Theorem subid1d 11321

Description: Identity law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subid1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Proof of Theorem subid1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		subid1 11241	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871   − cmin 11205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207

This theorem is referenced by:  suble0  11489  lesub0  11492  ltm1  11817  nn0sub  12283  max0sub  12930  modid  13616  modeqmodmin  13661  muldivbinom2  13977  bcn0  14024  bcnn  14026  hashfzo0  14145  hashfz0  14147  ccatlid  14291  pfxmpt  14391  pfxfv  14395  swrdpfx  14420  pfxpfx  14421  cshwsublen  14509  remul2  14841  clim0c  15216  rlimrecl  15289  o1rlimmul  15328  rlimno1  15365  incexclem  15548  supcvg  15568  pwdif  15580  geolim  15582  fallfacval3  15722  binomfallfaclem2  15750  bpolydiflem  15764  bpoly3  15768  addmodlteqALT  16034  dvdsmod  16038  ndvdssub  16118  nn0seqcvgd  16275  phiprmpw  16477  pczpre  16548  pcaddlem  16589  pcmpt2  16594  prmreclem4  16620  4sqlem9  16647  4sqlem11  16656  ramcl  16730  oddvdsnn0  19152  odf1o2  19178  srgbinomlem4  19779  zndvds0  20758  psrlidm  21172  coe1sclmul  21453  coe1sclmul2  21455  cply1mul  21465  recld2  23977  i1fadd  24859  mbfi1fseqlem6  24885  itgposval  24960  dveflem  25143  dv11cn  25165  lhop1lem  25177  coemulc  25416  plydivlem3  25455  plyrem  25465  vieta1lem2  25471  aareccl  25486  aalioulem3  25494  aaliou2b  25501  dvntaylp  25530  taylthlem1  25532  psercn  25585  pserdvlem2  25587  abelthlem2  25591  abelthlem3  25592  abelthlem5  25594  abelthlem7  25597  sinmpi  25644  cosppi  25647  sinhalfpim  25650  sincosq2sgn  25656  logcnlem3  25799  logcnlem4  25800  advlog  25809  efopn  25813  logtayl  25815  pythag  25967  chordthmlem5  25986  atanlogsublem  26065  rlimcnp  26115  efrlim  26119  rlimcxp  26123  cxploglim2  26128  emcllem5  26149  zetacvg  26164  lgamgulmlem2  26179  lgamcvg2  26204  0sgmppw  26346  ppiub  26352  chtublem  26359  logfacrlim  26372  logexprlim  26373  chtppilimlem2  26622  rplogsumlem2  26633  dchrisumlem3  26639  dchrvmasumiflem1  26649  dchrisum0lem2  26666  selberg2lem  26698  logdivbnd  26704  pntrsumo1  26713  pntrlog2bndlem4  26728  pntpbnd1  26734  axlowdimlem17  27326  crctcshlem4  28185  clwlkclwwlklem2a1  28356  clwlkclwwlklem2a  28362  clwlkclwwlklem3  28365  clwlkclwwlk  28366  ipidsq  29072  nmcfnexi  30413  freshmansdream  31484  sgnsub  32511  knoppndvlem10  34701  poimirlem19  35796  poimirlem20  35797  ftc1anc  35858  cntotbnd  35954  aks4d1p1p2  40078  aks4d1p1p7  40082  irrapxlem3  40646  irrapxlem4  40647  pell14qrgt0  40681  pell1qrgaplem  40695  acongeq  40805  jm2.18  40810  hashnzfz  41938  hashnzfz2  41939  hashnzfzclim  41940  bccn1  41962  binomcxplemnotnn0  41974  dstregt0  42820  absimlere  43020  ellimcabssub0  43158  0ellimcdiv  43190  clim0cf  43195  fprodsubrecnncnvlem  43448  ioodvbdlimc2lem  43475  dvnxpaek  43483  dvnmul  43484  itgsbtaddcnst  43523  stoweidlem7  43548  stoweidlem11  43552  stoweidlem26  43567  dirkertrigeqlem2  43640  fourierdlem57  43704  fourierdlem60  43707  fourierdlem61  43708  fourierdlem68  43715  fourierdlem104  43751  fourierdlem107  43754  fourierdlem109  43756  etransclem4  43779  etransclem23  43798  etransclem27  43802  etransclem31  43806  etransclem35  43810  sigarexp  44375  sigaradd  44382  m1modmmod  45867  dignn0flhalflem1  45961  ehl2eudisval0  46071  2sphere0  46096  line2  46098  line2x  46100  itschlc0yqe  46106  itschlc0xyqsol1  46112  itschlc0xyqsol  46113