Theorem prjspersym 42630

Description: The relation in ℙ𝕣𝕠𝕛 is symmetric. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
prjspersym	⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) → 𝑌 ∼ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝑌,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspersym

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 775	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ∼ 𝑌)
2		prjsprel.1	. . . . . 6 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
3	2	prjsprel 42627	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
4		pm3.22 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
6	3, 5	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 → (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
7	1, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
8		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ((invr‘𝑆)‘𝑚) → (𝑛 · 𝑋) = (((invr‘𝑆)‘𝑚) · 𝑋))
9	8	eqeq2d 2746	. . . 4 ⊢ (𝑛 = ((invr‘𝑆)‘𝑚) → (𝑌 = (𝑛 · 𝑋) ↔ 𝑌 = (((invr‘𝑆)‘𝑚) · 𝑋)))
10		simplll 774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑉 ∈ LVec)
11		prjspertr.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
12	11	lvecdrng 21063	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑆 ∈ DivRing)
14		simplr 768	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑚 ∈ 𝐾)
15		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	3, 15	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐵)
17		eldifsni 4766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))
18		prjspertr.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
19	17, 18	eleq2s 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))
20	1, 16, 19	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))
21		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
22		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → 𝑚 = (0g‘𝑆))
23	22	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → (𝑚 · 𝑌) = ((0g‘𝑆) · 𝑌))
24		lveclmod 21064	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
25	24	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → 𝑉 ∈ LMod)
26		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
27	3, 26	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 → 𝑌 ∈ 𝐵)
28		eldifi 4106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
29	28, 18	eleq2s 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
30	1, 27, 29	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
32		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
33		prjspertr.x	. . . . . . . . 9 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
34		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
35		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑉) = (0g‘𝑉)
36	32, 11, 33, 34, 35	lmod0vs 20852	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑉)) → ((0g‘𝑆) · 𝑌) = (0g‘𝑉))
37	25, 31, 36	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → ((0g‘𝑆) · 𝑌) = (0g‘𝑉))
38	21, 23, 37	3eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → 𝑋 = (0g‘𝑉))
39	20, 38	mteqand 3023	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑚 ≠ (0g‘𝑆))
40		prjspertr.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
41		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
42	40, 34, 41	drnginvrcl 20713	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝑆)) → ((invr‘𝑆)‘𝑚) ∈ 𝐾)
43	13, 14, 39, 42	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ((invr‘𝑆)‘𝑚) ∈ 𝐾)
44		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
45		nelsn 4642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ≠ (0g‘𝑆) → ¬ 𝑚 ∈ {(0g‘𝑆)})
46	39, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ¬ 𝑚 ∈ {(0g‘𝑆)})
47	14, 46	eldifd 3937	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝑆)}))
48		eldifi 4106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
49	48, 18	eleq2s 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
50	1, 16, 49	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
51	32, 33, 11, 40, 34, 41, 10, 47, 50, 30	lvecinv 21074	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) ↔ 𝑌 = (((invr‘𝑆)‘𝑚) · 𝑋)))
52	44, 51	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 = (((invr‘𝑆)‘𝑚) · 𝑋))
53	9, 43, 52	rspcedvdw 3604	. . 3 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑋))
54	2	prjsprel 42627	. . 3 ⊢ (𝑌 ∼ 𝑋 ↔ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑋)))
55	7, 53, 54	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 ∼ 𝑋)
56		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
57	3, 56	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
58	57	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
59	55, 58	r19.29a 3148	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) → 𝑌 ∼ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3923  {csn 4601   class class class wbr 5119  {copab 5181  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  Scalarcsca 17274   ·_𝑠 cvsca 17275  0_gc0g 17453  inv_rcinvr 20347  DivRingcdr 20689  LModclmod 20817  LVecclvec 21060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-drng 20691  df-lmod 20819  df-lvec 21061

This theorem is referenced by:  prjsper  42631  0prjspn  42651