Theorem nvctvc 24621

Description: A normed vector space is a topological vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nvctvc	⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ TopVec)

Proof of Theorem nvctvc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvcnlm 24617	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		nlmtlm 24615	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ TopMod)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ TopMod)
4		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5	4	nlmnrg 24600	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
7		nvclvec 24618	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ LVec)
8	4	lvecdrng 21044	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
10		nrgtdrg 24614	. . 3 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing) → (Scalar‘𝑊) ∈ TopDRing)
11	6, 9, 10	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → (Scalar‘𝑊) ∈ TopDRing)
12	4	istvc 24112	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopVec ↔ (𝑊 ∈ TopMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ TopDRing))
13	3, 11, 12	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ TopVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  Scalarcsca 17199  DivRingcdr 20649  LVecclvec 21041  TopDRingctdrg 24077  TopModctlm 24078  TopVecctvc 24079  NrmRingcnrg 24500  NrmModcnlm 24501  NrmVeccnvc 24502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-plusf 18548  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-mulg 18982  df-subg 19037  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-nzr 20433  df-subrng 20466  df-subrg 20490  df-abv 20729  df-lmod 20800  df-scaf 20801  df-lvec 21042  df-sra 21112  df-rgmod 21113  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22866  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-tmd 23992  df-tgp 23993  df-trg 24080  df-tdrg 24081  df-tlm 24082  df-tvc 24083  df-xms 24241  df-ms 24242  df-tms 24243  df-nm 24503  df-ngp 24504  df-nrg 24506  df-nlm 24507  df-nvc 24508

This theorem is referenced by: (None)