Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemf2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemf2 40067
Description: Part of Lemma F in [Crawley] p. 116. (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemf1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemf1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemf1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemf1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemf2.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cdlemf2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑝,𝐴   𝐻,𝑝,π‘ž   𝐾,𝑝,π‘ž   ≀ ,𝑝,π‘ž   π‘ˆ,𝑝,π‘ž   π‘Š,𝑝,π‘ž
Allowed substitution hints:   ∨ (π‘ž,𝑝)   ∧ (π‘ž,𝑝)
Proof of Theorem cdlemf2
StepHypRef Expression
1 cdlemf1.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 cdlemf1.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
3 cdlemf1.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
41, 2, 3lhpexnle 39511 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)
54adantr 479 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)
6 cdlemf1.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
71, 6, 2, 3cdlemf1 40066 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))
8 simpr1r 1228 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)
9 simpr32 1261 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)
10 simpr33 1262 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž))
11 simplrr 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ π‘ˆ ≀ π‘Š)
12 hllat 38867 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
1312ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
14 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
15 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1615, 2atbase 38793 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ˆ ∈ 𝐴 β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1714, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
18 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
19 simpr1l 1227 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
20 simpr2 1192 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
2115, 6, 2hlatjcl 38871 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2218, 19, 20, 21syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2315, 3lhpbase 39503 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2423ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
25 cdlemf2.m . . . . . . . . . . . . . 14 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2615, 1, 25latlem12 18465 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ↔ π‘ˆ ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))
2713, 17, 22, 24, 26syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ ((π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ↔ π‘ˆ ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))
2810, 11, 27mpbi2and 710 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ π‘ˆ ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š))
29 hlatl 38864 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
3029ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
31 simpll 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
32 simpr31 1260 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ 𝑝 β‰  π‘ž)
331, 6, 25, 2, 3lhpat 39548 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 β‰  π‘ž)) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š) ∈ 𝐴)
3431, 19, 8, 20, 32, 33syl122anc 1376 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š) ∈ 𝐴)
351, 2atcmp 38815 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š) ∈ 𝐴) β†’ (π‘ˆ ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š) ↔ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))
3630, 14, 34, 35syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ (π‘ˆ ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š) ↔ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))
3728, 36mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š))
388, 9, 37jca31 513 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)))) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))
39383exp2 1351 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š))))))
40393impia 1114 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))))
4140reximdvai 3162 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š))))
427, 41mpd 15 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))
43423expia 1118 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š))))
4443expd 414 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))))
4544reximdvai 3162 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š))))
465, 45mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  joincjn 18310  meetcmee 18311  Latclat 18430  Atomscatm 38767  AtLatcal 38768  HLchlt 38854  LHypclh 39489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-lhyp 39493
This theorem is referenced by:  cdlemf  40068
  Copyright terms: Public domain W3C validator