Theorem subid1d 11609

Description: Identity law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subid1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Proof of Theorem subid1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		subid1 11529	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155   − cmin 11492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494

This theorem is referenced by:  suble0  11777  lesub0  11780  ltm1  12109  nn0sub  12576  max0sub  13238  modid  13936  modeqmodmin  13982  muldivbinom2  14302  bcn0  14349  bcnn  14351  hashfzo0  14469  hashfz0  14471  ccatlid  14624  pfxmpt  14716  pfxfv  14720  swrdpfx  14745  pfxpfx  14746  cshwsublen  14834  remul2  15169  clim0c  15543  rlimrecl  15616  o1rlimmul  15655  rlimno1  15690  incexclem  15872  supcvg  15892  pwdif  15904  geolim  15906  fallfacval3  16048  binomfallfaclem2  16076  bpolydiflem  16090  bpoly3  16094  addmodlteqALT  16362  dvdsmod  16366  ndvdssub  16446  nn0seqcvgd  16607  phiprmpw  16813  pczpre  16885  pcaddlem  16926  pcmpt2  16931  prmreclem4  16957  4sqlem9  16984  4sqlem11  16993  ramcl  17067  oddvdsnn0  19562  odf1o2  19591  srgbinomlem4  20226  zndvds0  21569  freshmansdream  21593  psrlidm  21982  psdmul  22170  coe1sclmul  22285  coe1sclmul2  22287  cply1mul  22300  recld2  24836  i1fadd  25730  mbfi1fseqlem6  25755  itgposval  25831  dveflem  26017  dv11cn  26040  lhop1lem  26052  coemulc  26294  plydivlem3  26337  plyrem  26347  vieta1lem2  26353  aareccl  26368  aalioulem3  26376  aaliou2b  26383  dvntaylp  26413  taylthlem1  26415  psercn  26470  pserdvlem2  26472  abelthlem2  26476  abelthlem3  26477  abelthlem5  26479  abelthlem7  26482  sinmpi  26529  cosppi  26532  sinhalfpim  26535  sincosq2sgn  26541  logcnlem3  26686  logcnlem4  26687  advlog  26696  efopn  26700  logtayl  26702  pythag  26860  chordthmlem5  26879  atanlogsublem  26958  rlimcnp  27008  efrlim  27012  efrlimOLD  27013  rlimcxp  27017  cxploglim2  27022  emcllem5  27043  zetacvg  27058  lgamgulmlem2  27073  lgamcvg2  27098  0sgmppw  27242  ppiub  27248  chtublem  27255  logfacrlim  27268  logexprlim  27269  chtppilimlem2  27518  rplogsumlem2  27529  dchrisumlem3  27535  dchrvmasumiflem1  27545  dchrisum0lem2  27562  selberg2lem  27594  logdivbnd  27600  pntrsumo1  27609  pntrlog2bndlem4  27624  pntpbnd1  27630  axlowdimlem17  28973  crctcshlem4  29840  clwlkclwwlklem2a1  30011  clwlkclwwlklem2a  30017  clwlkclwwlklem3  30020  clwlkclwwlk  30021  ipidsq  30729  nmcfnexi  32070  constrrtcc  33776  sgnsub  34547  knoppndvlem10  36522  poimirlem19  37646  poimirlem20  37647  ftc1anc  37708  cntotbnd  37803  aks4d1p1p2  42071  aks4d1p1p7  42075  posbezout  42101  bcled  42179  irrapxlem3  42835  irrapxlem4  42836  pell14qrgt0  42870  pell1qrgaplem  42884  acongeq  42995  jm2.18  43000  hashnzfz  44339  hashnzfz2  44340  hashnzfzclim  44341  bccn1  44363  binomcxplemnotnn0  44375  dstregt0  45293  absimlere  45490  ellimcabssub0  45632  0ellimcdiv  45664  clim0cf  45669  fprodsubrecnncnvlem  45922  ioodvbdlimc2lem  45949  dvnxpaek  45957  dvnmul  45958  itgsbtaddcnst  45997  stoweidlem7  46022  stoweidlem11  46026  stoweidlem26  46041  dirkertrigeqlem2  46114  fourierdlem57  46178  fourierdlem60  46181  fourierdlem61  46182  fourierdlem68  46189  fourierdlem104  46225  fourierdlem107  46228  fourierdlem109  46230  etransclem4  46253  etransclem23  46272  etransclem27  46276  etransclem31  46280  etransclem35  46284  sigarexp  46874  sigaradd  46881  m1modmmod  48442  dignn0flhalflem1  48536  ehl2eudisval0  48646  2sphere0  48671  line2  48673  line2x  48675  itschlc0yqe  48681  itschlc0xyqsol1  48687  itschlc0xyqsol  48688