Theorem mapdpglem21 39318

Description: Lemma for mapdpg 39332. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem3.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpglem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
mapdpglem.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
mapdpglem4.g4	⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
mapdpglem4.z4	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4	⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.yn	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
mapdpglem17.ep	⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem21	⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑡) = (𝐺𝑅𝐸))

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   ⊕ (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐸(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   − (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem21

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem4.t4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
2	1	oveq2d 7180	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑡) = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧)))
3		mapdpglem3.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
4		mapdpglem3.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
5		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
6		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
7		mapdpglem3.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
8		mapdpglem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		mapdpglem.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10		mapdpglem.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	8, 9, 10	lcdlmod 39218	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
12		mapdpglem.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
13	8, 12, 10	dvhlvec 38735	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
14		mapdpglem3.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
15	14	lvecdrng 19989	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝐴 ∈ DivRing)
16	13, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ DivRing)
17		mapdpglem4.g4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
18		mapdpglem.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
19		mapdpglem.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
20		mapdpglem.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
21		mapdpglem.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
22		mapdpglem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
23		mapdpglem.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
24		mapdpglem1.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
25		mapdpglem2.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
26		mapdpglem3.te	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
27		mapdpglem3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
28		mapdpglem3.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
29		mapdpglem3.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
30		mapdpglem4.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
31		mapdpglem.ne	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
32		mapdpglem4.jt	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
33		mapdpglem4.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
34		mapdpglem4.z4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
35		mapdpglem4.xn	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
36	8, 18, 12, 19, 20, 21, 9, 10, 22, 23, 24, 25, 3, 26, 14, 27, 4, 7, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 17, 34, 1, 35	mapdpglem11 39308	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ≠ 0 )
37		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝐴) = (invr‘𝐴)
38	27, 33, 37	drnginvrcl 19631	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
39	16, 17, 36, 38	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
40	8, 12, 14, 27, 9, 5, 6, 10	lcdsbase 39226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
41	39, 40	eleqtrrd 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
42	8, 12, 14, 27, 9, 3, 4, 10, 17, 28	lcdvscl 39231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 · 𝐺) ∈ 𝐹)
43		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
44		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
45	8, 12, 10	dvhlmod 38736	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
46	19, 43, 21	lspsncl 19861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
47	45, 23, 46	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
48	8, 18, 12, 43, 9, 44, 10, 47	mapdcl2 39282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
49	3, 44	lssss 19820	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ 𝐹)
50	48, 49	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ 𝐹)
51	50, 34	sseldd 3876	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ 𝐹)
52	3, 4, 5, 6, 7, 11, 41, 42, 51	lmodsubdi 19803	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧)) = ((((invr‘𝐴)‘𝑔) · (𝑔 · 𝐺))𝑅(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)))
53		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
54		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
55	27, 33, 53, 54, 37	drnginvrr 19634	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ≠ 0 ) → (𝑔(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑔)) = (1r‘𝐴))
56	16, 17, 36, 55	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑔(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑔)) = (1r‘𝐴))
57		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
58	8, 12, 14, 54, 9, 5, 57, 10	lcd1 39235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘𝐴))
59	56, 58	eqtr4d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑔(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑔)) = (1r‘(Scalar‘𝐶)))
60	59	oveq1d 7179	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑔(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑔)) · 𝐺) = ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺))
61	8, 12, 14, 27, 53, 9, 3, 4, 10, 39, 17, 28	lcdvsass 39233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑔(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑔)) · 𝐺) = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · (𝑔 · 𝐺)))
62	3, 5, 4, 57	lmodvs1 19774	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝐺)
63	11, 28, 62	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝐺)
64	60, 61, 63	3eqtr3d 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · (𝑔 · 𝐺)) = 𝐺)
65	64	oveq1d 7179	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝐴)‘𝑔) · (𝑔 · 𝐺))𝑅(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)) = (𝐺𝑅(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)))
66		mapdpglem17.ep	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
67	66	oveq2i 7175	. . 3 ⊢ (𝐺𝑅𝐸) = (𝐺𝑅(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧))
68	65, 67	eqtr4di 2791	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝐴)‘𝑔) · (𝑔 · 𝐺))𝑅(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)) = (𝐺𝑅𝐸))
69	2, 52, 68	3eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑡) = (𝐺𝑅𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2934   ⊆ wss 3841  {csn 4513  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164  Basecbs 16579  ._rcmulr 16662  Scalarcsca 16664   ·_𝑠 cvsca 16665  0_gc0g 16809  -_gcsg 18214  LSSumclsm 18870  1_rcur 19363  inv_rcinvr 19536  DivRingcdr 19614  LModclmod 19746  LSubSpclss 19815  LSpanclspn 19855  LVecclvec 19986  HLchlt 36976  LHypclh 37610  DVecHcdvh 38704  LCDualclcd 39212  mapdcmpd 39250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-riotaBAD 36579

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-tpos 7914  df-undef 7961  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-0g 16811  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-proset 17647  df-poset 17665  df-plt 17677  df-lub 17693  df-glb 17694  df-join 17695  df-meet 17696  df-p0 17758  df-p1 17759  df-lat 17765  df-clat 17827  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-submnd 18066  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-subg 18387  df-cntz 18558  df-oppg 18585  df-lsm 18872  df-cmn 19019  df-abl 19020  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-oppr 19488  df-dvdsr 19506  df-unit 19507  df-invr 19537  df-dvr 19548  df-drng 19616  df-lmod 19748  df-lss 19816  df-lsp 19856  df-lvec 19987  df-lsatoms 36602  df-lshyp 36603  df-lcv 36645  df-lfl 36684  df-lkr 36712  df-ldual 36750  df-oposet 36802  df-ol 36804  df-oml 36805  df-covers 36892  df-ats 36893  df-atl 36924  df-cvlat 36948  df-hlat 36977  df-llines 37124  df-lplanes 37125  df-lvols 37126  df-lines 37127  df-psubsp 37129  df-pmap 37130  df-padd 37422  df-lhyp 37614  df-laut 37615  df-ldil 37730  df-ltrn 37731  df-trl 37785  df-tgrp 38369  df-tendo 38381  df-edring 38383  df-dveca 38629  df-disoa 38655  df-dvech 38705  df-dib 38765  df-dic 38799  df-dih 38855  df-doch 38974  df-djh 39021  df-lcdual 39213  df-mapd 39251

This theorem is referenced by:  mapdpglem22  39319