Theorem mapdpglem18 39326

Description: Lemma for mapdpg 39343. Baer p. 45, line 7: "Then y =/= 0..." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem3.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpglem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
mapdpglem.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
mapdpglem4.g4	⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
mapdpglem4.z4	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4	⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.yn	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
mapdpglem17.ep	⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem18	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ (0g‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   ⊕ (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐸(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   − (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdpglem.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdpglem.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlvec 38746	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
5		mapdpglem3.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
6	5	lvecdrng 19996	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝐴 ∈ DivRing)
7	4, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ DivRing)
8		mapdpglem4.g4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
9		mapdpglem.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
10		mapdpglem.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
11		mapdpglem.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
12		mapdpglem.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
13		mapdpglem.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
14		mapdpglem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
15		mapdpglem.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
16		mapdpglem1.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
17		mapdpglem2.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
18		mapdpglem3.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
19		mapdpglem3.te	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
20		mapdpglem3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
21		mapdpglem3.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
22		mapdpglem3.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
23		mapdpglem3.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
24		mapdpglem3.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
25		mapdpglem4.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
26		mapdpglem.ne	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
27		mapdpglem4.jt	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
28		mapdpglem4.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
29		mapdpglem4.z4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
30		mapdpglem4.t4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
31		mapdpglem4.xn	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
32	1, 9, 2, 10, 11, 12, 13, 3, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 5, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 8, 29, 30, 31	mapdpglem11 39319	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ≠ 0 )
33		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝐴) = (invr‘𝐴)
34	20, 28, 33	drnginvrn0 19639	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ 0 )
35	7, 8, 32, 34	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ 0 )
36		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
37		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐶)) = (0g‘(Scalar‘𝐶))
38	1, 2, 5, 28, 13, 36, 37, 3	lcd0 39245	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐶)) = 0 )
39	35, 38	neeqtrrd 3008	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐶)))
40		mapdpglem12.yn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
41	1, 9, 2, 10, 11, 12, 13, 3, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 5, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 8, 29, 30, 31, 40	mapdpglem16 39324	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ≠ (0g‘𝐶))
42		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
43		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
44	1, 13, 3	lcdlvec 39228	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
45	20, 28, 33	drnginvrcl 19638	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
46	7, 8, 32, 45	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
47	1, 2, 5, 20, 13, 36, 42, 3	lcdsbase 39237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
48	46, 47	eleqtrrd 2836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
49		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
50		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
51	1, 2, 3	dvhlmod 38747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
52	10, 49, 12	lspsncl 19868	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
53	51, 15, 52	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
54	1, 9, 2, 49, 13, 50, 3, 53	mapdcl2 39293	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
55	18, 50	lssss 19827	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ 𝐹)
56	54, 55	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ 𝐹)
57	56, 29	sseldd 3878	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ 𝐹)
58	18, 21, 36, 42, 37, 43, 44, 48, 57	lvecvsn0 20000	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧) ≠ (0g‘𝐶) ↔ (((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝐶))))
59	39, 41, 58	mpbir2and 713	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧) ≠ (0g‘𝐶))
60		mapdpglem17.ep	. 2 ⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
61	59, 60, 43	3netr4g 3013	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ (0g‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934   ⊆ wss 3843  {csn 4516  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  Basecbs 16586  Scalarcsca 16671   ·_𝑠 cvsca 16672  0_gc0g 16816  -_gcsg 18221  LSSumclsm 18877  inv_rcinvr 19543  DivRingcdr 19621  LModclmod 19753  LSubSpclss 19822  LSpanclspn 19862  LVecclvec 19993  HLchlt 36987  LHypclh 37621  DVecHcdvh 38715  LCDualclcd 39223  mapdcmpd 39261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-riotaBAD 36590

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-tpos 7921  df-undef 7968  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-0g 16818  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-proset 17654  df-poset 17672  df-plt 17684  df-lub 17700  df-glb 17701  df-join 17702  df-meet 17703  df-p0 17765  df-p1 17766  df-lat 17772  df-clat 17834  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-subg 18394  df-cntz 18565  df-oppg 18592  df-lsm 18879  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-oppr 19495  df-dvdsr 19513  df-unit 19514  df-invr 19544  df-dvr 19555  df-drng 19623  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-lsp 19863  df-lvec 19994  df-lsatoms 36613  df-lshyp 36614  df-lcv 36656  df-lfl 36695  df-lkr 36723  df-ldual 36761  df-oposet 36813  df-ol 36815  df-oml 36816  df-covers 36903  df-ats 36904  df-atl 36935  df-cvlat 36959  df-hlat 36988  df-llines 37135  df-lplanes 37136  df-lvols 37137  df-lines 37138  df-psubsp 37140  df-pmap 37141  df-padd 37433  df-lhyp 37625  df-laut 37626  df-ldil 37741  df-ltrn 37742  df-trl 37796  df-tgrp 38380  df-tendo 38392  df-edring 38394  df-dveca 38640  df-disoa 38666  df-dvech 38716  df-dib 38776  df-dic 38810  df-dih 38866  df-doch 38985  df-djh 39032  df-lcdual 39224  df-mapd 39262

This theorem is referenced by:  mapdpglem20  39328