Theorem subid1d 11576

Description: Identity law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subid1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Proof of Theorem subid1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		subid1 11496	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118   − cmin 11459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-sub 11461

This theorem is used by:  suble0  11746  lesub0  11749  ltm1  12075  nn0sub  12572  max0sub  13240  modid  13949  modeqmodmin  13997  muldivbinom2  14319  bcn0  14366  bcnn  14368  hashfzo0  14487  hashfz0  14489  ccatlid  14644  pfxmpt  14740  pfxfv  14744  swrdpfx  14768  pfxpfx  14769  cshwsublen  14859  sgnsub  15169  remul2  15207  clim0c  15584  rlimrecl  15657  o1rlimmul  15696  rlimno1  15731  incexclem  15916  supcvg  15936  pwdif  15948  geolim  15950  fallfacval3  16092  binomfallfaclem2  16119  bpolydiflem  16133  bpoly3  16137  addmodlteqALT  16408  dvdsmod  16412  ndvdssub  16492  nn0seqcvgd  16653  phiprmpw  16860  pczpre  16932  pcaddlem  16973  pcmpt2  16978  prmreclem4  17004  4sqlem9  17031  4sqlem11  17040  ramcl  17114  oddvdsnn0  19645  odf1o2  19674  srgbinomlem4  20342  zndvds0  21737  freshmansdream  21761  psrlidm  22148  psdmul  22366  coe1sclmul  22480  coe1sclmul2  22482  cply1mul  22493  recld2  25009  i1fadd  25891  mbfi1fseqlem6  25916  itgposval  25992  dveflem  26175  dv11cn  26197  lhop1lem  26209  coemulc  26449  plydivlem3  26493  plyrem  26503  vieta1lem2  26509  aareccl  26526  aalioulem3  26534  aaliou2b  26541  dvntaylp  26571  taylthlem1  26573  psercn  26626  pserdvlem2  26628  abelthlem2  26632  abelthlem3  26633  abelthlem5  26635  abelthlem7  26638  sinmpi  26689  cosppi  26692  sinhalfpim  26695  sincosq2sgn  26701  logcnlem3  26846  logcnlem4  26847  advlog  26856  efopn  26860  logtayl  26862  pythag  27019  chordthmlem5  27038  atanlogsublem  27117  rlimcnp  27167  efrlim  27171  rlimcxp  27175  cxploglim2  27180  emcllem5  27201  zetacvg  27216  lgamgulmlem2  27231  lgamcvg2  27256  0sgmppw  27399  ppiub  27405  chtublem  27412  logfacrlim  27425  logexprlim  27426  chtppilimlem2  27675  rplogsumlem2  27686  dchrisumlem3  27692  dchrvmasumiflem1  27702  dchrisum0lem2  27719  selberg2lem  27751  logdivbnd  27757  pntrsumo1  27766  pntrlog2bndlem4  27781  pntpbnd1  27787  axlowdimlem17  29345  crctcshlem4  30206  clwlkclwwlklem2a1  30380  clwlkclwwlklem2a  30386  clwlkclwwlklem3  30389  clwlkclwwlk  30390  ipidsq  31099  nmcfnexi  32440  esplyind  33996  vietalem  34000  constrrtcc  34156  nn0constr  34182  constraddcl  34183  constrnegcl  34184  constrdircl  34186  constrremulcl  34188  constrrecl  34190  constrimcl  34191  constrmulcl  34192  constrreinvcl  34193  constrinvcl  34194  constrresqrtcl  34198  constrabscl  34199  cos9thpiminplylem1  34203  cos9thpinconstrlem1  34210  knoppndvlem10  37151  poimirlem19  38331  poimirlem20  38332  ftc1anc  38393  cntotbnd  38488  aks4d1p1p2  42878  aks4d1p1p7  42882  posbezout  42908  bcled  42986  irrapxlem3  43592  irrapxlem4  43593  pell14qrgt0  43627  pell1qrgaplem  43641  acongeq  43751  jm2.18  43756  hashnzfz  45071  hashnzfz2  45072  hashnzfzclim  45073  bccn1  45095  binomcxplemnotnn0  45107  dstregt0  46042  absimlere  46234  ellimcabssub0  46374  0ellimcdiv  46404  clim0cf  46409  fprodsubrecnncnvlem  46662  ioodvbdlimc2lem  46689  dvnxpaek  46697  dvnmul  46698  itgsbtaddcnst  46737  stoweidlem7  46762  stoweidlem11  46766  stoweidlem26  46781  dirkertrigeqlem2  46854  fourierdlem57  46918  fourierdlem60  46921  fourierdlem61  46922  fourierdlem68  46929  fourierdlem104  46965  fourierdlem107  46968  fourierdlem109  46970  etransclem4  46993  etransclem23  47012  etransclem27  47016  etransclem31  47020  etransclem35  47024  sigarexp  47614  sigaradd  47621  m1modmmod  48142  dignn0flhalflem1  49436  ehl2eudisval0  49546  2sphere0  49571  line2  49573  line2x  49575  itschlc0yqe  49581  itschlc0xyqsol1  49587  itschlc0xyqsol  49588