Theorem subid1d 11557

Description: Identity law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subid1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Proof of Theorem subid1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		subid1 11477	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7406  ℂcc 11105  0cc0 11107   − cmin 11441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-ltxr 11250  df-sub 11443

This theorem is referenced by:  suble0  11725  lesub0  11728  ltm1  12053  nn0sub  12519  max0sub  13172  modid  13858  modeqmodmin  13903  muldivbinom2  14220  bcn0  14267  bcnn  14269  hashfzo0  14387  hashfz0  14389  ccatlid  14533  pfxmpt  14625  pfxfv  14629  swrdpfx  14654  pfxpfx  14655  cshwsublen  14743  remul2  15074  clim0c  15448  rlimrecl  15521  o1rlimmul  15560  rlimno1  15597  incexclem  15779  supcvg  15799  pwdif  15811  geolim  15813  fallfacval3  15953  binomfallfaclem2  15981  bpolydiflem  15995  bpoly3  15999  addmodlteqALT  16265  dvdsmod  16269  ndvdssub  16349  nn0seqcvgd  16504  phiprmpw  16706  pczpre  16777  pcaddlem  16818  pcmpt2  16823  prmreclem4  16849  4sqlem9  16876  4sqlem11  16885  ramcl  16959  oddvdsnn0  19407  odf1o2  19436  srgbinomlem4  20046  zndvds0  21098  psrlidm  21515  coe1sclmul  21796  coe1sclmul2  21798  cply1mul  21810  recld2  24322  i1fadd  25204  mbfi1fseqlem6  25230  itgposval  25305  dveflem  25488  dv11cn  25510  lhop1lem  25522  coemulc  25761  plydivlem3  25800  plyrem  25810  vieta1lem2  25816  aareccl  25831  aalioulem3  25839  aaliou2b  25846  dvntaylp  25875  taylthlem1  25877  psercn  25930  pserdvlem2  25932  abelthlem2  25936  abelthlem3  25937  abelthlem5  25939  abelthlem7  25942  sinmpi  25989  cosppi  25992  sinhalfpim  25995  sincosq2sgn  26001  logcnlem3  26144  logcnlem4  26145  advlog  26154  efopn  26158  logtayl  26160  pythag  26312  chordthmlem5  26331  atanlogsublem  26410  rlimcnp  26460  efrlim  26464  rlimcxp  26468  cxploglim2  26473  emcllem5  26494  zetacvg  26509  lgamgulmlem2  26524  lgamcvg2  26549  0sgmppw  26691  ppiub  26697  chtublem  26704  logfacrlim  26717  logexprlim  26718  chtppilimlem2  26967  rplogsumlem2  26978  dchrisumlem3  26984  dchrvmasumiflem1  26994  dchrisum0lem2  27011  selberg2lem  27043  logdivbnd  27049  pntrsumo1  27058  pntrlog2bndlem4  27073  pntpbnd1  27079  axlowdimlem17  28206  crctcshlem4  29064  clwlkclwwlklem2a1  29235  clwlkclwwlklem2a  29241  clwlkclwwlklem3  29244  clwlkclwwlk  29245  ipidsq  29951  nmcfnexi  31292  freshmansdream  32370  sgnsub  33532  knoppndvlem10  35386  poimirlem19  36496  poimirlem20  36497  ftc1anc  36558  cntotbnd  36653  aks4d1p1p2  40924  aks4d1p1p7  40928  irrapxlem3  41548  irrapxlem4  41549  pell14qrgt0  41583  pell1qrgaplem  41597  acongeq  41708  jm2.18  41713  hashnzfz  43065  hashnzfz2  43066  hashnzfzclim  43067  bccn1  43089  binomcxplemnotnn0  43101  dstregt0  43978  absimlere  44177  ellimcabssub0  44320  0ellimcdiv  44352  clim0cf  44357  fprodsubrecnncnvlem  44610  ioodvbdlimc2lem  44637  dvnxpaek  44645  dvnmul  44646  itgsbtaddcnst  44685  stoweidlem7  44710  stoweidlem11  44714  stoweidlem26  44729  dirkertrigeqlem2  44802  fourierdlem57  44866  fourierdlem60  44869  fourierdlem61  44870  fourierdlem68  44877  fourierdlem104  44913  fourierdlem107  44916  fourierdlem109  44918  etransclem4  44941  etransclem23  44960  etransclem27  44964  etransclem31  44968  etransclem35  44972  sigarexp  45562  sigaradd  45569  m1modmmod  47161  dignn0flhalflem1  47255  ehl2eudisval0  47365  2sphere0  47390  line2  47392  line2x  47394  itschlc0yqe  47400  itschlc0xyqsol1  47406  itschlc0xyqsol  47407