Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspersym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjspersym 39588
 Description: The relation in ℙ𝕣𝕠𝕛 is symmetric. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x · = ( ·𝑠𝑉)
prjspertr.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
prjspersym ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑌 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝑌,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspersym
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 775 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 𝑌)
2 prjsprel.1 . . . . . 6 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
32prjsprel 39585 . . . . 5 (𝑋 𝑌 ↔ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
4 pm3.22 463 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌𝐵𝑋𝐵))
54adantr 484 . . . . 5 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → (𝑌𝐵𝑋𝐵))
63, 5sylbi 220 . . . 4 (𝑋 𝑌 → (𝑌𝐵𝑋𝐵))
71, 6syl 17 . . 3 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → (𝑌𝐵𝑋𝐵))
8 simplll 774 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑉 ∈ LVec)
9 prjspertr.s . . . . . . 7 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
109lvecdrng 19873 . . . . . 6 (𝑉 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
118, 10syl 17 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑆 ∈ DivRing)
12 simplr 768 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑚𝐾)
13 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋𝐵)
143, 13sylbi 220 . . . . . . 7 (𝑋 𝑌𝑋𝐵)
15 eldifsni 4686 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) → 𝑋 ≠ (0g𝑉))
16 prjspertr.b . . . . . . . 8 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
1715, 16eleq2s 2911 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋 ≠ (0g𝑉))
181, 14, 173syl 18 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ≠ (0g𝑉))
19 simplr 768 . . . . . . 7 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
20 simpr 488 . . . . . . . 8 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → 𝑚 = (0g𝑆))
2120oveq1d 7154 . . . . . . 7 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → (𝑚 · 𝑌) = ((0g𝑆) · 𝑌))
22 lveclmod 19874 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
2322ad4antr 731 . . . . . . . 8 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → 𝑉 ∈ LMod)
24 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌𝐵)
253, 24sylbi 220 . . . . . . . . . 10 (𝑋 𝑌𝑌𝐵)
26 eldifi 4057 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
2726, 16eleq2s 2911 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝐵𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
281, 25, 273syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
2928adantr 484 . . . . . . . 8 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
30 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
31 prjspertr.x . . . . . . . . 9 · = ( ·𝑠𝑉)
32 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (0g𝑆) = (0g𝑆)
33 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (0g𝑉) = (0g𝑉)
3430, 9, 31, 32, 33lmod0vs 19663 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑉)) → ((0g𝑆) · 𝑌) = (0g𝑉))
3523, 29, 34syl2anc 587 . . . . . . 7 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → ((0g𝑆) · 𝑌) = (0g𝑉))
3619, 21, 353eqtrd 2840 . . . . . 6 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → 𝑋 = (0g𝑉))
3718, 36mteqand 3093 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑚 ≠ (0g𝑆))
38 prjspertr.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑆)
39 eqid 2801 . . . . . 6 (invr𝑆) = (invr𝑆)
4038, 32, 39drnginvrcl 19515 . . . . 5 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑚𝐾𝑚 ≠ (0g𝑆)) → ((invr𝑆)‘𝑚) ∈ 𝐾)
4111, 12, 37, 40syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ((invr𝑆)‘𝑚) ∈ 𝐾)
42 oveq1 7146 . . . . . 6 (𝑛 = ((invr𝑆)‘𝑚) → (𝑛 · 𝑋) = (((invr𝑆)‘𝑚) · 𝑋))
4342eqeq2d 2812 . . . . 5 (𝑛 = ((invr𝑆)‘𝑚) → (𝑌 = (𝑛 · 𝑋) ↔ 𝑌 = (((invr𝑆)‘𝑚) · 𝑋)))
4443adantl 485 . . . 4 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑛 = ((invr𝑆)‘𝑚)) → (𝑌 = (𝑛 · 𝑋) ↔ 𝑌 = (((invr𝑆)‘𝑚) · 𝑋)))
45 simpr 488 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
46 nelsn 4568 . . . . . . . 8 (𝑚 ≠ (0g𝑆) → ¬ 𝑚 ∈ {(0g𝑆)})
4737, 46syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ¬ 𝑚 ∈ {(0g𝑆)})
4812, 47eldifd 3895 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g𝑆)}))
49 eldifi 4057 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
5049, 16eleq2s 2911 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
511, 14, 503syl 18 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
5230, 31, 9, 38, 32, 39, 8, 48, 51, 28lvecinv 19881 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) ↔ 𝑌 = (((invr𝑆)‘𝑚) · 𝑋)))
5345, 52mpbid 235 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 = (((invr𝑆)‘𝑚) · 𝑋))
5441, 44, 53rspcedvd 3577 . . 3 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ∃𝑛𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑋))
552prjsprel 39585 . . 3 (𝑌 𝑋 ↔ ((𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑛𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑋)))
567, 54, 55sylanbrc 586 . 2 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 𝑋)
57 simpr 488 . . . 4 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
583, 57sylbi 220 . . 3 (𝑋 𝑌 → ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
5958adantl 485 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) → ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
6056, 59r19.29a 3251 1 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑌 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∃wrex 3110   ∖ cdif 3881  {csn 4528   class class class wbr 5033  {copab 5095  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16478  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  0gc0g 16708  invrcinvr 19420  DivRingcdr 19498  LModclmod 19630  LVecclvec 19870 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-drng 19500  df-lmod 19632  df-lvec 19871 This theorem is referenced by:  prjsper  39589  0prjspn  39601
 Copyright terms: Public domain W3C validator