Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem17N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem17N 38818
Description: Lemma for mapdpg 38836. Baer p. 45, line 7: "Hence we may form y' = g^-1 z." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q 𝑄 = (0g𝑈)
mapdpglem.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z 0 = (0g𝐴)
mapdpglem4.g4 (𝜑𝑔𝐵)
mapdpglem4.z4 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn (𝜑𝑋𝑄)
mapdpglem12.yn (𝜑𝑌𝑄)
mapdpglem17.ep 𝐸 = (((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem17N (𝜑𝐸𝐹)
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐸(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem17N
StepHypRef Expression
1 mapdpglem17.ep . 2 𝐸 = (((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
2 mapdpglem.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 mapdpglem.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdpglem3.a . . 3 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
5 mapdpglem3.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
6 mapdpglem.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7 mapdpglem3.f . . 3 𝐹 = (Base‘𝐶)
8 mapdpglem3.t . . 3 · = ( ·𝑠𝐶)
9 mapdpglem.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
102, 3, 9dvhlvec 38239 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
114lvecdrng 19871 . . . . 5 (𝑈 ∈ LVec → 𝐴 ∈ DivRing)
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ DivRing)
13 mapdpglem4.g4 . . . 4 (𝜑𝑔𝐵)
14 mapdpglem.m . . . . 5 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
15 mapdpglem.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
16 mapdpglem.s . . . . 5 = (-g𝑈)
17 mapdpglem.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
18 mapdpglem.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
19 mapdpglem.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
20 mapdpglem1.p . . . . 5 = (LSSum‘𝐶)
21 mapdpglem2.j . . . . 5 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
22 mapdpglem3.te . . . . 5 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
23 mapdpglem3.r . . . . 5 𝑅 = (-g𝐶)
24 mapdpglem3.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐹)
25 mapdpglem3.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
26 mapdpglem4.q . . . . 5 𝑄 = (0g𝑈)
27 mapdpglem.ne . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
28 mapdpglem4.jt . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
29 mapdpglem4.z . . . . 5 0 = (0g𝐴)
30 mapdpglem4.z4 . . . . 5 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
31 mapdpglem4.t4 . . . . 5 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
32 mapdpglem4.xn . . . . 5 (𝜑𝑋𝑄)
332, 14, 3, 15, 16, 17, 6, 9, 18, 19, 20, 21, 7, 22, 4, 5, 8, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 13, 30, 31, 32mapdpglem11 38812 . . . 4 (𝜑𝑔0 )
34 eqid 2821 . . . . 5 (invr𝐴) = (invr𝐴)
355, 29, 34drnginvrcl 19513 . . . 4 ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔𝐵𝑔0 ) → ((invr𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
3612, 13, 33, 35syl3anc 1367 . . 3 (𝜑 → ((invr𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
37 eqid 2821 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
38 eqid 2821 . . . . . 6 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
392, 3, 9dvhlmod 38240 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
4015, 37, 17lspsncl 19743 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4139, 19, 40syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
422, 14, 3, 37, 6, 38, 9, 41mapdcl2 38786 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
437, 38lssss 19702 . . . . 5 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ 𝐹)
4442, 43syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ 𝐹)
4544, 30sseldd 3968 . . 3 (𝜑𝑧𝐹)
462, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 36, 45lcdvscl 38735 . 2 (𝜑 → (((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑧) ∈ 𝐹)
471, 46eqeltrid 2917 1 (𝜑𝐸𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  wss 3936  {csn 4561  cfv 6350  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  Scalarcsca 16562   ·𝑠 cvsca 16563  0gc0g 16707  -gcsg 18099  LSSumclsm 18753  invrcinvr 19415  DivRingcdr 19496  LModclmod 19628  LSubSpclss 19697  LSpanclspn 19737  LVecclvec 19868  HLchlt 36480  LHypclh 37114  DVecHcdvh 38208  LCDualclcd 38716  mapdcmpd 38754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-riotaBAD 36083
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-undef 7933  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-0g 16709  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-proset 17532  df-poset 17550  df-plt 17562  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-p0 17643  df-p1 17644  df-lat 17650  df-clat 17712  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18270  df-cntz 18441  df-oppg 18468  df-lsm 18755  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-drng 19498  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-lsp 19738  df-lvec 19869  df-lsatoms 36106  df-lshyp 36107  df-lcv 36149  df-lfl 36188  df-lkr 36216  df-ldual 36254  df-oposet 36306  df-ol 36308  df-oml 36309  df-covers 36396  df-ats 36397  df-atl 36428  df-cvlat 36452  df-hlat 36481  df-llines 36628  df-lplanes 36629  df-lvols 36630  df-lines 36631  df-psubsp 36633  df-pmap 36634  df-padd 36926  df-lhyp 37118  df-laut 37119  df-ldil 37234  df-ltrn 37235  df-trl 37289  df-tgrp 37873  df-tendo 37885  df-edring 37887  df-dveca 38133  df-disoa 38159  df-dvech 38209  df-dib 38269  df-dic 38303  df-dih 38359  df-doch 38478  df-djh 38525  df-lcdual 38717  df-mapd 38755
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator