MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmbrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmbrf 21344
Description: Express the binary relation "sequence 𝐹 converges to point 𝑃 " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. This version of lmbr2 21343 presupposes that 𝐹 is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmbr.2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmbr2.4 𝑍 = (ℤ𝑀)
lmbr2.5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
lmbrf.6 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
lmbrf.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lmbrf (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐴𝑢))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑢,𝐹   𝑗,𝐽,𝑘,𝑢   𝜑,𝑗,𝑘,𝑢   𝑗,𝑍,𝑘,𝑢   𝑗,𝑀   𝑃,𝑗,𝑘,𝑢   𝑗,𝑋,𝑘,𝑢
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑢,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑢,𝑘)

Proof of Theorem lmbrf
StepHypRef Expression
1 lmbr.2 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 lmbr2.4 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 lmbr2.5 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
41, 2, 3lmbr2 21343 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
5 3anass 1116 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
62uztrn2 11904 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
7 lmbrf.7 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
87eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑢𝐴𝑢))
9 lmbrf.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
109fdmd 6232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
1110eleq2d 2830 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑘 ∈ dom 𝐹𝑘𝑍))
1211biimpar 469 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
1312biantrurd 528 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
148, 13bitr3d 272 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴𝑢 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
156, 14sylan2 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐴𝑢 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
1615anassrs 459 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐴𝑢 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
1716ralbidva 3132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐴𝑢 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
1817rexbidva 3196 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐴𝑢 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
1918imbi2d 331 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐴𝑢) ↔ (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
2019ralbidv 3133 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐴𝑢) ↔ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
2120anbi2d 622 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐴𝑢)) ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
22 toponmax 21010 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋𝐽)
231, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐽)
24 cnex 10270 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
2523, 24jctir 516 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝐽 ∧ ℂ ∈ V))
26 uzssz 11906 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
27 zsscn 11632 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℂ
2826, 27sstri 3770 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℂ
292, 28eqsstri 3795 . . . . . . 7 𝑍 ⊆ ℂ
309, 29jctir 516 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ))
31 elpm2r 8078 . . . . . 6 (((𝑋𝐽 ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
3225, 30, 31syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
3332biantrurd 528 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))))
3421, 33bitr2d 271 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))) ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐴𝑢))))
355, 34syl5bb 274 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐴𝑢))))
364, 35bitrd 270 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐴𝑢))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  wss 3732   class class class wbr 4809  dom cdm 5277  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  pm cpm 8061  cc 10187  cz 11624  cuz 11886  TopOnctopon 20994  𝑡clm 21310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-er 7947  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-neg 10523  df-z 11625  df-uz 11887  df-top 20978  df-topon 20995  df-lm 21313
This theorem is referenced by:  lmconst  21345  lmss  21382  1stcelcls  21544  txlm  21731  lmflf  22088  lmxrge0  30380
  Copyright terms: Public domain W3C validator