MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvsdivcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvsdivcl 24881
Description: The scalar field of a subcomplex vector space is closed under division. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cvsdiv.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
cvsdiv.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
cvsdivcl ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ (𝐴 / 𝐡) ∈ 𝐾)
Proof of Theorem cvsdivcl
StepHypRef Expression
1 cvsdiv.f . . 3 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 cvsdiv.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
31, 2cvsdiv 24880 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ (𝐴 / 𝐡) = (𝐴(/rβ€˜πΉ)𝐡))
4 simpl 482 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ π‘Š ∈ β„‚Vec)
54cvslvec 24873 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
61lvecdrng 20861 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
7 drngring 20508 . . . 4 (𝐹 ∈ DivRing β†’ 𝐹 ∈ Ring)
85, 6, 73syl 18 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ 𝐹 ∈ Ring)
9 simpr1 1193 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
10 simpr2 1194 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
11 simpr3 1195 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ 𝐡 β‰  0)
12 eldifsn 4790 . . . . 5 (𝐡 ∈ (𝐾 βˆ– {0}) ↔ (𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0))
1310, 11, 12sylanbrc 582 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐾 βˆ– {0}))
141, 2cvsunit 24879 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (𝐾 βˆ– {0}) = (Unitβ€˜πΉ))
1514adantr 480 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ (𝐾 βˆ– {0}) = (Unitβ€˜πΉ))
1613, 15eleqtrd 2834 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ 𝐡 ∈ (Unitβ€˜πΉ))
17 eqid 2731 . . . 4 (Unitβ€˜πΉ) = (Unitβ€˜πΉ)
18 eqid 2731 . . . 4 (/rβ€˜πΉ) = (/rβ€˜πΉ)
192, 17, 18dvrcl 20296 . . 3 ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ (Unitβ€˜πΉ)) β†’ (𝐴(/rβ€˜πΉ)𝐡) ∈ 𝐾)
208, 9, 16, 19syl3anc 1370 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ (𝐴(/rβ€˜πΉ)𝐡) ∈ 𝐾)
213, 20eqeltrd 2832 1 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ (𝐴 / 𝐡) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   βˆ– cdif 3945  {csn 4628  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11114   / cdiv 11876  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205  Ringcrg 20128  Unitcui 20247  /rcdvr 20292  DivRingcdr 20501  LVecclvec 20858  β„‚Vecccvs 24871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-subrg 20460  df-drng 20503  df-lvec 20859  df-cnfld 21146  df-clm 24811  df-cvs 24872
This theorem is referenced by:  cvsmuleqdivd  24882  cvsdiveqd  24883  ttgcontlem1  28410
  Copyright terms: Public domain W3C validator