Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemf2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemf2 39421
Description: Part of Lemma F in [Crawley] p. 116. (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemf1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemf1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemf1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemf1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemf2.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cdlemf2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑝,𝐴   𝐻,𝑝,π‘ž   𝐾,𝑝,π‘ž   ≀ ,𝑝,π‘ž   π‘ˆ,𝑝,π‘ž   π‘Š,𝑝,π‘ž
Allowed substitution hints:   ∨ (π‘ž,𝑝)   ∧ (π‘ž,𝑝)
Proof of Theorem cdlemf2
StepHypRef Expression
1 cdlemf1.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 cdlemf1.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
3 cdlemf1.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
41, 2, 3lhpexnle 38865 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)
54adantr 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)
6 cdlemf1.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
71, 6, 2, 3cdlemf1 39420 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))
8 simpr1r 1231 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)
9 simpr32 1264 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)
10 simpr33 1265 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž))
11 simplrr 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ π‘ˆ ≀ π‘Š)
12 hllat 38221 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
1312ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
14 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
15 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1615, 2atbase 38147 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ˆ ∈ 𝐴 β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1714, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
18 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
19 simpr1l 1230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
20 simpr2 1195 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
2115, 6, 2hlatjcl 38225 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2218, 19, 20, 21syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2315, 3lhpbase 38857 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2423ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
25 cdlemf2.m . . . . . . . . . . . . . 14 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2615, 1, 25latlem12 18415 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ↔ π‘ˆ ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))
2713, 17, 22, 24, 26syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ ((π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ↔ π‘ˆ ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))
2810, 11, 27mpbi2and 710 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ π‘ˆ ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š))
29 hlatl 38218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
3029ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
31 simpll 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
32 simpr31 1263 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ 𝑝 β‰  π‘ž)
331, 6, 25, 2, 3lhpat 38902 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 β‰  π‘ž)) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š) ∈ 𝐴)
3431, 19, 8, 20, 32, 33syl122anc 1379 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š) ∈ 𝐴)
351, 2atcmp 38169 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š) ∈ 𝐴) β†’ (π‘ˆ ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š) ↔ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))
3630, 14, 34, 35syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ (π‘ˆ ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š) ↔ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))
3728, 36mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š))
388, 9, 37jca31 515 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))
39383exp2 1354 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š))))))
40393impia 1117 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))))
4140reximdvai 3165 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š))))
427, 41mpd 15 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))
43423expia 1121 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š))))
4443expd 416 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))))
4544reximdvai 3165 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š))))
465, 45mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  Latclat 18380  Atomscatm 38121  AtLatcal 38122  HLchlt 38208  LHypclh 38843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-lhyp 38847
This theorem is referenced by:  cdlemf  39422
  Copyright terms: Public domain W3C validator