Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | df-ne 2945 |
. . . 4
β’ ((π
βπΉ) β 0 β Β¬ (π
βπΉ) = 0 ) |
2 | | eqid 2737 |
. . . . . . . 8
β’
(leβπΎ) =
(leβπΎ) |
3 | | trl0a.a |
. . . . . . . 8
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
4 | | trl0a.h |
. . . . . . . 8
β’ π» = (LHypβπΎ) |
5 | 2, 3, 4 | lhpexnle 38472 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β βπ β π΄ Β¬ π(leβπΎ)π) |
6 | 5 | ad2antrr 725 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β§ (π
βπΉ) β 0 ) β βπ β π΄ Β¬ π(leβπΎ)π) |
7 | | simplll 774 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π) β§ (π
βπΉ) β 0 ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π(leβπΎ)π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
8 | | simpr 486 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π) β§ (π
βπΉ) β 0 ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π(leβπΎ)π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π(leβπΎ)π)) |
9 | | simpllr 775 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π) β§ (π
βπΉ) β 0 ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π(leβπΎ)π)) β πΉ β π) |
10 | | simplr 768 |
. . . . . . . 8
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π) β§ (π
βπΉ) β 0 ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π(leβπΎ)π)) β (π
βπΉ) β 0 ) |
11 | 7 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’
((((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π) β§ (π
βπΉ) β 0 ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π(leβπΎ)π)) β§ (πΉβπ) = π) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
12 | | simplr 768 |
. . . . . . . . . . 11
β’
((((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π) β§ (π
βπΉ) β 0 ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π(leβπΎ)π)) β§ (πΉβπ) = π) β (π β π΄ β§ Β¬ π(leβπΎ)π)) |
13 | 9 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’
((((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π) β§ (π
βπΉ) β 0 ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π(leβπΎ)π)) β§ (πΉβπ) = π) β πΉ β π) |
14 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . 11
β’
((((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π) β§ (π
βπΉ) β 0 ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π(leβπΎ)π)) β§ (πΉβπ) = π) β (πΉβπ) = π) |
15 | | trl0a.z |
. . . . . . . . . . . 12
β’ 0 =
(0.βπΎ) |
16 | | trl0a.t |
. . . . . . . . . . . 12
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
17 | | trl0a.r |
. . . . . . . . . . . 12
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
18 | 2, 15, 3, 4, 16, 17 | trl0 38636 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π(leβπΎ)π) β§ (πΉ β π β§ (πΉβπ) = π)) β (π
βπΉ) = 0 ) |
19 | 11, 12, 13, 14, 18 | syl112anc 1375 |
. . . . . . . . . 10
β’
((((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π) β§ (π
βπΉ) β 0 ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π(leβπΎ)π)) β§ (πΉβπ) = π) β (π
βπΉ) = 0 ) |
20 | 19 | ex 414 |
. . . . . . . . 9
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π) β§ (π
βπΉ) β 0 ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π(leβπΎ)π)) β ((πΉβπ) = π β (π
βπΉ) = 0 )) |
21 | 20 | necon3d 2965 |
. . . . . . . 8
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π) β§ (π
βπΉ) β 0 ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π(leβπΎ)π)) β ((π
βπΉ) β 0 β (πΉβπ) β π)) |
22 | 10, 21 | mpd 15 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π) β§ (π
βπΉ) β 0 ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π(leβπΎ)π)) β (πΉβπ) β π) |
23 | 2, 3, 4, 16, 17 | trlat 38635 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π(leβπΎ)π) β§ (πΉ β π β§ (πΉβπ) β π)) β (π
βπΉ) β π΄) |
24 | 7, 8, 9, 22, 23 | syl112anc 1375 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π) β§ (π
βπΉ) β 0 ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π(leβπΎ)π)) β (π
βπΉ) β π΄) |
25 | 6, 24 | rexlimddv 3159 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β§ (π
βπΉ) β 0 ) β (π
βπΉ) β π΄) |
26 | 25 | ex 414 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β ((π
βπΉ) β 0 β (π
βπΉ) β π΄)) |
27 | 1, 26 | biimtrrid 242 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β (Β¬ (π
βπΉ) = 0 β (π
βπΉ) β π΄)) |
28 | 27 | orrd 862 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β ((π
βπΉ) = 0 β¨ (π
βπΉ) β π΄)) |
29 | 28 | orcomd 870 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β ((π
βπΉ) β π΄ β¨ (π
βπΉ) = 0 )) |