MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvsunit Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvsunit 25008
Description: Unit group of the scalar ring of a subcomplex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cvsdiv.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
cvsdiv.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
cvsunit (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (𝐾 βˆ– {0}) = (Unitβ€˜πΉ))
Proof of Theorem cvsunit
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ β„‚Vec)
21cvsclm 25003 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
3 cvsdiv.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
43clm0 24949 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 0 = (0gβ€˜πΉ))
52, 4syl 17 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ 0 = (0gβ€˜πΉ))
65sneqd 4635 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ {0} = {(0gβ€˜πΉ)})
76difeq2d 4117 . 2 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (𝐾 βˆ– {0}) = (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}))
81cvslvec 25002 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ LVec)
93lvecdrng 20950 . . 3 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
10 cvsdiv.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
11 eqid 2726 . . . . 5 (Unitβ€˜πΉ) = (Unitβ€˜πΉ)
12 eqid 2726 . . . . 5 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
1310, 11, 12isdrng 20588 . . . 4 (𝐹 ∈ DivRing ↔ (𝐹 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜πΉ) = (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)})))
1413simprbi 496 . . 3 (𝐹 ∈ DivRing β†’ (Unitβ€˜πΉ) = (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}))
158, 9, 143syl 18 . 2 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (Unitβ€˜πΉ) = (𝐾 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}))
167, 15eqtr4d 2769 1 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (𝐾 βˆ– {0}) = (Unitβ€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3940  {csn 4623  β€˜cfv 6536  0cc0 11109  Basecbs 17150  Scalarcsca 17206  0gc0g 17391  Ringcrg 20135  Unitcui 20254  DivRingcdr 20584  LVecclvec 20947  β„‚Modcclm 24939  β„‚Vecccvs 25000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-subg 19047  df-cmn 19699  df-mgp 20037  df-ring 20137  df-cring 20138  df-subrg 20468  df-drng 20586  df-lvec 20948  df-cnfld 21236  df-clm 24940  df-cvs 25001
This theorem is referenced by:  cvsdiv  25009  cvsdivcl  25010
  Copyright terms: Public domain W3C validator