Theorem cvsdivcl 25121

Description: The scalar field of a subcomplex vector space is closed under division. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvsdiv.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cvsdiv.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cvsdivcl	⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cvsdivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvsdiv.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		cvsdiv.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
3	1, 2	cvsdiv 25120	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(/r‘𝐹)𝐵))
4		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝑊 ∈ ℂVec)
5	4	cvslvec 25113	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝑊 ∈ LVec)
6	1	lvecdrng 21077	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
7		drngring 20709	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐹 ∈ Ring)
9		simpr1 1194	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ 𝐾)
10		simpr2 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ 𝐾)
11		simpr3 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ≠ 0)
12		eldifsn 4768	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐾 ∖ {0}) ↔ (𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0))
13	10, 11, 12	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ (𝐾 ∖ {0}))
14	1, 2	cvsunit 25119	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝐾 ∖ {0}) = (Unit‘𝐹))
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐾 ∖ {0}) = (Unit‘𝐹))
16	13, 15	eleqtrd 2835	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ (Unit‘𝐹))
17		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝐹) = (Unit‘𝐹)
18		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (/r‘𝐹) = (/r‘𝐹)
19	2, 17, 18	dvrcl 20377	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ (Unit‘𝐹)) → (𝐴(/r‘𝐹)𝐵) ∈ 𝐾)
20	8, 9, 16, 19	syl3anc 1372	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴(/r‘𝐹)𝐵) ∈ 𝐾)
21	3, 20	eqeltrd 2833	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   ∖ cdif 3930  {csn 4608  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11138   / cdiv 11903  Basecbs 17230  Scalarcsca 17280  Ringcrg 20203  Unitcui 20328  /_rcdvr 20373  DivRingcdr 20702  LVecclvec 21074  ℂVecccvs 25111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-tp 4613  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-tpos 8234  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11904  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-4 12314  df-5 12315  df-6 12316  df-7 12317  df-8 12318  df-9 12319  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12862  df-fz 13531  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17257  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-0g 17462  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-grp 18928  df-minusg 18929  df-subg 19115  df-cmn 19773  df-abl 19774  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-oppr 20307  df-dvdsr 20330  df-unit 20331  df-invr 20361  df-dvr 20374  df-subrg 20543  df-drng 20704  df-lvec 21075  df-cnfld 21332  df-clm 25051  df-cvs 25112

This theorem is referenced by:  cvsmuleqdivd  25122  cvsdiveqd  25123  ttgcontlem1  28849