Theorem gsumz 18819

Description: Value of a group sum over the zero element. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsumz.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumz	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑉

Allowed substitution hint:   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		gsumz.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2736	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		eqid 2736	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)} = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)}
5		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ Mnd)
6		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
7	2	fvexi 6895	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
8	7	snid 4643	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ { 0 }
9	1, 2, 3, 4	gsumvallem2 18817	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)} = { 0 })
10	8, 9	eleqtrrid 2842	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)})
11	10	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)})
12	11	fmpttd 7110	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0 ):𝐴⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)})
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12	gsumval1 18666	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  {crab 3420  {csn 4606   ↦ cmpt 5206  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  0_gc0g 17458   Σ_g cgsu 17459  Mndcmnd 18717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-seq 14025  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718

This theorem is referenced by:  gsumval3  19893  gsumzres  19895  gsumzcl2  19896  gsumzf1o  19898  gsumzaddlem  19907  gsumzmhm  19923  gsumzoppg  19930  gsum2d  19958  dprdfeq0  20010  dprddisj2  20027  freshmansdream  21540  mplsubrglem  21969  evlslem1  22045  mhpsclcl  22090  mhpmulcl  22092  coe1tmmul2  22218  coe1tmmul  22219  cply1mul  22239  gsummoncoe1  22251  dmatmul  22440  smadiadetlem1a  22606  cpmatmcllem  22661  mp2pm2mplem4  22752  chfacfscmulgsum  22803  chfacfpmmulgsum  22807  tsms0  24085  tgptsmscls  24093  tdeglem4  26022  mdegmullem  26040  dchrptlem3  27234  gsummptres  33051  gsummptres2  33052  gsumfs2d  33054  elrgspnlem1  33242  elrgspnsubrunlem2  33248  elrspunidl  33448  rprmdvdsprod  33554  evl1deg1  33594  evl1deg2  33595  evl1deg3  33596  lbsdiflsp0  33671  fedgmullem2  33675  esum0  34085  ply1mulgsumlem2  48330  lincvalsc0  48364  linc0scn0  48366