Theorem trlator0 40172

Description: The trace of a lattice translation is an atom or zero. (Contributed by NM, 5-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trl0a.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
trl0a.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trl0a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trl0a.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trl0a.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlator0	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅‘𝐹) = 0 ))

Proof of Theorem trlator0

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2927	. . . 4 ⊢ ((𝑅‘𝐹) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑅‘𝐹) = 0 )
2		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		trl0a.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		trl0a.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	2, 3, 4	lhpexnle 40007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
6	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
7		simplll 774	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊))
9		simpllr 775	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
10		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑅‘𝐹) ≠ 0 )
11	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊))
13	9	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → 𝐹 ∈ 𝑇)
14		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝐹‘𝑝) = 𝑝)
15		trl0a.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
16		trl0a.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
17		trl0a.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
18	2, 15, 3, 4, 16, 17	trl0 40171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝)) → (𝑅‘𝐹) = 0 )
19	11, 12, 13, 14, 18	syl112anc 1376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝑅‘𝐹) = 0 )
20	19	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐹‘𝑝) = 𝑝 → (𝑅‘𝐹) = 0 ))
21	20	necon3d 2947	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝑅‘𝐹) ≠ 0 → (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝))
22	10, 21	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝)
23	2, 3, 4, 16, 17	trlat 40170	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝)) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
24	7, 8, 9, 22, 23	syl112anc 1376	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
25	6, 24	rexlimddv 3141	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
26	25	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ≠ 0 → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
27	1, 26	biimtrrid 243	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (¬ (𝑅‘𝐹) = 0 → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
28	27	orrd 863	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) = 0 ∨ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
29	28	orcomd 871	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅‘𝐹) = 0 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  lecple 17234  0.cp0 18389  Atomscatm 39263  HLchlt 39350  LHypclh 39985  LTrncltrn 40102  trLctrl 40159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-map 8804  df-proset 18262  df-poset 18281  df-plt 18296  df-lub 18312  df-glb 18313  df-join 18314  df-meet 18315  df-p0 18391  df-p1 18392  df-lat 18398  df-clat 18465  df-oposet 39176  df-ol 39178  df-oml 39179  df-covers 39266  df-ats 39267  df-atl 39298  df-cvlat 39322  df-hlat 39351  df-lhyp 39989  df-laut 39990  df-ldil 40105  df-ltrn 40106  df-trl 40160

This theorem is referenced by:  trlatn0  40173  cdlemg31b0a  40696  trlcone  40729  cdlemkfid1N  40922  tendoex  40976  dia2dimlem2  41066  dia2dimlem3  41067