Theorem ltmulsd 28532

Description: An ordering relationship for surreal multiplication. Compare theorem 8(iii) of [Conway] p. 19. (Contributed by Scott Fenton, 6-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmulsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
ltmulsd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
ltmulsd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
ltmulsd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No)
ltmulsd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
ltmulsd.6	⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
ltmulsd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐷) −s (𝐴 ·s 𝐶)) <s ((𝐵 ·s 𝐷) −s (𝐵 ·s 𝐶)))

Proof of Theorem ltmulsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmulsd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
2		ltmulsd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 𝐷)
3		ltmulsd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
4		ltmulsd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
5		ltmulsd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
6		ltmulsd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No)
7		ltmuls 28531	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) ∧ (𝐶 ∈ No ∧ 𝐷 ∈ No)) → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ 𝐶 <s 𝐷) → ((𝐴 ·s 𝐷) −s (𝐴 ·s 𝐶)) <s ((𝐵 ·s 𝐷) −s (𝐵 ·s 𝐶))))
8	3, 4, 5, 6, 7	syl22anc 852	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ 𝐶 <s 𝐷) → ((𝐴 ·s 𝐷) −s (𝐴 ·s 𝐶)) <s ((𝐵 ·s 𝐷) −s (𝐵 ·s 𝐶))))
9	1, 2, 8	mp2and 712	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐷) −s (𝐴 ·s 𝐶)) <s ((𝐵 ·s 𝐷) −s (𝐵 ·s 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424  Nocsur 28006   <s clts 28007   −_s csubs 28415   ·_s cmuls 28501

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-1o 8484  df-2o 8485  df-nadd 8683  df-no 28009  df-lts 28010  df-bday 28011  df-les 28111  df-slts 28153  df-cuts 28155  df-0s 28202  df-made 28222  df-old 28223  df-left 28225  df-right 28226  df-norec 28333  df-norec2 28344  df-adds 28355  df-negs 28416  df-subs 28417  df-muls 28502

This theorem is used by:  lemulsd  28533  mulsgt0  28539  sltmuls1  28542  sltmuls2  28543