MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmbrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmbrf 23216
Description: Express the binary relation "sequence 𝐹 converges to point 𝑃 " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. This version of lmbr2 23215 presupposes that 𝐹 is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmbr.2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmbr2.4 𝑍 = (ℤ𝑀)
lmbr2.5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
lmbrf.6 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
lmbrf.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lmbrf (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐴𝑢))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑢,𝐹   𝑗,𝐽,𝑘,𝑢   𝜑,𝑗,𝑘,𝑢   𝑗,𝑍,𝑘,𝑢   𝑗,𝑀   𝑃,𝑗,𝑘,𝑢   𝑗,𝑋,𝑘,𝑢
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑢,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑢,𝑘)

Proof of Theorem lmbrf
StepHypRef Expression
1 lmbr.2 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 lmbr2.4 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 lmbr2.5 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
41, 2, 3lmbr2 23215 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
5 3anass 1095 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
62uztrn2 12782 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
7 lmbrf.7 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
87eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑢𝐴𝑢))
9 lmbrf.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
109fdmd 6680 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
1110eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑘 ∈ dom 𝐹𝑘𝑍))
1211biimpar 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
1312biantrurd 532 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
148, 13bitr3d 281 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴𝑢 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
156, 14sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐴𝑢 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
1615anassrs 467 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐴𝑢 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
1716ralbidva 3159 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐴𝑢 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
1817rexbidva 3160 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐴𝑢 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
1918imbi2d 340 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐴𝑢) ↔ (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
2019ralbidv 3161 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐴𝑢) ↔ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
2120anbi2d 631 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐴𝑢)) ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
22 toponmax 22882 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋𝐽)
231, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐽)
24 cnex 11119 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
2523, 24jctir 520 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝐽 ∧ ℂ ∈ V))
26 uzssz 12784 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
27 zsscn 12508 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℂ
2826, 27sstri 3945 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℂ
292, 28eqsstri 3982 . . . . . . 7 𝑍 ⊆ ℂ
309, 29jctir 520 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ))
31 elpm2r 8794 . . . . . 6 (((𝑋𝐽 ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
3225, 30, 31syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
3332biantrurd 532 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))))
3421, 33bitr2d 280 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))) ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐴𝑢))))
355, 34bitrid 283 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐴𝑢))))
364, 35bitrd 279 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐴𝑢))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3052  wrex 3062  Vcvv 3442  wss 3903   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  wf 6496  cfv 6500  (class class class)co 7368  pm cpm 8776  cc 11036  cz 12500  cuz 12763  TopOnctopon 22866  𝑡clm 23182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-er 8645  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-neg 11379  df-z 12501  df-uz 12764  df-top 22850  df-topon 22867  df-lm 23185
This theorem is referenced by:  lmconst  23217  lmss  23254  1stcelcls  23417  txlm  23604  lmflf  23961  lmxrge0  34130
  Copyright terms: Public domain W3C validator