Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg1cex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg1cex 37175
Description: Any translation is one of our 𝐹 s. TODO: fix comment, move to its own block maybe? Would this help for cdlemf 37150? (Contributed by NM, 17-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg1c.l = (le‘𝐾)
cdlemg1c.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg1c.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg1c.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg1cex ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐹𝑇 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑝,𝑞,𝐴   𝑓,𝐹,𝑝,𝑞   𝑓,𝐻,𝑝,𝑞   𝑓,𝐾,𝑝,𝑞   ,𝑓,𝑝,𝑞   𝑇,𝑓,𝑝,𝑞   𝑓,𝑊,𝑝,𝑞

Proof of Theorem cdlemg1cex
StepHypRef Expression
1 cdlemg1c.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
2 cdlemg1c.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 cdlemg1c.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 cdlemg1c.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
51, 2, 3, 4ltrnel 36726 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → ((𝐹𝑝) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑝) 𝑊))
653expa 1098 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → ((𝐹𝑝) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑝) 𝑊))
76simpld 487 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → (𝐹𝑝) ∈ 𝐴)
8 simprr 760 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → ¬ 𝑝 𝑊)
96simprd 488 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → ¬ (𝐹𝑝) 𝑊)
10 simpll 754 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 simpr 477 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))
12 simplr 756 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → 𝐹𝑇)
131, 2, 3, 4cdlemeiota 37172 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝)))
1410, 11, 12, 13syl3anc 1351 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝)))
15 breq1 4932 . . . . . . . 8 (𝑞 = (𝐹𝑝) → (𝑞 𝑊 ↔ (𝐹𝑝) 𝑊))
1615notbid 310 . . . . . . 7 (𝑞 = (𝐹𝑝) → (¬ 𝑞 𝑊 ↔ ¬ (𝐹𝑝) 𝑊))
17 eqeq2 2789 . . . . . . . . 9 (𝑞 = (𝐹𝑝) → ((𝑓𝑝) = 𝑞 ↔ (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝)))
1817riotabidv 6939 . . . . . . . 8 (𝑞 = (𝐹𝑝) → (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞) = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝)))
1918eqeq2d 2788 . . . . . . 7 (𝑞 = (𝐹𝑝) → (𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞) ↔ 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝))))
2016, 193anbi23d 1418 . . . . . 6 (𝑞 = (𝐹𝑝) → ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)) ↔ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ (𝐹𝑝) 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝)))))
2120rspcev 3535 . . . . 5 (((𝐹𝑝) ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ (𝐹𝑝) 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝)))) → ∃𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)))
227, 8, 9, 14, 21syl13anc 1352 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → ∃𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)))
231, 2, 3lhpexnle 36593 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 𝑊)
2423adantr 473 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 𝑊)
2522, 24reximddv 3220 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)))
2625ex 405 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐹𝑇 → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))))
27 simp1 1116 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
28 simp2l 1179 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → 𝑝𝐴)
29 simp31 1189 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → ¬ 𝑝 𝑊)
3028, 29jca 504 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))
31 simp2r 1180 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → 𝑞𝐴)
32 simp32 1190 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → ¬ 𝑞 𝑊)
3331, 32jca 504 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
34 simp33 1191 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))
351, 2, 3, 4cdlemg1ci2 37173 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) ∧ 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)) → 𝐹𝑇)
3627, 30, 33, 34, 35syl31anc 1353 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → 𝐹𝑇)
37363exp 1099 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑝𝐴𝑞𝐴) → ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)) → 𝐹𝑇)))
3837rexlimdvv 3238 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)) → 𝐹𝑇))
3926, 38impbid 204 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐹𝑇 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wrex 3089   class class class wbr 4929  cfv 6188  crio 6936  lecple 16428  Atomscatm 35850  HLchlt 35937  LHypclh 36571  LTrncltrn 36688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-riotaBAD 35540
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-undef 7742  df-map 8208  df-proset 17396  df-poset 17414  df-plt 17426  df-lub 17442  df-glb 17443  df-join 17444  df-meet 17445  df-p0 17507  df-p1 17508  df-lat 17514  df-clat 17576  df-oposet 35763  df-ol 35765  df-oml 35766  df-covers 35853  df-ats 35854  df-atl 35885  df-cvlat 35909  df-hlat 35938  df-llines 36085  df-lplanes 36086  df-lvols 36087  df-lines 36088  df-psubsp 36090  df-pmap 36091  df-padd 36383  df-lhyp 36575  df-laut 36576  df-ldil 36691  df-ltrn 36692  df-trl 36746
This theorem is referenced by:  cdlemg2cex  37178
  Copyright terms: Public domain W3C validator