Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgmapvvlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgmapvvlem2 39179
Description: Lemma for hgmapvv 39181. Eliminate 𝑌 (Baer's s). (Contributed by NM, 13-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapglem6.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapglem6.e 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapglem6.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem6.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem6.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapglem6.q · = ( ·𝑠𝑈)
hdmapglem6.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapglem6.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapglem6.t × = (.r𝑅)
hdmapglem6.z 0 = (0g𝑅)
hdmapglem6.i 1 = (1r𝑅)
hdmapglem6.n 𝑁 = (invr𝑅)
hdmapglem6.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem6.g 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem6.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmapglem6.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
hdmapglem6.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem6.d (𝜑𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem6.cd (𝜑 → ((𝑆𝐷)‘𝐶) = 1 )
Assertion
Ref Expression
hgmapvvlem2 (𝜑 → (𝐺‘(𝐺𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem hgmapvvlem2
StepHypRef Expression
1 hdmapglem6.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmapglem6.e . 2 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
3 hdmapglem6.o . 2 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 hdmapglem6.u . 2 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 hdmapglem6.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑈)
6 hdmapglem6.q . 2 · = ( ·𝑠𝑈)
7 hdmapglem6.r . 2 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
8 hdmapglem6.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 hdmapglem6.t . 2 × = (.r𝑅)
10 hdmapglem6.z . 2 0 = (0g𝑅)
11 hdmapglem6.i . 2 1 = (1r𝑅)
12 hdmapglem6.n . 2 𝑁 = (invr𝑅)
13 hdmapglem6.s . 2 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
14 hdmapglem6.g . 2 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
15 hdmapglem6.k . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 hdmapglem6.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
17 hdmapglem6.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
18 hdmapglem6.d . 2 (𝜑𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
19 hdmapglem6.cd . 2 (𝜑 → ((𝑆𝐷)‘𝐶) = 1 )
201, 4, 15dvhlvec 38364 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
217lvecdrng 19868 . . . . 5 (𝑈 ∈ LVec → 𝑅 ∈ DivRing)
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
2316eldifad 3920 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
241, 4, 7, 8, 14, 15, 23hgmapcl 39144 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ 𝐵)
25 eldifsni 4696 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
2616, 25syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋0 )
271, 4, 7, 8, 10, 14, 15, 23hgmapeq0 39159 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺𝑋) = 0𝑋 = 0 ))
2827necon3bid 3055 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺𝑋) ≠ 0𝑋0 ))
2926, 28mpbird 260 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ 0 )
308, 10, 12drnginvrcl 19510 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → (𝑁‘(𝐺𝑋)) ∈ 𝐵)
3122, 24, 29, 30syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(𝐺𝑋)) ∈ 𝐵)
328, 10, 12drnginvrn0 19511 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → (𝑁‘(𝐺𝑋)) ≠ 0 )
3322, 24, 29, 32syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(𝐺𝑋)) ≠ 0 )
34 eldifsn 4693 . . 3 ((𝑁‘(𝐺𝑋)) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑁‘(𝐺𝑋)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘(𝐺𝑋)) ≠ 0 ))
3531, 33, 34sylanbrc 586 . 2 (𝜑 → (𝑁‘(𝐺𝑋)) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
368, 10, 9, 11, 12drnginvrl 19512 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → ((𝑁‘(𝐺𝑋)) × (𝐺𝑋)) = 1 )
3722, 24, 29, 36syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐺𝑋)) × (𝐺𝑋)) = 1 )
381, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 35, 37hgmapvvlem1 39178 1 (𝜑 → (𝐺‘(𝐺𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  cdif 3905  {csn 4539  cop 4545   I cid 5436  cres 5534  cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  .rcmulr 16557  Scalarcsca 16559   ·𝑠 cvsca 16560  0gc0g 16704  1rcur 19242  invrcinvr 19415  DivRingcdr 19493  LVecclvec 19865  HLchlt 36605  LHypclh 37239  LTrncltrn 37356  DVecHcdvh 38333  ocHcoch 38602  HDMapchdma 39047  HGMapchg 39138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-riotaBAD 36208
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-ot 4548  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-undef 7926  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-0g 16706  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-proset 17529  df-poset 17547  df-plt 17559  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-p0 17640  df-p1 17641  df-lat 17647  df-clat 17709  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-cntz 18438  df-oppg 18465  df-lsm 18752  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-drng 19495  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-lsp 19735  df-lvec 19866  df-lsatoms 36231  df-lshyp 36232  df-lcv 36274  df-lfl 36313  df-lkr 36341  df-ldual 36379  df-oposet 36431  df-ol 36433  df-oml 36434  df-covers 36521  df-ats 36522  df-atl 36553  df-cvlat 36577  df-hlat 36606  df-llines 36753  df-lplanes 36754  df-lvols 36755  df-lines 36756  df-psubsp 36758  df-pmap 36759  df-padd 37051  df-lhyp 37243  df-laut 37244  df-ldil 37359  df-ltrn 37360  df-trl 37414  df-tgrp 37998  df-tendo 38010  df-edring 38012  df-dveca 38258  df-disoa 38284  df-dvech 38334  df-dib 38394  df-dic 38428  df-dih 38484  df-doch 38603  df-djh 38650  df-lcdual 38842  df-mapd 38880  df-hvmap 39012  df-hdmap1 39048  df-hdmap 39049  df-hgmap 39139
This theorem is referenced by:  hgmapvvlem3  39180
  Copyright terms: Public domain W3C validator