Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1l 1198 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ))) β πΎ β HL) |
2 | | simp21l 1291 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ))) β π β π΄) |
3 | | simp23l 1295 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ))) β π£ β π΄) |
4 | | simp22l 1293 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ))) β π β π΄) |
5 | | simp1 1137 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
6 | | simp3l 1202 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ))) β πΉ β π) |
7 | | eqid 2737 |
. . . . 5
β’
(0.βπΎ) =
(0.βπΎ) |
8 | | cdlemg12.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | | cdlemg12.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
10 | | cdlemg12.t |
. . . . 5
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
11 | | cdlemg12b.r |
. . . . 5
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
12 | 7, 8, 9, 10, 11 | trlator0 38663 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β ((π
βπΉ) β π΄ β¨ (π
βπΉ) = (0.βπΎ))) |
13 | 5, 6, 12 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ))) β ((π
βπΉ) β π΄ β¨ (π
βπΉ) = (0.βπΎ))) |
14 | | simp22 1208 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
15 | | cdlemg12.l |
. . . . . . . 8
β’ β€ =
(leβπΎ) |
16 | 15, 9, 10, 11 | trlle 38676 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β (π
βπΉ) β€ π) |
17 | 5, 6, 16 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ))) β (π
βπΉ) β€ π) |
18 | 13, 17 | jca 513 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ))) β (((π
βπΉ) β π΄ β¨ (π
βπΉ) = (0.βπΎ)) β§ (π
βπΉ) β€ π)) |
19 | | simp23 1209 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ))) β (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) |
20 | | simp3r 1203 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ))) β π£ β (π
βπΉ)) |
21 | 20 | necomd 3000 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ))) β (π
βπΉ) β π£) |
22 | | cdlemg12.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
23 | 15, 22, 7, 8, 9 | lhp2at0ne 38528 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((((π
βπΉ) β π΄ β¨ (π
βπΉ) = (0.βπΎ)) β§ (π
βπΉ) β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (π
βπΉ) β π£) β (π β¨ (π
βπΉ)) β (π β¨ π£)) |
24 | 5, 14, 2, 18, 19, 21, 23 | syl321anc 1393 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ))) β (π β¨ (π
βπΉ)) β (π β¨ π£)) |
25 | 24 | necomd 3000 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ))) β (π β¨ π£) β (π β¨ (π
βπΉ))) |
26 | | cdlemg12.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
27 | 22, 26, 7, 8 | 2at0mat0 38017 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π£ β π΄) β§ (π β π΄ β§ ((π
βπΉ) β π΄ β¨ (π
βπΉ) = (0.βπΎ)) β§ (π β¨ π£) β (π β¨ (π
βπΉ)))) β (((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) β π΄ β¨ ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) = (0.βπΎ))) |
28 | 1, 2, 3, 4, 13, 25, 27 | syl33anc 1386 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ))) β (((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) β π΄ β¨ ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) = (0.βπΎ))) |
29 | | cdlemg31.n |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) |
30 | 29 | eleq1i 2829 |
. . 3
β’ (π β π΄ β ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) β π΄) |
31 | 29 | eqeq1i 2742 |
. . 3
β’ (π = (0.βπΎ) β ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) = (0.βπΎ)) |
32 | 30, 31 | orbi12i 914 |
. 2
β’ ((π β π΄ β¨ π = (0.βπΎ)) β (((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) β π΄ β¨ ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) = (0.βπΎ))) |
33 | 28, 32 | sylibr 233 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ))) β (π β π΄ β¨ π = (0.βπΎ))) |