Theorem trlco 38668

Description: The trace of a composition of translations is less than or equal to the join of their traces. Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, second paragraph on p. 117. (Contributed by NM, 2-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlco.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
trlco.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
trlco.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlco.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlco.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlco	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)))

Proof of Theorem trlco

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlco.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		trlco.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpexnle 37947	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)
5	4	3ad2ant1 1131	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)
6		simpl1 1189	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		simpl2 1190	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
8		simpl3 1191	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊))
10		trlco.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11		trlco.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
12		trlco.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
13		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
14	1, 10, 3, 11, 12, 13, 2	trlcolem 38667	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)))
15	6, 7, 8, 9, 14	syl121anc 1373	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)))
16	5, 15	rexlimddv 3219	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070   ∘ ccom 5584  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  lecple 16895  joincjn 17944  meetcmee 17945  Atomscatm 37204  HLchlt 37291  LHypclh 37925  LTrncltrn 38042  trLctrl 38099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-undef 8060  df-map 8575  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100

This theorem is referenced by:  trlcone  38669  cdlemg46  38676  trljco  38681  tendopltp  38721  dialss  38987  diblss  39111