Theorem mapdpglem18 41162

Description: Lemma for mapdpg 41179. Baer p. 45, line 7: "Then y =/= 0..." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem3.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpglem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
mapdpglem.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
mapdpglem4.g4	⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
mapdpglem4.z4	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4	⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.yn	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
mapdpglem17.ep	⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem18	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ (0g‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   ⊕ (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐸(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   − (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdpglem.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdpglem.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlvec 40582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
5		mapdpglem3.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
6	5	lvecdrng 20990	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝐴 ∈ DivRing)
7	4, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ DivRing)
8		mapdpglem4.g4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
9		mapdpglem.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
10		mapdpglem.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
11		mapdpglem.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
12		mapdpglem.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
13		mapdpglem.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
14		mapdpglem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
15		mapdpglem.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
16		mapdpglem1.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
17		mapdpglem2.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
18		mapdpglem3.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
19		mapdpglem3.te	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
20		mapdpglem3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
21		mapdpglem3.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
22		mapdpglem3.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
23		mapdpglem3.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
24		mapdpglem3.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
25		mapdpglem4.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
26		mapdpglem.ne	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
27		mapdpglem4.jt	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
28		mapdpglem4.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
29		mapdpglem4.z4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
30		mapdpglem4.t4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
31		mapdpglem4.xn	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
32	1, 9, 2, 10, 11, 12, 13, 3, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 5, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 8, 29, 30, 31	mapdpglem11 41155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ≠ 0 )
33		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝐴) = (invr‘𝐴)
34	20, 28, 33	drnginvrn0 20647	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ 0 )
35	7, 8, 32, 34	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ 0 )
36		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
37		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐶)) = (0g‘(Scalar‘𝐶))
38	1, 2, 5, 28, 13, 36, 37, 3	lcd0 41081	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐶)) = 0 )
39	35, 38	neeqtrrd 3012	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐶)))
40		mapdpglem12.yn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
41	1, 9, 2, 10, 11, 12, 13, 3, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 5, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 8, 29, 30, 31, 40	mapdpglem16 41160	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ≠ (0g‘𝐶))
42		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
43		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
44	1, 13, 3	lcdlvec 41064	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
45	20, 28, 33	drnginvrcl 20646	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
46	7, 8, 32, 45	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
47	1, 2, 5, 20, 13, 36, 42, 3	lcdsbase 41073	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
48	46, 47	eleqtrrd 2832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
49		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
50		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
51	1, 2, 3	dvhlmod 40583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
52	10, 49, 12	lspsncl 20861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
53	51, 15, 52	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
54	1, 9, 2, 49, 13, 50, 3, 53	mapdcl2 41129	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
55	18, 50	lssss 20820	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ 𝐹)
56	54, 55	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ 𝐹)
57	56, 29	sseldd 3981	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ 𝐹)
58	18, 21, 36, 42, 37, 43, 44, 48, 57	lvecvsn0 20997	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧) ≠ (0g‘𝐶) ↔ (((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝐶))))
59	39, 41, 58	mpbir2and 712	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧) ≠ (0g‘𝐶))
60		mapdpglem17.ep	. 2 ⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
61	59, 60, 43	3netr4g 3017	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ (0g‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937   ⊆ wss 3947  {csn 4629  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  Scalarcsca 17236   ·_𝑠 cvsca 17237  0_gc0g 17421  -_gcsg 18892  LSSumclsm 19589  inv_rcinvr 20326  DivRingcdr 20624  LModclmod 20743  LSubSpclss 20815  LSpanclspn 20855  LVecclvec 20987  HLchlt 38822  LHypclh 39457  DVecHcdvh 40551  LCDualclcd 41059  mapdcmpd 41097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-riotaBAD 38425

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-0g 17423  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-p1 18418  df-lat 18424  df-clat 18491  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-subg 19078  df-cntz 19268  df-oppg 19297  df-lsm 19591  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-dvr 20340  df-drng 20626  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-lvec 20988  df-lsatoms 38448  df-lshyp 38449  df-lcv 38491  df-lfl 38530  df-lkr 38558  df-ldual 38596  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971  df-lplanes 38972  df-lvols 38973  df-lines 38974  df-psubsp 38976  df-pmap 38977  df-padd 39269  df-lhyp 39461  df-laut 39462  df-ldil 39577  df-ltrn 39578  df-trl 39632  df-tgrp 40216  df-tendo 40228  df-edring 40230  df-dveca 40476  df-disoa 40502  df-dvech 40552  df-dib 40612  df-dic 40646  df-dih 40702  df-doch 40821  df-djh 40868  df-lcdual 41060  df-mapd 41098

This theorem is referenced by:  mapdpglem20  41164