Theorem gsumz 18739

Description: Value of a group sum over the zero element. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsumz.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumz	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑉

Allowed substitution hint:   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. 2 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		gsumz.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2729	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		eqid 2729	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)} = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)}
5		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ Mnd)
6		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
7	2	fvexi 6854	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
8	7	snid 4622	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ { 0 }
9	1, 2, 3, 4	gsumvallem2 18737	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)} = { 0 })
10	8, 9	eleqtrrid 2835	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)})
11	10	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)})
12	11	fmpttd 7069	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0 ):𝐴⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)})
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12	gsumval1 18586	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0 )) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3402  {csn 4585   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  0_gc0g 17378   Σ_g cgsu 17379  Mndcmnd 18637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-seq 13943  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638

This theorem is referenced by:  gsumval3  19813  gsumzres  19815  gsumzcl2  19816  gsumzf1o  19818  gsumzaddlem  19827  gsumzmhm  19843  gsumzoppg  19850  gsum2d  19878  dprdfeq0  19930  dprddisj2  19947  freshmansdream  21460  mplsubrglem  21889  evlslem1  21965  mhpsclcl  22010  mhpmulcl  22012  coe1tmmul2  22138  coe1tmmul  22139  cply1mul  22159  gsummoncoe1  22171  dmatmul  22360  smadiadetlem1a  22526  cpmatmcllem  22581  mp2pm2mplem4  22672  chfacfscmulgsum  22723  chfacfpmmulgsum  22727  tsms0  24005  tgptsmscls  24013  tdeglem4  25941  mdegmullem  25959  dchrptlem3  27153  gsummptres  32965  gsummptres2  32966  gsumfs2d  32968  elrgspnlem1  33166  elrgspnsubrunlem2  33172  elrspunidl  33372  rprmdvdsprod  33478  evl1deg1  33518  evl1deg2  33519  evl1deg3  33520  lbsdiflsp0  33595  fedgmullem2  33599  esum0  34012  ply1mulgsumlem2  48349  lincvalsc0  48383  linc0scn0  48385