Theorem cvsunit 25176

Description: Unit group of the scalar ring of a subcomplex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvsdiv.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cvsdiv.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cvsunit	⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝐾 ∖ {0}) = (Unit‘𝐹))

Proof of Theorem cvsunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
2	1	cvsclm 25171	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
3		cvsdiv.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4	3	clm0 25117	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘𝐹))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 0 = (0g‘𝐹))
6	5	sneqd 4660	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → {0} = {(0g‘𝐹)})
7	6	difeq2d 4143	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝐾 ∖ {0}) = (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)}))
8	1	cvslvec 25170	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ LVec)
9	3	lvecdrng 21122	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
10		cvsdiv.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
11		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝐹) = (Unit‘𝐹)
12		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
13	10, 11, 12	isdrng 20750	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing ↔ (𝐹 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐹) = (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)})))
14	13	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (Unit‘𝐹) = (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)}))
15	8, 9, 14	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (Unit‘𝐹) = (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)}))
16	7, 15	eqtr4d 2777	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝐾 ∖ {0}) = (Unit‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2103   ∖ cdif 3967  {csn 4648  ‘cfv 6572  0cc0 11180  Basecbs 17253  Scalarcsca 17309  0_gc0g 17494  Ringcrg 20255  Unitcui 20376  DivRingcdr 20746  LVecclvec 21119  ℂModcclm 25107  ℂVecccvs 25168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-addf 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-fz 13564  df-struct 17189  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-0g 17496  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-grp 18971  df-subg 19158  df-cmn 19819  df-mgp 20157  df-ring 20257  df-cring 20258  df-subrg 20592  df-drng 20748  df-lvec 21120  df-cnfld 21383  df-clm 25108  df-cvs 25169

This theorem is referenced by:  cvsdiv  25177  cvsdivcl  25178