  14926  geolim  14939  fallfacval3  15079  binomfallfaclem2  15107  bpolydiflem  15121  bpoly3  15125  addmodlteqALT  15386  dvdsmod  15389  ndvdssub  15468  nn0seqcvgd  15618  phiprmpw  15814  pczpre  15885  pcaddlem  15925  pcmpt2  15930  prmreclem4  15956  4sqlem9  15983  4sqlem11  15992  ramcl  16066  oddvdsnn0  18276  odf1o2  18301  srgbinomlem4  18859  psrlidm  19726  coe1sclmul  19974  coe1sclmul2  19976  cply1mul  19986  zndvds0  20220  recld2  22945  i1fadd  23803  mbfi1fseqlem6  23828  itgposval  23903  dveflem  24083  dv11cn  24105  lhop1lem  24117  coemulc  24352  plydivlem3  24391  plyrem  24401  vieta1lem2  24407  aareccl  24422  aalioulem3  24430  aaliou2b  24437  dvntaylp  24466  taylthlem1  24468  psercn  24521  pserdvlem2  24523  abelthlem2  24527  abelthlem3  24528  abelthlem5  24530  abelthlem7  24533  sinmpi  24581  cosppi  24584  sinhalfpim  24587  sincosq2sgn  24593  logcnlem3  24731  logcnlem4  24732  advlog  24741  efopn  24745  logtayl  24747  pythag  24899  chordthmlem5  24915  atanlogsublem  24994  rlimcnp  25044  efrlim  25048  rlimcxp  25052  cxploglim2  25057  emcllem5  25078  zetacvg  25093  lgamgulmlem2  25108  lgamcvg2  25133  0sgmppw  25275  ppiub  25281  chtublem  25288  logfacrlim  25301  logexprlim  25302  chtppilimlem2  25515  rplogsumlem2  25526  dchrisumlem3  25532  dchrvmasumiflem1  25542  dchrisum0lem2  25559  selberg2lem  25591  logdivbnd  25597  pntrsumo1  25606  pntrlog2bndlem4  25621  pntpbnd1  25627  axlowdimlem17  26195  crctcshlem4  27071  clwlkclwwlklem2a1  27285  clwlkclwwlklem2a  27291  clwlkclwwlklem3  27294  clwlkclwwlk  27295  clwlkclwwlkOLD  27296  ipidsq  28090  nmcfnexi  29435  sgnsub  31123  knoppndvlem10  33020  poimirlem19  33917  poimirlem20  33918  ftc1anc  33981  cntotbnd  34082  irrapxlem3  38174  irrapxlem4  38175  pell14qrgt0  38209  pell1qrgaplem  38223  acongeq  38335  jm2.18  38340  hashnzfz  39301  hashnzfz2  39302  hashnzfzclim  39303  bccn1  39325  binomcxplemnotnn0  39337  dstregt0  40239  absimlere  40453  ellimcabssub0  40593  0ellimcdiv  40625  clim0cf  40630  fprodsubrecnncnvlem  40865  ioodvbdlimc2lem  40893  dvnxpaek  40901  dvnmul  40902  itgsbtaddcnst  40941  stoweidlem7  40967  stoweidlem11  40971  stoweidlem26  40986  dirkertrigeqlem2  41059  fourierdlem57  41123  fourierdlem60  41126  fourierdlem61  41127  fourierdlem68  41134  fourierdlem104  41170  fourierdlem107  41173  fourierdlem109  41175  etransclem4  41198  etransclem23  41217  etransclem27  41221  etransclem31  41225  etransclem35  41229  sigarexp  41794  sigaradd  41801  pwdif  42283  m1modmmod  43115  dignn0flhalflem1  43208