Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapip1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapip1 38445
Description: Construct a proportional vector 𝑌 whose inner product with the original 𝑋 equals one. (Contributed by NM, 13-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapip1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapip1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapip1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapip1.t · = ( ·𝑠𝑈)
hdmapip1.o 0 = (0g𝑈)
hdmapip1.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapip1.i 1 = (1r𝑅)
hdmapip1.n 𝑁 = (invr𝑅)
hdmapip1.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapip1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmapip1.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmapip1.y 𝑌 = ((𝑁‘((𝑆𝑋)‘𝑋)) · 𝑋)
Assertion
Ref Expression
hdmapip1 (𝜑 → ((𝑆𝑋)‘𝑌) = 1 )

Proof of Theorem hdmapip1
StepHypRef Expression
1 hdmapip1.y . . 3 𝑌 = ((𝑁‘((𝑆𝑋)‘𝑋)) · 𝑋)
21fveq2i 6496 . 2 ((𝑆𝑋)‘𝑌) = ((𝑆𝑋)‘((𝑁‘((𝑆𝑋)‘𝑋)) · 𝑋))
3 hdmapip1.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 hdmapip1.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 hdmapip1.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
6 hdmapip1.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑈)
7 hdmapip1.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
8 eqid 2772 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9 eqid 2772 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
10 hdmapip1.s . . . 4 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
11 hdmapip1.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
12 hdmapip1.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1312eldifad 3837 . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
143, 4, 11dvhlvec 37638 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
157lvecdrng 19589 . . . . . 6 (𝑈 ∈ LVec → 𝑅 ∈ DivRing)
1614, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
173, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 13hdmapipcl 38434 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝑋)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
18 eldifsni 4590 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
1912, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋0 )
20 hdmapip1.o . . . . . . . 8 0 = (0g𝑈)
21 eqid 2772 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
223, 4, 5, 20, 7, 21, 10, 11, 13hdmapip0 38444 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑆𝑋)‘𝑋) = (0g𝑅) ↔ 𝑋 = 0 ))
2322necon3bid 3005 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑆𝑋)‘𝑋) ≠ (0g𝑅) ↔ 𝑋0 ))
2419, 23mpbird 249 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝑋)‘𝑋) ≠ (0g𝑅))
25 hdmapip1.n . . . . . 6 𝑁 = (invr𝑅)
268, 21, 25drnginvrcl 19232 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((𝑆𝑋)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑆𝑋)‘𝑋) ≠ (0g𝑅)) → (𝑁‘((𝑆𝑋)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑅))
2716, 17, 24, 26syl3anc 1351 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘((𝑆𝑋)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑅))
283, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 13, 27hdmaplnm1 38438 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝑋)‘((𝑁‘((𝑆𝑋)‘𝑋)) · 𝑋)) = ((𝑁‘((𝑆𝑋)‘𝑋))(.r𝑅)((𝑆𝑋)‘𝑋)))
29 hdmapip1.i . . . . 5 1 = (1r𝑅)
308, 21, 9, 29, 25drnginvrl 19234 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((𝑆𝑋)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑆𝑋)‘𝑋) ≠ (0g𝑅)) → ((𝑁‘((𝑆𝑋)‘𝑋))(.r𝑅)((𝑆𝑋)‘𝑋)) = 1 )
3116, 17, 24, 30syl3anc 1351 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘((𝑆𝑋)‘𝑋))(.r𝑅)((𝑆𝑋)‘𝑋)) = 1 )
3228, 31eqtrd 2808 . 2 (𝜑 → ((𝑆𝑋)‘((𝑁‘((𝑆𝑋)‘𝑋)) · 𝑋)) = 1 )
332, 32syl5eq 2820 1 (𝜑 → ((𝑆𝑋)‘𝑌) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2961  cdif 3822  {csn 4435  cfv 6182  (class class class)co 6970  Basecbs 16329  .rcmulr 16412  Scalarcsca 16414   ·𝑠 cvsca 16415  0gc0g 16559  1rcur 18964  invrcinvr 19134  DivRingcdr 19215  LVecclvec 19586  HLchlt 35879  LHypclh 36513  DVecHcdvh 37607  HDMapchdma 38321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-riotaBAD 35482
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-ot 4444  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-tpos 7688  df-undef 7735  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-fz 12702  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-0g 16561  df-mre 16705  df-mrc 16706  df-acs 16708  df-proset 17386  df-poset 17404  df-plt 17416  df-lub 17432  df-glb 17433  df-join 17434  df-meet 17435  df-p0 17497  df-p1 17498  df-lat 17504  df-clat 17566  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-submnd 17794  df-grp 17884  df-minusg 17885  df-sbg 17886  df-subg 18050  df-cntz 18208  df-oppg 18235  df-lsm 18512  df-cmn 18658  df-abl 18659  df-mgp 18953  df-ur 18965  df-ring 19012  df-oppr 19086  df-dvdsr 19104  df-unit 19105  df-invr 19135  df-dvr 19146  df-drng 19217  df-lmod 19348  df-lss 19416  df-lsp 19456  df-lvec 19587  df-lsatoms 35505  df-lshyp 35506  df-lcv 35548  df-lfl 35587  df-lkr 35615  df-ldual 35653  df-oposet 35705  df-ol 35707  df-oml 35708  df-covers 35795  df-ats 35796  df-atl 35827  df-cvlat 35851  df-hlat 35880  df-llines 36027  df-lplanes 36028  df-lvols 36029  df-lines 36030  df-psubsp 36032  df-pmap 36033  df-padd 36325  df-lhyp 36517  df-laut 36518  df-ldil 36633  df-ltrn 36634  df-trl 36688  df-tgrp 37272  df-tendo 37284  df-edring 37286  df-dveca 37532  df-disoa 37558  df-dvech 37608  df-dib 37668  df-dic 37702  df-dih 37758  df-doch 37877  df-djh 37924  df-lcdual 38116  df-mapd 38154  df-hvmap 38286  df-hdmap1 38322  df-hdmap 38323
This theorem is referenced by:  hgmapvvlem3  38454
  Copyright terms: Public domain W3C validator