Theorem cdlemf2 38131

Description: Part of Lemma F in [Crawley] p. 116. (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemf1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemf1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemf1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemf1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemf2.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdlemf2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐻,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   ≤ ,𝑝,𝑞   𝑈,𝑝,𝑞   𝑊,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   ∨ (𝑞,𝑝)   ∧ (𝑞,𝑝)

Proof of Theorem cdlemf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemf1.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		cdlemf1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		cdlemf1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpexnle 37575	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)
5	4	adantr 485	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)
6		cdlemf1.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	1, 6, 2, 3	cdlemf1 38130	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))
8		simpr1r 1229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)
9		simpr32 1262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → ¬ 𝑞 ≤ 𝑊)
10		simpr33 1263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞))
11		simplrr 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → 𝑈 ≤ 𝑊)
12		hllat 36932	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
13	12	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → 𝐾 ∈ Lat)
14		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → 𝑈 ∈ 𝐴)
15		eqid 2759	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
16	15, 2	atbase 36858	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐴 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
18		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → 𝐾 ∈ HL)
19		simpr1l 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → 𝑝 ∈ 𝐴)
20		simpr2 1193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → 𝑞 ∈ 𝐴)
21	15, 6, 2	hlatjcl 36936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
23	15, 3	lhpbase 37567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
24	23	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
25		cdlemf2.m	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
26	15, 1, 25	latlem12 17747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ↔ 𝑈 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)))
27	13, 17, 22, 24, 26	syl13anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → ((𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ↔ 𝑈 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)))
28	10, 11, 27	mpbi2and 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → 𝑈 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊))
29		hlatl 36929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
30	29	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → 𝐾 ∈ AtLat)
31		simpll 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
32		simpr31 1261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → 𝑝 ≠ 𝑞)
33	1, 6, 25, 2, 3	lhpat 37612	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊) ∈ 𝐴)
34	31, 19, 8, 20, 32, 33	syl122anc 1377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊) ∈ 𝐴)
35	1, 2	atcmp 36880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊) ∈ 𝐴) → (𝑈 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊) ↔ 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)))
36	30, 14, 34, 35	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → (𝑈 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊) ↔ 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)))
37	28, 36	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊))
38	8, 9, 37	jca31 519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)))
39	38	3exp2 1352	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊))))))
40	39	3impia 1115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)) → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)))))
41	40	reximdvai 3197	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊))))
42	7, 41	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)))
43	42	3expia 1119	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊))))
44	43	expd 420	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)))))
45	44	reximdvai 3197	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊))))
46	5, 45	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  ∃wrex 3072   class class class wbr 5033  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  Basecbs 16534  lecple 16623  joincjn 17613  meetcmee 17614  Latclat 17714  Atomscatm 36832  AtLatcal 36833  HLchlt 36919  LHypclh 37553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5431  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-proset 17597  df-poset 17615  df-plt 17627  df-lub 17643  df-glb 17644  df-join 17645  df-meet 17646  df-p0 17708  df-p1 17709  df-lat 17715  df-clat 17777  df-oposet 36745  df-ol 36747  df-oml 36748  df-covers 36835  df-ats 36836  df-atl 36867  df-cvlat 36891  df-hlat 36920  df-lhyp 37557

This theorem is referenced by:  cdlemf  38132