Theorem subid1d 11639

Description: Identity law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subid1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Proof of Theorem subid1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		subid1 11559	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181   − cmin 11522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11524

This theorem is used by:  suble0  11811  lesub0  11814  ltm1  12140  nn0sub  12637  max0sub  13307  modid  14016  modeqmodmin  14064  muldivbinom2  14387  bcn0  14434  bcnn  14436  hashfzo0  14555  hashfz0  14557  ccatlid  14712  pfxmpt  14808  pfxfv  14812  swrdpfx  14836  pfxpfx  14837  cshwsublen  14927  sgnsub  15239  remul2  15277  clim0c  15654  rlimrecl  15727  o1rlimmul  15766  rlimno1  15801  incexclem  15985  supcvg  16005  pwdif  16017  geolim  16019  fallfacval3  16159  binomfallfaclem2  16186  bpolydiflem  16200  bpoly3  16204  addmodlteqALT  16475  dvdsmod  16479  ndvdssub  16559  nn0seqcvgd  16725  phiprmpw  16933  pczpre  17005  pcaddlem  17046  pcmpt2  17051  prmreclem4  17077  4sqlem9  17104  4sqlem11  17113  ramcl  17187  oddvdsnn0  19738  odf1o2  19767  srgbinomlem4  20435  zndvds0  21836  freshmansdream  21860  psrlidm  22249  psdmul  22467  coe1sclmul  22581  coe1sclmul2  22583  cply1mul  22594  recld2  25114  i1fadd  25996  mbfi1fseqlem6  26021  itgposval  26096  dveflem  26279  dv11cn  26301  lhop1lem  26313  coemulc  26554  plydivlem3  26598  plyrem  26608  vieta1lem2  26616  aareccl  26635  aalioulem3  26643  aaliou2b  26650  dvntaylp  26680  taylthlem1  26682  psercn  26735  pserdvlem2  26737  abelthlem2  26741  abelthlem3  26742  abelthlem5  26744  abelthlem7  26747  sinmpi  26798  cosppi  26801  sinhalfpim  26804  sincosq2sgn  26810  logcnlem3  26954  logcnlem4  26955  advlog  26964  efopn  26968  logtayl  26970  pythag  27127  chordthmlem5  27146  atanlogsublem  27225  rlimcnp  27275  efrlim  27279  rlimcxp  27283  cxploglim2  27288  emcllem5  27309  zetacvg  27324  lgamgulmlem2  27339  lgamcvg2  27364  0sgmppw  27507  ppiub  27513  chtublem  27520  logfacrlim  27533  logexprlim  27534  chtppilimlem2  27783  rplogsumlem2  27794  dchrisumlem3  27800  dchrvmasumiflem1  27810  dchrisum0lem2  27827  selberg2lem  27859  logdivbnd  27865  pntrsumo1  27874  pntrlog2bndlem4  27889  pntpbnd1  27895  axlowdimlem17  29518  crctcshlem4  30391  clwlkclwwlklem2a1  30565  clwlkclwwlklem2a  30571  clwlkclwwlklem3  30574  clwlkclwwlk  30575  ipidsq  31294  nmcfnexi  32635  esplyind  34189  vietalem  34193  constrrtcc  34349  nn0constr  34375  constraddcl  34376  constrnegcl  34377  constrdircl  34379  constrremulcl  34381  constrrecl  34383  constrimcl  34384  constrmulcl  34385  constrreinvcl  34386  constrinvcl  34387  constrresqrtcl  34391  constrabscl  34392  cos9thpiminplylem1  34396  cos9thpinconstrlem1  34403  knoppndvlem10  37357  poimirlem19  38525  poimirlem20  38526  ftc1anc  38587  cntotbnd  38698  aks4d1p1p2  43088  aks4d1p1p7  43092  posbezout  43118  bcled  43196  irrapxlem3  43784  irrapxlem4  43785  pell14qrgt0  43819  pell1qrgaplem  43833  acongeq  43943  jm2.18  43948  hashnzfz  45263  hashnzfz2  45264  hashnzfzclim  45265  bccn1  45287  binomcxplemnotnn0  45299  dstregt0  46241  absimlere  46433  ellimcabssub0  46573  0ellimcdiv  46603  clim0cf  46608  fprodsubrecnncnvlem  46861  ioodvbdlimc2lem  46888  dvnxpaek  46896  dvnmul  46897  itgsbtaddcnst  46936  stoweidlem7  46961  stoweidlem11  46965  stoweidlem26  46980  dirkertrigeqlem2  47053  fourierdlem57  47117  fourierdlem60  47120  fourierdlem61  47121  fourierdlem68  47128  fourierdlem104  47164  fourierdlem107  47167  fourierdlem109  47169  etransclem4  47192  etransclem23  47211  etransclem27  47215  etransclem31  47219  etransclem35  47223  sigarexp  47813  sigaradd  47820  m1modmmod  48378  dignn0flhalflem1  49671  ehl2eudisval0  49781  2sphere0  49806  line2  49808  line2x  49810  itschlc0yqe  49816  itschlc0xyqsol1  49822  itschlc0xyqsol  49823