Theorem prjspersym 38698

Description: The relation in ℙ𝕣𝕠𝕛 is symmetric. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
prjspersym	⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) → 𝑌 ∼ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝑌,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspersym

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 764	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ∼ 𝑌)
2		prjsprel.1	. . . . . 6 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
3	2	prjsprel 38695	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
4		pm3.22 452	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
5	4	adantr 473	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
6	3, 5	sylbi 209	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 → (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
7	1, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
8		simplll 763	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑉 ∈ LVec)
9		prjspertr.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
10	9	lvecdrng 19612	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
11	8, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑆 ∈ DivRing)
12		simplr 757	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑚 ∈ 𝐾)
13		simpll 755	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	3, 13	sylbi 209	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		eldifsni 4593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))
16		prjspertr.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
17	15, 16	eleq2s 2879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))
18	1, 14, 17	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))
19		simplr 757	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
20		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → 𝑚 = (0g‘𝑆))
21	20	oveq1d 6990	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → (𝑚 · 𝑌) = ((0g‘𝑆) · 𝑌))
22		lveclmod 19613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
23	22	ad4antr 720	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → 𝑉 ∈ LMod)
24		simplr 757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
25	3, 24	sylbi 209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 → 𝑌 ∈ 𝐵)
26		eldifi 3988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
27	26, 16	eleq2s 2879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
28	1, 25, 27	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
29	28	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
30		eqid 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
31		prjspertr.x	. . . . . . . . 9 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
32		eqid 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
33		eqid 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑉) = (0g‘𝑉)
34	30, 9, 31, 32, 33	lmod0vs 19402	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑉)) → ((0g‘𝑆) · 𝑌) = (0g‘𝑉))
35	23, 29, 34	syl2anc 576	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → ((0g‘𝑆) · 𝑌) = (0g‘𝑉))
36	19, 21, 35	3eqtrd 2813	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → 𝑋 = (0g‘𝑉))
37	18, 36	mteqand 38582	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑚 ≠ (0g‘𝑆))
38		prjspertr.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
39		eqid 2773	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
40	38, 32, 39	drnginvrcl 19255	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝑆)) → ((invr‘𝑆)‘𝑚) ∈ 𝐾)
41	11, 12, 37, 40	syl3anc 1352	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ((invr‘𝑆)‘𝑚) ∈ 𝐾)
42		oveq1 6982	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ((invr‘𝑆)‘𝑚) → (𝑛 · 𝑋) = (((invr‘𝑆)‘𝑚) · 𝑋))
43	42	eqeq2d 2783	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ((invr‘𝑆)‘𝑚) → (𝑌 = (𝑛 · 𝑋) ↔ 𝑌 = (((invr‘𝑆)‘𝑚) · 𝑋)))
44	43	adantl 474	. . . 4 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑛 = ((invr‘𝑆)‘𝑚)) → (𝑌 = (𝑛 · 𝑋) ↔ 𝑌 = (((invr‘𝑆)‘𝑚) · 𝑋)))
45		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
46		nelsn 4474	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ≠ (0g‘𝑆) → ¬ 𝑚 ∈ {(0g‘𝑆)})
47	37, 46	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ¬ 𝑚 ∈ {(0g‘𝑆)})
48	12, 47	eldifd 3835	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝑆)}))
49		eldifi 3988	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
50	49, 16	eleq2s 2879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
51	1, 14, 50	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
52	30, 31, 9, 38, 32, 39, 8, 48, 51, 28	lvecinv 19620	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) ↔ 𝑌 = (((invr‘𝑆)‘𝑚) · 𝑋)))
53	45, 52	mpbid 224	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 = (((invr‘𝑆)‘𝑚) · 𝑋))
54	41, 44, 53	rspcedvd 3537	. . 3 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑋))
55	2	prjsprel 38695	. . 3 ⊢ (𝑌 ∼ 𝑋 ↔ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑋)))
56	7, 54, 55	sylanbrc 575	. 2 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 ∼ 𝑋)
57		simpr 477	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
58	3, 57	sylbi 209	. . 3 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
59	58	adantl 474	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
60	56, 59	r19.29a 3229	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) → 𝑌 ∼ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2962  ∃wrex 3084   ∖ cdif 3821  {csn 4436   class class class wbr 4926  {copab 4988  ‘cfv 6186  (class class class)co 6975  Basecbs 16338  Scalarcsca 16423   ·_𝑠 cvsca 16424  0_gc0g 16568  inv_rcinvr 19157  DivRingcdr 19238  LModclmod 19369  LVecclvec 19609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-tpos 7694  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-ndx 16341  df-slot 16342  df-base 16344  df-sets 16345  df-ress 16346  df-plusg 16433  df-mulr 16434  df-0g 16570  df-mgm 17723  df-sgrp 17765  df-mnd 17776  df-grp 17907  df-minusg 17908  df-mgp 18976  df-ur 18988  df-ring 19035  df-oppr 19109  df-dvdsr 19127  df-unit 19128  df-invr 19158  df-drng 19240  df-lmod 19371  df-lvec 19610

This theorem is referenced by:  prjsper  38699  0prjspn  38711