Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvsdivcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvsdivcl 23744
 Description: The scalar field of a subcomplex vector space is closed under division. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cvsdiv.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cvsdiv.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cvsdivcl ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cvsdivcl
StepHypRef Expression
1 cvsdiv.f . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 cvsdiv.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐹)
31, 2cvsdiv 23743 . 2 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(/r𝐹)𝐵))
4 simpl 486 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝑊 ∈ ℂVec)
54cvslvec 23736 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝑊 ∈ LVec)
61lvecdrng 19880 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
7 drngring 19512 . . . 4 (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
85, 6, 73syl 18 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝐹 ∈ Ring)
9 simpr1 1191 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝐴𝐾)
10 simpr2 1192 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝐵𝐾)
11 simpr3 1193 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ≠ 0)
12 eldifsn 4705 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐾 ∖ {0}) ↔ (𝐵𝐾𝐵 ≠ 0))
1310, 11, 12sylanbrc 586 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ (𝐾 ∖ {0}))
141, 2cvsunit 23742 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂVec → (𝐾 ∖ {0}) = (Unit‘𝐹))
1514adantr 484 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (𝐾 ∖ {0}) = (Unit‘𝐹))
1613, 15eleqtrd 2918 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ (Unit‘𝐹))
17 eqid 2824 . . . 4 (Unit‘𝐹) = (Unit‘𝐹)
18 eqid 2824 . . . 4 (/r𝐹) = (/r𝐹)
192, 17, 18dvrcl 19442 . . 3 ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐾𝐵 ∈ (Unit‘𝐹)) → (𝐴(/r𝐹)𝐵) ∈ 𝐾)
208, 9, 16, 19syl3anc 1368 . 2 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (𝐴(/r𝐹)𝐵) ∈ 𝐾)
213, 20eqeltrd 2916 1 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ 𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014   ∖ cdif 3917  {csn 4551  ‘cfv 6344  (class class class)co 7150  0cc0 10536   / cdiv 11296  Basecbs 16486  Scalarcsca 16571  Ringcrg 19300  Unitcui 19395  /rcdvr 19438  DivRingcdr 19505  LVecclvec 19877  ℂVecccvs 23734 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-addf 10615  ax-mulf 10616 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-tpos 7889  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-7 11705  df-8 11706  df-9 11707  df-n0 11898  df-z 11982  df-dec 12099  df-uz 12244  df-fz 12898  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-0g 16718  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-subg 18279  df-cmn 18911  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-cring 19303  df-oppr 19379  df-dvdsr 19397  df-unit 19398  df-invr 19428  df-dvr 19439  df-drng 19507  df-subrg 19536  df-lvec 19878  df-cnfld 20549  df-clm 23674  df-cvs 23735 This theorem is referenced by:  cvsmuleqdivd  23745  cvsdiveqd  23746  ttgcontlem1  26685
 Copyright terms: Public domain W3C validator