Theorem mapdpglem18 43012

Description: Lemma for mapdpg 43029. Baer p. 45, line 7: "Then y =/= 0..." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem3.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpglem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
mapdpglem.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
mapdpglem4.g4	⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
mapdpglem4.z4	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4	⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.yn	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
mapdpglem17.ep	⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem18	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ (0g‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧, 𝑡, 𝑔)   𝐴(𝑧, 𝑡, 𝑔)   𝐵(𝑧, 𝑡)   ⊕ (𝑧, 𝑡, 𝑔)   𝑄(𝑧, 𝑡, 𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧, 𝑡, 𝑔)   𝐸(𝑧, 𝑡, 𝑔)   𝐹(𝑧, 𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧, 𝑡, 𝑔)   𝐾(𝑧, 𝑡, 𝑔)   − (𝑧, 𝑔)   𝑉(𝑧, 𝑡, 𝑔)   𝑊(𝑧, 𝑡, 𝑔)   𝑋(𝑧, 𝑔)   0 (𝑧, 𝑡, 𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdpglem.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdpglem.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlvec 42432	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
5		mapdpglem3.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
6	5	lvecdrng 21431	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝐴 ∈ DivRing)
7	4, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ DivRing)
8		mapdpglem4.g4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
9		mapdpglem.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
10		mapdpglem.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
11		mapdpglem.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
12		mapdpglem.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
13		mapdpglem.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
14		mapdpglem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
15		mapdpglem.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
16		mapdpglem1.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
17		mapdpglem2.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
18		mapdpglem3.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
19		mapdpglem3.te	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
20		mapdpglem3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
21		mapdpglem3.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
22		mapdpglem3.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
23		mapdpglem3.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
24		mapdpglem3.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
25		mapdpglem4.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
26		mapdpglem.ne	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
27		mapdpglem4.jt	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
28		mapdpglem4.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
29		mapdpglem4.z4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
30		mapdpglem4.t4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
31		mapdpglem4.xn	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
32	1, 9, 2, 10, 11, 12, 13, 3, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 5, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 8, 29, 30, 31	mapdpglem11 43005	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ≠ 0 )
33		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝐴) = (invr‘𝐴)
34	20, 28, 33	drnginvrn0 21063	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ 0 )
35	7, 8, 32, 34	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ 0 )
36		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
37		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐶)) = (0g‘(Scalar‘𝐶))
38	1, 2, 5, 28, 13, 36, 37, 3	lcd0 42931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐶)) = 0 )
39	35, 38	neeqtrrd 3033	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐶)))
40		mapdpglem12.yn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
41	1, 9, 2, 10, 11, 12, 13, 3, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 5, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 8, 29, 30, 31, 40	mapdpglem16 43010	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ≠ (0g‘𝐶))
42		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
43		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
44	1, 13, 3	lcdlvec 42914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
45	20, 28, 33	drnginvrcl 21062	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
46	7, 8, 32, 45	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
47	1, 2, 5, 20, 13, 36, 42, 3	lcdsbase 42923	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
48	46, 47	eleqtrrd 2867	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
49		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
50		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
51	1, 2, 3	dvhlmod 42433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
52	10, 49, 12	lspsncl 21303	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
53	51, 15, 52	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
54	1, 9, 2, 49, 13, 50, 3, 53	mapdcl2 42979	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
55	18, 50	lssss 21262	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ 𝐹)
56	54, 55	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ 𝐹)
57	56, 29	sseldd 3914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ 𝐹)
58	18, 21, 36, 42, 37, 43, 44, 48, 57	lvecvsn0 21438	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧) ≠ (0g‘𝐶) ↔ (((invr‘𝐴)‘𝑔) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝐶))))
59	39, 41, 58	mpbir2and 726	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧) ≠ (0g‘𝐶))
60		mapdpglem17.ep	. 2 ⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
61	59, 60, 43	3netr4g 3038	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ (0g‘𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900  {csn 4588  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476  0_gc0g 17660  -_gcsg 19196  LSSumclsm 19899  inv_rcinvr 20668  DivRingcdr 21031  LModclmod 21186  LSubSpclss 21257  LSpanclspn 21297  LVecclvec 21428  HLchlt 40673  LHypclh 41307  DVecHcdvh 42401  LCDualclcd 42909  mapdcmpd 42947

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-riotaBAD 40276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-undef 8328  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-0g 17662  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-proset 18518  df-poset 18537  df-plt 18552  df-lub 18568  df-glb 18569  df-join 18570  df-meet 18571  df-p0 18647  df-p1 18648  df-lat 18656  df-clat 18723  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-cntz 19582  df-oppg 19611  df-lsm 19901  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-dvr 20682  df-nzr 20814  df-rlreg 20997  df-domn 20998  df-drng 21033  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-lvec 21429  df-lsatoms 40299  df-lshyp 40300  df-lcv 40342  df-lfl 40381  df-lkr 40409  df-ldual 40447  df-oposet 40499  df-ol 40501  df-oml 40502  df-covers 40589  df-ats 40590  df-atl 40621  df-cvlat 40645  df-hlat 40674  df-llines 40821  df-lplanes 40822  df-lvols 40823  df-lines 40824  df-psubsp 40826  df-pmap 40827  df-padd 41119  df-lhyp 41311  df-laut 41312  df-ldil 41427  df-ltrn 41428  df-trl 41482  df-tgrp 42066  df-tendo 42078  df-edring 42080  df-dveca 42326  df-disoa 42352  df-dvech 42402  df-dib 42462  df-dic 42496  df-dih 42552  df-doch 42671  df-djh 42718  df-lcdual 42910  df-mapd 42948

This theorem is used by:  mapdpglem20  43014