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Theorem itscnhlc0yqe 44144
Description: Lemma for itsclc0 44156. Quadratic equation for the y-coordinate of the intersection points of a nonhorizontal line and a circle. (Contributed by AV, 6-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itscnhlc0yqe.q 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itscnhlc0yqe.t 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
itscnhlc0yqe.u 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
Assertion
Ref Expression
itscnhlc0yqe ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))

Proof of Theorem itscnhlc0yqe
StepHypRef Expression
1 recn 10424 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
21adantr 473 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
323ad2ant1 1114 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
433ad2ant1 1114 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 simp2 1118 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
653ad2ant1 1114 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℝ)
873ad2ant3 1116 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑌 ∈ ℝ)
96, 8remulcld 10469 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℝ)
109recnd 10467 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℂ)
11 recn 10424 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ)
1211adantr 473 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℂ)
13123ad2ant3 1116 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℂ)
14 simp3 1119 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
1514recnd 10467 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
16153ad2ant1 1114 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
17 simp11r 1266 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ≠ 0)
184, 10, 13, 16, 17lineq 11277 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶𝑋 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)))
1918anbi2d 620 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ 𝑋 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴))))
20 oveq1 6982 . . . . . 6 (𝑋 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → (𝑋↑2) = (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2))
2120oveq1d 6990 . . . . 5 (𝑋 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)))
2221eqeq1d 2775 . . . 4 (𝑋 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ↔ ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2)))
2322biimpac 471 . . 3 ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ 𝑋 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) → ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2))
24 simpl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
25243ad2ant1 1114 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2625resqcld 13425 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
2726recnd 10467 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
28273ad2ant1 1114 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
29143ad2ant1 1114 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
3029, 9resubcld 10868 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) ∈ ℝ)
31253ad2ant1 1114 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3230, 31, 17redivcld 11268 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) ∈ ℝ)
3332resqcld 13425 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) ∈ ℝ)
3433recnd 10467 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
357resqcld 13425 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
3635recnd 10467 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
37363ad2ant3 1116 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
3828, 34, 37adddid 10463 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2))) = (((𝐴↑2) · (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))))
3930recnd 10467 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) ∈ ℂ)
4024recnd 10467 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
41403ad2ant1 1114 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
42413ad2ant1 1114 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4339, 42, 17sqdivd 13337 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) = (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) / (𝐴↑2)))
4443oveq2d 6991 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2)) = ((𝐴↑2) · (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) / (𝐴↑2))))
4530resqcld 13425 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) ∈ ℝ)
4645recnd 10467 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) ∈ ℂ)
4724resqcld 13425 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
4847recnd 10467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
49483ad2ant1 1114 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
50493ad2ant1 1114 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
51 sqne0 13303 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
521, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
5352biimpar 470 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑2) ≠ 0)
54533ad2ant1 1114 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ≠ 0)
55543ad2ant1 1114 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴↑2) ≠ 0)
5646, 50, 55divcan2d 11218 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) / (𝐴↑2))) = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2))
5744, 56eqtrd 2809 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2)) = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2))
5857oveq1d 6990 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑2) · (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))))
5938, 58eqtrd 2809 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2))) = (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))))
6059eqeq1d 2775 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑2) · ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2))) = ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ↔ (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))
618resqcld 13425 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
6233, 61readdcld 10468 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℝ)
6362recnd 10467 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
64 rpre 12211 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ)
6564resqcld 13425 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
6665recnd 10467 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
67663ad2ant2 1115 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
68473ad2ant1 1114 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
69683ad2ant1 1114 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
7069recnd 10467 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
7163, 67, 70, 55mulcand 11073 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑2) · ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2))) = ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ↔ ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2)))
72 binom2sub 13395 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ ℂ) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) = (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)))
7316, 10, 72syl2anc 576 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) = (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)))
7473oveq1d 6990 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = ((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))))
7574eqeq1d 2775 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ↔ ((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))
7614resqcld 13425 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
77763ad2ant1 1114 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
78 2re 11513 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 2 ∈ ℝ)
8029, 9remulcld 10469 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)) ∈ ℝ)
8179, 80remulcld 10469 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌))) ∈ ℝ)
8277, 81resubcld 10868 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) ∈ ℝ)
839resqcld 13425 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑌)↑2) ∈ ℝ)
8482, 83readdcld 10468 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) ∈ ℝ)
8569, 61remulcld 10469 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · (𝑌↑2)) ∈ ℝ)
8684, 85readdcld 10468 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) ∈ ℝ)
8786recnd 10467 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) ∈ ℂ)
88653ad2ant2 1115 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
8969, 88remulcld 10469 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℝ)
9089recnd 10467 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
9187, 90, 90subcan2ad 10842 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) ↔ ((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))
9282recnd 10467 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) ∈ ℂ)
9383recnd 10467 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑌)↑2) ∈ ℂ)
9485recnd 10467 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
9592, 93, 94addassd 10461 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + (((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2)))))
9629recnd 10467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
975recnd 10467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
98973ad2ant1 1114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
998recnd 10467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑌 ∈ ℂ)
10096, 98, 99mulassd 10462 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶 · 𝐵) · 𝑌) = (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))
10115, 97mulcomd 10460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
1021013ad2ant1 1114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
103102oveq1d 6990 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶 · 𝐵) · 𝑌) = ((𝐵 · 𝐶) · 𝑌))
104100, 103eqtr3d 2811 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐵 · 𝐶) · 𝑌))
105104oveq2d 6991 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌))) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) · 𝑌)))
10679recnd 10467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 2 ∈ ℂ)
1075, 14remulcld 10469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
1081073ad2ant1 1114 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
109108recnd 10467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
110106, 109, 99mulassd 10462 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) · 𝑌)))
111105, 110eqtr4d 2812 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌))) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
112111oveq2d 6991 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) = ((𝐶↑2) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)))
11398, 99sqmuld 13336 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑌)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝑌↑2)))
114113oveq1d 6990 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = (((𝐵↑2) · (𝑌↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))))
1156resqcld 13425 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
116115recnd 10467 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
11731resqcld 13425 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
118117recnd 10467 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
11961recnd 10467 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
120116, 118, 119adddird 10464 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) = (((𝐵↑2) · (𝑌↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))))
121114, 120eqtr4d 2812 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)))
122112, 121oveq12d 6993 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + (((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2)))) = (((𝐶↑2) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2))))
12395, 122eqtrd 2809 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = (((𝐶↑2) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2))))
124123oveq1d 6990 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = ((((𝐶↑2) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2))) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))
12577recnd 10467 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
1265resqcld 13425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
127126, 68readdcld 10468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
1281273ad2ant1 1114 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
129128, 61remulcld 10469 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) ∈ ℝ)
1306, 29remulcld 10469 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
13179, 130remulcld 10469 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
132131, 8remulcld 10469 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) ∈ ℝ)
133129, 132resubcld 10868 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) ∈ ℝ)
134133recnd 10467 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) ∈ ℂ)
135132recnd 10467 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) ∈ ℂ)
136129recnd 10467 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
137125, 135, 136subadd23d 10819 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐶↑2) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2))) = ((𝐶↑2) + ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))))
138125, 134, 137comraddd 10653 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐶↑2) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2))) = (((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (𝐶↑2)))
139138oveq1d 6990 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐶↑2) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2))) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = ((((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (𝐶↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))
140134, 125, 90addsubassd 10817 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (𝐶↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = (((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
141136, 135negsubd 10803 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) = ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)))
142141eqcomd 2779 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) = ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)))
143142oveq1d 6990 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = (((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
144132renegcld 10867 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) ∈ ℝ)
145144recnd 10467 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) ∈ ℂ)
14677, 89resubcld 10868 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℝ)
147146recnd 10467 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
148136, 145, 147addassd 10461 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))))
149140, 143, 1483eqtrd 2813 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (𝐶↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))))
150124, 139, 1493eqtrd 2813 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))))
15190subidd 10785 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = 0)
152150, 151eqeq12d 2788 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) ↔ ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
15375, 91, 1523bitr2d 299 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ↔ ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
15460, 71, 1533bitr3d 301 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ↔ ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
155 itscnhlc0yqe.q . . . . . . . . . . 11 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
156155a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
157118, 116, 156comraddd 10653 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑄 = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
158157oveq1d 6990 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑄 · (𝑌↑2)) = (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)))
159 itscnhlc0yqe.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
160159a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶)))
161160oveq1d 6990 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑇 · 𝑌) = (-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
162131recnd 10467 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
163162, 99mulneg1d 10893 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
164161, 163eqtrd 2809 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑇 · 𝑌) = -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
165 itscnhlc0yqe.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
166165a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))
167164, 166oveq12d 6993 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈) = (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
168158, 167oveq12d 6993 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))))
169168eqcomd 2779 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)))
170169eqeq1d 2775 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = 0 ↔ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
171170biimpd 221 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = 0 → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
172154, 171sylbid 232 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
17323, 172syl5 34 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ 𝑋 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
17419, 173sylbid 232 1 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051  wne 2962  (class class class)co 6975  cc 10332  cr 10333  0cc0 10334   + caddc 10337   · cmul 10339  cmin 10669  -cneg 10670   / cdiv 11097  2c2 11494  +crp 12203  cexp 13243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-div 11098  df-nn 11439  df-2 11502  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-rp 12204  df-seq 13184  df-exp 13244
This theorem is referenced by:  itsclc0yqe  44146  itsclquadb  44161
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