Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem21 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem21 38874
 Description: Lemma for mapdpg 38888. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q 𝑄 = (0g𝑈)
mapdpglem.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z 0 = (0g𝐴)
mapdpglem4.g4 (𝜑𝑔𝐵)
mapdpglem4.z4 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn (𝜑𝑋𝑄)
mapdpglem12.yn (𝜑𝑌𝑄)
mapdpglem17.ep 𝐸 = (((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem21 (𝜑 → (((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑡) = (𝐺𝑅𝐸))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐸(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem21
StepHypRef Expression
1 mapdpglem4.t4 . . 3 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
21oveq2d 7146 . 2 (𝜑 → (((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑡) = (((invr𝐴)‘𝑔) · ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧)))
3 mapdpglem3.f . . 3 𝐹 = (Base‘𝐶)
4 mapdpglem3.t . . 3 · = ( ·𝑠𝐶)
5 eqid 2821 . . 3 (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
6 eqid 2821 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
7 mapdpglem3.r . . 3 𝑅 = (-g𝐶)
8 mapdpglem.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 mapdpglem.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10 mapdpglem.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
118, 9, 10lcdlmod 38774 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
12 mapdpglem.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
138, 12, 10dvhlvec 38291 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
14 mapdpglem3.a . . . . . . 7 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
1514lvecdrng 19853 . . . . . 6 (𝑈 ∈ LVec → 𝐴 ∈ DivRing)
1613, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ DivRing)
17 mapdpglem4.g4 . . . . 5 (𝜑𝑔𝐵)
18 mapdpglem.m . . . . . 6 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
19 mapdpglem.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
20 mapdpglem.s . . . . . 6 = (-g𝑈)
21 mapdpglem.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
22 mapdpglem.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
23 mapdpglem.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
24 mapdpglem1.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝐶)
25 mapdpglem2.j . . . . . 6 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
26 mapdpglem3.te . . . . . 6 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
27 mapdpglem3.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
28 mapdpglem3.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
29 mapdpglem3.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
30 mapdpglem4.q . . . . . 6 𝑄 = (0g𝑈)
31 mapdpglem.ne . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
32 mapdpglem4.jt . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
33 mapdpglem4.z . . . . . 6 0 = (0g𝐴)
34 mapdpglem4.z4 . . . . . 6 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
35 mapdpglem4.xn . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑄)
368, 18, 12, 19, 20, 21, 9, 10, 22, 23, 24, 25, 3, 26, 14, 27, 4, 7, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 17, 34, 1, 35mapdpglem11 38864 . . . . 5 (𝜑𝑔0 )
37 eqid 2821 . . . . . 6 (invr𝐴) = (invr𝐴)
3827, 33, 37drnginvrcl 19495 . . . . 5 ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔𝐵𝑔0 ) → ((invr𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
3916, 17, 36, 38syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → ((invr𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
408, 12, 14, 27, 9, 5, 6, 10lcdsbase 38782 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
4139, 40eleqtrrd 2915 . . 3 (𝜑 → ((invr𝐴)‘𝑔) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
428, 12, 14, 27, 9, 3, 4, 10, 17, 28lcdvscl 38787 . . 3 (𝜑 → (𝑔 · 𝐺) ∈ 𝐹)
43 eqid 2821 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
44 eqid 2821 . . . . . 6 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
458, 12, 10dvhlmod 38292 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
4619, 43, 21lspsncl 19725 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4745, 23, 46syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
488, 18, 12, 43, 9, 44, 10, 47mapdcl2 38838 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
493, 44lssss 19684 . . . . 5 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ 𝐹)
5048, 49syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ 𝐹)
5150, 34sseldd 3944 . . 3 (𝜑𝑧𝐹)
523, 4, 5, 6, 7, 11, 41, 42, 51lmodsubdi 19667 . 2 (𝜑 → (((invr𝐴)‘𝑔) · ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧)) = ((((invr𝐴)‘𝑔) · (𝑔 · 𝐺))𝑅(((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑧)))
53 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (.r𝐴) = (.r𝐴)
54 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (1r𝐴) = (1r𝐴)
5527, 33, 53, 54, 37drnginvrr 19498 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔𝐵𝑔0 ) → (𝑔(.r𝐴)((invr𝐴)‘𝑔)) = (1r𝐴))
5616, 17, 36, 55syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑔(.r𝐴)((invr𝐴)‘𝑔)) = (1r𝐴))
57 eqid 2821 . . . . . . . 8 (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
588, 12, 14, 54, 9, 5, 57, 10lcd1 38791 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r𝐴))
5956, 58eqtr4d 2859 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑔(.r𝐴)((invr𝐴)‘𝑔)) = (1r‘(Scalar‘𝐶)))
6059oveq1d 7145 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑔(.r𝐴)((invr𝐴)‘𝑔)) · 𝐺) = ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺))
618, 12, 14, 27, 53, 9, 3, 4, 10, 39, 17, 28lcdvsass 38789 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑔(.r𝐴)((invr𝐴)‘𝑔)) · 𝐺) = (((invr𝐴)‘𝑔) · (𝑔 · 𝐺)))
623, 5, 4, 57lmodvs1 19638 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝐺)
6311, 28, 62syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝐺)
6460, 61, 633eqtr3d 2864 . . . 4 (𝜑 → (((invr𝐴)‘𝑔) · (𝑔 · 𝐺)) = 𝐺)
6564oveq1d 7145 . . 3 (𝜑 → ((((invr𝐴)‘𝑔) · (𝑔 · 𝐺))𝑅(((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑧)) = (𝐺𝑅(((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑧)))
66 mapdpglem17.ep . . . 4 𝐸 = (((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
6766oveq2i 7141 . . 3 (𝐺𝑅𝐸) = (𝐺𝑅(((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑧))
6865, 67syl6eqr 2874 . 2 (𝜑 → ((((invr𝐴)‘𝑔) · (𝑔 · 𝐺))𝑅(((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑧)) = (𝐺𝑅𝐸))
692, 52, 683eqtrd 2860 1 (𝜑 → (((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑡) = (𝐺𝑅𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007   ⊆ wss 3910  {csn 4540  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  Basecbs 16462  .rcmulr 16545  Scalarcsca 16547   ·𝑠 cvsca 16548  0gc0g 16692  -gcsg 18084  LSSumclsm 18738  1rcur 19230  invrcinvr 19400  DivRingcdr 19478  LModclmod 19610  LSubSpclss 19679  LSpanclspn 19719  LVecclvec 19850  HLchlt 36532  LHypclh 37166  DVecHcdvh 38260  LCDualclcd 38768  mapdcmpd 38806 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-riotaBAD 36135 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-tpos 7867  df-undef 7914  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-0g 16694  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-proset 17517  df-poset 17535  df-plt 17547  df-lub 17563  df-glb 17564  df-join 17565  df-meet 17566  df-p0 17628  df-p1 17629  df-lat 17635  df-clat 17697  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-subg 18255  df-cntz 18426  df-oppg 18453  df-lsm 18740  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-dvr 19412  df-drng 19480  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-lsp 19720  df-lvec 19851  df-lsatoms 36158  df-lshyp 36159  df-lcv 36201  df-lfl 36240  df-lkr 36268  df-ldual 36306  df-oposet 36358  df-ol 36360  df-oml 36361  df-covers 36448  df-ats 36449  df-atl 36480  df-cvlat 36504  df-hlat 36533  df-llines 36680  df-lplanes 36681  df-lvols 36682  df-lines 36683  df-psubsp 36685  df-pmap 36686  df-padd 36978  df-lhyp 37170  df-laut 37171  df-ldil 37286  df-ltrn 37287  df-trl 37341  df-tgrp 37925  df-tendo 37937  df-edring 37939  df-dveca 38185  df-disoa 38211  df-dvech 38261  df-dib 38321  df-dic 38355  df-dih 38411  df-doch 38530  df-djh 38577  df-lcdual 38769  df-mapd 38807 This theorem is referenced by:  mapdpglem22  38875
 Copyright terms: Public domain W3C validator