Theorem prjspersym 42646

Description: The relation in ℙ𝕣𝕠𝕛 is symmetric. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
prjspersym	⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) → 𝑌 ∼ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝑌,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspersym

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 775	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ∼ 𝑌)
2		prjsprel.1	. . . . . 6 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
3	2	prjsprel 42643	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
4		pm3.22 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
6	3, 5	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 → (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
7	1, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
8		oveq1 7353	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ((invr‘𝑆)‘𝑚) → (𝑛 · 𝑋) = (((invr‘𝑆)‘𝑚) · 𝑋))
9	8	eqeq2d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑛 = ((invr‘𝑆)‘𝑚) → (𝑌 = (𝑛 · 𝑋) ↔ 𝑌 = (((invr‘𝑆)‘𝑚) · 𝑋)))
10		simplll 774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑉 ∈ LVec)
11		prjspertr.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
12	11	lvecdrng 21040	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑆 ∈ DivRing)
14		simplr 768	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑚 ∈ 𝐾)
15		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	3, 15	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐵)
17		eldifsni 4742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))
18		prjspertr.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
19	17, 18	eleq2s 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))
20	1, 16, 19	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))
21		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
22		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → 𝑚 = (0g‘𝑆))
23	22	oveq1d 7361	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → (𝑚 · 𝑌) = ((0g‘𝑆) · 𝑌))
24		lveclmod 21041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
25	24	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → 𝑉 ∈ LMod)
26		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
27	3, 26	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 → 𝑌 ∈ 𝐵)
28		eldifi 4081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
29	28, 18	eleq2s 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
30	1, 27, 29	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
32		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
33		prjspertr.x	. . . . . . . . 9 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
34		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
35		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑉) = (0g‘𝑉)
36	32, 11, 33, 34, 35	lmod0vs 20829	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑉)) → ((0g‘𝑆) · 𝑌) = (0g‘𝑉))
37	25, 31, 36	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → ((0g‘𝑆) · 𝑌) = (0g‘𝑉))
38	21, 23, 37	3eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g‘𝑆)) → 𝑋 = (0g‘𝑉))
39	20, 38	mteqand 3019	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑚 ≠ (0g‘𝑆))
40		prjspertr.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
41		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
42	40, 34, 41	drnginvrcl 20669	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝑆)) → ((invr‘𝑆)‘𝑚) ∈ 𝐾)
43	13, 14, 39, 42	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ((invr‘𝑆)‘𝑚) ∈ 𝐾)
44		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
45		nelsn 4619	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ≠ (0g‘𝑆) → ¬ 𝑚 ∈ {(0g‘𝑆)})
46	39, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ¬ 𝑚 ∈ {(0g‘𝑆)})
47	14, 46	eldifd 3913	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g‘𝑆)}))
48		eldifi 4081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
49	48, 18	eleq2s 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
50	1, 16, 49	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
51	32, 33, 11, 40, 34, 41, 10, 47, 50, 30	lvecinv 21051	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) ↔ 𝑌 = (((invr‘𝑆)‘𝑚) · 𝑋)))
52	44, 51	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 = (((invr‘𝑆)‘𝑚) · 𝑋))
53	9, 43, 52	rspcedvdw 3580	. . 3 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑋))
54	2	prjsprel 42643	. . 3 ⊢ (𝑌 ∼ 𝑋 ↔ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑋)))
55	7, 53, 54	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ 𝑚 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 ∼ 𝑋)
56		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
57	3, 56	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
58	57	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
59	55, 58	r19.29a 3140	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) → 𝑌 ∼ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056   ∖ cdif 3899  {csn 4576   class class class wbr 5091  {copab 5153  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  0_gc0g 17343  inv_rcinvr 20306  DivRingcdr 20645  LModclmod 20794  LVecclvec 21037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20060  df-rng 20072  df-ur 20101  df-ring 20154  df-oppr 20256  df-dvdsr 20276  df-unit 20277  df-invr 20307  df-drng 20647  df-lmod 20796  df-lvec 21038

This theorem is referenced by:  prjsper  42647  0prjspn  42667