Theorem gsumz 19041

Description: Value of a group sum over the zero element. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsumz.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumz	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑉

Allowed substitution hint:   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		gsumz.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2760	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		eqid 2760	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)} = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)}
5		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ Mnd)
6		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
7	2	fvexi 6904	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
8	7	snid 4619	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ { 0 }
9	1, 2, 3, 4	gsumvallem2 19039	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)} = { 0 })
10	8, 9	eleqtrrid 2867	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)})
11	10	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)})
12	11	fmpttd 7120	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0 ):𝐴⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)})
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12	gsumval1 18881	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412  {csn 4584   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396  +_gcplusg 17437  0_gc0g 17619   Σ_g cgsu 17620  Mndcmnd 18932

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-seq 14152  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933

This theorem is used by:  gsumval3  20130  gsumzres  20132  gsumzcl2  20133  gsumzf1o  20135  gsumzaddlem  20144  gsumzmhm  20160  gsumzoppg  20167  gsum2d  20195  dprdfeq0  20247  dprddisj2  20264  freshmansdream  21889  mplsubrglem  22320  evlslem1  22400  mhpsclcl  22477  mhpmulcl  22479  coe1tmmul2  22604  coe1tmmul  22605  cply1mul  22623  gsummoncoe1  22635  dmatmul  22821  smadiadetlem1a  22987  cpmatmcllem  23045  mp2pm2mplem4  23136  chfacfscmulgsum  23187  chfacfpmmulgsum  23191  tsms0  24470  tgptsmscls  24478  tdeglem4  26387  mdegmullem  26405  dchrptlem3  27602  gsummptres  33663  gsummptres2  33664  gsumfs2d  33672  suppgsumssiun  33683  elrgspnlem1  33853  elrgspnsubrunlem2  33859  elrspunidl  34028  rprmdvdsprod  34116  evl1deg1  34158  evl1deg2  34159  evl1deg3  34160  mplmulmvr  34221  esplyfval1  34255  lbsdiflsp0  34308  fedgmullem2  34312  extdgfialglem2  34375  esum0  34731  ply1mulgsumlem2  49607  lincvalsc0  49641  linc0scn0  49643