Theorem mapdpglem22 39634

Description: Lemma for mapdpg 39647. Baer p. 45, line 9: "(F(x-y))* = ... = G(x'-y')." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem3.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpglem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
mapdpglem.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
mapdpglem4.g4	⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
mapdpglem4.z4	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4	⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.yn	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
mapdpglem17.ep	⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem22	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   ⊕ (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐸(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   − (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem22

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem4.jt	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
2		mapdpglem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		mapdpglem.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdpglem.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5	2, 3, 4	lcdlvec 39532	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
6		mapdpglem.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7	2, 6, 4	dvhlvec 39050	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
8		mapdpglem3.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
9	8	lvecdrng 20282	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝐴 ∈ DivRing)
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ DivRing)
11		mapdpglem4.g4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
12		mapdpglem.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13		mapdpglem.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
14		mapdpglem.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
15		mapdpglem.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
16		mapdpglem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
17		mapdpglem.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
18		mapdpglem1.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
19		mapdpglem2.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
20		mapdpglem3.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
21		mapdpglem3.te	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
22		mapdpglem3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
23		mapdpglem3.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
24		mapdpglem3.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
25		mapdpglem3.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
26		mapdpglem3.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
27		mapdpglem4.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
28		mapdpglem.ne	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
29		mapdpglem4.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
30		mapdpglem4.z4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
31		mapdpglem4.t4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
32		mapdpglem4.xn	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
33	2, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 8, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 1, 29, 11, 30, 31, 32	mapdpglem11 39623	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ≠ 0 )
34		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝐴) = (invr‘𝐴)
35	22, 29, 34	drnginvrcl 19923	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
36	10, 11, 33, 35	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
37		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
38		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
39	2, 6, 8, 22, 3, 37, 38, 4	lcdsbase 39541	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
40	36, 39	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
41	22, 29, 34	drnginvrn0 19924	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ 0 )
42	10, 11, 33, 41	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ 0 )
43		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐶)) = (0g‘(Scalar‘𝐶))
44	2, 6, 8, 29, 3, 37, 43, 4	lcd0 39549	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐶)) = 0 )
45	42, 44	neeqtrrd 3017	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐶)))
46	2, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21	mapdpglem2a 39615	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ 𝐹)
47	20, 37, 23, 38, 43, 19	lspsnvs 20291	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ LVec ∧ (((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)) ∧ ((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐶))) ∧ 𝑡 ∈ 𝐹) → (𝐽‘{(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑡)}) = (𝐽‘{𝑡}))
48	5, 40, 45, 46, 47	syl121anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑡)}) = (𝐽‘{𝑡}))
49		mapdpglem12.yn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
50		mapdpglem17.ep	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
51	2, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 8, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 1, 29, 11, 30, 31, 32, 49, 50	mapdpglem21 39633	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑡) = (𝐺𝑅𝐸))
52	51	sneqd 4570	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑡)} = {(𝐺𝑅𝐸)})
53	52	fveq2d 6760	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑡)}) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))
54	1, 48, 53	3eqtr2d 2784	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  -_gcsg 18494  LSSumclsm 19154  inv_rcinvr 19828  DivRingcdr 19906  LSpanclspn 20148  LVecclvec 20279  HLchlt 37291  LHypclh 37925  DVecHcdvh 39019  LCDualclcd 39527  mapdcmpd 39565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-undef 8060  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-0g 17069  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-oppg 18865  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lsatoms 36917  df-lshyp 36918  df-lcv 36960  df-lfl 36999  df-lkr 37027  df-ldual 37065  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-tgrp 38684  df-tendo 38696  df-edring 38698  df-dveca 38944  df-disoa 38970  df-dvech 39020  df-dib 39080  df-dic 39114  df-dih 39170  df-doch 39289  df-djh 39336  df-lcdual 39528  df-mapd 39566

This theorem is referenced by:  mapdpglem23  39635