Theorem hdmapip1 42710

Description: Construct a proportional vector 𝑌 whose inner product with the original 𝑋 equals one. (Contributed by NM, 13-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapip1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapip1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapip1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapip1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmapip1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmapip1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapip1.i	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
hdmapip1.n	⊢ 𝑁 = (invr‘𝑅)
hdmapip1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapip1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapip1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmapip1.y	⊢ 𝑌 = ((𝑁‘((𝑆‘𝑋)‘𝑋)) · 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
hdmapip1	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋)‘𝑌) = 1 )

Proof of Theorem hdmapip1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapip1.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = ((𝑁‘((𝑆‘𝑋)‘𝑋)) · 𝑋)
2	1	fveq2i 6884	. 2 ⊢ ((𝑆‘𝑋)‘𝑌) = ((𝑆‘𝑋)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑋)‘𝑋)) · 𝑋))
3		hdmapip1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		hdmapip1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		hdmapip1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		hdmapip1.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
7		hdmapip1.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10		hdmapip1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
11		hdmapip1.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		hdmapip1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
13	12	eldifad 3917	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14	3, 4, 11	dvhlvec 41903	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
15	7	lvecdrng 21226	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑅 ∈ DivRing)
16	14, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
17	3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 13	hdmapipcl 42699	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
18		eldifsni 4758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
19	12, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
20		hdmapip1.o	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
21		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
22	3, 4, 5, 20, 7, 21, 10, 11, 13	hdmapip0 42709	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑋)‘𝑋) = (0g‘𝑅) ↔ 𝑋 = 0 ))
23	22	necon3bid 3002	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑋)‘𝑋) ≠ (0g‘𝑅) ↔ 𝑋 ≠ 0 ))
24	19, 23	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋)‘𝑋) ≠ (0g‘𝑅))
25		hdmapip1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invr‘𝑅)
26	8, 21, 25	drnginvrcl 20857	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((𝑆‘𝑋)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑆‘𝑋)‘𝑋) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑁‘((𝑆‘𝑋)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑅))
27	16, 17, 24, 26	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝑆‘𝑋)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑅))
28	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 13, 27	hdmaplnm1 42703	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑋)‘𝑋)) · 𝑋)) = ((𝑁‘((𝑆‘𝑋)‘𝑋))(.r‘𝑅)((𝑆‘𝑋)‘𝑋)))
29		hdmapip1.i	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
30	8, 21, 9, 29, 25	drnginvrl 20860	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((𝑆‘𝑋)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑆‘𝑋)‘𝑋) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑁‘((𝑆‘𝑋)‘𝑋))(.r‘𝑅)((𝑆‘𝑋)‘𝑋)) = 1 )
31	16, 17, 24, 30	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘((𝑆‘𝑋)‘𝑋))(.r‘𝑅)((𝑆‘𝑋)‘𝑋)) = 1 )
32	28, 31	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑋)‘𝑋)) · 𝑋)) = 1 )
33	2, 32	eqtrid 2810	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋)‘𝑌) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∖ cdif 3902  {csn 4589  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  ._rcmulr 17306  Scalarcsca 17308   ·_𝑠 cvsca 17309  0_gc0g 17487  1_rcur 20258  inv_rcinvr 20465  DivRingcdr 20827  LVecclvec 21223  HLchlt 40144  LHypclh 40778  DVecHcdvh 41872  HDMapchdma 42586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-riotaBAD 39747

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-undef 8265  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-0g 17489  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-proset 18345  df-poset 18364  df-plt 18379  df-lub 18395  df-glb 18396  df-join 18397  df-meet 18398  df-p0 18474  df-p1 18475  df-lat 18483  df-clat 18550  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-cntz 19382  df-oppg 19411  df-lsm 19701  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-nzr 20610  df-rlreg 20793  df-domn 20794  df-drng 20829  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093  df-lvec 21224  df-lsatoms 39770  df-lshyp 39771  df-lcv 39813  df-lfl 39852  df-lkr 39880  df-ldual 39918  df-oposet 39970  df-ol 39972  df-oml 39973  df-covers 40060  df-ats 40061  df-atl 40092  df-cvlat 40116  df-hlat 40145  df-llines 40292  df-lplanes 40293  df-lvols 40294  df-lines 40295  df-psubsp 40297  df-pmap 40298  df-padd 40590  df-lhyp 40782  df-laut 40783  df-ldil 40898  df-ltrn 40899  df-trl 40953  df-tgrp 41537  df-tendo 41549  df-edring 41551  df-dveca 41797  df-disoa 41823  df-dvech 41873  df-dib 41933  df-dic 41967  df-dih 42023  df-doch 42142  df-djh 42189  df-lcdual 42381  df-mapd 42419  df-hvmap 42551  df-hdmap1 42587  df-hdmap 42588

This theorem is referenced by:  hgmapvvlem3  42719