Theorem trlator0 40986

Description: The trace of a lattice translation is an atom or zero. (Contributed by NM, 5-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trl0a.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
trl0a.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trl0a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trl0a.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trl0a.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlator0	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅‘𝐹) = 0 ))

Proof of Theorem trlator0

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2962	. . . 4 ⊢ ((𝑅‘𝐹) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑅‘𝐹) = 0 )
2		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		trl0a.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		trl0a.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	2, 3, 4	lhpexnle 40821	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
6	5	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
7		simplll 787	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊))
9		simpllr 788	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
10		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑅‘𝐹) ≠ 0 )
11	7	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊))
13	9	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → 𝐹 ∈ 𝑇)
14		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝐹‘𝑝) = 𝑝)
15		trl0a.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
16		trl0a.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
17		trl0a.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
18	2, 15, 3, 4, 16, 17	trl0 40985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝)) → (𝑅‘𝐹) = 0 )
19	11, 12, 13, 14, 18	syl112anc 1401	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝑅‘𝐹) = 0 )
20	19	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐹‘𝑝) = 𝑝 → (𝑅‘𝐹) = 0 ))
21	20	necon3d 2982	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝑅‘𝐹) ≠ 0 → (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝))
22	10, 21	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝)
23	2, 3, 4, 16, 17	trlat 40984	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝)) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
24	7, 8, 9, 22, 23	syl112anc 1401	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
25	6, 24	rexlimddv 3175	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
26	25	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ≠ 0 → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
27	1, 26	biimtrrid 246	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (¬ (𝑅‘𝐹) = 0 → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
28	27	orrd 877	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) = 0 ∨ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
29	28	orcomd 885	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅‘𝐹) = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∃wrex 3092   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  lecple 17342  0.cp0 18502  Atomscatm 40078  HLchlt 40165  LHypclh 40799  LTrncltrn 40916  trLctrl 40973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-map 8835  df-proset 18375  df-poset 18394  df-plt 18409  df-lub 18425  df-glb 18426  df-join 18427  df-meet 18428  df-p0 18504  df-p1 18505  df-lat 18513  df-clat 18580  df-oposet 39991  df-ol 39993  df-oml 39994  df-covers 40081  df-ats 40082  df-atl 40113  df-cvlat 40137  df-hlat 40166  df-lhyp 40803  df-laut 40804  df-ldil 40919  df-ltrn 40920  df-trl 40974

This theorem is used by:  trlatn0  40987  cdlemg31b0a  41510  trlcone  41543  cdlemkfid1N  41736  tendoex  41790  dia2dimlem2  41880  dia2dimlem3  41881