Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemf2 39054
Description: Part of Lemma F in [Crawley] p. 116. (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemf1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemf1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemf1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemf1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemf2.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cdlemf2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑝,𝐴   𝐻,𝑝,π‘ž   𝐾,𝑝,π‘ž   ≀ ,𝑝,π‘ž   π‘ˆ,𝑝,π‘ž   π‘Š,𝑝,π‘ž
Allowed substitution hints:   ∨ (π‘ž,𝑝)   ∧ (π‘ž,𝑝)

Proof of Theorem cdlemf2
StepHypRef Expression
1 cdlemf1.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 cdlemf1.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
3 cdlemf1.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
41, 2, 3lhpexnle 38498 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)
54adantr 482 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)
6 cdlemf1.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
71, 6, 2, 3cdlemf1 39053 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))
8 simpr1r 1232 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)
9 simpr32 1265 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)
10 simpr33 1266 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž))
11 simplrr 777 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ π‘ˆ ≀ π‘Š)
12 hllat 37854 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
1312ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
14 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
15 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1615, 2atbase 37780 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ˆ ∈ 𝐴 β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1714, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
18 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
19 simpr1l 1231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
20 simpr2 1196 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
2115, 6, 2hlatjcl 37858 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2218, 19, 20, 21syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2315, 3lhpbase 38490 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2423ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
25 cdlemf2.m . . . . . . . . . . . . . 14 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2615, 1, 25latlem12 18362 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ↔ π‘ˆ ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))
2713, 17, 22, 24, 26syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ ((π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ↔ π‘ˆ ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))
2810, 11, 27mpbi2and 711 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ π‘ˆ ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š))
29 hlatl 37851 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
3029ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
31 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
32 simpr31 1264 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ 𝑝 β‰  π‘ž)
331, 6, 25, 2, 3lhpat 38535 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 β‰  π‘ž)) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š) ∈ 𝐴)
3431, 19, 8, 20, 32, 33syl122anc 1380 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š) ∈ 𝐴)
351, 2atcmp 37802 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š) ∈ 𝐴) β†’ (π‘ˆ ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š) ↔ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))
3630, 14, 34, 35syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ (π‘ˆ ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š) ↔ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))
3728, 36mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š))
388, 9, 37jca31 516 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))
39383exp2 1355 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š))))))
40393impia 1118 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))))
4140reximdvai 3163 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š))))
427, 41mpd 15 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))
43423expia 1122 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š))))
4443expd 417 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))))
4544reximdvai 3163 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š))))
465, 45mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  lecple 17147  joincjn 18207  meetcmee 18208  Latclat 18327  Atomscatm 37754  AtLatcal 37755  HLchlt 37841  LHypclh 38476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-lhyp 38480
This theorem is referenced by:  cdlemf  39055
  Copyright terms: Public domain W3C validator