Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspersym Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem prjspersym 41431
Description: The relation in ℙ𝕣𝕠𝕛 is symmetric. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
prjspertr.b 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘‰)
prjspertr.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‰)
prjspertr.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
prjspersym ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∼ 𝑋)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑙   π‘₯,π‘Œ,𝑦,𝑙   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑙   π‘₯, Β· ,𝑦,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑙)   ∼ (π‘₯,𝑦,𝑙)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑙)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑙)
Proof of Theorem prjspersym
Dummy variables π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 774 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∼ π‘Œ)
2 prjsprel.1 . . . . . 6 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
32prjsprel 41428 . . . . 5 (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)))
4 pm3.22 460 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡))
54adantr 481 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡))
63, 5sylbi 216 . . . 4 (𝑋 ∼ π‘Œ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡))
71, 6syl 17 . . 3 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡))
8 simplll 773 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ 𝑉 ∈ LVec)
9 prjspertr.s . . . . . . 7 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘‰)
109lvecdrng 20721 . . . . . 6 (𝑉 ∈ LVec β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
118, 10syl 17 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
12 simplr 767 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ π‘š ∈ 𝐾)
13 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
143, 13sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑋 ∼ π‘Œ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
15 eldifsni 4793 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) β†’ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘‰))
16 prjspertr.b . . . . . . . 8 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)})
1715, 16eleq2s 2851 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘‰))
181, 14, 173syl 18 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘‰))
19 simplr 767 . . . . . . 7 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) ∧ π‘š = (0gβ€˜π‘†)) β†’ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))
20 simpr 485 . . . . . . . 8 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) ∧ π‘š = (0gβ€˜π‘†)) β†’ π‘š = (0gβ€˜π‘†))
2120oveq1d 7426 . . . . . . 7 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) ∧ π‘š = (0gβ€˜π‘†)) β†’ (π‘š Β· π‘Œ) = ((0gβ€˜π‘†) Β· π‘Œ))
22 lveclmod 20722 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ LVec β†’ 𝑉 ∈ LMod)
2322ad4antr 730 . . . . . . . 8 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) ∧ π‘š = (0gβ€˜π‘†)) β†’ 𝑉 ∈ LMod)
24 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
253, 24sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∼ π‘Œ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
26 eldifi 4126 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ ∈ ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
2726, 16eleq2s 2851 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
281, 25, 273syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
2928adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) ∧ π‘š = (0gβ€˜π‘†)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
30 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘‰) = (Baseβ€˜π‘‰)
31 prjspertr.x . . . . . . . . 9 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‰)
32 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
33 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘‰) = (0gβ€˜π‘‰)
3430, 9, 31, 32, 33lmod0vs 20510 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)) β†’ ((0gβ€˜π‘†) Β· π‘Œ) = (0gβ€˜π‘‰))
3523, 29, 34syl2anc 584 . . . . . . 7 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) ∧ π‘š = (0gβ€˜π‘†)) β†’ ((0gβ€˜π‘†) Β· π‘Œ) = (0gβ€˜π‘‰))
3619, 21, 353eqtrd 2776 . . . . . 6 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) ∧ π‘š = (0gβ€˜π‘†)) β†’ 𝑋 = (0gβ€˜π‘‰))
3718, 36mteqand 3033 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ π‘š β‰  (0gβ€˜π‘†))
38 prjspertr.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
39 eqid 2732 . . . . . 6 (invrβ€˜π‘†) = (invrβ€˜π‘†)
4038, 32, 39drnginvrcl 20383 . . . . 5 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ π‘š ∈ 𝐾 ∧ π‘š β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ ((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘š) ∈ 𝐾)
4111, 12, 37, 40syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ ((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘š) ∈ 𝐾)
42 oveq1 7418 . . . . . 6 (𝑛 = ((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘š) β†’ (𝑛 Β· 𝑋) = (((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘š) Β· 𝑋))
4342eqeq2d 2743 . . . . 5 (𝑛 = ((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘š) β†’ (π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑋) ↔ π‘Œ = (((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘š) Β· 𝑋)))
4443adantl 482 . . . 4 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) ∧ 𝑛 = ((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘š)) β†’ (π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑋) ↔ π‘Œ = (((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘š) Β· 𝑋)))
45 simpr 485 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))
46 nelsn 4668 . . . . . . . 8 (π‘š β‰  (0gβ€˜π‘†) β†’ Β¬ π‘š ∈ {(0gβ€˜π‘†)})
4737, 46syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ Β¬ π‘š ∈ {(0gβ€˜π‘†)})
4812, 47eldifd 3959 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ π‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)}))
49 eldifi 4126 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
5049, 16eleq2s 2851 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
511, 14, 503syl 18 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
5230, 31, 9, 38, 32, 39, 8, 48, 51, 28lvecinv 20732 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ (𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ) ↔ π‘Œ = (((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘š) Β· 𝑋)))
5345, 52mpbid 231 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ π‘Œ = (((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘š) Β· 𝑋))
5441, 44, 53rspcedvd 3614 . . 3 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐾 π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑋))
552prjsprel 41428 . . 3 (π‘Œ ∼ 𝑋 ↔ ((π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐾 π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑋)))
567, 54, 55sylanbrc 583 . 2 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∼ 𝑋)
57 simpr 485 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))
583, 57sylbi 216 . . 3 (𝑋 ∼ π‘Œ β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))
5958adantl 482 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))
6056, 59r19.29a 3162 1 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∼ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3945  {csn 4628   class class class wbr 5148  {copab 5210  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  Scalarcsca 17202   ·𝑠 cvsca 17203  0gc0g 17387  invrcinvr 20205  DivRingcdr 20361  LModclmod 20475  LVecclvec 20718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-drng 20363  df-lmod 20477  df-lvec 20719
This theorem is referenced by:  prjsper  41432  0prjspn  41452
  Copyright terms: Public domain W3C validator