Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlco 38387
Description: The trace of a composition of translations is less than or equal to the join of their traces. Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, second paragraph on p. 117. (Contributed by NM, 2-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlco.l = (le‘𝐾)
trlco.j = (join‘𝐾)
trlco.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlco.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlco.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlco (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))

Proof of Theorem trlco
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trlco.l . . . 4 = (le‘𝐾)
2 eqid 2739 . . . 4 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3 trlco.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhpexnle 37666 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ¬ 𝑝 𝑊)
543ad2ant1 1134 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ¬ 𝑝 𝑊)
6 simpl1 1192 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 simpl2 1193 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → 𝐹𝑇)
8 simpl3 1194 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → 𝐺𝑇)
9 simpr 488 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 𝑊))
10 trlco.j . . . 4 = (join‘𝐾)
11 trlco.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
12 trlco.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
13 eqid 2739 . . . 4 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
141, 10, 3, 11, 12, 13, 2trlcolem 38386 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
156, 7, 8, 9, 14syl121anc 1376 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
165, 15rexlimddv 3202 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wrex 3055   class class class wbr 5031  ccom 5530  cfv 6340  (class class class)co 7173  lecple 16678  joincjn 17673  meetcmee 17674  Atomscatm 36923  HLchlt 37010  LHypclh 37644  LTrncltrn 37761  trLctrl 37818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-riotaBAD 36613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5430  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-undef 7971  df-map 8442  df-proset 17657  df-poset 17675  df-plt 17687  df-lub 17703  df-glb 17704  df-join 17705  df-meet 17706  df-p0 17768  df-p1 17769  df-lat 17775  df-clat 17837  df-oposet 36836  df-ol 36838  df-oml 36839  df-covers 36926  df-ats 36927  df-atl 36958  df-cvlat 36982  df-hlat 37011  df-llines 37158  df-lplanes 37159  df-lvols 37160  df-lines 37161  df-psubsp 37163  df-pmap 37164  df-padd 37456  df-lhyp 37648  df-laut 37649  df-ldil 37764  df-ltrn 37765  df-trl 37819
This theorem is referenced by:  trlcone  38388  cdlemg46  38395  trljco  38400  tendopltp  38440  dialss  38706  diblss  38830
  Copyright terms: Public domain W3C validator