Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhp2at0ne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhp2at0ne 39639
Description: Inequality for joins with 2 different atoms (or an atom and zero) under co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 28-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2at0nle.l = (le‘𝐾)
lhp2at0nle.j = (join‘𝐾)
lhp2at0nle.z 0 = (0.‘𝐾)
lhp2at0nle.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhp2at0nle.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhp2at0ne ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ (((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → (𝑃 𝑈) ≠ (𝑄 𝑉))

Proof of Theorem lhp2at0ne
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ (((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp12 1201 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ (((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
3 simp3 1135 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ (((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈𝑉)
4 simp2l 1196 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ (((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → ((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊))
5 simp2r 1197 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ (((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
6 lhp2at0nle.l . . . 4 = (le‘𝐾)
7 lhp2at0nle.j . . . 4 = (join‘𝐾)
8 lhp2at0nle.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
9 lhp2at0nle.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 lhp2at0nle.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
116, 7, 8, 9, 10lhp2at0nle 39638 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑈))
121, 2, 3, 4, 5, 11syl311anc 1381 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ (((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑈))
13 simp11l 1281 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ (((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → 𝐾 ∈ HL)
14 simp13 1202 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ (((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑄𝐴)
15 simp2rl 1239 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ (((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑉𝐴)
166, 7, 9hlatlej2 38978 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑉𝐴) → 𝑉 (𝑄 𝑉))
1713, 14, 15, 16syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ (((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑉 (𝑄 𝑉))
1817adantr 479 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ (((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑃 𝑈) = (𝑄 𝑉)) → 𝑉 (𝑄 𝑉))
19 simpr 483 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ (((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑃 𝑈) = (𝑄 𝑉)) → (𝑃 𝑈) = (𝑄 𝑉))
2018, 19breqtrrd 5177 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ (((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑃 𝑈) = (𝑄 𝑉)) → 𝑉 (𝑃 𝑈))
2120ex 411 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ (((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → ((𝑃 𝑈) = (𝑄 𝑉) → 𝑉 (𝑃 𝑈)))
2221necon3bd 2943 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ (((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → (¬ 𝑉 (𝑃 𝑈) → (𝑃 𝑈) ≠ (𝑄 𝑉)))
2312, 22mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ (((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → (𝑃 𝑈) ≠ (𝑄 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  lecple 17243  joincjn 18306  0.cp0 18418  Atomscatm 38865  HLchlt 38952  LHypclh 39587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-lat 18427  df-clat 18494  df-oposet 38778  df-ol 38780  df-oml 38781  df-covers 38868  df-ats 38869  df-atl 38900  df-cvlat 38924  df-hlat 38953  df-psubsp 39106  df-pmap 39107  df-padd 39399  df-lhyp 39591
This theorem is referenced by:  cdlemg31b0a  40298
  Copyright terms: Public domain W3C validator