Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg1cex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg1cex 36397
Description: Any translation is one of our 𝐹 s. TODO: fix comment, move to its own block maybe? Would this help for cdlemf 36372? (Contributed by NM, 17-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg1c.l = (le‘𝐾)
cdlemg1c.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg1c.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg1c.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg1cex ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐹𝑇 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑝,𝑞,𝐴   𝑓,𝐹,𝑝,𝑞   𝑓,𝐻,𝑝,𝑞   𝑓,𝐾,𝑝,𝑞   ,𝑓,𝑝,𝑞   𝑇,𝑓,𝑝,𝑞   𝑓,𝑊,𝑝,𝑞

Proof of Theorem cdlemg1cex
StepHypRef Expression
1 cdlemg1c.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
2 cdlemg1c.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 cdlemg1c.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 cdlemg1c.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
51, 2, 3, 4ltrnel 35947 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → ((𝐹𝑝) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑝) 𝑊))
653expa 1111 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → ((𝐹𝑝) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑝) 𝑊))
76simpld 482 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → (𝐹𝑝) ∈ 𝐴)
8 simprr 756 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → ¬ 𝑝 𝑊)
96simprd 483 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → ¬ (𝐹𝑝) 𝑊)
10 simpll 750 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 simpr 471 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))
12 simplr 752 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → 𝐹𝑇)
131, 2, 3, 4cdlemeiota 36394 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝)))
1410, 11, 12, 13syl3anc 1476 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝)))
15 breq1 4789 . . . . . . . 8 (𝑞 = (𝐹𝑝) → (𝑞 𝑊 ↔ (𝐹𝑝) 𝑊))
1615notbid 307 . . . . . . 7 (𝑞 = (𝐹𝑝) → (¬ 𝑞 𝑊 ↔ ¬ (𝐹𝑝) 𝑊))
17 eqeq2 2782 . . . . . . . . 9 (𝑞 = (𝐹𝑝) → ((𝑓𝑝) = 𝑞 ↔ (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝)))
1817riotabidv 6756 . . . . . . . 8 (𝑞 = (𝐹𝑝) → (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞) = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝)))
1918eqeq2d 2781 . . . . . . 7 (𝑞 = (𝐹𝑝) → (𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞) ↔ 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝))))
2016, 193anbi23d 1550 . . . . . 6 (𝑞 = (𝐹𝑝) → ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)) ↔ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ (𝐹𝑝) 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝)))))
2120rspcev 3460 . . . . 5 (((𝐹𝑝) ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ (𝐹𝑝) 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = (𝐹𝑝)))) → ∃𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)))
227, 8, 9, 14, 21syl13anc 1478 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → ∃𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)))
231, 2, 3lhpexnle 35814 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 𝑊)
2423adantr 466 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 𝑊)
2522, 24reximddv 3166 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)))
2625ex 397 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐹𝑇 → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))))
27 simp1 1130 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
28 simp2l 1241 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → 𝑝𝐴)
29 simp31 1251 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → ¬ 𝑝 𝑊)
3028, 29jca 501 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))
31 simp2r 1242 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → 𝑞𝐴)
32 simp32 1252 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → ¬ 𝑞 𝑊)
3331, 32jca 501 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
34 simp33 1253 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))
351, 2, 3, 4cdlemg1ci2 36395 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) ∧ 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)) → 𝐹𝑇)
3627, 30, 33, 34, 35syl31anc 1479 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))) → 𝐹𝑇)
37363exp 1112 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑝𝐴𝑞𝐴) → ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)) → 𝐹𝑇)))
3837rexlimdvv 3185 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞)) → 𝐹𝑇))
3926, 38impbid 202 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐹𝑇 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑝) = 𝑞))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062   class class class wbr 4786  cfv 6031  crio 6753  lecple 16156  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  LHypclh 35792  LTrncltrn 35909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-undef 7551  df-map 8011  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968
This theorem is referenced by:  cdlemg2cex  36400
  Copyright terms: Public domain W3C validator