Theorem maducoevalmin1 22375

Description: The coefficients of an adjunct (matrix of cofactors) expressed as determinants of the minor matrices (alternative definition) of the original matrix. (Contributed by AV, 31-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
maducoevalmin1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
maducoevalmin1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
maducoevalmin1.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
maducoevalmin1.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
maducoevalmin1	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁) → (𝐼(𝐽‘𝑀)𝐻) = (𝐷‘(𝐻((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐼)))

Proof of Theorem maducoevalmin1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		maducoevalmin1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		maducoevalmin1.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
3		maducoevalmin1.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
4		maducoevalmin1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
5		eqid 2731	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6		eqid 2731	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	maducoeval 22362	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁) → (𝐼(𝐽‘𝑀)𝐻) = (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐻, if(𝑗 = 𝐼, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))))
8		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 minMatR1 𝑅) = (𝑁 minMatR1 𝑅)
9	1, 4, 8, 5, 6	minmar1val 22371	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝐻((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐼) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐻, if(𝑗 = 𝐼, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗))))
10	9	3com23 1125	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁) → (𝐻((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐼) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐻, if(𝑗 = 𝐼, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗))))
11	10	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐻, if(𝑗 = 𝐼, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗))) = (𝐻((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐼))
12	11	fveq2d 6896	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁) → (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐻, if(𝑗 = 𝐼, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))) = (𝐷‘(𝐻((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐼)))
13	7, 12	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁) → (𝐼(𝐽‘𝑀)𝐻) = (𝐷‘(𝐻((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ifcif 4529  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  Basecbs 17149  0_gc0g 17390  1_rcur 20076   Mat cmat 22128   maDet cmdat 22307   maAdju cmadu 22355   minMatR1 cminmar1 22356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-1cn 11171  ax-addcl 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-nn 12218  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-mat 22129  df-madu 22357  df-minmar1 22358

This theorem is referenced by:  madjusmdetlem1  33102