Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspersym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjspersym 42594
Description: The relation in ℙ𝕣𝕠𝕛 is symmetric. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x · = ( ·𝑠𝑉)
prjspertr.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
prjspersym ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑌 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝑌,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspersym
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 776 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 𝑌)
2 prjsprel.1 . . . . . 6 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
32prjsprel 42591 . . . . 5 (𝑋 𝑌 ↔ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
4 pm3.22 459 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌𝐵𝑋𝐵))
54adantr 480 . . . . 5 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → (𝑌𝐵𝑋𝐵))
63, 5sylbi 217 . . . 4 (𝑋 𝑌 → (𝑌𝐵𝑋𝐵))
71, 6syl 17 . . 3 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → (𝑌𝐵𝑋𝐵))
8 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑛 = ((invr𝑆)‘𝑚) → (𝑛 · 𝑋) = (((invr𝑆)‘𝑚) · 𝑋))
98eqeq2d 2746 . . . 4 (𝑛 = ((invr𝑆)‘𝑚) → (𝑌 = (𝑛 · 𝑋) ↔ 𝑌 = (((invr𝑆)‘𝑚) · 𝑋)))
10 simplll 775 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑉 ∈ LVec)
11 prjspertr.s . . . . . . 7 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
1211lvecdrng 21122 . . . . . 6 (𝑉 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑆 ∈ DivRing)
14 simplr 769 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑚𝐾)
15 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋𝐵)
163, 15sylbi 217 . . . . . . 7 (𝑋 𝑌𝑋𝐵)
17 eldifsni 4795 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) → 𝑋 ≠ (0g𝑉))
18 prjspertr.b . . . . . . . 8 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
1917, 18eleq2s 2857 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋 ≠ (0g𝑉))
201, 16, 193syl 18 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ≠ (0g𝑉))
21 simplr 769 . . . . . . 7 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
22 simpr 484 . . . . . . . 8 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → 𝑚 = (0g𝑆))
2322oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → (𝑚 · 𝑌) = ((0g𝑆) · 𝑌))
24 lveclmod 21123 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
2524ad4antr 732 . . . . . . . 8 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → 𝑉 ∈ LMod)
26 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌𝐵)
273, 26sylbi 217 . . . . . . . . . 10 (𝑋 𝑌𝑌𝐵)
28 eldifi 4141 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
2928, 18eleq2s 2857 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝐵𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
301, 27, 293syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
3130adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
32 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
33 prjspertr.x . . . . . . . . 9 · = ( ·𝑠𝑉)
34 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (0g𝑆) = (0g𝑆)
35 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (0g𝑉) = (0g𝑉)
3632, 11, 33, 34, 35lmod0vs 20910 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑉)) → ((0g𝑆) · 𝑌) = (0g𝑉))
3725, 31, 36syl2anc 584 . . . . . . 7 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → ((0g𝑆) · 𝑌) = (0g𝑉))
3821, 23, 373eqtrd 2779 . . . . . 6 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → 𝑋 = (0g𝑉))
3920, 38mteqand 3031 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑚 ≠ (0g𝑆))
40 prjspertr.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑆)
41 eqid 2735 . . . . . 6 (invr𝑆) = (invr𝑆)
4240, 34, 41drnginvrcl 20770 . . . . 5 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑚𝐾𝑚 ≠ (0g𝑆)) → ((invr𝑆)‘𝑚) ∈ 𝐾)
4313, 14, 39, 42syl3anc 1370 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ((invr𝑆)‘𝑚) ∈ 𝐾)
44 simpr 484 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
45 nelsn 4671 . . . . . . . 8 (𝑚 ≠ (0g𝑆) → ¬ 𝑚 ∈ {(0g𝑆)})
4639, 45syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ¬ 𝑚 ∈ {(0g𝑆)})
4714, 46eldifd 3974 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g𝑆)}))
48 eldifi 4141 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
4948, 18eleq2s 2857 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
501, 16, 493syl 18 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
5132, 33, 11, 40, 34, 41, 10, 47, 50, 30lvecinv 21133 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) ↔ 𝑌 = (((invr𝑆)‘𝑚) · 𝑋)))
5244, 51mpbid 232 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 = (((invr𝑆)‘𝑚) · 𝑋))
539, 43, 52rspcedvdw 3625 . . 3 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ∃𝑛𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑋))
542prjsprel 42591 . . 3 (𝑌 𝑋 ↔ ((𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑛𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑋)))
557, 53, 54sylanbrc 583 . 2 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 𝑋)
56 simpr 484 . . . 4 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
573, 56sylbi 217 . . 3 (𝑋 𝑌 → ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
5857adantl 481 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) → ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
5955, 58r19.29a 3160 1 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑌 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  cdif 3960  {csn 4631   class class class wbr 5148  {copab 5210  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486  invrcinvr 20404  DivRingcdr 20746  LModclmod 20875  LVecclvec 21119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lvec 21120
This theorem is referenced by:  prjsper  42595  0prjspn  42615
  Copyright terms: Public domain W3C validator