MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvsunit Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvsunit 25078
Description: Unit group of the scalar ring of a subcomplex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cvsdiv.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
cvsdiv.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
cvsunit (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (𝐾 βˆ– {0}) = (Unitβ€˜πΉ))
Proof of Theorem cvsunit
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ β„‚Vec)
21cvsclm 25073 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
3 cvsdiv.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
43clm0 25019 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 0 = (0gβ€˜πΉ))
52, 4syl 17 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ 0 = (0gβ€˜πΉ))
65sneqd 4644 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ {0} = {(0gβ€˜πΉ)})
76difeq2d 4122 . 2 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (𝐾 βˆ– {0}) = (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}))
81cvslvec 25072 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ LVec)
93lvecdrng 20997 . . 3 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
10 cvsdiv.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
11 eqid 2728 . . . . 5 (Unitβ€˜πΉ) = (Unitβ€˜πΉ)
12 eqid 2728 . . . . 5 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
1310, 11, 12isdrng 20635 . . . 4 (𝐹 ∈ DivRing ↔ (𝐹 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜πΉ) = (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)})))
1413simprbi 495 . . 3 (𝐹 ∈ DivRing β†’ (Unitβ€˜πΉ) = (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}))
158, 9, 143syl 18 . 2 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (Unitβ€˜πΉ) = (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}))
167, 15eqtr4d 2771 1 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (𝐾 βˆ– {0}) = (Unitβ€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3946  {csn 4632  β€˜cfv 6553  0cc0 11146  Basecbs 17187  Scalarcsca 17243  0gc0g 17428  Ringcrg 20180  Unitcui 20301  DivRingcdr 20631  LVecclvec 20994  β„‚Modcclm 25009  β„‚Vecccvs 25070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-subg 19085  df-cmn 19744  df-mgp 20082  df-ring 20182  df-cring 20183  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-lvec 20995  df-cnfld 21287  df-clm 25010  df-cvs 25071
This theorem is referenced by:  cvsdiv  25079  cvsdivcl  25080
  Copyright terms: Public domain W3C validator