Theorem lineq 12077

Description: Solution of a (scalar) linear equation. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lineq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
lineq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
lineq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
lineq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
lineq.n0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
lineq	⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) = 𝑌 ↔ 𝑋 = ((𝑌 − 𝐵) / 𝐴)))

Proof of Theorem lineq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lineq.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		lineq.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
3	1, 2	mulcld 11254	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ ℂ)
4		lineq.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		lineq.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	addlsub 11655	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) = 𝑌 ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝑌 − 𝐵)))
7	5, 4	subcld 11594	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐵) ∈ ℂ)
8		lineq.n0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
9	1, 2, 7, 8	rdiv 12075	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝑌 − 𝐵) ↔ 𝑋 = ((𝑌 − 𝐵) / 𝐴)))
10	6, 9	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) = 𝑌 ↔ 𝑋 = ((𝑌 − 𝐵) / 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  (class class class)co 7414  ℂcc 11123  0cc0 11125   + caddc 11128   · cmul 11130   − cmin 11466   / cdiv 11896

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897

This theorem is used by:  bj-lineqi  38062  itscnhlc0yqe  49690