Theorem mapdpglem21 41814

Description: Lemma for mapdpg 41828. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem3.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpglem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
mapdpglem.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
mapdpglem4.g4	⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
mapdpglem4.z4	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4	⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.yn	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
mapdpglem17.ep	⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem21	⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑡) = (𝐺𝑅𝐸))

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   ⊕ (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐸(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   − (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem21

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem4.t4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
2	1	oveq2d 7370	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑡) = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧)))
3		mapdpglem3.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
4		mapdpglem3.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
5		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
6		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
7		mapdpglem3.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
8		mapdpglem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		mapdpglem.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10		mapdpglem.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	8, 9, 10	lcdlmod 41714	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
12		mapdpglem.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
13	8, 12, 10	dvhlvec 41231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
14		mapdpglem3.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
15	14	lvecdrng 21043	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝐴 ∈ DivRing)
16	13, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ DivRing)
17		mapdpglem4.g4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
18		mapdpglem.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
19		mapdpglem.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
20		mapdpglem.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
21		mapdpglem.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
22		mapdpglem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
23		mapdpglem.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
24		mapdpglem1.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
25		mapdpglem2.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
26		mapdpglem3.te	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
27		mapdpglem3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
28		mapdpglem3.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
29		mapdpglem3.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
30		mapdpglem4.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
31		mapdpglem.ne	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
32		mapdpglem4.jt	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
33		mapdpglem4.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
34		mapdpglem4.z4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
35		mapdpglem4.xn	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
36	8, 18, 12, 19, 20, 21, 9, 10, 22, 23, 24, 25, 3, 26, 14, 27, 4, 7, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 17, 34, 1, 35	mapdpglem11 41804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ≠ 0 )
37		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝐴) = (invr‘𝐴)
38	27, 33, 37	drnginvrcl 20672	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
39	16, 17, 36, 38	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
40	8, 12, 14, 27, 9, 5, 6, 10	lcdsbase 41722	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
41	39, 40	eleqtrrd 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
42	8, 12, 14, 27, 9, 3, 4, 10, 17, 28	lcdvscl 41727	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 · 𝐺) ∈ 𝐹)
43		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
44		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
45	8, 12, 10	dvhlmod 41232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
46	19, 43, 21	lspsncl 20914	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
47	45, 23, 46	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
48	8, 18, 12, 43, 9, 44, 10, 47	mapdcl2 41778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
49	3, 44	lssss 20873	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ 𝐹)
50	48, 49	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ 𝐹)
51	50, 34	sseldd 3931	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ 𝐹)
52	3, 4, 5, 6, 7, 11, 41, 42, 51	lmodsubdi 20856	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧)) = ((((invr‘𝐴)‘𝑔) · (𝑔 · 𝐺))𝑅(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)))
53		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
54		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
55	27, 33, 53, 54, 37	drnginvrr 20676	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ≠ 0 ) → (𝑔(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑔)) = (1r‘𝐴))
56	16, 17, 36, 55	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑔(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑔)) = (1r‘𝐴))
57		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
58	8, 12, 14, 54, 9, 5, 57, 10	lcd1 41731	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘𝐴))
59	56, 58	eqtr4d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑔(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑔)) = (1r‘(Scalar‘𝐶)))
60	59	oveq1d 7369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑔(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑔)) · 𝐺) = ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺))
61	8, 12, 14, 27, 53, 9, 3, 4, 10, 39, 17, 28	lcdvsass 41729	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑔(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑔)) · 𝐺) = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · (𝑔 · 𝐺)))
62	3, 5, 4, 57	lmodvs1 20827	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝐺)
63	11, 28, 62	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝐺)
64	60, 61, 63	3eqtr3d 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · (𝑔 · 𝐺)) = 𝐺)
65	64	oveq1d 7369	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝐴)‘𝑔) · (𝑔 · 𝐺))𝑅(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)) = (𝐺𝑅(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)))
66		mapdpglem17.ep	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
67	66	oveq2i 7365	. . 3 ⊢ (𝐺𝑅𝐸) = (𝐺𝑅(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧))
68	65, 67	eqtr4di 2786	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝐴)‘𝑔) · (𝑔 · 𝐺))𝑅(((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)) = (𝐺𝑅𝐸))
69	2, 52, 68	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑡) = (𝐺𝑅𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   ⊆ wss 3898  {csn 4577  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  Basecbs 17124  ._rcmulr 17166  Scalarcsca 17168   ·_𝑠 cvsca 17169  0_gc0g 17347  -_gcsg 18852  LSSumclsm 19550  1_rcur 20103  inv_rcinvr 20309  DivRingcdr 20648  LModclmod 20797  LSubSpclss 20868  LSpanclspn 20908  LVecclvec 21040  HLchlt 39472  LHypclh 40106  DVecHcdvh 41200  LCDualclcd 41708  mapdcmpd 41746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-riotaBAD 39075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7618  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-tpos 8164  df-undef 8211  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-2o 8394  df-er 8630  df-map 8760  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-fz 13412  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-0g 17349  df-mre 17492  df-mrc 17493  df-acs 17495  df-proset 18204  df-poset 18223  df-plt 18238  df-lub 18254  df-glb 18255  df-join 18256  df-meet 18257  df-p0 18333  df-p1 18334  df-lat 18342  df-clat 18409  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-submnd 18696  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-subg 19040  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20063  df-rng 20075  df-ur 20104  df-ring 20157  df-oppr 20259  df-dvdsr 20279  df-unit 20280  df-invr 20310  df-dvr 20323  df-nzr 20432  df-rlreg 20613  df-domn 20614  df-drng 20650  df-lmod 20799  df-lss 20869  df-lsp 20909  df-lvec 21041  df-lsatoms 39098  df-lshyp 39099  df-lcv 39141  df-lfl 39180  df-lkr 39208  df-ldual 39246  df-oposet 39298  df-ol 39300  df-oml 39301  df-covers 39388  df-ats 39389  df-atl 39420  df-cvlat 39444  df-hlat 39473  df-llines 39620  df-lplanes 39621  df-lvols 39622  df-lines 39623  df-psubsp 39625  df-pmap 39626  df-padd 39918  df-lhyp 40110  df-laut 40111  df-ldil 40226  df-ltrn 40227  df-trl 40281  df-tgrp 40865  df-tendo 40877  df-edring 40879  df-dveca 41125  df-disoa 41151  df-dvech 41201  df-dib 41261  df-dic 41295  df-dih 41351  df-doch 41470  df-djh 41517  df-lcdual 41709  df-mapd 41747

This theorem is referenced by:  mapdpglem22  41815