Theorem lesub2 11727

Description: Subtraction of both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 29-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lesub2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐴)))

Proof of Theorem lesub2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd2 11701	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
2		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
3		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	readdcld 11256	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐴) ∈ ℝ)
5		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		lesubadd 11704	. . . 4 ⊢ (((𝐶 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐶 + 𝐴) − 𝐵) ≤ 𝐶 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
7	4, 5, 2, 6	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐶 + 𝐴) − 𝐵) ≤ 𝐶 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
8	2	recnd 11255	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
9	3	recnd 11255	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	5	recnd 11255	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	addsubd 11608	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐴) − 𝐵) = ((𝐶 − 𝐵) + 𝐴))
12	11	breq1d 5124	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐶 + 𝐴) − 𝐵) ≤ 𝐶 ↔ ((𝐶 − 𝐵) + 𝐴) ≤ 𝐶))
13	1, 7, 12	3bitr2d 310	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ((𝐶 − 𝐵) + 𝐴) ≤ 𝐶))
14	2, 5	resubcld 11660	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
15		leaddsub 11708	. . 3 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐶 − 𝐵) + 𝐴) ≤ 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐴)))
16	14, 3, 2, 15	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐶 − 𝐵) + 𝐴) ≤ 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐴)))
17	13, 16	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423  ℝcr 11117   + caddc 11121   ≤ cle 11262   − cmin 11459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462

This theorem is used by:  ltsub2  11729  le2sub  11731  leneg  11735  lesub0  11749  lesub2d  11840  sinord  26736  gausslemma2dlem1a  27566