Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspersym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjspersym 40922
Description: The relation in ℙ𝕣𝕠𝕛 is symmetric. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x · = ( ·𝑠𝑉)
prjspertr.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
prjspersym ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑌 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝑌,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspersym
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 774 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 𝑌)
2 prjsprel.1 . . . . . 6 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
32prjsprel 40919 . . . . 5 (𝑋 𝑌 ↔ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
4 pm3.22 460 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌𝐵𝑋𝐵))
54adantr 481 . . . . 5 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → (𝑌𝐵𝑋𝐵))
63, 5sylbi 216 . . . 4 (𝑋 𝑌 → (𝑌𝐵𝑋𝐵))
71, 6syl 17 . . 3 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → (𝑌𝐵𝑋𝐵))
8 simplll 773 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑉 ∈ LVec)
9 prjspertr.s . . . . . . 7 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
109lvecdrng 20564 . . . . . 6 (𝑉 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
118, 10syl 17 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑆 ∈ DivRing)
12 simplr 767 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑚𝐾)
13 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋𝐵)
143, 13sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑋 𝑌𝑋𝐵)
15 eldifsni 4750 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) → 𝑋 ≠ (0g𝑉))
16 prjspertr.b . . . . . . . 8 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
1715, 16eleq2s 2856 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋 ≠ (0g𝑉))
181, 14, 173syl 18 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ≠ (0g𝑉))
19 simplr 767 . . . . . . 7 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
20 simpr 485 . . . . . . . 8 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → 𝑚 = (0g𝑆))
2120oveq1d 7371 . . . . . . 7 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → (𝑚 · 𝑌) = ((0g𝑆) · 𝑌))
22 lveclmod 20565 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
2322ad4antr 730 . . . . . . . 8 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → 𝑉 ∈ LMod)
24 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌𝐵)
253, 24sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑋 𝑌𝑌𝐵)
26 eldifi 4086 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
2726, 16eleq2s 2856 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝐵𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
281, 25, 273syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
2928adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
30 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
31 prjspertr.x . . . . . . . . 9 · = ( ·𝑠𝑉)
32 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (0g𝑆) = (0g𝑆)
33 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (0g𝑉) = (0g𝑉)
3430, 9, 31, 32, 33lmod0vs 20353 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑉)) → ((0g𝑆) · 𝑌) = (0g𝑉))
3523, 29, 34syl2anc 584 . . . . . . 7 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → ((0g𝑆) · 𝑌) = (0g𝑉))
3619, 21, 353eqtrd 2780 . . . . . 6 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → 𝑋 = (0g𝑉))
3718, 36mteqand 3048 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑚 ≠ (0g𝑆))
38 prjspertr.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑆)
39 eqid 2736 . . . . . 6 (invr𝑆) = (invr𝑆)
4038, 32, 39drnginvrcl 20203 . . . . 5 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑚𝐾𝑚 ≠ (0g𝑆)) → ((invr𝑆)‘𝑚) ∈ 𝐾)
4111, 12, 37, 40syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ((invr𝑆)‘𝑚) ∈ 𝐾)
42 oveq1 7363 . . . . . 6 (𝑛 = ((invr𝑆)‘𝑚) → (𝑛 · 𝑋) = (((invr𝑆)‘𝑚) · 𝑋))
4342eqeq2d 2747 . . . . 5 (𝑛 = ((invr𝑆)‘𝑚) → (𝑌 = (𝑛 · 𝑋) ↔ 𝑌 = (((invr𝑆)‘𝑚) · 𝑋)))
4443adantl 482 . . . 4 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑛 = ((invr𝑆)‘𝑚)) → (𝑌 = (𝑛 · 𝑋) ↔ 𝑌 = (((invr𝑆)‘𝑚) · 𝑋)))
45 simpr 485 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
46 nelsn 4626 . . . . . . . 8 (𝑚 ≠ (0g𝑆) → ¬ 𝑚 ∈ {(0g𝑆)})
4737, 46syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ¬ 𝑚 ∈ {(0g𝑆)})
4812, 47eldifd 3921 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g𝑆)}))
49 eldifi 4086 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
5049, 16eleq2s 2856 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
511, 14, 503syl 18 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
5230, 31, 9, 38, 32, 39, 8, 48, 51, 28lvecinv 20572 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) ↔ 𝑌 = (((invr𝑆)‘𝑚) · 𝑋)))
5345, 52mpbid 231 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 = (((invr𝑆)‘𝑚) · 𝑋))
5441, 44, 53rspcedvd 3583 . . 3 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ∃𝑛𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑋))
552prjsprel 40919 . . 3 (𝑌 𝑋 ↔ ((𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑛𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑋)))
567, 54, 55sylanbrc 583 . 2 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 𝑋)
57 simpr 485 . . . 4 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
583, 57sylbi 216 . . 3 (𝑋 𝑌 → ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
5958adantl 482 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) → ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
6056, 59r19.29a 3159 1 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑌 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  cdif 3907  {csn 4586   class class class wbr 5105  {copab 5167  cfv 6496  (class class class)co 7356  Basecbs 17082  Scalarcsca 17135   ·𝑠 cvsca 17136  0gc0g 17320  invrcinvr 20098  DivRingcdr 20183  LModclmod 20320  LVecclvec 20561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-2nd 7921  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-mulr 17146  df-0g 17322  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-grp 18750  df-minusg 18751  df-mgp 19895  df-ur 19912  df-ring 19964  df-oppr 20047  df-dvdsr 20068  df-unit 20069  df-invr 20099  df-drng 20185  df-lmod 20322  df-lvec 20562
This theorem is referenced by:  prjsper  40923  0prjspn  40943
  Copyright terms: Public domain W3C validator