Theorem cvsdivcl 25185

Description: The scalar field of a subcomplex vector space is closed under division. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvsdiv.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cvsdiv.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cvsdivcl	⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cvsdivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvsdiv.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		cvsdiv.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
3	1, 2	cvsdiv 25184	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(/r‘𝐹)𝐵))
4		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝑊 ∈ ℂVec)
5	4	cvslvec 25177	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝑊 ∈ LVec)
6	1	lvecdrng 21127	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
7		drngring 20758	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐹 ∈ Ring)
9		simpr1 1194	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ 𝐾)
10		simpr2 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ 𝐾)
11		simpr3 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ≠ 0)
12		eldifsn 4811	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐾 ∖ {0}) ↔ (𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0))
13	10, 11, 12	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ (𝐾 ∖ {0}))
14	1, 2	cvsunit 25183	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝐾 ∖ {0}) = (Unit‘𝐹))
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐾 ∖ {0}) = (Unit‘𝐹))
16	13, 15	eleqtrd 2846	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ (Unit‘𝐹))
17		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝐹) = (Unit‘𝐹)
18		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (/r‘𝐹) = (/r‘𝐹)
19	2, 17, 18	dvrcl 20430	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ (Unit‘𝐹)) → (𝐴(/r‘𝐹)𝐵) ∈ 𝐾)
20	8, 9, 16, 19	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴(/r‘𝐹)𝐵) ∈ 𝐾)
21	3, 20	eqeltrd 2844	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∖ cdif 3973  {csn 4648  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184   / cdiv 11947  Basecbs 17258  Scalarcsca 17314  Ringcrg 20260  Unitcui 20381  /_rcdvr 20426  DivRingcdr 20751  LVecclvec 21124  ℂVecccvs 25175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-subg 19163  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-subrg 20597  df-drng 20753  df-lvec 21125  df-cnfld 21388  df-clm 25115  df-cvs 25176

This theorem is referenced by:  cvsmuleqdivd  25186  cvsdiveqd  25187  ttgcontlem1  28917