Theorem lineq 12057

Description: Solution of a (scalar) linear equation. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lineq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
lineq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
lineq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
lineq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
lineq.n0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
lineq	⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) = 𝑌 ↔ 𝑋 = ((𝑌 − 𝐵) / 𝐴)))

Proof of Theorem lineq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lineq.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		lineq.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
3	1, 2	mulcld 11240	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ ℂ)
4		lineq.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		lineq.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	addlsub 11636	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) = 𝑌 ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝑌 − 𝐵)))
7	5, 4	subcld 11577	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐵) ∈ ℂ)
8		lineq.n0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
9	1, 2, 7, 8	rdiv 12055	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝑌 − 𝐵) ↔ 𝑋 = ((𝑌 − 𝐵) / 𝐴)))
10	6, 9	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) = 𝑌 ↔ 𝑋 = ((𝑌 − 𝐵) / 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  (class class class)co 7413  ℂcc 11112  0cc0 11114   + caddc 11117   · cmul 11119   − cmin 11450   / cdiv 11877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878

This theorem is referenced by:  bj-lineqi  36495  itscnhlc0yqe  47534