Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlator0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlator0 38637
Description: The trace of a lattice translation is an atom or zero. (Contributed by NM, 5-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trl0a.z 0 = (0.β€˜πΎ)
trl0a.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
trl0a.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trl0a.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trl0a.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
trlator0 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ∨ (π‘…β€˜πΉ) = 0 ))

Proof of Theorem trlator0
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2945 . . . 4 ((π‘…β€˜πΉ) β‰  0 ↔ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) = 0 )
2 eqid 2737 . . . . . . . 8 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 trl0a.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 trl0a.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
52, 3, 4lhpexnle 38472 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š)
65ad2antrr 725 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š)
7 simplll 774 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
8 simpr 486 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š))
9 simpllr 775 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
10 simplr 768 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 )
117adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑝) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
12 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑝) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š))
139adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑝) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
14 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑝) β†’ (πΉβ€˜π‘) = 𝑝)
15 trl0a.z . . . . . . . . . . . 12 0 = (0.β€˜πΎ)
16 trl0a.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
17 trl0a.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
182, 15, 3, 4, 16, 17trl0 38636 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑝)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = 0 )
1911, 12, 13, 14, 18syl112anc 1375 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑝) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = 0 )
2019ex 414 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘) = 𝑝 β†’ (π‘…β€˜πΉ) = 0 ))
2120necon3d 2965 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  0 β†’ (πΉβ€˜π‘) β‰  𝑝))
2210, 21mpd 15 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘) β‰  𝑝)
232, 3, 4, 16, 17trlat 38635 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘) β‰  𝑝)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
247, 8, 9, 22, 23syl112anc 1375 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
256, 24rexlimddv 3159 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 ) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
2625ex 414 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  0 β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴))
271, 26biimtrrid 242 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) = 0 β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴))
2827orrd 862 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) = 0 ∨ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴))
2928orcomd 870 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ∨ (π‘…β€˜πΉ) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  lecple 17141  0.cp0 18313  Atomscatm 37728  HLchlt 37815  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  trLctrl 38624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8768  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625
This theorem is referenced by:  trlatn0  38638  cdlemg31b0a  39161  trlcone  39194  cdlemkfid1N  39387  tendoex  39441  dia2dimlem2  39531  dia2dimlem3  39532
  Copyright terms: Public domain W3C validator