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Theorem itscnhlc0yqe 45100
Description: Lemma for itsclc0 45112. Quadratic equation for the y-coordinate of the intersection points of a nonhorizontal line and a circle. (Contributed by AV, 6-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itscnhlc0yqe.q 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itscnhlc0yqe.t 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
itscnhlc0yqe.u 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
Assertion
Ref Expression
itscnhlc0yqe ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))

Proof of Theorem itscnhlc0yqe
StepHypRef Expression
1 recn 10626 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
21adantr 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
323ad2ant1 1130 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
433ad2ant1 1130 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 simp2 1134 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
653ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℝ)
873ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑌 ∈ ℝ)
96, 8remulcld 10670 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℝ)
109recnd 10668 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℂ)
11 recn 10626 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ)
1211adantr 484 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℂ)
13123ad2ant3 1132 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℂ)
14 simp3 1135 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
1514recnd 10668 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
16153ad2ant1 1130 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
17 simp11r 1282 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ≠ 0)
184, 10, 13, 16, 17lineq 11476 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶𝑋 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)))
1918anbi2d 631 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ 𝑋 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴))))
20 oveq1 7157 . . . . . 6 (𝑋 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → (𝑋↑2) = (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2))
2120oveq1d 7165 . . . . 5 (𝑋 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)))
2221eqeq1d 2826 . . . 4 (𝑋 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ↔ ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2)))
2322biimpac 482 . . 3 ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ 𝑋 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) → ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2))
24 simpl 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
25243ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2625resqcld 13619 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
2726recnd 10668 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
28273ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
29143ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
3029, 9resubcld 11067 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) ∈ ℝ)
31253ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3230, 31, 17redivcld 11467 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) ∈ ℝ)
3332resqcld 13619 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) ∈ ℝ)
3433recnd 10668 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
357resqcld 13619 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
3635recnd 10668 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
37363ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
3828, 34, 37adddid 10664 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2))) = (((𝐴↑2) · (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))))
3930recnd 10668 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) ∈ ℂ)
4024recnd 10668 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
41403ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
42413ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4339, 42, 17sqdivd 13531 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) = (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) / (𝐴↑2)))
4443oveq2d 7166 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2)) = ((𝐴↑2) · (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) / (𝐴↑2))))
4530resqcld 13619 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) ∈ ℝ)
4645recnd 10668 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) ∈ ℂ)
4724resqcld 13619 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
4847recnd 10668 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
49483ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
50493ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
51 sqne0 13497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
521, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
5352biimpar 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑2) ≠ 0)
54533ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ≠ 0)
55543ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴↑2) ≠ 0)
5646, 50, 55divcan2d 11417 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) / (𝐴↑2))) = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2))
5744, 56eqtrd 2859 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2)) = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2))
5857oveq1d 7165 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑2) · (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))))
5938, 58eqtrd 2859 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2))) = (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))))
6059eqeq1d 2826 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑2) · ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2))) = ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ↔ (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))
618resqcld 13619 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
6233, 61readdcld 10669 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℝ)
6362recnd 10668 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
64 rpre 12397 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ)
6564resqcld 13619 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
6665recnd 10668 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
67663ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
68473ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
69683ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
7069recnd 10668 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
7163, 67, 70, 55mulcand 11272 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑2) · ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2))) = ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ↔ ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2)))
72 binom2sub 13589 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ ℂ) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) = (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)))
7316, 10, 72syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) = (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)))
7473oveq1d 7165 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = ((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))))
7574eqeq1d 2826 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ↔ ((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))
7614resqcld 13619 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
77763ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
78 2re 11711 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 2 ∈ ℝ)
8029, 9remulcld 10670 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)) ∈ ℝ)
8179, 80remulcld 10670 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌))) ∈ ℝ)
8277, 81resubcld 11067 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) ∈ ℝ)
839resqcld 13619 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑌)↑2) ∈ ℝ)
8482, 83readdcld 10669 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) ∈ ℝ)
8569, 61remulcld 10670 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · (𝑌↑2)) ∈ ℝ)
8684, 85readdcld 10669 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) ∈ ℝ)
8786recnd 10668 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) ∈ ℂ)
88653ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
8969, 88remulcld 10670 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℝ)
9089recnd 10668 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
9187, 90, 90subcan2ad 11041 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) ↔ ((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))
9282recnd 10668 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) ∈ ℂ)
9383recnd 10668 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑌)↑2) ∈ ℂ)
9485recnd 10668 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑2) · (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
9592, 93, 94addassd 10662 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + (((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2)))))
9629recnd 10668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
975recnd 10668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
98973ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
998recnd 10668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑌 ∈ ℂ)
10096, 98, 99mulassd 10663 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶 · 𝐵) · 𝑌) = (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))
10115, 97mulcomd 10661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
1021013ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
103102oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶 · 𝐵) · 𝑌) = ((𝐵 · 𝐶) · 𝑌))
104100, 103eqtr3d 2861 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐵 · 𝐶) · 𝑌))
105104oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌))) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) · 𝑌)))
10679recnd 10668 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 2 ∈ ℂ)
1075, 14remulcld 10670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
1081073ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
109108recnd 10668 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
110106, 109, 99mulassd 10663 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) · 𝑌)))
111105, 110eqtr4d 2862 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌))) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
112111oveq2d 7166 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) = ((𝐶↑2) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)))
11398, 99sqmuld 13530 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · 𝑌)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝑌↑2)))
114113oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = (((𝐵↑2) · (𝑌↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))))
1156resqcld 13619 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
116115recnd 10668 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
11731resqcld 13619 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
118117recnd 10668 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
11961recnd 10668 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
120116, 118, 119adddird 10665 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) = (((𝐵↑2) · (𝑌↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))))
121114, 120eqtr4d 2862 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)))
122112, 121oveq12d 7168 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + (((𝐵 · 𝑌)↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2)))) = (((𝐶↑2) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2))))
12395, 122eqtrd 2859 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = (((𝐶↑2) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2))))
124123oveq1d 7165 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = ((((𝐶↑2) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2))) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))
12577recnd 10668 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
1265resqcld 13619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
127126, 68readdcld 10669 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
1281273ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
129128, 61remulcld 10670 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) ∈ ℝ)
1306, 29remulcld 10670 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
13179, 130remulcld 10670 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
132131, 8remulcld 10670 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) ∈ ℝ)
133129, 132resubcld 11067 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) ∈ ℝ)
134133recnd 10668 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) ∈ ℂ)
135132recnd 10668 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) ∈ ℂ)
136129recnd 10668 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
137125, 135, 136subadd23d 11018 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐶↑2) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2))) = ((𝐶↑2) + ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))))
138125, 134, 137comraddd 10853 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐶↑2) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2))) = (((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (𝐶↑2)))
139138oveq1d 7165 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐶↑2) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2))) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = ((((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (𝐶↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))
140134, 125, 90addsubassd 11016 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (𝐶↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = (((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
141136, 135negsubd 11002 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) = ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)))
142141eqcomd 2830 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) = ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)))
143142oveq1d 7165 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = (((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
144132renegcld 11066 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) ∈ ℝ)
145144recnd 10668 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) ∈ ℂ)
14677, 89resubcld 11067 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℝ)
147146recnd 10668 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
148136, 145, 147addassd 10662 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))))
149140, 143, 1483eqtrd 2863 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + (𝐶↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))))
150124, 139, 1493eqtrd 2863 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))))
15190subidd 10984 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = 0)
152150, 151eqeq12d 2840 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) ↔ ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
15375, 91, 1523bitr2d 310 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ↔ ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
15460, 71, 1533bitr3d 312 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ↔ ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = 0))
155 itscnhlc0yqe.q . . . . . . . . . . 11 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
156155a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
157118, 116, 156comraddd 10853 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑄 = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
158157oveq1d 7165 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑄 · (𝑌↑2)) = (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)))
159 itscnhlc0yqe.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
160159a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶)))
161160oveq1d 7165 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑇 · 𝑌) = (-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
162131recnd 10668 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
163162, 99mulneg1d 11092 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
164161, 163eqtrd 2859 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑇 · 𝑌) = -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
165 itscnhlc0yqe.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
166165a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))
167164, 166oveq12d 7168 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈) = (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
168158, 167oveq12d 7168 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))))
169168eqcomd 2830 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)))
170169eqeq1d 2826 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = 0 ↔ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
171170biimpd 232 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) + (-((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = 0 → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
172154, 171sylbid 243 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
17323, 172syl5 34 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ 𝑋 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
17419, 173sylbid 243 1 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  (class class class)co 7150  cc 10534  cr 10535  0cc0 10536   + caddc 10539   · cmul 10541  cmin 10869  -cneg 10870   / cdiv 11296  2c2 11692  +crp 12389  cexp 13437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-n0 11898  df-z 11982  df-uz 12244  df-rp 12390  df-seq 13377  df-exp 13438
This theorem is referenced by:  itsclc0yqe  45102  itsclquadb  45117
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