Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemf2 39897
Description: Part of Lemma F in [Crawley] p. 116. (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemf1.l = (le‘𝐾)
cdlemf1.j = (join‘𝐾)
cdlemf1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemf1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemf2.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdlemf2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐻,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   ,𝑝,𝑞   𝑈,𝑝,𝑞   𝑊,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   (𝑞,𝑝)   (𝑞,𝑝)

Proof of Theorem cdlemf2
StepHypRef Expression
1 cdlemf1.l . . . 4 = (le‘𝐾)
2 cdlemf1.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 cdlemf1.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhpexnle 39341 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 𝑊)
54adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 𝑊)
6 cdlemf1.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
71, 6, 2, 3cdlemf1 39896 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → ∃𝑞𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))
8 simpr1r 1230 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → ¬ 𝑝 𝑊)
9 simpr32 1263 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → ¬ 𝑞 𝑊)
10 simpr33 1264 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑈 (𝑝 𝑞))
11 simplrr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑈 𝑊)
12 hllat 38697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1312ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝐾 ∈ Lat)
14 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑈𝐴)
15 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1615, 2atbase 38623 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
1714, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
18 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝐾 ∈ HL)
19 simpr1l 1229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑝𝐴)
20 simpr2 1194 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑞𝐴)
2115, 6, 2hlatjcl 38701 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
2218, 19, 20, 21syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
2315, 3lhpbase 39333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2423ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
25 cdlemf2.m . . . . . . . . . . . . . 14 = (meet‘𝐾)
2615, 1, 25latlem12 18429 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑈 (𝑝 𝑞) ∧ 𝑈 𝑊) ↔ 𝑈 ((𝑝 𝑞) 𝑊)))
2713, 17, 22, 24, 26syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → ((𝑈 (𝑝 𝑞) ∧ 𝑈 𝑊) ↔ 𝑈 ((𝑝 𝑞) 𝑊)))
2810, 11, 27mpbi2and 709 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑈 ((𝑝 𝑞) 𝑊))
29 hlatl 38694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3029ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝐾 ∈ AtLat)
31 simpll 764 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
32 simpr31 1262 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑝𝑞)
331, 6, 25, 2, 3lhpat 39378 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑞𝐴𝑝𝑞)) → ((𝑝 𝑞) 𝑊) ∈ 𝐴)
3431, 19, 8, 20, 32, 33syl122anc 1378 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → ((𝑝 𝑞) 𝑊) ∈ 𝐴)
351, 2atcmp 38645 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑈𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑊) ∈ 𝐴) → (𝑈 ((𝑝 𝑞) 𝑊) ↔ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)))
3630, 14, 34, 35syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → (𝑈 ((𝑝 𝑞) 𝑊) ↔ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)))
3728, 36mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊))
388, 9, 37jca31 514 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)))
39383exp2 1353 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) → (𝑞𝐴 → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)) → ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊))))))
40393impia 1116 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → (𝑞𝐴 → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)) → ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)))))
4140reximdvai 3164 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → (∃𝑞𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)) → ∃𝑞𝐴 ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊))))
427, 41mpd 15 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → ∃𝑞𝐴 ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)))
43423expia 1120 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) → ∃𝑞𝐴 ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊))))
4443expd 415 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → (𝑝𝐴 → (¬ 𝑝 𝑊 → ∃𝑞𝐴 ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)))))
4544reximdvai 3164 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → (∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 𝑊 → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊))))
465, 45mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wrex 3069   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  lecple 17211  joincjn 18274  meetcmee 18275  Latclat 18394  Atomscatm 38597  AtLatcal 38598  HLchlt 38684  LHypclh 39319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38510  df-ol 38512  df-oml 38513  df-covers 38600  df-ats 38601  df-atl 38632  df-cvlat 38656  df-hlat 38685  df-lhyp 39323
This theorem is referenced by:  cdlemf  39898
  Copyright terms: Public domain W3C validator