Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg1cex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg1cex 39042
Description: Any translation is one of our 𝐹 s. TODO: fix comment, move to its own block maybe? Would this help for cdlemf 39017? (Contributed by NM, 17-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg1c.l = (le‘𝐾)
cdlemg1c.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg1c.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg1c.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg1cex ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐹𝑇 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑝,𝑞,𝐴   𝑓,𝐹,𝑝,𝑞   𝑓,𝐻,𝑝,𝑞   𝑓,𝐾,𝑝,𝑞   ,𝑓,𝑝,𝑞   𝑇,𝑓,𝑝,𝑞   𝑓,𝑊,𝑝,𝑞

Proof of Theorem cdlemg1cex
StepHypRef Expression
1 cdlemg1c.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
2 cdlemg1c.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 cdlemg1c.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 cdlemg1c.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
51, 2, 3, 4ltrnel 38593 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → ((𝐹𝑝) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑝) 𝑊))
653expa 1118 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → ((𝐹𝑝) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑝) 𝑊))
76simpld 495 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → (𝐹𝑝) ∈ 𝐴)
8 simprr 771 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → ¬ 𝑝 𝑊)
96simprd 496 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → ¬ (𝐹𝑝) 𝑊)
10 simpll 765 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))
12 simplr 767 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → 𝐹𝑇)
131, 2, 3, 4cdlemeiota 39039 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝)))
1410, 11, 12, 13syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝)))
15 breq1 5108 . . . . . . . 8 (𝑞 = (𝐹𝑝) → (𝑞 𝑊 ↔ (𝐹𝑝) 𝑊))
1615notbid 317 . . . . . . 7 (𝑞 = (𝐹𝑝) → (¬ 𝑞 𝑊 ↔ ¬ (𝐹𝑝) 𝑊))
17 eqeq2 2748 . . . . . . . . 9 (𝑞 = (𝐹𝑝) → ((𝑓𝑝) = 𝑞 ↔ (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝)))
1817riotabidv 7314 . . . . . . . 8 (𝑞 = (𝐹𝑝) → (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞) = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝)))
1918eqeq2d 2747 . . . . . . 7 (𝑞 = (𝐹𝑝) → (𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞) ↔ 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝))))
2016, 193anbi23d 1439 . . . . . 6 (𝑞 = (𝐹𝑝) → ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)) ↔ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ (𝐹𝑝) 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝)))))
2120rspcev 3581 . . . . 5 (((𝐹𝑝) ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ (𝐹𝑝) 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝)))) → ∃𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)))
227, 8, 9, 14, 21syl13anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → ∃𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)))
231, 2, 3lhpexnle 38460 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 𝑊)
2423adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 𝑊)
2522, 24reximddv 3168 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)))
2625ex 413 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐹𝑇 → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))))
27 simp1 1136 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
28 simp2l 1199 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → 𝑝𝐴)
29 simp31 1209 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → ¬ 𝑝 𝑊)
3028, 29jca 512 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))
31 simp2r 1200 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → 𝑞𝐴)
32 simp32 1210 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → ¬ 𝑞 𝑊)
3331, 32jca 512 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
34 simp33 1211 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))
351, 2, 3, 4cdlemg1ci2 39040 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) ∧ 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)) → 𝐹𝑇)
3627, 30, 33, 34, 35syl31anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → 𝐹𝑇)
37363exp 1119 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑝𝐴𝑞𝐴) → ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)) → 𝐹𝑇)))
3837rexlimdvv 3204 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)) → 𝐹𝑇))
3926, 38impbid 211 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐹𝑇 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073   class class class wbr 5105  cfv 6496  crio 7311  lecple 17139  Atomscatm 37716  HLchlt 37803  LHypclh 38438  LTrncltrn 38555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-riotaBAD 37406
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-undef 8203  df-map 8766  df-proset 18183  df-poset 18201  df-plt 18218  df-lub 18234  df-glb 18235  df-join 18236  df-meet 18237  df-p0 18313  df-p1 18314  df-lat 18320  df-clat 18387  df-oposet 37629  df-ol 37631  df-oml 37632  df-covers 37719  df-ats 37720  df-atl 37751  df-cvlat 37775  df-hlat 37804  df-llines 37952  df-lplanes 37953  df-lvols 37954  df-lines 37955  df-psubsp 37957  df-pmap 37958  df-padd 38250  df-lhyp 38442  df-laut 38443  df-ldil 38558  df-ltrn 38559  df-trl 38613
This theorem is referenced by:  cdlemg2cex  39045
  Copyright terms: Public domain W3C validator