Theorem maducoevalmin1 22770

Description: The coefficients of an adjunct (matrix of cofactors) expressed as determinants of the minor matrices (alternative definition) of the original matrix. (Contributed by AV, 31-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
maducoevalmin1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
maducoevalmin1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
maducoevalmin1.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
maducoevalmin1.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
maducoevalmin1	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁) → (𝐼(𝐽‘𝑀)𝐻) = (𝐷‘(𝐻((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐼)))

Proof of Theorem maducoevalmin1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		maducoevalmin1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		maducoevalmin1.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
3		maducoevalmin1.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
4		maducoevalmin1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
5		eqid 2765	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6		eqid 2765	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	maducoeval 22757	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁) → (𝐼(𝐽‘𝑀)𝐻) = (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐻, if(𝑗 = 𝐼, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))))
8		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 minMatR1 𝑅) = (𝑁 minMatR1 𝑅)
9	1, 4, 8, 5, 6	minmar1val 22766	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝐻((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐼) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐻, if(𝑗 = 𝐼, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗))))
10	9	3com23 1142	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁) → (𝐻((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐼) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐻, if(𝑗 = 𝐼, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗))))
11	10	eqcomd 2771	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐻, if(𝑗 = 𝐼, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗))) = (𝐻((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐼))
12	11	fveq2d 6875	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁) → (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐻, if(𝑗 = 𝐼, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))) = (𝐷‘(𝐻((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐼)))
13	7, 12	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁) → (𝐼(𝐽‘𝑀)𝐻) = (𝐷‘(𝐻((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ifcif 4483  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∈ cmpo 7402  Basecbs 17259  0_gc0g 17482  1_rcur 20254   Mat cmat 22525   maDet cmdat 22702   maAdju cmadu 22750   minMatR1 cminmar1 22751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-1cn 11146  ax-addcl 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-nn 12225  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-mat 22526  df-madu 22752  df-minmar1 22753

This theorem is referenced by:  madjusmdetlem1  34134