Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg31b0a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg31b0a 38478
Description: TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 30-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg31.n 𝑁 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)))
Assertion
Ref Expression
cdlemg31b0a (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑁𝐴𝑁 = (0.‘𝐾)))

Proof of Theorem cdlemg31b0a
StepHypRef Expression
1 simp1l 1199 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp21l 1292 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑃𝐴)
3 simp23l 1296 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑣𝐴)
4 simp22l 1294 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑄𝐴)
5 simp1 1138 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 simp3l 1203 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐹𝑇)
7 eqid 2739 . . . . 5 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
8 cdlemg12.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9 cdlemg12.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 cdlemg12.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11 cdlemg12b.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
127, 8, 9, 10, 11trlator0 37954 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
135, 6, 12syl2anc 587 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
14 simp22 1209 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
15 cdlemg12.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
1615, 9, 10, 11trlle 37967 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) 𝑊)
175, 6, 16syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅𝐹) 𝑊)
1813, 17jca 515 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹))) → (((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) 𝑊))
19 simp23 1210 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑣𝐴𝑣 𝑊))
20 simp3r 1204 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑣 ≠ (𝑅𝐹))
2120necomd 2998 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅𝐹) ≠ 𝑣)
22 cdlemg12.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
2315, 22, 7, 8, 9lhp2at0ne 37819 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝐴) ∧ ((((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 𝑣) → (𝑄 (𝑅𝐹)) ≠ (𝑃 𝑣))
245, 14, 2, 18, 19, 21, 23syl321anc 1394 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑄 (𝑅𝐹)) ≠ (𝑃 𝑣))
2524necomd 2998 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑃 𝑣) ≠ (𝑄 (𝑅𝐹)))
26 cdlemg12.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
2722, 26, 7, 82at0mat0 37308 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) ∧ (𝑃 𝑣) ≠ (𝑄 (𝑅𝐹)))) → (((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹))) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹))) = (0.‘𝐾)))
281, 2, 3, 4, 13, 25, 27syl33anc 1387 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹))) → (((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹))) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹))) = (0.‘𝐾)))
29 cdlemg31.n . . . 4 𝑁 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)))
3029eleq1i 2830 . . 3 (𝑁𝐴 ↔ ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹))) ∈ 𝐴)
3129eqeq1i 2744 . . 3 (𝑁 = (0.‘𝐾) ↔ ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹))) = (0.‘𝐾))
3230, 31orbi12i 915 . 2 ((𝑁𝐴𝑁 = (0.‘𝐾)) ↔ (((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹))) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹))) = (0.‘𝐾)))
3328, 32sylibr 237 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝑣 ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑁𝐴𝑁 = (0.‘𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 847  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2112  wne 2942   class class class wbr 5069  cfv 6400  (class class class)co 7234  lecple 16839  joincjn 17848  meetcmee 17849  0.cp0 17959  Atomscatm 37046  HLchlt 37133  LHypclh 37767  LTrncltrn 37884  trLctrl 37941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5195  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pow 5274  ax-pr 5338  ax-un 7544
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3711  df-csb 3828  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-nul 4254  df-if 4456  df-pw 4531  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4836  df-iun 4922  df-iin 4923  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-id 5471  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-rn 5579  df-res 5580  df-ima 5581  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fn 6403  df-f 6404  df-f1 6405  df-fo 6406  df-f1o 6407  df-fv 6408  df-riota 7191  df-ov 7237  df-oprab 7238  df-mpo 7239  df-1st 7782  df-2nd 7783  df-map 8533  df-proset 17832  df-poset 17850  df-plt 17866  df-lub 17882  df-glb 17883  df-join 17884  df-meet 17885  df-p0 17961  df-p1 17962  df-lat 17968  df-clat 18035  df-oposet 36959  df-ol 36961  df-oml 36962  df-covers 37049  df-ats 37050  df-atl 37081  df-cvlat 37105  df-hlat 37134  df-llines 37281  df-psubsp 37286  df-pmap 37287  df-padd 37579  df-lhyp 37771  df-laut 37772  df-ldil 37887  df-ltrn 37888  df-trl 37942
This theorem is referenced by:  cdlemg27b  38479  cdlemg33  38494
  Copyright terms: Public domain W3C validator