Theorem mapdpglem17N 42408

Description: Lemma for mapdpg 42426. Baer p. 45, line 7: "Hence we may form y' = g^-1 z." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem3.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpglem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
mapdpglem.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
mapdpglem4.g4	⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
mapdpglem4.z4	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4	⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.yn	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
mapdpglem17.ep	⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem17N	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   ⊕ (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐸(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   − (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem17N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem17.ep	. 2 ⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
2		mapdpglem.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		mapdpglem.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdpglem3.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
5		mapdpglem3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
6		mapdpglem.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7		mapdpglem3.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
8		mapdpglem3.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
9		mapdpglem.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	2, 3, 9	dvhlvec 41829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
11	4	lvecdrng 21205	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝐴 ∈ DivRing)
12	10, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ DivRing)
13		mapdpglem4.g4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
14		mapdpglem.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
15		mapdpglem.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
16		mapdpglem.s	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
17		mapdpglem.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
18		mapdpglem.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
19		mapdpglem.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
20		mapdpglem1.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
21		mapdpglem2.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
22		mapdpglem3.te	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
23		mapdpglem3.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
24		mapdpglem3.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
25		mapdpglem3.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
26		mapdpglem4.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
27		mapdpglem.ne	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
28		mapdpglem4.jt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
29		mapdpglem4.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
30		mapdpglem4.z4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
31		mapdpglem4.t4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
32		mapdpglem4.xn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
33	2, 14, 3, 15, 16, 17, 6, 9, 18, 19, 20, 21, 7, 22, 4, 5, 8, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 13, 30, 31, 32	mapdpglem11 42402	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ≠ 0 )
34		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝐴) = (invr‘𝐴)
35	5, 29, 34	drnginvrcl 20837	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
36	12, 13, 33, 35	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
37		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
38		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
39	2, 3, 9	dvhlmod 41830	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
40	15, 37, 17	lspsncl 21077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
41	39, 19, 40	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
42	2, 14, 3, 37, 6, 38, 9, 41	mapdcl2 42376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
43	7, 38	lssss 21036	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ 𝐹)
44	42, 43	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ 𝐹)
45	44, 30	sseldd 3937	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ 𝐹)
46	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 36, 45	lcdvscl 42325	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧) ∈ 𝐹)
47	1, 46	eqeltrid 2865	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3904  {csn 4588  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17268  Scalarcsca 17312   ·_𝑠 cvsca 17313  0_gc0g 17491  -_gcsg 19001  LSSumclsm 19703  inv_rcinvr 20468  DivRingcdr 20812  LModclmod 20960  LSubSpclss 21031  LSpanclspn 21071  LVecclvec 21202  HLchlt 40070  LHypclh 40704  DVecHcdvh 41798  LCDualclcd 42306  mapdcmpd 42344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-riotaBAD 39673

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-undef 8268  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-0g 17493  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-proset 18349  df-poset 18368  df-plt 18383  df-lub 18399  df-glb 18400  df-join 18401  df-meet 18402  df-p0 18478  df-p1 18479  df-lat 18487  df-clat 18554  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-subg 19188  df-cntz 19386  df-oppg 19415  df-lsm 19705  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-dvr 20482  df-nzr 20595  df-rlreg 20778  df-domn 20779  df-drng 20814  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-lsp 21072  df-lvec 21203  df-lsatoms 39696  df-lshyp 39697  df-lcv 39739  df-lfl 39778  df-lkr 39806  df-ldual 39844  df-oposet 39896  df-ol 39898  df-oml 39899  df-covers 39986  df-ats 39987  df-atl 40018  df-cvlat 40042  df-hlat 40071  df-llines 40218  df-lplanes 40219  df-lvols 40220  df-lines 40221  df-psubsp 40223  df-pmap 40224  df-padd 40516  df-lhyp 40708  df-laut 40709  df-ldil 40824  df-ltrn 40825  df-trl 40879  df-tgrp 41463  df-tendo 41475  df-edring 41477  df-dveca 41723  df-disoa 41749  df-dvech 41799  df-dib 41859  df-dic 41893  df-dih 41949  df-doch 42068  df-djh 42115  df-lcdual 42307  df-mapd 42345

This theorem is referenced by: (None)