Theorem mapdpglem22 42569

Description: Lemma for mapdpg 42582. Baer p. 45, line 9: "(F(x-y))* = ... = G(x'-y')." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem3.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpglem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
mapdpglem.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
mapdpglem4.g4	⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
mapdpglem4.z4	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4	⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.yn	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
mapdpglem17.ep	⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem22	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧, 𝑡, 𝑔)   𝐴(𝑧, 𝑡, 𝑔)   𝐵(𝑧, 𝑡)   ⊕ (𝑧, 𝑡, 𝑔)   𝑄(𝑧, 𝑡, 𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧, 𝑡, 𝑔)   𝐸(𝑧, 𝑡, 𝑔)   𝐹(𝑧, 𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧, 𝑡, 𝑔)   𝐾(𝑧, 𝑡, 𝑔)   − (𝑧, 𝑔)   𝑉(𝑧, 𝑡, 𝑔)   𝑊(𝑧, 𝑡, 𝑔)   𝑋(𝑧, 𝑔)   0 (𝑧, 𝑡, 𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem22

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem4.jt	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
2		mapdpglem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		mapdpglem.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdpglem.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5	2, 3, 4	lcdlvec 42467	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
6		mapdpglem.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7	2, 6, 4	dvhlvec 41985	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
8		mapdpglem3.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
9	8	lvecdrng 21292	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝐴 ∈ DivRing)
10	7, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ DivRing)
11		mapdpglem4.g4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
12		mapdpglem.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13		mapdpglem.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
14		mapdpglem.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
15		mapdpglem.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
16		mapdpglem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
17		mapdpglem.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
18		mapdpglem1.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
19		mapdpglem2.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
20		mapdpglem3.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
21		mapdpglem3.te	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
22		mapdpglem3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
23		mapdpglem3.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
24		mapdpglem3.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
25		mapdpglem3.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
26		mapdpglem3.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
27		mapdpglem4.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
28		mapdpglem.ne	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
29		mapdpglem4.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
30		mapdpglem4.z4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
31		mapdpglem4.t4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
32		mapdpglem4.xn	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
33	2, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 8, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 1, 29, 11, 30, 31, 32	mapdpglem11 42558	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ≠ 0 )
34		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝐴) = (invr‘𝐴)
35	22, 29, 34	drnginvrcl 20923	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
36	10, 11, 33, 35	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
37		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
38		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
39	2, 6, 8, 22, 3, 37, 38, 4	lcdsbase 42476	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
40	36, 39	eleqtrrd 2863	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
41	22, 29, 34	drnginvrn0 20924	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ 0 )
42	10, 11, 33, 41	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ 0 )
43		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐶)) = (0g‘(Scalar‘𝐶))
44	2, 6, 8, 29, 3, 37, 43, 4	lcd0 42484	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐶)) = 0 )
45	42, 44	neeqtrrd 3029	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐶)))
46	2, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21	mapdpglem2a 42550	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ 𝐹)
47	20, 37, 23, 38, 43, 19	lspsnvs 21304	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ LVec ∧ (((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)) ∧ ((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) → (𝐽‘{(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑡)}) = (𝐽‘{𝑡}))
48	5, 40, 45, 46, 47	syl121anc 1402	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑡)}) = (𝐽‘{𝑡}))
49		mapdpglem12.yn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
50		mapdpglem17.ep	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
51	2, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 8, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 1, 29, 11, 30, 31, 32, 49, 50	mapdpglem21 42568	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑡) = (𝐺𝑅𝐸))
52	51	sneqd 4596	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑡)} = {(𝐺𝑅𝐸)})
53	52	fveq2d 6883	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑡)}) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))
54	1, 48, 53	3eqtr2d 2801	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  {csn 4584  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  Scalarcsca 17348   ·_𝑠 cvsca 17349  0_gc0g 17527  -_gcsg 19062  LSSumclsm 19764  inv_rcinvr 20531  DivRingcdr 20893  LSpanclspn 21158  LVecclvec 21289  HLchlt 40226  LHypclh 40860  DVecHcdvh 41954  LCDualclcd 42462  mapdcmpd 42500

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-riotaBAD 39829

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-0g 17529  df-mre 17673  df-mrc 17674  df-acs 17676  df-proset 18385  df-poset 18404  df-plt 18419  df-lub 18435  df-glb 18436  df-join 18437  df-meet 18438  df-p0 18514  df-p1 18515  df-lat 18523  df-clat 18590  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-submnd 18895  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-subg 19249  df-cntz 19447  df-oppg 19476  df-lsm 19766  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-oppr 20481  df-dvdsr 20501  df-unit 20502  df-invr 20532  df-dvr 20545  df-nzr 20676  df-rlreg 20859  df-domn 20860  df-drng 20895  df-lmod 21049  df-lss 21119  df-lsp 21159  df-lvec 21290  df-lsatoms 39852  df-lshyp 39853  df-lcv 39895  df-lfl 39934  df-lkr 39962  df-ldual 40000  df-oposet 40052  df-ol 40054  df-oml 40055  df-covers 40142  df-ats 40143  df-atl 40174  df-cvlat 40198  df-hlat 40227  df-llines 40374  df-lplanes 40375  df-lvols 40376  df-lines 40377  df-psubsp 40379  df-pmap 40380  df-padd 40672  df-lhyp 40864  df-laut 40865  df-ldil 40980  df-ltrn 40981  df-trl 41035  df-tgrp 41619  df-tendo 41631  df-edring 41633  df-dveca 41879  df-disoa 41905  df-dvech 41955  df-dib 42015  df-dic 42049  df-dih 42105  df-doch 42224  df-djh 42271  df-lcdual 42463  df-mapd 42501

This theorem is used by:  mapdpglem23  42570