Theorem hgmapvvlem2 41321

Description: Lemma for hgmapvv 41323. Eliminate 𝑌 (Baer's s). (Contributed by NM, 13-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapglem6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapglem6.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapglem6.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem6.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem6.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapglem6.q	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmapglem6.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapglem6.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapglem6.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
hdmapglem6.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hdmapglem6.i	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
hdmapglem6.n	⊢ 𝑁 = (invr‘𝑅)
hdmapglem6.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem6.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem6.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapglem6.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
hdmapglem6.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem6.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem6.cd	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐷)‘𝐶) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
hgmapvvlem2	⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem hgmapvvlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapglem6.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmapglem6.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
3		hdmapglem6.o	. 2 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		hdmapglem6.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		hdmapglem6.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		hdmapglem6.q	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
7		hdmapglem6.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
8		hdmapglem6.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		hdmapglem6.t	. 2 ⊢ × = (.r‘𝑅)
10		hdmapglem6.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11		hdmapglem6.i	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
12		hdmapglem6.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (invr‘𝑅)
13		hdmapglem6.s	. 2 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
14		hdmapglem6.g	. 2 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
15		hdmapglem6.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		hdmapglem6.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
17		hdmapglem6.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
18		hdmapglem6.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
19		hdmapglem6.cd	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐷)‘𝐶) = 1 )
20	1, 4, 15	dvhlvec 40506	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
21	7	lvecdrng 20972	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑅 ∈ DivRing)
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
23	16	eldifad 3956	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
24	1, 4, 7, 8, 14, 15, 23	hgmapcl 41286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝐵)
25		eldifsni 4789	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
26	16, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
27	1, 4, 7, 8, 10, 14, 15, 23	hgmapeq0 41301	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))
28	27	necon3bid 2980	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) ≠ 0 ↔ 𝑋 ≠ 0 ))
29	26, 28	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
30	8, 10, 12	drnginvrcl 20628	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (𝑁‘(𝐺‘𝑋)) ∈ 𝐵)
31	22, 24, 29, 30	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐺‘𝑋)) ∈ 𝐵)
32	8, 10, 12	drnginvrn0 20629	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (𝑁‘(𝐺‘𝑋)) ≠ 0 )
33	22, 24, 29, 32	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐺‘𝑋)) ≠ 0 )
34		eldifsn 4786	. . 3 ⊢ ((𝑁‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑁‘(𝐺‘𝑋)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘(𝐺‘𝑋)) ≠ 0 ))
35	31, 33, 34	sylanbrc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
36	8, 10, 9, 11, 12	drnginvrl 20631	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → ((𝑁‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐺‘𝑋)) = 1 )
37	22, 24, 29, 36	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝐺‘𝑋)) × (𝐺‘𝑋)) = 1 )
38	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 35, 37	hgmapvvlem1 41320	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935   ∖ cdif 3941  {csn 4624  ⟨cop 4630   I cid 5569   ↾ cres 5674  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  ._rcmulr 17219  Scalarcsca 17221   ·_𝑠 cvsca 17222  0_gc0g 17406  1_rcur 20105  inv_rcinvr 20308  DivRingcdr 20606  LVecclvec 20969  HLchlt 38746  LHypclh 39381  LTrncltrn 39498  DVecHcdvh 40475  ocHcoch 40744  HDMapchdma 41189  HGMapchg 41280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-riotaBAD 38349

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8223  df-undef 8270  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-0g 17408  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-proset 18272  df-poset 18290  df-plt 18307  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-p0 18402  df-p1 18403  df-lat 18409  df-clat 18476  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19062  df-cntz 19252  df-oppg 19281  df-lsm 19575  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-oppr 20255  df-dvdsr 20278  df-unit 20279  df-invr 20309  df-dvr 20322  df-drng 20608  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-lsp 20838  df-lvec 20970  df-lsatoms 38372  df-lshyp 38373  df-lcv 38415  df-lfl 38454  df-lkr 38482  df-ldual 38520  df-oposet 38572  df-ol 38574  df-oml 38575  df-covers 38662  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-llines 38895  df-lplanes 38896  df-lvols 38897  df-lines 38898  df-psubsp 38900  df-pmap 38901  df-padd 39193  df-lhyp 39385  df-laut 39386  df-ldil 39501  df-ltrn 39502  df-trl 39556  df-tgrp 40140  df-tendo 40152  df-edring 40154  df-dveca 40400  df-disoa 40426  df-dvech 40476  df-dib 40536  df-dic 40570  df-dih 40626  df-doch 40745  df-djh 40792  df-lcdual 40984  df-mapd 41022  df-hvmap 41154  df-hdmap1 41190  df-hdmap 41191  df-hgmap 41281

This theorem is referenced by:  hgmapvvlem3  41322