Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspersym Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem prjspersym 41036
Description: The relation in ℙ𝕣𝕠𝕛 is symmetric. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
prjspertr.b 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘‰)
prjspertr.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‰)
prjspertr.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
prjspersym ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∼ 𝑋)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑙   π‘₯,π‘Œ,𝑦,𝑙   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑙   π‘₯, Β· ,𝑦,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑙)   ∼ (π‘₯,𝑦,𝑙)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑙)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑙)
Proof of Theorem prjspersym
Dummy variables π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 774 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∼ π‘Œ)
2 prjsprel.1 . . . . . 6 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
32prjsprel 41033 . . . . 5 (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)))
4 pm3.22 460 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡))
54adantr 481 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡))
63, 5sylbi 216 . . . 4 (𝑋 ∼ π‘Œ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡))
71, 6syl 17 . . 3 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡))
8 simplll 773 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ 𝑉 ∈ LVec)
9 prjspertr.s . . . . . . 7 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘‰)
109lvecdrng 20638 . . . . . 6 (𝑉 ∈ LVec β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
118, 10syl 17 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
12 simplr 767 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ π‘š ∈ 𝐾)
13 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
143, 13sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑋 ∼ π‘Œ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
15 eldifsni 4770 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) β†’ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘‰))
16 prjspertr.b . . . . . . . 8 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)})
1715, 16eleq2s 2850 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘‰))
181, 14, 173syl 18 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘‰))
19 simplr 767 . . . . . . 7 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) ∧ π‘š = (0gβ€˜π‘†)) β†’ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))
20 simpr 485 . . . . . . . 8 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) ∧ π‘š = (0gβ€˜π‘†)) β†’ π‘š = (0gβ€˜π‘†))
2120oveq1d 7392 . . . . . . 7 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) ∧ π‘š = (0gβ€˜π‘†)) β†’ (π‘š Β· π‘Œ) = ((0gβ€˜π‘†) Β· π‘Œ))
22 lveclmod 20639 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ LVec β†’ 𝑉 ∈ LMod)
2322ad4antr 730 . . . . . . . 8 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) ∧ π‘š = (0gβ€˜π‘†)) β†’ 𝑉 ∈ LMod)
24 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
253, 24sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∼ π‘Œ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
26 eldifi 4106 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ ∈ ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
2726, 16eleq2s 2850 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
281, 25, 273syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
2928adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) ∧ π‘š = (0gβ€˜π‘†)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
30 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘‰) = (Baseβ€˜π‘‰)
31 prjspertr.x . . . . . . . . 9 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‰)
32 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
33 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘‰) = (0gβ€˜π‘‰)
3430, 9, 31, 32, 33lmod0vs 20427 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)) β†’ ((0gβ€˜π‘†) Β· π‘Œ) = (0gβ€˜π‘‰))
3523, 29, 34syl2anc 584 . . . . . . 7 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) ∧ π‘š = (0gβ€˜π‘†)) β†’ ((0gβ€˜π‘†) Β· π‘Œ) = (0gβ€˜π‘‰))
3619, 21, 353eqtrd 2775 . . . . . 6 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) ∧ π‘š = (0gβ€˜π‘†)) β†’ 𝑋 = (0gβ€˜π‘‰))
3718, 36mteqand 3032 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ π‘š β‰  (0gβ€˜π‘†))
38 prjspertr.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
39 eqid 2731 . . . . . 6 (invrβ€˜π‘†) = (invrβ€˜π‘†)
4038, 32, 39drnginvrcl 20261 . . . . 5 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ π‘š ∈ 𝐾 ∧ π‘š β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ ((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘š) ∈ 𝐾)
4111, 12, 37, 40syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ ((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘š) ∈ 𝐾)
42 oveq1 7384 . . . . . 6 (𝑛 = ((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘š) β†’ (𝑛 Β· 𝑋) = (((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘š) Β· 𝑋))
4342eqeq2d 2742 . . . . 5 (𝑛 = ((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘š) β†’ (π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑋) ↔ π‘Œ = (((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘š) Β· 𝑋)))
4443adantl 482 . . . 4 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) ∧ 𝑛 = ((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘š)) β†’ (π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑋) ↔ π‘Œ = (((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘š) Β· 𝑋)))
45 simpr 485 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))
46 nelsn 4646 . . . . . . . 8 (π‘š β‰  (0gβ€˜π‘†) β†’ Β¬ π‘š ∈ {(0gβ€˜π‘†)})
4737, 46syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ Β¬ π‘š ∈ {(0gβ€˜π‘†)})
4812, 47eldifd 3939 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ π‘š ∈ (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜π‘†)}))
49 eldifi 4106 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
5049, 16eleq2s 2850 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
511, 14, 503syl 18 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
5230, 31, 9, 38, 32, 39, 8, 48, 51, 28lvecinv 20648 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ (𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ) ↔ π‘Œ = (((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘š) Β· 𝑋)))
5345, 52mpbid 231 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ π‘Œ = (((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘š) Β· 𝑋))
5441, 44, 53rspcedvd 3597 . . 3 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐾 π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑋))
552prjsprel 41033 . . 3 (π‘Œ ∼ 𝑋 ↔ ((π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐾 π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑋)))
567, 54, 55sylanbrc 583 . 2 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) ∧ π‘š ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∼ 𝑋)
57 simpr 485 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))
583, 57sylbi 216 . . 3 (𝑋 ∼ π‘Œ β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))
5958adantl 482 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))
6056, 59r19.29a 3161 1 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∼ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069   βˆ– cdif 3925  {csn 4606   class class class wbr 5125  {copab 5187  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  Basecbs 17109  Scalarcsca 17165   ·𝑠 cvsca 17166  0gc0g 17350  invrcinvr 20129  DivRingcdr 20240  LModclmod 20393  LVecclvec 20635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-2nd 7942  df-tpos 8177  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-ress 17139  df-plusg 17175  df-mulr 17176  df-0g 17352  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-grp 18780  df-minusg 18781  df-mgp 19926  df-ur 19943  df-ring 19995  df-oppr 20078  df-dvdsr 20099  df-unit 20100  df-invr 20130  df-drng 20242  df-lmod 20395  df-lvec 20636
This theorem is referenced by:  prjsper  41037  0prjspn  41057
  Copyright terms: Public domain W3C validator