Theorem lssnvc 25027

Description: A subspace of a normed vector space is a normed vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssnlm.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lssnlm.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssnvc	⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmVec)

Proof of Theorem lssnvc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvcnlm 25021	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		lssnlm.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
3		lssnlm.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lssnlm 25026	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
5	1, 4	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7	2, 6	resssca 17520	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
8	7	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
9		nvclvec 25022	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ LVec)
10	6	lvecdrng 21386	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
12	11	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
13	8, 12	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑋) ∈ DivRing)
14		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
15	14	isnvc2 25024	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ NrmVec ↔ (𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ DivRing))
16	5, 13, 15	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmVec)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ↾_s cress 17414  Scalarcsca 17437  DivRingcdr 20986  LSubSpclss 21212  LVecclvec 21383  NrmModcnlm 24905  NrmVeccnvc 24906

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-tset 17453  df-ds 17456  df-rest 17599  df-topn 17600  df-0g 17618  df-topgen 17620  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-subg 19339  df-mgp 20367  df-ur 20414  df-ring 20467  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-lvec 21384  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-xms 24645  df-ms 24646  df-nm 24907  df-ngp 24908  df-nlm 24911  df-nvc 24912

This theorem is used by:  lssbn  25679  cmslssbn  25699