Theorem trlco 41534

Description: The trace of a composition of translations is less than or equal to the join of their traces. Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, second paragraph on p. 117. (Contributed by NM, 2-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlco.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
trlco.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
trlco.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlco.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlco.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlco	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)))

Proof of Theorem trlco

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlco.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		trlco.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpexnle 40813	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)
5	4	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)
6		simpl1 1210	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		simpl2 1211	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
8		simpl3 1212	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
9		simpr 490	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊))
10		trlco.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11		trlco.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
12		trlco.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
13		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
14	1, 10, 3, 11, 12, 13, 2	trlcolem 41533	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)))
15	6, 7, 8, 9, 14	syl121anc 1402	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)))
16	5, 15	rexlimddv 3174	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111   ∘ ccom 5667  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  lecple 17335  joincjn 18385  meetcmee 18386  Atomscatm 40070  HLchlt 40157  LHypclh 40791  LTrncltrn 40908  trLctrl 40965

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-riotaBAD 39760

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-undef 8271  df-map 8828  df-proset 18368  df-poset 18387  df-plt 18402  df-lub 18418  df-glb 18419  df-join 18420  df-meet 18421  df-p0 18497  df-p1 18498  df-lat 18506  df-clat 18573  df-oposet 39983  df-ol 39985  df-oml 39986  df-covers 40073  df-ats 40074  df-atl 40105  df-cvlat 40129  df-hlat 40158  df-llines 40305  df-lplanes 40306  df-lvols 40307  df-lines 40308  df-psubsp 40310  df-pmap 40311  df-padd 40603  df-lhyp 40795  df-laut 40796  df-ldil 40911  df-ltrn 40912  df-trl 40966

This theorem is used by:  trlcone  41535  cdlemg46  41542  trljco  41547  tendopltp  41587  dialss  41853  diblss  41977