Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > lineq | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Solution of a (scalar) linear equation. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
lineq.a | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
lineq.b | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
lineq.x | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
lineq.y | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
lineq.n0 | โข (๐ โ ๐ด โ 0) |
Ref | Expression |
---|---|
lineq | โข (๐ โ (((๐ด ยท ๐) + ๐ต) = ๐ โ ๐ = ((๐ โ ๐ต) / ๐ด))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | lineq.a | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | lineq.x | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
3 | 1, 2 | mulcld 11096 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด ยท ๐) โ โ) |
4 | lineq.b | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
5 | lineq.y | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
6 | 3, 4, 5 | addlsub 11492 | . 2 โข (๐ โ (((๐ด ยท ๐) + ๐ต) = ๐ โ (๐ด ยท ๐) = (๐ โ ๐ต))) |
7 | 5, 4 | subcld 11433 | . . 3 โข (๐ โ (๐ โ ๐ต) โ โ) |
8 | lineq.n0 | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ 0) | |
9 | 1, 2, 7, 8 | rdiv 11911 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐) = (๐ โ ๐ต) โ ๐ = ((๐ โ ๐ต) / ๐ด))) |
10 | 6, 9 | bitrd 278 | 1 โข (๐ โ (((๐ด ยท ๐) + ๐ต) = ๐ โ ๐ = ((๐ โ ๐ต) / ๐ด))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 = wceq 1540 โ wcel 2105 โ wne 2940 (class class class)co 7337 โcc 10970 0cc0 10972 + caddc 10975 ยท cmul 10977 โ cmin 11306 / cdiv 11733 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2707 ax-sep 5243 ax-nul 5250 ax-pow 5308 ax-pr 5372 ax-un 7650 ax-resscn 11029 ax-1cn 11030 ax-icn 11031 ax-addcl 11032 ax-addrcl 11033 ax-mulcl 11034 ax-mulrcl 11035 ax-mulcom 11036 ax-addass 11037 ax-mulass 11038 ax-distr 11039 ax-i2m1 11040 ax-1ne0 11041 ax-1rid 11042 ax-rnegex 11043 ax-rrecex 11044 ax-cnre 11045 ax-pre-lttri 11046 ax-pre-lttrn 11047 ax-pre-ltadd 11048 ax-pre-mulgt0 11049 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3349 df-reu 3350 df-rab 3404 df-v 3443 df-sbc 3728 df-csb 3844 df-dif 3901 df-un 3903 df-in 3905 df-ss 3915 df-nul 4270 df-if 4474 df-pw 4549 df-sn 4574 df-pr 4576 df-op 4580 df-uni 4853 df-br 5093 df-opab 5155 df-mpt 5176 df-id 5518 df-po 5532 df-so 5533 df-xp 5626 df-rel 5627 df-cnv 5628 df-co 5629 df-dm 5630 df-rn 5631 df-res 5632 df-ima 5633 df-iota 6431 df-fun 6481 df-fn 6482 df-f 6483 df-f1 6484 df-fo 6485 df-f1o 6486 df-fv 6487 df-riota 7293 df-ov 7340 df-oprab 7341 df-mpo 7342 df-er 8569 df-en 8805 df-dom 8806 df-sdom 8807 df-pnf 11112 df-mnf 11113 df-xr 11114 df-ltxr 11115 df-le 11116 df-sub 11308 df-neg 11309 df-div 11734 |
This theorem is referenced by: bj-lineqi 35593 itscnhlc0yqe 46464 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |