Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemf2 40564
Description: Part of Lemma F in [Crawley] p. 116. (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemf1.l = (le‘𝐾)
cdlemf1.j = (join‘𝐾)
cdlemf1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemf1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemf2.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdlemf2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐻,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   ,𝑝,𝑞   𝑈,𝑝,𝑞   𝑊,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   (𝑞,𝑝)   (𝑞,𝑝)

Proof of Theorem cdlemf2
StepHypRef Expression
1 cdlemf1.l . . . 4 = (le‘𝐾)
2 cdlemf1.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 cdlemf1.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhpexnle 40008 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 𝑊)
54adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 𝑊)
6 cdlemf1.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
71, 6, 2, 3cdlemf1 40563 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → ∃𝑞𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))
8 simpr1r 1232 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → ¬ 𝑝 𝑊)
9 simpr32 1265 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → ¬ 𝑞 𝑊)
10 simpr33 1266 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑈 (𝑝 𝑞))
11 simplrr 778 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑈 𝑊)
12 hllat 39364 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1312ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝐾 ∈ Lat)
14 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑈𝐴)
15 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1615, 2atbase 39290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
1714, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
18 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝐾 ∈ HL)
19 simpr1l 1231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑝𝐴)
20 simpr2 1196 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑞𝐴)
2115, 6, 2hlatjcl 39368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
2218, 19, 20, 21syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
2315, 3lhpbase 40000 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2423ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
25 cdlemf2.m . . . . . . . . . . . . . 14 = (meet‘𝐾)
2615, 1, 25latlem12 18511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑈 (𝑝 𝑞) ∧ 𝑈 𝑊) ↔ 𝑈 ((𝑝 𝑞) 𝑊)))
2713, 17, 22, 24, 26syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → ((𝑈 (𝑝 𝑞) ∧ 𝑈 𝑊) ↔ 𝑈 ((𝑝 𝑞) 𝑊)))
2810, 11, 27mpbi2and 712 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑈 ((𝑝 𝑞) 𝑊))
29 hlatl 39361 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3029ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝐾 ∈ AtLat)
31 simpll 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
32 simpr31 1264 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑝𝑞)
331, 6, 25, 2, 3lhpat 40045 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑞𝐴𝑝𝑞)) → ((𝑝 𝑞) 𝑊) ∈ 𝐴)
3431, 19, 8, 20, 32, 33syl122anc 1381 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → ((𝑝 𝑞) 𝑊) ∈ 𝐴)
351, 2atcmp 39312 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑈𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑊) ∈ 𝐴) → (𝑈 ((𝑝 𝑞) 𝑊) ↔ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)))
3630, 14, 34, 35syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → (𝑈 ((𝑝 𝑞) 𝑊) ↔ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)))
3728, 36mpbid 232 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊))
388, 9, 37jca31 514 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)))
39383exp2 1355 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) → (𝑞𝐴 → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)) → ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊))))))
40393impia 1118 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → (𝑞𝐴 → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)) → ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)))))
4140reximdvai 3165 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → (∃𝑞𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)) → ∃𝑞𝐴 ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊))))
427, 41mpd 15 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → ∃𝑞𝐴 ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)))
43423expia 1122 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) → ∃𝑞𝐴 ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊))))
4443expd 415 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → (𝑝𝐴 → (¬ 𝑝 𝑊 → ∃𝑞𝐴 ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)))))
4544reximdvai 3165 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → (∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 𝑊 → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊))))
465, 45mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  joincjn 18357  meetcmee 18358  Latclat 18476  Atomscatm 39264  AtLatcal 39265  HLchlt 39351  LHypclh 39986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-lhyp 39990
This theorem is referenced by:  cdlemf  40565
  Copyright terms: Public domain W3C validator