Theorem prjspersym 43839

Description: The relation in ℙroj is symmetric. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
prjspersym	⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) → 𝑌 ∼ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝑌,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥, 𝑦, 𝑙)   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑙)   𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑙)

Proof of Theorem prjspersym

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 788	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ∼ 𝑌)
2		prjsprel.1	. . . . . 6 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
3	2	prjsprel 43836	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
4		pm3.22 465	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
6	3, 5	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 → (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
7	1, 6	syl 18	. . 3 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
8		oveq1 7453	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ((invr‘𝑆)‘𝑚) → (𝑛 · 𝑋) = (((invr‘𝑆)‘𝑚) · 𝑋))
9	8	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ (𝑛 = ((invr‘𝑆)‘𝑚) → (𝑌 = (𝑛 · 𝑋) ↔ 𝑌 = (((invr‘𝑆)‘𝑚) · 𝑋)))
10		simplll 787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑉 ∈ LVec)
11		prjspertr.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
12	11	lvecdrng 21413	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
13	10, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑆 ∈ DivRing)
14		simplr 781	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑚 ∈ 𝐾)
15		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	3, 15	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐵)
17		eldifsni 4753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))
18		prjspertr.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
19	17, 18	eleq2s 2882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))
20	1, 16, 19	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))
21		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
22		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → 𝑚 = (0g‘𝑆))
23	22	oveq1d 7461	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → (𝑚 · 𝑌) = ((0g‘𝑆) · 𝑌))
24		lveclmod 21414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
25	24	ad4antr 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → 𝑉 ∈ LMod)
26		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
27	3, 26	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 → 𝑌 ∈ 𝐵)
28		eldifi 4070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
29	28, 18	eleq2s 2882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
30	1, 27, 29	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
31	30	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
32		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
33		prjspertr.x	. . . . . . . . 9 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
34		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
35		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑉) = (0g‘𝑉)
36	32, 11, 33, 34, 35	lmod0vs 21203	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑉)) → ((0g‘𝑆) · 𝑌) = (0g‘𝑉))
37	25, 31, 36	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → ((0g‘𝑆) · 𝑌) = (0g‘𝑉))
38	21, 23, 37	3eqtrd 2802	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → 𝑋 = (0g‘𝑉))
39	20, 38	mteqand 3050	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑚 ≠ (0g‘𝑆))
40		prjspertr.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
41		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
42	40, 34, 41	drnginvrcl 21044	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝑆)) → ((invr‘𝑆)‘𝑚) ∈ 𝐾)
43	13, 14, 39, 42	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ((invr‘𝑆)‘𝑚) ∈ 𝐾)
44		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
45		nelsn 4627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ≠ (0g‘𝑆) → ¬ 𝑚 ∈ {(0g‘𝑆)})
46	39, 45	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ¬ 𝑚 ∈ {(0g‘𝑆)})
47	14, 46	eldifd 4053	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝑆)}))
48		eldifi 4070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
49	48, 18	eleq2s 2882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
50	1, 16, 49	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
51	32, 33, 11, 40, 34, 41, 10, 47, 50, 30	lvecinv 21424	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) ↔ 𝑌 = (((invr‘𝑆)‘𝑚) · 𝑋)))
52	44, 51	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 = (((invr‘𝑆)‘𝑚) · 𝑋))
53	9, 43, 52	rspcedvdw 3583	. . 3 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑋))
54	2	prjsprel 43836	. . 3 ⊢ (𝑌 ∼ 𝑋 ↔ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑋)))
55	7, 53, 54	sylanbrc 595	. 2 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 ∼ 𝑋)
56		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
57	3, 56	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
58	57	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
59	55, 58	r19.29a 3174	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) → 𝑌 ∼ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ∖ cdif 4048  {csn 4588   class class class wbr 5106  {copab 5171  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419  Scalarcsca 17463   ·_𝑠 cvsca 17464  0_gc0g 17642  inv_rcinvr 20650  DivRingcdr 21013  LModclmod 21168  LVecclvec 21410

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-tpos 8274  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-oppr 20600  df-dvdsr 20620  df-unit 20621  df-invr 20651  df-drng 21015  df-lmod 21170  df-lvec 21411

This theorem is used by:  prjsper  43840  0prjspn  43868