Theorem subid1d 11493

Description: Identity law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subid1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Proof of Theorem subid1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		subid1 11413	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038   − cmin 11376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378

This theorem is referenced by:  suble0  11663  lesub0  11666  ltm1  11995  nn0sub  12463  max0sub  13123  modid  13828  modeqmodmin  13876  muldivbinom2  14198  bcn0  14245  bcnn  14247  hashfzo0  14365  hashfz0  14367  ccatlid  14522  pfxmpt  14614  pfxfv  14618  swrdpfx  14642  pfxpfx  14643  cshwsublen  14731  remul2  15065  clim0c  15442  rlimrecl  15515  o1rlimmul  15554  rlimno1  15589  incexclem  15771  supcvg  15791  pwdif  15803  geolim  15805  fallfacval3  15947  binomfallfaclem2  15975  bpolydiflem  15989  bpoly3  15993  addmodlteqALT  16264  dvdsmod  16268  ndvdssub  16348  nn0seqcvgd  16509  phiprmpw  16715  pczpre  16787  pcaddlem  16828  pcmpt2  16833  prmreclem4  16859  4sqlem9  16886  4sqlem11  16895  ramcl  16969  oddvdsnn0  19485  odf1o2  19514  srgbinomlem4  20176  zndvds0  21517  freshmansdream  21541  psrlidm  21929  psdmul  22121  coe1sclmul  22236  coe1sclmul2  22238  cply1mul  22252  recld2  24771  i1fadd  25664  mbfi1fseqlem6  25689  itgposval  25765  dveflem  25951  dv11cn  25974  lhop1lem  25986  coemulc  26228  plydivlem3  26271  plyrem  26281  vieta1lem2  26287  aareccl  26302  aalioulem3  26310  aaliou2b  26317  dvntaylp  26347  taylthlem1  26349  psercn  26404  pserdvlem2  26406  abelthlem2  26410  abelthlem3  26411  abelthlem5  26413  abelthlem7  26416  sinmpi  26464  cosppi  26467  sinhalfpim  26470  sincosq2sgn  26476  logcnlem3  26621  logcnlem4  26622  advlog  26631  efopn  26635  logtayl  26637  pythag  26795  chordthmlem5  26814  atanlogsublem  26893  rlimcnp  26943  efrlim  26947  efrlimOLD  26948  rlimcxp  26952  cxploglim2  26957  emcllem5  26978  zetacvg  26993  lgamgulmlem2  27008  lgamcvg2  27033  0sgmppw  27177  ppiub  27183  chtublem  27190  logfacrlim  27203  logexprlim  27204  chtppilimlem2  27453  rplogsumlem2  27464  dchrisumlem3  27470  dchrvmasumiflem1  27480  dchrisum0lem2  27497  selberg2lem  27529  logdivbnd  27535  pntrsumo1  27544  pntrlog2bndlem4  27559  pntpbnd1  27565  axlowdimlem17  29043  crctcshlem4  29905  clwlkclwwlklem2a1  30079  clwlkclwwlklem2a  30085  clwlkclwwlklem3  30088  clwlkclwwlk  30089  ipidsq  30797  nmcfnexi  32138  sgnsub  32928  esplyind  33751  vietalem  33755  constrrtcc  33912  nn0constr  33938  constraddcl  33939  constrnegcl  33940  constrdircl  33942  constrremulcl  33944  constrrecl  33946  constrimcl  33947  constrmulcl  33948  constrreinvcl  33949  constrinvcl  33950  constrresqrtcl  33954  constrabscl  33955  cos9thpiminplylem1  33959  cos9thpinconstrlem1  33966  knoppndvlem10  36740  poimirlem19  37884  poimirlem20  37885  ftc1anc  37946  cntotbnd  38041  aks4d1p1p2  42434  aks4d1p1p7  42438  posbezout  42464  bcled  42542  irrapxlem3  43175  irrapxlem4  43176  pell14qrgt0  43210  pell1qrgaplem  43224  acongeq  43334  jm2.18  43339  hashnzfz  44670  hashnzfz2  44671  hashnzfzclim  44672  bccn1  44694  binomcxplemnotnn0  44706  dstregt0  45638  absimlere  45831  ellimcabssub0  45971  0ellimcdiv  46001  clim0cf  46006  fprodsubrecnncnvlem  46259  ioodvbdlimc2lem  46286  dvnxpaek  46294  dvnmul  46295  itgsbtaddcnst  46334  stoweidlem7  46359  stoweidlem11  46363  stoweidlem26  46378  dirkertrigeqlem2  46451  fourierdlem57  46515  fourierdlem60  46518  fourierdlem61  46519  fourierdlem68  46526  fourierdlem104  46562  fourierdlem107  46565  fourierdlem109  46567  etransclem4  46590  etransclem23  46609  etransclem27  46613  etransclem31  46617  etransclem35  46621  sigarexp  47211  sigaradd  47218  m1modmmod  47712  dignn0flhalflem1  48969  ehl2eudisval0  49079  2sphere0  49104  line2  49106  line2x  49108  itschlc0yqe  49114  itschlc0xyqsol1  49120  itschlc0xyqsol  49121