Theorem subid1d 11560

Description: Identity law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subid1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Proof of Theorem subid1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		subid1 11480	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110   − cmin 11444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446

This theorem is referenced by:  suble0  11728  lesub0  11731  ltm1  12056  nn0sub  12522  max0sub  13175  modid  13861  modeqmodmin  13906  muldivbinom2  14223  bcn0  14270  bcnn  14272  hashfzo0  14390  hashfz0  14392  ccatlid  14536  pfxmpt  14628  pfxfv  14632  swrdpfx  14657  pfxpfx  14658  cshwsublen  14746  remul2  15077  clim0c  15451  rlimrecl  15524  o1rlimmul  15563  rlimno1  15600  incexclem  15782  supcvg  15802  pwdif  15814  geolim  15816  fallfacval3  15956  binomfallfaclem2  15984  bpolydiflem  15998  bpoly3  16002  addmodlteqALT  16268  dvdsmod  16272  ndvdssub  16352  nn0seqcvgd  16507  phiprmpw  16709  pczpre  16780  pcaddlem  16821  pcmpt2  16826  prmreclem4  16852  4sqlem9  16879  4sqlem11  16888  ramcl  16962  oddvdsnn0  19412  odf1o2  19441  srgbinomlem4  20052  zndvds0  21106  psrlidm  21523  coe1sclmul  21804  coe1sclmul2  21806  cply1mul  21818  recld2  24330  i1fadd  25212  mbfi1fseqlem6  25238  itgposval  25313  dveflem  25496  dv11cn  25518  lhop1lem  25530  coemulc  25769  plydivlem3  25808  plyrem  25818  vieta1lem2  25824  aareccl  25839  aalioulem3  25847  aaliou2b  25854  dvntaylp  25883  taylthlem1  25885  psercn  25938  pserdvlem2  25940  abelthlem2  25944  abelthlem3  25945  abelthlem5  25947  abelthlem7  25950  sinmpi  25997  cosppi  26000  sinhalfpim  26003  sincosq2sgn  26009  logcnlem3  26152  logcnlem4  26153  advlog  26162  efopn  26166  logtayl  26168  pythag  26322  chordthmlem5  26341  atanlogsublem  26420  rlimcnp  26470  efrlim  26474  rlimcxp  26478  cxploglim2  26483  emcllem5  26504  zetacvg  26519  lgamgulmlem2  26534  lgamcvg2  26559  0sgmppw  26701  ppiub  26707  chtublem  26714  logfacrlim  26727  logexprlim  26728  chtppilimlem2  26977  rplogsumlem2  26988  dchrisumlem3  26994  dchrvmasumiflem1  27004  dchrisum0lem2  27021  selberg2lem  27053  logdivbnd  27059  pntrsumo1  27068  pntrlog2bndlem4  27083  pntpbnd1  27089  axlowdimlem17  28247  crctcshlem4  29105  clwlkclwwlklem2a1  29276  clwlkclwwlklem2a  29282  clwlkclwwlklem3  29285  clwlkclwwlk  29286  ipidsq  29994  nmcfnexi  31335  freshmansdream  32412  sgnsub  33574  knoppndvlem10  35445  poimirlem19  36555  poimirlem20  36556  ftc1anc  36617  cntotbnd  36712  aks4d1p1p2  40983  aks4d1p1p7  40987  irrapxlem3  41610  irrapxlem4  41611  pell14qrgt0  41645  pell1qrgaplem  41659  acongeq  41770  jm2.18  41775  hashnzfz  43127  hashnzfz2  43128  hashnzfzclim  43129  bccn1  43151  binomcxplemnotnn0  43163  dstregt0  44039  absimlere  44238  ellimcabssub0  44381  0ellimcdiv  44413  clim0cf  44418  fprodsubrecnncnvlem  44671  ioodvbdlimc2lem  44698  dvnxpaek  44706  dvnmul  44707  itgsbtaddcnst  44746  stoweidlem7  44771  stoweidlem11  44775  stoweidlem26  44790  dirkertrigeqlem2  44863  fourierdlem57  44927  fourierdlem60  44930  fourierdlem61  44931  fourierdlem68  44938  fourierdlem104  44974  fourierdlem107  44977  fourierdlem109  44979  etransclem4  45002  etransclem23  45021  etransclem27  45025  etransclem31  45029  etransclem35  45033  sigarexp  45623  sigaradd  45630  m1modmmod  47255  dignn0flhalflem1  47349  ehl2eudisval0  47459  2sphere0  47484  line2  47486  line2x  47488  itschlc0yqe  47494  itschlc0xyqsol1  47500  itschlc0xyqsol  47501