Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem22 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem22 38934
Description: Lemma for mapdpg 38947. Baer p. 45, line 9: "(F(x-y))* = ... = G(x'-y')." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q 𝑄 = (0g𝑈)
mapdpglem.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z 0 = (0g𝐴)
mapdpglem4.g4 (𝜑𝑔𝐵)
mapdpglem4.z4 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn (𝜑𝑋𝑄)
mapdpglem12.yn (𝜑𝑌𝑄)
mapdpglem17.ep 𝐸 = (((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem22 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐸(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem22
StepHypRef Expression
1 mapdpglem4.jt . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
2 mapdpglem.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 mapdpglem.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdpglem.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
52, 3, 4lcdlvec 38832 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
6 mapdpglem.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
72, 6, 4dvhlvec 38350 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
8 mapdpglem3.a . . . . . . 7 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
98lvecdrng 19877 . . . . . 6 (𝑈 ∈ LVec → 𝐴 ∈ DivRing)
107, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ DivRing)
11 mapdpglem4.g4 . . . . 5 (𝜑𝑔𝐵)
12 mapdpglem.m . . . . . 6 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 mapdpglem.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
14 mapdpglem.s . . . . . 6 = (-g𝑈)
15 mapdpglem.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
16 mapdpglem.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
17 mapdpglem.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
18 mapdpglem1.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝐶)
19 mapdpglem2.j . . . . . 6 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
20 mapdpglem3.f . . . . . 6 𝐹 = (Base‘𝐶)
21 mapdpglem3.te . . . . . 6 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
22 mapdpglem3.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
23 mapdpglem3.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝐶)
24 mapdpglem3.r . . . . . 6 𝑅 = (-g𝐶)
25 mapdpglem3.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
26 mapdpglem3.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
27 mapdpglem4.q . . . . . 6 𝑄 = (0g𝑈)
28 mapdpglem.ne . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
29 mapdpglem4.z . . . . . 6 0 = (0g𝐴)
30 mapdpglem4.z4 . . . . . 6 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
31 mapdpglem4.t4 . . . . . 6 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
32 mapdpglem4.xn . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑄)
332, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 8, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 1, 29, 11, 30, 31, 32mapdpglem11 38923 . . . . 5 (𝜑𝑔0 )
34 eqid 2824 . . . . . 6 (invr𝐴) = (invr𝐴)
3522, 29, 34drnginvrcl 19519 . . . . 5 ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔𝐵𝑔0 ) → ((invr𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
3610, 11, 33, 35syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → ((invr𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
37 eqid 2824 . . . . 5 (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
38 eqid 2824 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
392, 6, 8, 22, 3, 37, 38, 4lcdsbase 38841 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
4036, 39eleqtrrd 2919 . . 3 (𝜑 → ((invr𝐴)‘𝑔) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
4122, 29, 34drnginvrn0 19520 . . . . 5 ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔𝐵𝑔0 ) → ((invr𝐴)‘𝑔) ≠ 0 )
4210, 11, 33, 41syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → ((invr𝐴)‘𝑔) ≠ 0 )
43 eqid 2824 . . . . 5 (0g‘(Scalar‘𝐶)) = (0g‘(Scalar‘𝐶))
442, 6, 8, 29, 3, 37, 43, 4lcd0 38849 . . . 4 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐶)) = 0 )
4542, 44neeqtrrd 3088 . . 3 (𝜑 → ((invr𝐴)‘𝑔) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐶)))
462, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21mapdpglem2a 38915 . . 3 (𝜑𝑡𝐹)
4720, 37, 23, 38, 43, 19lspsnvs 19886 . . 3 ((𝐶 ∈ LVec ∧ (((invr𝐴)‘𝑔) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)) ∧ ((invr𝐴)‘𝑔) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐶))) ∧ 𝑡𝐹) → (𝐽‘{(((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑡)}) = (𝐽‘{𝑡}))
485, 40, 45, 46, 47syl121anc 1372 . 2 (𝜑 → (𝐽‘{(((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑡)}) = (𝐽‘{𝑡}))
49 mapdpglem12.yn . . . . 5 (𝜑𝑌𝑄)
50 mapdpglem17.ep . . . . 5 𝐸 = (((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
512, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 8, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 1, 29, 11, 30, 31, 32, 49, 50mapdpglem21 38933 . . . 4 (𝜑 → (((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑡) = (𝐺𝑅𝐸))
5251sneqd 4562 . . 3 (𝜑 → {(((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑡)} = {(𝐺𝑅𝐸)})
5352fveq2d 6665 . 2 (𝜑 → (𝐽‘{(((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑡)}) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))
541, 48, 533eqtr2d 2865 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  {csn 4550  cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  Scalarcsca 16568   ·𝑠 cvsca 16569  0gc0g 16713  -gcsg 18105  LSSumclsm 18759  invrcinvr 19424  DivRingcdr 19502  LSpanclspn 19743  LVecclvec 19874  HLchlt 36591  LHypclh 37225  DVecHcdvh 38319  LCDualclcd 38827  mapdcmpd 38865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-riotaBAD 36194
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-undef 7935  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-0g 16715  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-p1 17650  df-lat 17656  df-clat 17718  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-oppg 18474  df-lsm 18761  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-dvr 19436  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lvec 19875  df-lsatoms 36217  df-lshyp 36218  df-lcv 36260  df-lfl 36299  df-lkr 36327  df-ldual 36365  df-oposet 36417  df-ol 36419  df-oml 36420  df-covers 36507  df-ats 36508  df-atl 36539  df-cvlat 36563  df-hlat 36592  df-llines 36739  df-lplanes 36740  df-lvols 36741  df-lines 36742  df-psubsp 36744  df-pmap 36745  df-padd 37037  df-lhyp 37229  df-laut 37230  df-ldil 37345  df-ltrn 37346  df-trl 37400  df-tgrp 37984  df-tendo 37996  df-edring 37998  df-dveca 38244  df-disoa 38270  df-dvech 38320  df-dib 38380  df-dic 38414  df-dih 38470  df-doch 38589  df-djh 38636  df-lcdual 38828  df-mapd 38866
This theorem is referenced by:  mapdpglem23  38935
  Copyright terms: Public domain W3C validator