Theorem mapdpglem18 41656

Description: Lemma for mapdpg 41673. Baer p. 45, line 7: "Then y =/= 0..." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem3.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpglem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
mapdpglem.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
mapdpglem4.g4	⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
mapdpglem4.z4	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4	⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.yn	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
mapdpglem17.ep	⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem18	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ (0g‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   ⊕ (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐸(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   − (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdpglem.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdpglem.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlvec 41076	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
5		mapdpglem3.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
6	5	lvecdrng 20988	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝐴 ∈ DivRing)
7	4, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ DivRing)
8		mapdpglem4.g4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
9		mapdpglem.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
10		mapdpglem.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
11		mapdpglem.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
12		mapdpglem.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
13		mapdpglem.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
14		mapdpglem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
15		mapdpglem.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
16		mapdpglem1.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
17		mapdpglem2.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
18		mapdpglem3.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
19		mapdpglem3.te	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
20		mapdpglem3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
21		mapdpglem3.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
22		mapdpglem3.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
23		mapdpglem3.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
24		mapdpglem3.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
25		mapdpglem4.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
26		mapdpglem.ne	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
27		mapdpglem4.jt	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
28		mapdpglem4.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
29		mapdpglem4.z4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
30		mapdpglem4.t4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
31		mapdpglem4.xn	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
32	1, 9, 2, 10, 11, 12, 13, 3, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 5, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 8, 29, 30, 31	mapdpglem11 41649	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ≠ 0 )
33		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝐴) = (invr‘𝐴)
34	20, 28, 33	drnginvrn0 20639	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ 0 )
35	7, 8, 32, 34	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ 0 )
36		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
37		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐶)) = (0g‘(Scalar‘𝐶))
38	1, 2, 5, 28, 13, 36, 37, 3	lcd0 41575	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐶)) = 0 )
39	35, 38	neeqtrrd 2999	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐶)))
40		mapdpglem12.yn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
41	1, 9, 2, 10, 11, 12, 13, 3, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 5, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 8, 29, 30, 31, 40	mapdpglem16 41654	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ≠ (0g‘𝐶))
42		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
43		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
44	1, 13, 3	lcdlvec 41558	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
45	20, 28, 33	drnginvrcl 20638	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
46	7, 8, 32, 45	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
47	1, 2, 5, 20, 13, 36, 42, 3	lcdsbase 41567	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
48	46, 47	eleqtrrd 2831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
49		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
50		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
51	1, 2, 3	dvhlmod 41077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
52	10, 49, 12	lspsncl 20859	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
53	51, 15, 52	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
54	1, 9, 2, 49, 13, 50, 3, 53	mapdcl2 41623	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
55	18, 50	lssss 20818	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ 𝐹)
56	54, 55	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ 𝐹)
57	56, 29	sseldd 3944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ 𝐹)
58	18, 21, 36, 42, 37, 43, 44, 48, 57	lvecvsn0 20995	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧) ≠ (0g‘𝐶) ↔ (((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝐶))))
59	39, 41, 58	mpbir2and 713	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧) ≠ (0g‘𝐶))
60		mapdpglem17.ep	. 2 ⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
61	59, 60, 43	3netr4g 3004	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ (0g‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ⊆ wss 3911  {csn 4585  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  0_gc0g 17378  -_gcsg 18843  LSSumclsm 19540  inv_rcinvr 20272  DivRingcdr 20614  LModclmod 20742  LSubSpclss 20813  LSpanclspn 20853  LVecclvec 20985  HLchlt 39316  LHypclh 39951  DVecHcdvh 41045  LCDualclcd 41553  mapdcmpd 41591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-riotaBAD 38919

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-undef 8229  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17380  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-proset 18231  df-poset 18250  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-p1 18361  df-lat 18367  df-clat 18434  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-cntz 19225  df-oppg 19254  df-lsm 19542  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-nzr 20398  df-rlreg 20579  df-domn 20580  df-drng 20616  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-lsp 20854  df-lvec 20986  df-lsatoms 38942  df-lshyp 38943  df-lcv 38985  df-lfl 39024  df-lkr 39052  df-ldual 39090  df-oposet 39142  df-ol 39144  df-oml 39145  df-covers 39232  df-ats 39233  df-atl 39264  df-cvlat 39288  df-hlat 39317  df-llines 39465  df-lplanes 39466  df-lvols 39467  df-lines 39468  df-psubsp 39470  df-pmap 39471  df-padd 39763  df-lhyp 39955  df-laut 39956  df-ldil 40071  df-ltrn 40072  df-trl 40126  df-tgrp 40710  df-tendo 40722  df-edring 40724  df-dveca 40970  df-disoa 40996  df-dvech 41046  df-dib 41106  df-dic 41140  df-dih 41196  df-doch 41315  df-djh 41362  df-lcdual 41554  df-mapd 41592

This theorem is referenced by:  mapdpglem20  41658