Theorem cvsunit 25453

Description: Unit group of the scalar ring of a subcomplex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvsdiv.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cvsdiv.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cvsunit	⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝐾 ∖ {0}) = (Unit‘𝐹))

Proof of Theorem cvsunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
2	1	cvsclm 25448	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
3		cvsdiv.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4	3	clm0 25394	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘𝐹))
5	2, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 0 = (0g‘𝐹))
6	5	sneqd 4595	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → {0} = {(0g‘𝐹)})
7	6	difeq2d 4063	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝐾 ∖ {0}) = (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)}))
8	1	cvslvec 25447	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ LVec)
9	3	lvecdrng 21381	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
10		cvsdiv.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
11		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝐹) = (Unit‘𝐹)
12		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
13	10, 11, 12	isdrng 20985	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing ↔ (𝐹 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐹) = (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)})))
14	13	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (Unit‘𝐹) = (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)}))
15	8, 9, 14	3syl 19	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (Unit‘𝐹) = (𝐾 ∖ {(0g‘𝐹)}))
16	7, 15	eqtr4d 2798	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝐾 ∖ {0}) = (Unit‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∖ cdif 4045  {csn 4583  ‘cfv 6538  0cc0 11201  Basecbs 17388  Scalarcsca 17432  0_gc0g 17611  Ringcrg 20460  Unitcui 20586  DivRingcdr 20981  LVecclvec 21378  ℂModcclm 25384  ℂVecccvs 25445

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-addf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-fz 13641  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-starv 17444  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-unif 17452  df-0g 17613  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-grp 19148  df-subg 19334  df-cmn 19997  df-mgp 20362  df-ring 20462  df-cring 20463  df-subrg 20823  df-drng 20983  df-lvec 21379  df-cnfld 21680  df-clm 25385  df-cvs 25446

This theorem is used by:  cvsdiv  25454  cvsdivcl  25455