Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem22 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem22 39954
Description: Lemma for mapdpg 39967. Baer p. 45, line 9: "(F(x-y))* = ... = G(x'-y')." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q 𝑄 = (0g𝑈)
mapdpglem.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z 0 = (0g𝐴)
mapdpglem4.g4 (𝜑𝑔𝐵)
mapdpglem4.z4 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn (𝜑𝑋𝑄)
mapdpglem12.yn (𝜑𝑌𝑄)
mapdpglem17.ep 𝐸 = (((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem22 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐸(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem22
StepHypRef Expression
1 mapdpglem4.jt . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
2 mapdpglem.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 mapdpglem.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdpglem.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
52, 3, 4lcdlvec 39852 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
6 mapdpglem.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
72, 6, 4dvhlvec 39370 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
8 mapdpglem3.a . . . . . . 7 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
98lvecdrng 20465 . . . . . 6 (𝑈 ∈ LVec → 𝐴 ∈ DivRing)
107, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ DivRing)
11 mapdpglem4.g4 . . . . 5 (𝜑𝑔𝐵)
12 mapdpglem.m . . . . . 6 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 mapdpglem.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
14 mapdpglem.s . . . . . 6 = (-g𝑈)
15 mapdpglem.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
16 mapdpglem.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
17 mapdpglem.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
18 mapdpglem1.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝐶)
19 mapdpglem2.j . . . . . 6 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
20 mapdpglem3.f . . . . . 6 𝐹 = (Base‘𝐶)
21 mapdpglem3.te . . . . . 6 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
22 mapdpglem3.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
23 mapdpglem3.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝐶)
24 mapdpglem3.r . . . . . 6 𝑅 = (-g𝐶)
25 mapdpglem3.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
26 mapdpglem3.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
27 mapdpglem4.q . . . . . 6 𝑄 = (0g𝑈)
28 mapdpglem.ne . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
29 mapdpglem4.z . . . . . 6 0 = (0g𝐴)
30 mapdpglem4.z4 . . . . . 6 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
31 mapdpglem4.t4 . . . . . 6 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
32 mapdpglem4.xn . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑄)
332, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 8, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 1, 29, 11, 30, 31, 32mapdpglem11 39943 . . . . 5 (𝜑𝑔0 )
34 eqid 2736 . . . . . 6 (invr𝐴) = (invr𝐴)
3522, 29, 34drnginvrcl 20105 . . . . 5 ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔𝐵𝑔0 ) → ((invr𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
3610, 11, 33, 35syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → ((invr𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
37 eqid 2736 . . . . 5 (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
38 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
392, 6, 8, 22, 3, 37, 38, 4lcdsbase 39861 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
4036, 39eleqtrrd 2840 . . 3 (𝜑 → ((invr𝐴)‘𝑔) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
4122, 29, 34drnginvrn0 20106 . . . . 5 ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔𝐵𝑔0 ) → ((invr𝐴)‘𝑔) ≠ 0 )
4210, 11, 33, 41syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → ((invr𝐴)‘𝑔) ≠ 0 )
43 eqid 2736 . . . . 5 (0g‘(Scalar‘𝐶)) = (0g‘(Scalar‘𝐶))
442, 6, 8, 29, 3, 37, 43, 4lcd0 39869 . . . 4 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐶)) = 0 )
4542, 44neeqtrrd 3015 . . 3 (𝜑 → ((invr𝐴)‘𝑔) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐶)))
462, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21mapdpglem2a 39935 . . 3 (𝜑𝑡𝐹)
4720, 37, 23, 38, 43, 19lspsnvs 20474 . . 3 ((𝐶 ∈ LVec ∧ (((invr𝐴)‘𝑔) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)) ∧ ((invr𝐴)‘𝑔) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐶))) ∧ 𝑡𝐹) → (𝐽‘{(((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑡)}) = (𝐽‘{𝑡}))
485, 40, 45, 46, 47syl121anc 1374 . 2 (𝜑 → (𝐽‘{(((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑡)}) = (𝐽‘{𝑡}))
49 mapdpglem12.yn . . . . 5 (𝜑𝑌𝑄)
50 mapdpglem17.ep . . . . 5 𝐸 = (((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
512, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 8, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 1, 29, 11, 30, 31, 32, 49, 50mapdpglem21 39953 . . . 4 (𝜑 → (((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑡) = (𝐺𝑅𝐸))
5251sneqd 4584 . . 3 (𝜑 → {(((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑡)} = {(𝐺𝑅𝐸)})
5352fveq2d 6823 . 2 (𝜑 → (𝐽‘{(((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑡)}) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))
541, 48, 533eqtr2d 2782 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  {csn 4572  cfv 6473  (class class class)co 7329  Basecbs 17001  Scalarcsca 17054   ·𝑠 cvsca 17055  0gc0g 17239  -gcsg 18667  LSSumclsm 19327  invrcinvr 20000  DivRingcdr 20085  LSpanclspn 20331  LVecclvec 20462  HLchlt 37610  LHypclh 38245  DVecHcdvh 39339  LCDualclcd 39847  mapdcmpd 39885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-riotaBAD 37213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-of 7587  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-tpos 8104  df-undef 8151  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-er 8561  df-map 8680  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-fz 13333  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-0g 17241  df-mre 17384  df-mrc 17385  df-acs 17387  df-proset 18102  df-poset 18120  df-plt 18137  df-lub 18153  df-glb 18154  df-join 18155  df-meet 18156  df-p0 18232  df-p1 18233  df-lat 18239  df-clat 18306  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-submnd 18520  df-grp 18668  df-minusg 18669  df-sbg 18670  df-subg 18840  df-cntz 19011  df-oppg 19038  df-lsm 19329  df-cmn 19475  df-abl 19476  df-mgp 19808  df-ur 19825  df-ring 19872  df-oppr 19949  df-dvdsr 19970  df-unit 19971  df-invr 20001  df-dvr 20012  df-drng 20087  df-lmod 20223  df-lss 20292  df-lsp 20332  df-lvec 20463  df-lsatoms 37236  df-lshyp 37237  df-lcv 37279  df-lfl 37318  df-lkr 37346  df-ldual 37384  df-oposet 37436  df-ol 37438  df-oml 37439  df-covers 37526  df-ats 37527  df-atl 37558  df-cvlat 37582  df-hlat 37611  df-llines 37759  df-lplanes 37760  df-lvols 37761  df-lines 37762  df-psubsp 37764  df-pmap 37765  df-padd 38057  df-lhyp 38249  df-laut 38250  df-ldil 38365  df-ltrn 38366  df-trl 38420  df-tgrp 39004  df-tendo 39016  df-edring 39018  df-dveca 39264  df-disoa 39290  df-dvech 39340  df-dib 39400  df-dic 39434  df-dih 39490  df-doch 39609  df-djh 39656  df-lcdual 39848  df-mapd 39886
This theorem is referenced by:  mapdpglem23  39955
  Copyright terms: Public domain W3C validator