Theorem lssnvc 24620

Description: A subspace of a normed vector space is a normed vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssnlm.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lssnlm.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssnvc	⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmVec)

Proof of Theorem lssnvc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvcnlm 24614	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		lssnlm.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
3		lssnlm.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lssnlm 24619	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
5	1, 4	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
6		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7	2, 6	resssca 17251	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
9		nvclvec 24615	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ LVec)
10	6	lvecdrng 21043	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
13	8, 12	eqeltrrd 2834	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑋) ∈ DivRing)
14		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
15	14	isnvc2 24617	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ NrmVec ↔ (𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ DivRing))
16	5, 13, 15	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354   ↾_s cress 17145  Scalarcsca 17168  DivRingcdr 20648  LSubSpclss 20868  LVecclvec 21040  NrmModcnlm 24498  NrmVeccnvc 24499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-map 8760  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-sup 9335  df-inf 9336  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-z 12478  df-dec 12597  df-uz 12741  df-q 12851  df-rp 12895  df-xneg 13015  df-xadd 13016  df-xmul 13017  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-tset 17184  df-ds 17187  df-rest 17330  df-topn 17331  df-0g 17349  df-topgen 17351  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-subg 19040  df-mgp 20063  df-ur 20104  df-ring 20157  df-lmod 20799  df-lss 20869  df-lvec 21041  df-psmet 21287  df-xmet 21288  df-met 21289  df-bl 21290  df-mopn 21291  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22864  df-xms 24238  df-ms 24239  df-nm 24500  df-ngp 24501  df-nlm 24504  df-nvc 24505

This theorem is referenced by:  lssbn  25282  cmslssbn  25302