Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspersym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjspersym 41003
Description: The relation in ℙ𝕣𝕠𝕛 is symmetric. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x · = ( ·𝑠𝑉)
prjspertr.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
prjspersym ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑌 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝑌,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspersym
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 774 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 𝑌)
2 prjsprel.1 . . . . . 6 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
32prjsprel 41000 . . . . 5 (𝑋 𝑌 ↔ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
4 pm3.22 460 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌𝐵𝑋𝐵))
54adantr 481 . . . . 5 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → (𝑌𝐵𝑋𝐵))
63, 5sylbi 216 . . . 4 (𝑋 𝑌 → (𝑌𝐵𝑋𝐵))
71, 6syl 17 . . 3 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → (𝑌𝐵𝑋𝐵))
8 simplll 773 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑉 ∈ LVec)
9 prjspertr.s . . . . . . 7 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
109lvecdrng 20623 . . . . . 6 (𝑉 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
118, 10syl 17 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑆 ∈ DivRing)
12 simplr 767 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑚𝐾)
13 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋𝐵)
143, 13sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑋 𝑌𝑋𝐵)
15 eldifsni 4755 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) → 𝑋 ≠ (0g𝑉))
16 prjspertr.b . . . . . . . 8 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
1715, 16eleq2s 2850 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋 ≠ (0g𝑉))
181, 14, 173syl 18 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ≠ (0g𝑉))
19 simplr 767 . . . . . . 7 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
20 simpr 485 . . . . . . . 8 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → 𝑚 = (0g𝑆))
2120oveq1d 7377 . . . . . . 7 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → (𝑚 · 𝑌) = ((0g𝑆) · 𝑌))
22 lveclmod 20624 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
2322ad4antr 730 . . . . . . . 8 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → 𝑉 ∈ LMod)
24 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌𝐵)
253, 24sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑋 𝑌𝑌𝐵)
26 eldifi 4091 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
2726, 16eleq2s 2850 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝐵𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
281, 25, 273syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
2928adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑉))
30 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
31 prjspertr.x . . . . . . . . 9 · = ( ·𝑠𝑉)
32 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (0g𝑆) = (0g𝑆)
33 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (0g𝑉) = (0g𝑉)
3430, 9, 31, 32, 33lmod0vs 20412 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑉)) → ((0g𝑆) · 𝑌) = (0g𝑉))
3523, 29, 34syl2anc 584 . . . . . . 7 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → ((0g𝑆) · 𝑌) = (0g𝑉))
3619, 21, 353eqtrd 2775 . . . . . 6 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑚 = (0g𝑆)) → 𝑋 = (0g𝑉))
3718, 36mteqand 3032 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑚 ≠ (0g𝑆))
38 prjspertr.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑆)
39 eqid 2731 . . . . . 6 (invr𝑆) = (invr𝑆)
4038, 32, 39drnginvrcl 20246 . . . . 5 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ 𝑚𝐾𝑚 ≠ (0g𝑆)) → ((invr𝑆)‘𝑚) ∈ 𝐾)
4111, 12, 37, 40syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ((invr𝑆)‘𝑚) ∈ 𝐾)
42 oveq1 7369 . . . . . 6 (𝑛 = ((invr𝑆)‘𝑚) → (𝑛 · 𝑋) = (((invr𝑆)‘𝑚) · 𝑋))
4342eqeq2d 2742 . . . . 5 (𝑛 = ((invr𝑆)‘𝑚) → (𝑌 = (𝑛 · 𝑋) ↔ 𝑌 = (((invr𝑆)‘𝑚) · 𝑋)))
4443adantl 482 . . . 4 (((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ 𝑛 = ((invr𝑆)‘𝑚)) → (𝑌 = (𝑛 · 𝑋) ↔ 𝑌 = (((invr𝑆)‘𝑚) · 𝑋)))
45 simpr 485 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
46 nelsn 4631 . . . . . . . 8 (𝑚 ≠ (0g𝑆) → ¬ 𝑚 ∈ {(0g𝑆)})
4737, 46syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ¬ 𝑚 ∈ {(0g𝑆)})
4812, 47eldifd 3924 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑚 ∈ (𝐾 ∖ {(0g𝑆)}))
49 eldifi 4091 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
5049, 16eleq2s 2850 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
511, 14, 503syl 18 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
5230, 31, 9, 38, 32, 39, 8, 48, 51, 28lvecinv 20633 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) ↔ 𝑌 = (((invr𝑆)‘𝑚) · 𝑋)))
5345, 52mpbid 231 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 = (((invr𝑆)‘𝑚) · 𝑋))
5441, 44, 53rspcedvd 3584 . . 3 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ∃𝑛𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑋))
552prjsprel 41000 . . 3 (𝑌 𝑋 ↔ ((𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑛𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑋)))
567, 54, 55sylanbrc 583 . 2 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) ∧ 𝑚𝐾) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑌 𝑋)
57 simpr 485 . . . 4 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
583, 57sylbi 216 . . 3 (𝑋 𝑌 → ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
5958adantl 482 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) → ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
6056, 59r19.29a 3155 1 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑌 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  wrex 3069  cdif 3910  {csn 4591   class class class wbr 5110  {copab 5172  cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17094  Scalarcsca 17150   ·𝑠 cvsca 17151  0gc0g 17335  invrcinvr 20114  DivRingcdr 20225  LModclmod 20378  LVecclvec 20620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-0g 17337  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-grp 18765  df-minusg 18766  df-mgp 19911  df-ur 19928  df-ring 19980  df-oppr 20063  df-dvdsr 20084  df-unit 20085  df-invr 20115  df-drng 20227  df-lmod 20380  df-lvec 20621
This theorem is referenced by:  prjsper  41004  0prjspn  41024
  Copyright terms: Public domain W3C validator