Theorem lssnvc 24738

Description: A subspace of a normed vector space is a normed vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssnlm.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lssnlm.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssnvc	⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmVec)

Proof of Theorem lssnvc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvcnlm 24732	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		lssnlm.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
3		lssnlm.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lssnlm 24737	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
5	1, 4	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
6		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7	2, 6	resssca 17388	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
9		nvclvec 24733	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ LVec)
10	6	lvecdrng 21121	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
13	8, 12	eqeltrrd 2839	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑋) ∈ DivRing)
14		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
15	14	isnvc2 24735	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ NrmVec ↔ (𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ DivRing))
16	5, 13, 15	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ↾_s cress 17273  Scalarcsca 17300  DivRingcdr 20745  LSubSpclss 20946  LVecclvec 21118  NrmModcnlm 24608  NrmVeccnvc 24609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-ds 17319  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-topgen 17489  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lvec 21119  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-xms 24345  df-ms 24346  df-nm 24610  df-ngp 24611  df-nlm 24614  df-nvc 24615

This theorem is referenced by:  lssbn  25399  cmslssbn  25419