Theorem trlator0 41420

Description: The trace of a lattice translation is an atom or zero. (Contributed by NM, 5-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trl0a.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
trl0a.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trl0a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trl0a.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trl0a.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlator0	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅‘𝐹) = 0 ))

Proof of Theorem trlator0

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2960	. . . 4 ⊢ ((𝑅‘𝐹) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑅‘𝐹) = 0 )
2		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		trl0a.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		trl0a.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	2, 3, 4	lhpexnle 41255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
6	5	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
7		simplll 787	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊))
9		simpllr 788	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
10		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑅‘𝐹) ≠ 0 )
11	7	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊))
13	9	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → 𝐹 ∈ 𝑇)
14		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝐹‘𝑝) = 𝑝)
15		trl0a.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
16		trl0a.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
17		trl0a.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
18	2, 15, 3, 4, 16, 17	trl0 41419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝)) → (𝑅‘𝐹) = 0 )
19	11, 12, 13, 14, 18	syl112anc 1402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝑅‘𝐹) = 0 )
20	19	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐹‘𝑝) = 𝑝 → (𝑅‘𝐹) = 0 ))
21	20	necon3d 2980	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝑅‘𝐹) ≠ 0 → (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝))
22	10, 21	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝)
23	2, 3, 4, 16, 17	trlat 41418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝)) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
24	7, 8, 9, 22, 23	syl112anc 1402	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
25	6, 24	rexlimddv 3173	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
26	25	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ≠ 0 → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
27	1, 26	biimtrrid 246	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (¬ (𝑅‘𝐹) = 0 → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
28	27	orrd 877	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) = 0 ∨ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
29	28	orcomd 885	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅‘𝐹) = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  lecple 17464  0.cp0 18624  Atomscatm 40512  HLchlt 40599  LHypclh 41233  LTrncltrn 41350  trLctrl 41407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-map 8877  df-proset 18497  df-poset 18516  df-plt 18531  df-lub 18547  df-glb 18548  df-join 18549  df-meet 18550  df-p0 18626  df-p1 18627  df-lat 18635  df-clat 18702  df-oposet 40425  df-ol 40427  df-oml 40428  df-covers 40515  df-ats 40516  df-atl 40547  df-cvlat 40571  df-hlat 40600  df-lhyp 41237  df-laut 41238  df-ldil 41353  df-ltrn 41354  df-trl 41408

This theorem is used by:  trlatn0  41421  cdlemg31b0a  41944  trlcone  41977  cdlemkfid1N  42170  tendoex  42224  dia2dimlem2  42314  dia2dimlem3  42315