Theorem mapdpglem18 41688

Description: Lemma for mapdpg 41705. Baer p. 45, line 7: "Then y =/= 0..." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem3.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpglem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
mapdpglem.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
mapdpglem4.g4	⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
mapdpglem4.z4	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4	⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.yn	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
mapdpglem17.ep	⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem18	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ (0g‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   ⊕ (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐸(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   − (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdpglem.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdpglem.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlvec 41108	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
5		mapdpglem3.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
6	5	lvecdrng 21028	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝐴 ∈ DivRing)
7	4, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ DivRing)
8		mapdpglem4.g4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
9		mapdpglem.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
10		mapdpglem.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
11		mapdpglem.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
12		mapdpglem.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
13		mapdpglem.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
14		mapdpglem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
15		mapdpglem.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
16		mapdpglem1.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
17		mapdpglem2.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
18		mapdpglem3.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
19		mapdpglem3.te	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
20		mapdpglem3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
21		mapdpglem3.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
22		mapdpglem3.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
23		mapdpglem3.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
24		mapdpglem3.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
25		mapdpglem4.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
26		mapdpglem.ne	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
27		mapdpglem4.jt	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
28		mapdpglem4.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
29		mapdpglem4.z4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
30		mapdpglem4.t4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
31		mapdpglem4.xn	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
32	1, 9, 2, 10, 11, 12, 13, 3, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 5, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 8, 29, 30, 31	mapdpglem11 41681	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ≠ 0 )
33		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝐴) = (invr‘𝐴)
34	20, 28, 33	drnginvrn0 20658	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ 0 )
35	7, 8, 32, 34	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ 0 )
36		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
37		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐶)) = (0g‘(Scalar‘𝐶))
38	1, 2, 5, 28, 13, 36, 37, 3	lcd0 41607	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐶)) = 0 )
39	35, 38	neeqtrrd 2999	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐶)))
40		mapdpglem12.yn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
41	1, 9, 2, 10, 11, 12, 13, 3, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 5, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 8, 29, 30, 31, 40	mapdpglem16 41686	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ≠ (0g‘𝐶))
42		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
43		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
44	1, 13, 3	lcdlvec 41590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
45	20, 28, 33	drnginvrcl 20657	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
46	7, 8, 32, 45	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
47	1, 2, 5, 20, 13, 36, 42, 3	lcdsbase 41599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
48	46, 47	eleqtrrd 2831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
49		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
50		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
51	1, 2, 3	dvhlmod 41109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
52	10, 49, 12	lspsncl 20899	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
53	51, 15, 52	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
54	1, 9, 2, 49, 13, 50, 3, 53	mapdcl2 41655	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
55	18, 50	lssss 20858	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ 𝐹)
56	54, 55	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ 𝐹)
57	56, 29	sseldd 3938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ 𝐹)
58	18, 21, 36, 42, 37, 43, 44, 48, 57	lvecvsn0 21035	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧) ≠ (0g‘𝐶) ↔ (((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝐶))))
59	39, 41, 58	mpbir2and 713	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧) ≠ (0g‘𝐶))
60		mapdpglem17.ep	. 2 ⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
61	59, 60, 43	3netr4g 3004	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ (0g‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ⊆ wss 3905  {csn 4579  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17139  Scalarcsca 17183   ·_𝑠 cvsca 17184  0_gc0g 17362  -_gcsg 18833  LSSumclsm 19532  inv_rcinvr 20291  DivRingcdr 20633  LModclmod 20782  LSubSpclss 20853  LSpanclspn 20893  LVecclvec 21025  HLchlt 39348  LHypclh 39983  DVecHcdvh 41077  LCDualclcd 41585  mapdcmpd 41623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-riotaBAD 38951

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-undef 8213  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-fz 13430  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-0g 17364  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-proset 18219  df-poset 18238  df-plt 18253  df-lub 18269  df-glb 18270  df-join 18271  df-meet 18272  df-p0 18348  df-p1 18349  df-lat 18357  df-clat 18424  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18677  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-sbg 18836  df-subg 19021  df-cntz 19215  df-oppg 19244  df-lsm 19534  df-cmn 19680  df-abl 19681  df-mgp 20045  df-rng 20057  df-ur 20086  df-ring 20139  df-oppr 20241  df-dvdsr 20261  df-unit 20262  df-invr 20292  df-dvr 20305  df-nzr 20417  df-rlreg 20598  df-domn 20599  df-drng 20635  df-lmod 20784  df-lss 20854  df-lsp 20894  df-lvec 21026  df-lsatoms 38974  df-lshyp 38975  df-lcv 39017  df-lfl 39056  df-lkr 39084  df-ldual 39122  df-oposet 39174  df-ol 39176  df-oml 39177  df-covers 39264  df-ats 39265  df-atl 39296  df-cvlat 39320  df-hlat 39349  df-llines 39497  df-lplanes 39498  df-lvols 39499  df-lines 39500  df-psubsp 39502  df-pmap 39503  df-padd 39795  df-lhyp 39987  df-laut 39988  df-ldil 40103  df-ltrn 40104  df-trl 40158  df-tgrp 40742  df-tendo 40754  df-edring 40756  df-dveca 41002  df-disoa 41028  df-dvech 41078  df-dib 41138  df-dic 41172  df-dih 41228  df-doch 41347  df-djh 41394  df-lcdual 41586  df-mapd 41624

This theorem is referenced by:  mapdpglem20  41690