Theorem mapdpglem22 42153

Description: Lemma for mapdpg 42166. Baer p. 45, line 9: "(F(x-y))* = ... = G(x'-y')." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem3.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpglem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
mapdpglem.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
mapdpglem4.g4	⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
mapdpglem4.z4	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4	⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.yn	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
mapdpglem17.ep	⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem22	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   ⊕ (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐸(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   − (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem22

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem4.jt	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
2		mapdpglem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		mapdpglem.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdpglem.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5	2, 3, 4	lcdlvec 42051	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
6		mapdpglem.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7	2, 6, 4	dvhlvec 41569	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
8		mapdpglem3.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
9	8	lvecdrng 21092	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝐴 ∈ DivRing)
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ DivRing)
11		mapdpglem4.g4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
12		mapdpglem.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13		mapdpglem.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
14		mapdpglem.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
15		mapdpglem.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
16		mapdpglem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
17		mapdpglem.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
18		mapdpglem1.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
19		mapdpglem2.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
20		mapdpglem3.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
21		mapdpglem3.te	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
22		mapdpglem3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
23		mapdpglem3.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
24		mapdpglem3.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
25		mapdpglem3.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
26		mapdpglem3.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
27		mapdpglem4.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
28		mapdpglem.ne	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
29		mapdpglem4.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
30		mapdpglem4.z4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
31		mapdpglem4.t4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
32		mapdpglem4.xn	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
33	2, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 8, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 1, 29, 11, 30, 31, 32	mapdpglem11 42142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ≠ 0 )
34		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝐴) = (invr‘𝐴)
35	22, 29, 34	drnginvrcl 20721	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
36	10, 11, 33, 35	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
37		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
38		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
39	2, 6, 8, 22, 3, 37, 38, 4	lcdsbase 42060	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
40	36, 39	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
41	22, 29, 34	drnginvrn0 20722	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ 0 )
42	10, 11, 33, 41	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ 0 )
43		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐶)) = (0g‘(Scalar‘𝐶))
44	2, 6, 8, 29, 3, 37, 43, 4	lcd0 42068	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐶)) = 0 )
45	42, 44	neeqtrrd 3007	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐶)))
46	2, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21	mapdpglem2a 42134	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ 𝐹)
47	20, 37, 23, 38, 43, 19	lspsnvs 21104	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ LVec ∧ (((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)) ∧ ((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) → (𝐽‘{(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑡)}) = (𝐽‘{𝑡}))
48	5, 40, 45, 46, 47	syl121anc 1378	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑡)}) = (𝐽‘{𝑡}))
49		mapdpglem12.yn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
50		mapdpglem17.ep	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
51	2, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 8, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 1, 29, 11, 30, 31, 32, 49, 50	mapdpglem21 42152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑡) = (𝐺𝑅𝐸))
52	51	sneqd 4580	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑡)} = {(𝐺𝑅𝐸)})
53	52	fveq2d 6838	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑡)}) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))
54	1, 48, 53	3eqtr2d 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {csn 4568  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393  -_gcsg 18902  LSSumclsm 19600  inv_rcinvr 20358  DivRingcdr 20697  LSpanclspn 20957  LVecclvec 21089  HLchlt 39810  LHypclh 40444  DVecHcdvh 41538  LCDualclcd 42046  mapdcmpd 42084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-riotaBAD 39413

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-undef 8216  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-0g 17395  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cntz 19283  df-oppg 19312  df-lsm 19602  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-dvr 20372  df-nzr 20481  df-rlreg 20662  df-domn 20663  df-drng 20699  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-lvec 21090  df-lsatoms 39436  df-lshyp 39437  df-lcv 39479  df-lfl 39518  df-lkr 39546  df-ldual 39584  df-oposet 39636  df-ol 39638  df-oml 39639  df-covers 39726  df-ats 39727  df-atl 39758  df-cvlat 39782  df-hlat 39811  df-llines 39958  df-lplanes 39959  df-lvols 39960  df-lines 39961  df-psubsp 39963  df-pmap 39964  df-padd 40256  df-lhyp 40448  df-laut 40449  df-ldil 40564  df-ltrn 40565  df-trl 40619  df-tgrp 41203  df-tendo 41215  df-edring 41217  df-dveca 41463  df-disoa 41489  df-dvech 41539  df-dib 41599  df-dic 41633  df-dih 41689  df-doch 41808  df-djh 41855  df-lcdual 42047  df-mapd 42085

This theorem is referenced by:  mapdpglem23  42154