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Theorem itscnhlc0yqe 46835
Description: Lemma for itsclc0 46847. Quadratic equation for the y-coordinate of the intersection points of a nonhorizontal line and a circle. (Contributed by AV, 6-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itscnhlc0yqe.q 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itscnhlc0yqe.t 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
itscnhlc0yqe.u 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
Assertion
Ref Expression
itscnhlc0yqe ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))

Proof of Theorem itscnhlc0yqe
StepHypRef Expression
1 recn 11141 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
21adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
323ad2ant1 1133 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
433ad2ant1 1133 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 simp2 1137 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
653ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℝ)
873ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑌 ∈ ℝ)
96, 8remulcld 11185 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℝ)
109recnd 11183 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℂ)
11 recn 11141 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ)
1211adantr 481 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℂ)
13123ad2ant3 1135 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℂ)
14 simp3 1138 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
1514recnd 11183 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
16153ad2ant1 1133 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
17 simp11r 1285 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ≠ 0)
184, 10, 13, 16, 17lineq 11992 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶𝑋 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)))
1918anbi2d 629 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ 𝑋 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴))))
20 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑋 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → (𝑋↑2) = (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2))
2120oveq1d 7372 . . . . 5 (𝑋 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)))
2221eqeq1d 2738 . . . 4 (𝑋 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ↔ ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2)))
2322biimpac 479 . . 3 ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ 𝑋 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) → ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2))
24 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
25243ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2625resqcld 14030 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
2726recnd 11183 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
28273ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
29143ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
3029, 9resubcld 11583 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) ∈ ℝ)
31253ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3230, 31, 17redivcld 11983 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) ∈ ℝ)
3332resqcld 14030 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) ∈ ℝ)
3433recnd 11183 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
357resqcld 14030 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
3635recnd 11183 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
37363ad2ant3 1135 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
3828, 34, 37adddid 11179 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2))) = (((𝐴↑2) · (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))))
3930recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) ∈ ℂ)
4024recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
41403ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
42413ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4339, 42, 17sqdivd 14064 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) = (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) / (𝐴↑2)))
4443oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2)) = ((𝐴↑2) · (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) / (𝐴↑2))))
4530resqcld 14030 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) ∈ ℝ)
4645recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) ∈ ℂ)
4724resqcld 14030 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
4847recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
49483ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
50493ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
51 sqne0 14028 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
521, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
5352biimpar 478 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑2) ≠ 0)
54533ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ≠ 0)
55543ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴↑2) ≠ 0)
5646, 50, 55divcan2d 11933 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) / (𝐴↑2))) = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2))
5744, 56eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2)) = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2))
5857oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑2) · (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))))
5938, 58eqtrd 2776 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2))) = (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))))
6059eqeq1d 2738 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑2) · ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2))) = ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ↔ (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))
618resqcld 14030 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
6233, 61readdcld 11184 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℝ)
6362recnd 11183 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
64 rpre 12923 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ)
6564resqcld 14030 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
6665recnd 11183 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
67663ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
68473ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
69683ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
7069recnd 11183 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
7163, 67, 70, 55mulcand 11788 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑2) · ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2))) = ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ↔ ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2)))
72 binom2sub 14123 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ ℂ) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) = (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)))
7316, 10, 72syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) = (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)))
7473oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = ((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))))
7574eqeq1d 2738 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ↔ ((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))
7614resqcld 14030 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
77763ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
78 2re 12227 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 2 ∈ ℝ)
8029, 9remulcld 11185 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)) ∈ ℝ)
8179, 80remulcld 11185 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌))) ∈ ℝ)
8277, 81resubcld 11583 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) ∈ ℝ)
839resqcld 14030 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑌)↑2) ∈ ℝ)
8482, 83readdcld 11184 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) ∈ ℝ)
8569, 61remulcld 11185 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · (𝑌↑2)) ∈ ℝ)
8684, 85readdcld 11184 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) ∈ ℝ)
8786recnd 11183 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) ∈ ℂ)
88653ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
8969, 88remulcld 11185 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℝ)
9089recnd 11183 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
9187, 90, 90subcan2ad 11557 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) ↔ ((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))
9282recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) ∈ ℂ)
9383recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑌)↑2) ∈ ℂ)
9485recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
9592, 93, 94addassd 11177 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + (((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2)))))
9629recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
975recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
98973ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
998recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑌 ∈ ℂ)
10096, 98, 99mulassd 11178 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶 · 𝐵) · 𝑌) = (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))
10115, 97mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
1021013ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
103102oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶 · 𝐵) · 𝑌) = ((𝐵 · 𝐶) · 𝑌))
104100, 103eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐵 · 𝐶) · 𝑌))
105104oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌))) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) · 𝑌)))
10679recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 2 ∈ ℂ)
1075, 14remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
1081073ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
109108recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
110106, 109, 99mulassd 11178 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) · 𝑌)))
111105, 110eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌))) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
112111oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) = ((𝐶↑2) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)))
11398, 99sqmuld 14063 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑌)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝑌↑2)))
114113oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = (((𝐵↑2) · (𝑌↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))))
1156resqcld 14030 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
116115recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
11731resqcld 14030 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
118117recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
11961recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
120116, 118, 119adddird 11180 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) = (((𝐵↑2) · (𝑌↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))))
121114, 120eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)))
122112, 121oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + (((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2)))) = (((𝐶↑2) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2))))
12395, 122eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = (((𝐶↑2) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2))))
124123oveq1d 7372 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = ((((𝐶↑2) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2))) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))
12577recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
1265resqcld 14030 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
127126, 68readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
1281273ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
129128, 61remulcld 11185 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) ∈ ℝ)
1306, 29remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
13179, 130remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
132131, 8remulcld 11185 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) ∈ ℝ)
133129, 132resubcld 11583 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) ∈ ℝ)
134133recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) ∈ ℂ)
135132recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) ∈ ℂ)
136129recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
137125, 135, 136subadd23d 11534 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐶↑2) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2))) = ((𝐶↑2) + ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))))
138125, 134, 137comraddd 11369 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐶↑2) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2))) = (((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (𝐶↑2)))
139138oveq1d 7372 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐶↑2) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2))) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = ((((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (𝐶↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))
140134, 125, 90addsubassd 11532 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (𝐶↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = (((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
141136, 135negsubd 11518 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) = ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)))
142141eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) = ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)))
143142oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = (((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
144132renegcld 11582 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) ∈ ℝ)
145144recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) ∈ ℂ)
14677, 89resubcld 11583 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℝ)
147146recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
148136, 145, 147addassd 11177 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))))
149140, 143, 1483eqtrd 2780 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (𝐶↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))))
150124, 139, 1493eqtrd 2780 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))))
15190subidd 11500 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = 0)
152150, 151eqeq12d 2752 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) ↔ ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
15375, 91, 1523bitr2d 306 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ↔ ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
15460, 71, 1533bitr3d 308 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ↔ ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
155 itscnhlc0yqe.q . . . . . . . . . . 11 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
156155a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
157118, 116, 156comraddd 11369 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑄 = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
158157oveq1d 7372 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑄 · (𝑌↑2)) = (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)))
159 itscnhlc0yqe.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
160159a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶)))
161160oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑇 · 𝑌) = (-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
162131recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
163162, 99mulneg1d 11608 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
164161, 163eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑇 · 𝑌) = -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
165 itscnhlc0yqe.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
166165a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))
167164, 166oveq12d 7375 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈) = (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
168158, 167oveq12d 7375 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))))
169168eqcomd 2742 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)))
170169eqeq1d 2738 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = 0 ↔ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
171170biimpd 228 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = 0 → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
172154, 171sylbid 239 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
17323, 172syl5 34 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ 𝑋 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
17419, 173sylbid 239 1 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  +crp 12915  cexp 13967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968
This theorem is referenced by:  itsclc0yqe  46837  itsclquadb  46852
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