Theorem mapdpglem21 41811

Description: Lemma for mapdpg 41825. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem3.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpglem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
mapdpglem.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
mapdpglem4.g4	⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
mapdpglem4.z4	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4	⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.yn	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
mapdpglem17.ep	⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem21	⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑡) = (𝐺𝑅𝐸))

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   ⊕ (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐸(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   − (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem21

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem4.t4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
2	1	oveq2d 7368	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑡) = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧)))
3		mapdpglem3.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
4		mapdpglem3.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
5		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
6		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
7		mapdpglem3.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
8		mapdpglem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		mapdpglem.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10		mapdpglem.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	8, 9, 10	lcdlmod 41711	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
12		mapdpglem.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
13	8, 12, 10	dvhlvec 41228	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
14		mapdpglem3.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
15	14	lvecdrng 21041	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝐴 ∈ DivRing)
16	13, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ DivRing)
17		mapdpglem4.g4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
18		mapdpglem.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
19		mapdpglem.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
20		mapdpglem.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
21		mapdpglem.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
22		mapdpglem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
23		mapdpglem.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
24		mapdpglem1.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
25		mapdpglem2.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
26		mapdpglem3.te	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
27		mapdpglem3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
28		mapdpglem3.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
29		mapdpglem3.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
30		mapdpglem4.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
31		mapdpglem.ne	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
32		mapdpglem4.jt	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
33		mapdpglem4.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
34		mapdpglem4.z4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
35		mapdpglem4.xn	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
36	8, 18, 12, 19, 20, 21, 9, 10, 22, 23, 24, 25, 3, 26, 14, 27, 4, 7, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 17, 34, 1, 35	mapdpglem11 41801	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ≠ 0 )
37		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝐴) = (invr‘𝐴)
38	27, 33, 37	drnginvrcl 20670	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
39	16, 17, 36, 38	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
40	8, 12, 14, 27, 9, 5, 6, 10	lcdsbase 41719	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
41	39, 40	eleqtrrd 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
42	8, 12, 14, 27, 9, 3, 4, 10, 17, 28	lcdvscl 41724	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 · 𝐺) ∈ 𝐹)
43		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
44		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
45	8, 12, 10	dvhlmod 41229	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
46	19, 43, 21	lspsncl 20912	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
47	45, 23, 46	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
48	8, 18, 12, 43, 9, 44, 10, 47	mapdcl2 41775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
49	3, 44	lssss 20871	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ 𝐹)
50	48, 49	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ 𝐹)
51	50, 34	sseldd 3931	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ 𝐹)
52	3, 4, 5, 6, 7, 11, 41, 42, 51	lmodsubdi 20854	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧)) = ((((invr‘𝐴)‘𝑔) · (𝑔 · 𝐺))𝑅(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)))
53		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
54		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
55	27, 33, 53, 54, 37	drnginvrr 20674	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ≠ 0 ) → (𝑔(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑔)) = (1r‘𝐴))
56	16, 17, 36, 55	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑔(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑔)) = (1r‘𝐴))
57		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
58	8, 12, 14, 54, 9, 5, 57, 10	lcd1 41728	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘𝐴))
59	56, 58	eqtr4d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑔(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑔)) = (1r‘(Scalar‘𝐶)))
60	59	oveq1d 7367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑔(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑔)) · 𝐺) = ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺))
61	8, 12, 14, 27, 53, 9, 3, 4, 10, 39, 17, 28	lcdvsass 41726	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑔(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑔)) · 𝐺) = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · (𝑔 · 𝐺)))
62	3, 5, 4, 57	lmodvs1 20825	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝐺)
63	11, 28, 62	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝐺)
64	60, 61, 63	3eqtr3d 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · (𝑔 · 𝐺)) = 𝐺)
65	64	oveq1d 7367	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝐴)‘𝑔) · (𝑔 · 𝐺))𝑅(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)) = (𝐺𝑅(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)))
66		mapdpglem17.ep	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
67	66	oveq2i 7363	. . 3 ⊢ (𝐺𝑅𝐸) = (𝐺𝑅(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧))
68	65, 67	eqtr4di 2786	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝐴)‘𝑔) · (𝑔 · 𝐺))𝑅(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)) = (𝐺𝑅𝐸))
69	2, 52, 68	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑡) = (𝐺𝑅𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   ⊆ wss 3898  {csn 4575  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122  ._rcmulr 17164  Scalarcsca 17166   ·_𝑠 cvsca 17167  0_gc0g 17345  -_gcsg 18850  LSSumclsm 19548  1_rcur 20101  inv_rcinvr 20307  DivRingcdr 20646  LModclmod 20795  LSubSpclss 20866  LSpanclspn 20906  LVecclvec 21038  HLchlt 39469  LHypclh 40103  DVecHcdvh 41197  LCDualclcd 41705  mapdcmpd 41743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-riotaBAD 39072

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-undef 8209  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-0g 17347  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-proset 18202  df-poset 18221  df-plt 18236  df-lub 18252  df-glb 18253  df-join 18254  df-meet 18255  df-p0 18331  df-p1 18332  df-lat 18340  df-clat 18407  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-subg 19038  df-cntz 19231  df-oppg 19260  df-lsm 19550  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-dvr 20321  df-nzr 20430  df-rlreg 20611  df-domn 20612  df-drng 20648  df-lmod 20797  df-lss 20867  df-lsp 20907  df-lvec 21039  df-lsatoms 39095  df-lshyp 39096  df-lcv 39138  df-lfl 39177  df-lkr 39205  df-ldual 39243  df-oposet 39295  df-ol 39297  df-oml 39298  df-covers 39385  df-ats 39386  df-atl 39417  df-cvlat 39441  df-hlat 39470  df-llines 39617  df-lplanes 39618  df-lvols 39619  df-lines 39620  df-psubsp 39622  df-pmap 39623  df-padd 39915  df-lhyp 40107  df-laut 40108  df-ldil 40223  df-ltrn 40224  df-trl 40278  df-tgrp 40862  df-tendo 40874  df-edring 40876  df-dveca 41122  df-disoa 41148  df-dvech 41198  df-dib 41258  df-dic 41292  df-dih 41348  df-doch 41467  df-djh 41514  df-lcdual 41706  df-mapd 41744

This theorem is referenced by:  mapdpglem22  41812