Theorem mapdpglem17N 41797

Description: Lemma for mapdpg 41815. Baer p. 45, line 7: "Hence we may form y' = g^-1 z." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem3.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpglem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
mapdpglem.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
mapdpglem4.g4	⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
mapdpglem4.z4	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4	⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.yn	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
mapdpglem17.ep	⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem17N	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   ⊕ (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐸(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   − (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem17N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem17.ep	. 2 ⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
2		mapdpglem.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		mapdpglem.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdpglem3.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
5		mapdpglem3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
6		mapdpglem.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7		mapdpglem3.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
8		mapdpglem3.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
9		mapdpglem.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	2, 3, 9	dvhlvec 41218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
11	4	lvecdrng 21039	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝐴 ∈ DivRing)
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ DivRing)
13		mapdpglem4.g4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
14		mapdpglem.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
15		mapdpglem.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
16		mapdpglem.s	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
17		mapdpglem.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
18		mapdpglem.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
19		mapdpglem.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
20		mapdpglem1.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
21		mapdpglem2.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
22		mapdpglem3.te	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
23		mapdpglem3.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
24		mapdpglem3.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
25		mapdpglem3.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
26		mapdpglem4.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
27		mapdpglem.ne	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
28		mapdpglem4.jt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
29		mapdpglem4.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
30		mapdpglem4.z4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
31		mapdpglem4.t4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
32		mapdpglem4.xn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
33	2, 14, 3, 15, 16, 17, 6, 9, 18, 19, 20, 21, 7, 22, 4, 5, 8, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 13, 30, 31, 32	mapdpglem11 41791	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ≠ 0 )
34		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝐴) = (invr‘𝐴)
35	5, 29, 34	drnginvrcl 20668	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
36	12, 13, 33, 35	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
37		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
38		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
39	2, 3, 9	dvhlmod 41219	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
40	15, 37, 17	lspsncl 20910	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
41	39, 19, 40	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
42	2, 14, 3, 37, 6, 38, 9, 41	mapdcl2 41765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
43	7, 38	lssss 20869	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ 𝐹)
44	42, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ 𝐹)
45	44, 30	sseldd 3930	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ 𝐹)
46	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 36, 45	lcdvscl 41714	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧) ∈ 𝐹)
47	1, 46	eqeltrid 2835	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ⊆ wss 3897  {csn 4573  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  0_gc0g 17343  -_gcsg 18848  LSSumclsm 19546  inv_rcinvr 20305  DivRingcdr 20644  LModclmod 20793  LSubSpclss 20864  LSpanclspn 20904  LVecclvec 21036  HLchlt 39459  LHypclh 40093  DVecHcdvh 41187  LCDualclcd 41695  mapdcmpd 41733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-riotaBAD 39062

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-undef 8203  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-cntz 19229  df-oppg 19258  df-lsm 19548  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-dvr 20319  df-nzr 20428  df-rlreg 20609  df-domn 20610  df-drng 20646  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lsp 20905  df-lvec 21037  df-lsatoms 39085  df-lshyp 39086  df-lcv 39128  df-lfl 39167  df-lkr 39195  df-ldual 39233  df-oposet 39285  df-ol 39287  df-oml 39288  df-covers 39375  df-ats 39376  df-atl 39407  df-cvlat 39431  df-hlat 39460  df-llines 39607  df-lplanes 39608  df-lvols 39609  df-lines 39610  df-psubsp 39612  df-pmap 39613  df-padd 39905  df-lhyp 40097  df-laut 40098  df-ldil 40213  df-ltrn 40214  df-trl 40268  df-tgrp 40852  df-tendo 40864  df-edring 40866  df-dveca 41112  df-disoa 41138  df-dvech 41188  df-dib 41248  df-dic 41282  df-dih 41338  df-doch 41457  df-djh 41504  df-lcdual 41696  df-mapd 41734

This theorem is referenced by: (None)