Theorem mapdpglem21 37768

Description: Lemma for mapdpg 37782. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem3.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpglem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
mapdpglem.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
mapdpglem4.g4	⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
mapdpglem4.z4	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4	⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.yn	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
mapdpglem17.ep	⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem21	⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑡) = (𝐺𝑅𝐸))

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   ⊕ (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐸(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   − (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem21

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem4.t4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
2	1	oveq2d 6922	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑡) = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧)))
3		mapdpglem3.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
4		mapdpglem3.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
5		eqid 2826	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
6		eqid 2826	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
7		mapdpglem3.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
8		mapdpglem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		mapdpglem.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10		mapdpglem.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	8, 9, 10	lcdlmod 37668	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
12		mapdpglem.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
13	8, 12, 10	dvhlvec 37185	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
14		mapdpglem3.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
15	14	lvecdrng 19465	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝐴 ∈ DivRing)
16	13, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ DivRing)
17		mapdpglem4.g4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
18		mapdpglem.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
19		mapdpglem.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
20		mapdpglem.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
21		mapdpglem.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
22		mapdpglem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
23		mapdpglem.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
24		mapdpglem1.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
25		mapdpglem2.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
26		mapdpglem3.te	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
27		mapdpglem3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
28		mapdpglem3.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
29		mapdpglem3.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
30		mapdpglem4.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
31		mapdpglem.ne	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
32		mapdpglem4.jt	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
33		mapdpglem4.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
34		mapdpglem4.z4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
35		mapdpglem4.xn	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
36	8, 18, 12, 19, 20, 21, 9, 10, 22, 23, 24, 25, 3, 26, 14, 27, 4, 7, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 17, 34, 1, 35	mapdpglem11 37758	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ≠ 0 )
37		eqid 2826	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝐴) = (invr‘𝐴)
38	27, 33, 37	drnginvrcl 19121	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
39	16, 17, 36, 38	syl3anc 1496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
40	8, 12, 14, 27, 9, 5, 6, 10	lcdsbase 37676	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
41	39, 40	eleqtrrd 2910	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
42	8, 12, 14, 27, 9, 3, 4, 10, 17, 28	lcdvscl 37681	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 · 𝐺) ∈ 𝐹)
43		eqid 2826	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
44		eqid 2826	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
45	8, 12, 10	dvhlmod 37186	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
46	19, 43, 21	lspsncl 19337	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
47	45, 23, 46	syl2anc 581	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
48	8, 18, 12, 43, 9, 44, 10, 47	mapdcl2 37732	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
49	3, 44	lssss 19294	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ 𝐹)
50	48, 49	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ 𝐹)
51	50, 34	sseldd 3829	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ 𝐹)
52	3, 4, 5, 6, 7, 11, 41, 42, 51	lmodsubdi 19277	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧)) = ((((invr‘𝐴)‘𝑔) · (𝑔 · 𝐺))𝑅(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)))
53		eqid 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
54		eqid 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
55	27, 33, 53, 54, 37	drnginvrr 19124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ≠ 0 ) → (𝑔(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑔)) = (1r‘𝐴))
56	16, 17, 36, 55	syl3anc 1496	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑔(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑔)) = (1r‘𝐴))
57		eqid 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
58	8, 12, 14, 54, 9, 5, 57, 10	lcd1 37685	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘𝐴))
59	56, 58	eqtr4d 2865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑔(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑔)) = (1r‘(Scalar‘𝐶)))
60	59	oveq1d 6921	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑔(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑔)) · 𝐺) = ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺))
61	8, 12, 14, 27, 53, 9, 3, 4, 10, 39, 17, 28	lcdvsass 37683	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑔(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑔)) · 𝐺) = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · (𝑔 · 𝐺)))
62	3, 5, 4, 57	lmodvs1 19248	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝐺)
63	11, 28, 62	syl2anc 581	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝐺)
64	60, 61, 63	3eqtr3d 2870	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · (𝑔 · 𝐺)) = 𝐺)
65	64	oveq1d 6921	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝐴)‘𝑔) · (𝑔 · 𝐺))𝑅(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)) = (𝐺𝑅(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)))
66		mapdpglem17.ep	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
67	66	oveq2i 6917	. . 3 ⊢ (𝐺𝑅𝐸) = (𝐺𝑅(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧))
68	65, 67	syl6eqr 2880	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝐴)‘𝑔) · (𝑔 · 𝐺))𝑅(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)) = (𝐺𝑅𝐸))
69	2, 52, 68	3eqtrd 2866	1 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑡) = (𝐺𝑅𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000   ⊆ wss 3799  {csn 4398  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  Basecbs 16223  ._rcmulr 16307  Scalarcsca 16309   ·_𝑠 cvsca 16310  0_gc0g 16454  -_gcsg 17779  LSSumclsm 18401  1_rcur 18856  inv_rcinvr 19026  DivRingcdr 19104  LModclmod 19220  LSubSpclss 19289  LSpanclspn 19331  LVecclvec 19462  HLchlt 35426  LHypclh 36060  DVecHcdvh 37154  LCDualclcd 37662  mapdcmpd 37700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-riotaBAD 35029

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-tpos 7618  df-undef 7665  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-0g 16456  df-mre 16600  df-mrc 16601  df-acs 16603  df-proset 17282  df-poset 17300  df-plt 17312  df-lub 17328  df-glb 17329  df-join 17330  df-meet 17331  df-p0 17393  df-p1 17394  df-lat 17400  df-clat 17462  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-submnd 17690  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-sbg 17782  df-subg 17943  df-cntz 18101  df-oppg 18127  df-lsm 18403  df-cmn 18549  df-abl 18550  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904  df-oppr 18978  df-dvdsr 18996  df-unit 18997  df-invr 19027  df-dvr 19038  df-drng 19106  df-lmod 19222  df-lss 19290  df-lsp 19332  df-lvec 19463  df-lsatoms 35052  df-lshyp 35053  df-lcv 35095  df-lfl 35134  df-lkr 35162  df-ldual 35200  df-oposet 35252  df-ol 35254  df-oml 35255  df-covers 35342  df-ats 35343  df-atl 35374  df-cvlat 35398  df-hlat 35427  df-llines 35574  df-lplanes 35575  df-lvols 35576  df-lines 35577  df-psubsp 35579  df-pmap 35580  df-padd 35872  df-lhyp 36064  df-laut 36065  df-ldil 36180  df-ltrn 36181  df-trl 36235  df-tgrp 36819  df-tendo 36831  df-edring 36833  df-dveca 37079  df-disoa 37105  df-dvech 37155  df-dib 37215  df-dic 37249  df-dih 37305  df-doch 37424  df-djh 37471  df-lcdual 37663  df-mapd 37701

This theorem is referenced by:  mapdpglem22  37769