Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  madjusmdetlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem madjusmdetlem1 32807
Description: Lemma for madjusmdet 32811. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
madjusmdet.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
madjusmdet.a ๐ด = ((1...๐‘) Mat ๐‘…)
madjusmdet.d ๐ท = ((1...๐‘) maDet ๐‘…)
madjusmdet.k ๐พ = ((1...๐‘) maAdju ๐‘…)
madjusmdet.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
madjusmdet.z ๐‘ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
madjusmdet.e ๐ธ = ((1...(๐‘ โˆ’ 1)) maDet ๐‘…)
madjusmdet.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
madjusmdet.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
madjusmdet.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ (1...๐‘))
madjusmdet.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ (1...๐‘))
madjusmdet.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
madjusmdetlem1.g ๐บ = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))
madjusmdetlem1.s ๐‘† = (pmSgnโ€˜(1...๐‘))
madjusmdetlem1.u ๐‘ˆ = (๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)
madjusmdetlem1.w ๐‘Š = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘), ๐‘— โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)๐‘ˆ(๐‘„โ€˜๐‘—)))
madjusmdetlem1.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)
madjusmdetlem1.q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ ๐บ)
madjusmdetlem1.1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘) = ๐ผ)
madjusmdetlem1.2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘) = ๐ฝ)
madjusmdetlem1.3 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ(subMat1โ€˜๐‘ˆ)๐ฝ) = (๐‘(subMat1โ€˜๐‘Š)๐‘))
Assertion
Ref Expression
madjusmdetlem1 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ(๐พโ€˜๐‘€)๐ผ) = ((๐‘โ€˜((๐‘†โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘†โ€˜๐‘„))) ยท (๐ธโ€˜(๐ผ(subMat1โ€˜๐‘€)๐ฝ))))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘–,๐‘—   ๐‘–,๐ผ,๐‘—   ๐‘–,๐ฝ,๐‘—   ๐‘–,๐‘€,๐‘—   ๐‘–,๐‘,๐‘—   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘—   ๐‘„,๐‘–,๐‘—   ๐‘…,๐‘–,๐‘—   ๐œ‘,๐‘–,๐‘—   ๐‘–,๐บ,๐‘—   ๐‘–,๐‘Š,๐‘—   ๐‘ˆ,๐‘–,๐‘—
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–,๐‘—)   ๐ท(๐‘–,๐‘—)   ๐‘†(๐‘–,๐‘—)   ยท (๐‘–,๐‘—)   ๐ธ(๐‘–,๐‘—)   ๐พ(๐‘–,๐‘—)   ๐‘(๐‘–,๐‘—)

Proof of Theorem madjusmdetlem1
StepHypRef Expression
1 madjusmdet.m . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
2 madjusmdet.j . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ (1...๐‘))
3 madjusmdet.i . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ (1...๐‘))
4 madjusmdet.a . . . . 5 ๐ด = ((1...๐‘) Mat ๐‘…)
5 madjusmdet.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
6 madjusmdet.d . . . . 5 ๐ท = ((1...๐‘) maDet ๐‘…)
7 madjusmdet.k . . . . 5 ๐พ = ((1...๐‘) maAdju ๐‘…)
84, 5, 6, 7maducoevalmin1 22154 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฝ โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐ผ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ฝ(๐พโ€˜๐‘€)๐ผ) = (๐ทโ€˜(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)))
91, 2, 3, 8syl3anc 1372 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ(๐พโ€˜๐‘€)๐ผ) = (๐ทโ€˜(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)))
10 madjusmdetlem1.u . . . 4 ๐‘ˆ = (๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)
1110fveq2i 6895 . . 3 (๐ทโ€˜๐‘ˆ) = (๐ทโ€˜(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ))
129, 11eqtr4di 2791 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ(๐พโ€˜๐‘€)๐ผ) = (๐ทโ€˜๐‘ˆ))
13 madjusmdetlem1.g . . 3 ๐บ = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜(1...๐‘)))
14 madjusmdetlem1.s . . 3 ๐‘† = (pmSgnโ€˜(1...๐‘))
15 madjusmdet.z . . 3 ๐‘ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
16 madjusmdet.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
17 madjusmdetlem1.w . . 3 ๐‘Š = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘), ๐‘— โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)๐‘ˆ(๐‘„โ€˜๐‘—)))
18 madjusmdet.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
19 fzfid 13938 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
20 crngring 20068 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2118, 20syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
224, 5minmar1cl 22153 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ) โˆˆ ๐ต)
2321, 1, 3, 2, 22syl22anc 838 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ) โˆˆ ๐ต)
2410, 23eqeltrid 2838 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ ๐ต)
25 madjusmdetlem1.p . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)
26 madjusmdetlem1.q . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ ๐บ)
274, 5, 6, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 24, 25, 26mdetpmtr12 32805 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ˆ) = ((๐‘โ€˜((๐‘†โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘†โ€˜๐‘„))) ยท (๐ทโ€˜๐‘Š)))
28 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ ๐‘– = ๐‘)
2928fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (๐‘ƒโ€˜๐‘))
30 madjusmdetlem1.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘) = ๐ผ)
31303ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘) = ๐ผ)
3231ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘) = ๐ผ)
3329, 32eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘–) = ๐ผ)
34 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ ๐‘— = ๐‘)
3534fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘—) = (๐‘„โ€˜๐‘))
36 madjusmdetlem1.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘) = ๐ฝ)
37363ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘) = ๐ฝ)
3837ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘) = ๐ฝ)
3935, 38eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘—) = ๐ฝ)
4033, 39oveq12d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)(๐‘„โ€˜๐‘—)) = (๐ผ(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)๐ฝ))
4113ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
4333ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐ผ โˆˆ (1...๐‘))
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ ๐ผ โˆˆ (1...๐‘))
4523ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐ฝ โˆˆ (1...๐‘))
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ ๐ฝ โˆˆ (1...๐‘))
47 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…) = ((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)
48 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜๐‘…)
49 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
504, 5, 47, 48, 49minmar1eval 22151 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง (๐ผ โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐ผ โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐ผ(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)๐ฝ) = if(๐ผ = ๐ผ, if(๐ฝ = ๐ฝ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐ผ๐‘€๐ฝ)))
5142, 44, 46, 44, 46, 50syl122anc 1380 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ (๐ผ(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)๐ฝ) = if(๐ผ = ๐ผ, if(๐ฝ = ๐ฝ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐ผ๐‘€๐ฝ)))
52 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ผ = ๐ผ
5352iftruei 4536 . . . . . . . . . . . . 13 if(๐ผ = ๐ผ, if(๐ฝ = ๐ฝ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐ผ๐‘€๐ฝ)) = if(๐ฝ = ๐ฝ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))
54 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ฝ = ๐ฝ
5554iftruei 4536 . . . . . . . . . . . . 13 if(๐ฝ = ๐ฝ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = (1rโ€˜๐‘…)
5653, 55eqtri 2761 . . . . . . . . . . . 12 if(๐ผ = ๐ผ, if(๐ฝ = ๐ฝ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐ผ๐‘€๐ฝ)) = (1rโ€˜๐‘…)
5756a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ if(๐ผ = ๐ผ, if(๐ฝ = ๐ฝ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐ผ๐‘€๐ฝ)) = (1rโ€˜๐‘…))
5840, 51, 573eqtrrd 2778 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ (1rโ€˜๐‘…) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)(๐‘„โ€˜๐‘—)))
59 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ยฌ ๐‘— = ๐‘) โ†’ ๐‘– = ๐‘)
6059fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ยฌ ๐‘— = ๐‘) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (๐‘ƒโ€˜๐‘))
6131ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ยฌ ๐‘— = ๐‘) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘) = ๐ผ)
6260, 61eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ยฌ ๐‘— = ๐‘) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘–) = ๐ผ)
6362oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ยฌ ๐‘— = ๐‘) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)(๐‘„โ€˜๐‘—)) = (๐ผ(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)(๐‘„โ€˜๐‘—)))
6441ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ยฌ ๐‘— = ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
6543ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ยฌ ๐‘— = ๐‘) โ†’ ๐ผ โˆˆ (1...๐‘))
6645ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ยฌ ๐‘— = ๐‘) โ†’ ๐ฝ โˆˆ (1...๐‘))
67263ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ ๐บ)
68 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘— โˆˆ (1...๐‘))
69 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (SymGrpโ€˜(1...๐‘)) = (SymGrpโ€˜(1...๐‘))
7069, 13symgfv 19247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘„ โˆˆ ๐บ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘—) โˆˆ (1...๐‘))
7167, 68, 70syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘—) โˆˆ (1...๐‘))
7271ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ยฌ ๐‘— = ๐‘) โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘—) โˆˆ (1...๐‘))
734, 5, 47, 48, 49minmar1eval 22151 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง (๐ผ โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (1...๐‘)) โˆง (๐ผ โˆˆ (1...๐‘) โˆง (๐‘„โ€˜๐‘—) โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐ผ(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)(๐‘„โ€˜๐‘—)) = if(๐ผ = ๐ผ, if((๐‘„โ€˜๐‘—) = ๐ฝ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐ผ๐‘€(๐‘„โ€˜๐‘—))))
7464, 65, 66, 65, 72, 73syl122anc 1380 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ยฌ ๐‘— = ๐‘) โ†’ (๐ผ(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)(๐‘„โ€˜๐‘—)) = if(๐ผ = ๐ผ, if((๐‘„โ€˜๐‘—) = ๐ฝ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐ผ๐‘€(๐‘„โ€˜๐‘—))))
7552a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ยฌ ๐‘— = ๐‘) โ†’ ๐ผ = ๐ผ)
7675iftrued 4537 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ยฌ ๐‘— = ๐‘) โ†’ if(๐ผ = ๐ผ, if((๐‘„โ€˜๐‘—) = ๐ฝ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐ผ๐‘€(๐‘„โ€˜๐‘—))) = if((๐‘„โ€˜๐‘—) = ๐ฝ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))
77 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง (๐‘„โ€˜๐‘—) = ๐ฝ) โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘—) = ๐ฝ)
7877fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง (๐‘„โ€˜๐‘—) = ๐ฝ) โ†’ (โ—ก๐‘„โ€˜(๐‘„โ€˜๐‘—)) = (โ—ก๐‘„โ€˜๐ฝ))
7969, 13symgbasf1o 19242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘„ โˆˆ ๐บ โ†’ ๐‘„:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘))
8067, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘„:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘))
8180ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง (๐‘„โ€˜๐‘—) = ๐ฝ) โ†’ ๐‘„:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘))
8268ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง (๐‘„โ€˜๐‘—) = ๐ฝ) โ†’ ๐‘— โˆˆ (1...๐‘))
83 f1ocnvfv1 7274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘„:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (โ—ก๐‘„โ€˜(๐‘„โ€˜๐‘—)) = ๐‘—)
8481, 82, 83syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง (๐‘„โ€˜๐‘—) = ๐ฝ) โ†’ (โ—ก๐‘„โ€˜(๐‘„โ€˜๐‘—)) = ๐‘—)
8536fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก๐‘„โ€˜(๐‘„โ€˜๐‘)) = (โ—ก๐‘„โ€˜๐ฝ))
8626, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘))
87 madjusmdet.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
88 nnuz 12865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
8987, 88eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
90 eluzfz2 13509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...๐‘))
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...๐‘))
92 f1ocnvfv1 7274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘„:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘) โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (โ—ก๐‘„โ€˜(๐‘„โ€˜๐‘)) = ๐‘)
9386, 91, 92syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก๐‘„โ€˜(๐‘„โ€˜๐‘)) = ๐‘)
9485, 93eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก๐‘„โ€˜๐ฝ) = ๐‘)
95943ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (โ—ก๐‘„โ€˜๐ฝ) = ๐‘)
9695ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง (๐‘„โ€˜๐‘—) = ๐ฝ) โ†’ (โ—ก๐‘„โ€˜๐ฝ) = ๐‘)
9778, 84, 963eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง (๐‘„โ€˜๐‘—) = ๐ฝ) โ†’ ๐‘— = ๐‘)
9897ex 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘—) = ๐ฝ โ†’ ๐‘— = ๐‘))
9998con3d 152 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โ†’ (ยฌ ๐‘— = ๐‘ โ†’ ยฌ (๐‘„โ€˜๐‘—) = ๐ฝ))
10099imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ยฌ ๐‘— = ๐‘) โ†’ ยฌ (๐‘„โ€˜๐‘—) = ๐ฝ)
101100iffalsed 4540 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ยฌ ๐‘— = ๐‘) โ†’ if((๐‘„โ€˜๐‘—) = ๐ฝ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
10276, 101eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ยฌ ๐‘— = ๐‘) โ†’ if(๐ผ = ๐ผ, if((๐‘„โ€˜๐‘—) = ๐ฝ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐ผ๐‘€(๐‘„โ€˜๐‘—))) = (0gโ€˜๐‘…))
10363, 74, 1023eqtrrd 2778 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โˆง ยฌ ๐‘— = ๐‘) โ†’ (0gโ€˜๐‘…) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)(๐‘„โ€˜๐‘—)))
10458, 103ifeqda 4565 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘– = ๐‘) โ†’ if(๐‘— = ๐‘, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)(๐‘„โ€˜๐‘—)))
105 simp2 1138 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆˆ (1...๐‘))
106105adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ยฌ ๐‘– = ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ (1...๐‘))
10768adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ยฌ ๐‘– = ๐‘) โ†’ ๐‘— โˆˆ (1...๐‘))
108 ovexd 7444 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ยฌ ๐‘– = ๐‘) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)(๐‘„โ€˜๐‘—)) โˆˆ V)
10910oveqi 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)๐‘ˆ(๐‘„โ€˜๐‘—)) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)(๐‘„โ€˜๐‘—))
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)๐‘ˆ(๐‘„โ€˜๐‘—)) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)(๐‘„โ€˜๐‘—)))
111110mpoeq3ia 7487 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– โˆˆ (1...๐‘), ๐‘— โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)๐‘ˆ(๐‘„โ€˜๐‘—))) = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘), ๐‘— โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)(๐‘„โ€˜๐‘—)))
11217, 111eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 ๐‘Š = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘), ๐‘— โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)(๐‘„โ€˜๐‘—)))
113112ovmpt4g 7555 . . . . . . . . . 10 ((๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘) โˆง ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)(๐‘„โ€˜๐‘—)) โˆˆ V) โ†’ (๐‘–๐‘Š๐‘—) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)(๐‘„โ€˜๐‘—)))
114106, 107, 108, 113syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ยฌ ๐‘– = ๐‘) โ†’ (๐‘–๐‘Š๐‘—) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)(๐‘„โ€˜๐‘—)))
115104, 114ifeqda 4565 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ if(๐‘– = ๐‘, if(๐‘— = ๐‘, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘Š๐‘—)) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)(๐‘„โ€˜๐‘—)))
116115mpoeq3dva 7486 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘), ๐‘— โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘, if(๐‘— = ๐‘, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘Š๐‘—))) = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘), ๐‘— โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)(๐‘„โ€˜๐‘—))))
117 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
118253ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)
11969, 13symgfv 19247 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐บ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘–) โˆˆ (1...๐‘))
120118, 105, 119syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘–) โˆˆ (1...๐‘))
121243ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ ๐ต)
1224, 117, 5, 120, 71, 121matecld 21928 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)๐‘ˆ(๐‘„โ€˜๐‘—)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
1234, 117, 5, 19, 18, 122matbas2d 21925 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘), ๐‘— โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)๐‘ˆ(๐‘„โ€˜๐‘—))) โˆˆ ๐ต)
12417, 123eqeltrid 2838 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ ๐ต)
125117, 48ringidcl 20083 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
12621, 125syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
127 eqid 2733 . . . . . . . . 9 ((1...๐‘) matRRep ๐‘…) = ((1...๐‘) matRRep ๐‘…)
1284, 5, 127, 49marrepval 22064 . . . . . . . 8 (((๐‘Š โˆˆ ๐ต โˆง (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐‘))) โ†’ (๐‘(๐‘Š((1...๐‘) matRRep ๐‘…)(1rโ€˜๐‘…))๐‘) = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘), ๐‘— โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘, if(๐‘— = ๐‘, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘Š๐‘—))))
129124, 126, 91, 91, 128syl22anc 838 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘(๐‘Š((1...๐‘) matRRep ๐‘…)(1rโ€˜๐‘…))๐‘) = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘), ๐‘— โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘, if(๐‘— = ๐‘, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘Š๐‘—))))
130112a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘), ๐‘— โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)(๐ผ(((1...๐‘) minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐ฝ)(๐‘„โ€˜๐‘—))))
131116, 129, 1303eqtr4d 2783 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘(๐‘Š((1...๐‘) matRRep ๐‘…)(1rโ€˜๐‘…))๐‘) = ๐‘Š)
132131fveq2d 6896 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘(๐‘Š((1...๐‘) matRRep ๐‘…)(1rโ€˜๐‘…))๐‘)) = (๐ทโ€˜๐‘Š))
133 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 ((1...๐‘) subMat ๐‘…) = ((1...๐‘) subMat ๐‘…)
1344, 133, 5submaval 22083 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Š โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘(((1...๐‘) subMat ๐‘…)โ€˜๐‘Š)๐‘) = (๐‘– โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}), ๐‘— โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โ†ฆ (๐‘–๐‘Š๐‘—)))
135124, 91, 91, 134syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘(((1...๐‘) subMat ๐‘…)โ€˜๐‘Š)๐‘) = (๐‘– โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}), ๐‘— โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โ†ฆ (๐‘–๐‘Š๐‘—)))
136 fzdif2 32002 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) = (1...(๐‘ โˆ’ 1)))
13789, 136syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) = (1...(๐‘ โˆ’ 1)))
138 mpoeq12 7482 . . . . . . . . . . 11 ((((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) = (1...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) = (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘– โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}), ๐‘— โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โ†ฆ (๐‘–๐‘Š๐‘—)) = (๐‘– โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1)), ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘–๐‘Š๐‘—)))
139137, 137, 138syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}), ๐‘— โˆˆ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โ†ฆ (๐‘–๐‘Š๐‘—)) = (๐‘– โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1)), ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘–๐‘Š๐‘—)))
140135, 139eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘(((1...๐‘) subMat ๐‘…)โ€˜๐‘Š)๐‘) = (๐‘– โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1)), ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘–๐‘Š๐‘—)))
141 difssd 4133 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) โŠ† (1...๐‘))
142137, 141eqsstrrd 4022 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1...(๐‘ โˆ’ 1)) โŠ† (1...๐‘))
1434, 5submabas 22080 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Š โˆˆ ๐ต โˆง (1...(๐‘ โˆ’ 1)) โŠ† (1...๐‘)) โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1)), ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘–๐‘Š๐‘—)) โˆˆ (Baseโ€˜((1...(๐‘ โˆ’ 1)) Mat ๐‘…)))
144124, 142, 143syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1)), ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†ฆ (๐‘–๐‘Š๐‘—)) โˆˆ (Baseโ€˜((1...(๐‘ โˆ’ 1)) Mat ๐‘…)))
145140, 144eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘(((1...๐‘) subMat ๐‘…)โ€˜๐‘Š)๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜((1...(๐‘ โˆ’ 1)) Mat ๐‘…)))
146 madjusmdet.e . . . . . . . . 9 ๐ธ = ((1...(๐‘ โˆ’ 1)) maDet ๐‘…)
147 eqid 2733 . . . . . . . . 9 ((1...(๐‘ โˆ’ 1)) Mat ๐‘…) = ((1...(๐‘ โˆ’ 1)) Mat ๐‘…)
148 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseโ€˜((1...(๐‘ โˆ’ 1)) Mat ๐‘…)) = (Baseโ€˜((1...(๐‘ โˆ’ 1)) Mat ๐‘…))
149146, 147, 148, 117mdetcl 22098 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง (๐‘(((1...๐‘) subMat ๐‘…)โ€˜๐‘Š)๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜((1...(๐‘ โˆ’ 1)) Mat ๐‘…))) โ†’ (๐ธโ€˜(๐‘(((1...๐‘) subMat ๐‘…)โ€˜๐‘Š)๐‘)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
15018, 145, 149syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ€˜(๐‘(((1...๐‘) subMat ๐‘…)โ€˜๐‘Š)๐‘)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
151117, 16, 48ringlidm 20086 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐ธโ€˜(๐‘(((1...๐‘) subMat ๐‘…)โ€˜๐‘Š)๐‘)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…) ยท (๐ธโ€˜(๐‘(((1...๐‘) subMat ๐‘…)โ€˜๐‘Š)๐‘))) = (๐ธโ€˜(๐‘(((1...๐‘) subMat ๐‘…)โ€˜๐‘Š)๐‘)))
15221, 150, 151syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1rโ€˜๐‘…) ยท (๐ธโ€˜(๐‘(((1...๐‘) subMat ๐‘…)โ€˜๐‘Š)๐‘))) = (๐ธโ€˜(๐‘(((1...๐‘) subMat ๐‘…)โ€˜๐‘Š)๐‘)))
1534fveq2i 6895 . . . . . . . . . . 11 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜((1...๐‘) Mat ๐‘…))
1545, 153eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 ๐ต = (Baseโ€˜((1...๐‘) Mat ๐‘…))
155124, 154eleqtrdi 2844 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ (Baseโ€˜((1...๐‘) Mat ๐‘…)))
156 smadiadetr 22177 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘Š โˆˆ (Baseโ€˜((1...๐‘) Mat ๐‘…))) โˆง (๐‘ โˆˆ (1...๐‘) โˆง (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ (((1...๐‘) maDet ๐‘…)โ€˜(๐‘(๐‘Š((1...๐‘) matRRep ๐‘…)(1rโ€˜๐‘…))๐‘)) = ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)((((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) maDet ๐‘…)โ€˜(๐‘(((1...๐‘) subMat ๐‘…)โ€˜๐‘Š)๐‘))))
15718, 155, 91, 126, 156syl22anc 838 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((1...๐‘) maDet ๐‘…)โ€˜(๐‘(๐‘Š((1...๐‘) matRRep ๐‘…)(1rโ€˜๐‘…))๐‘)) = ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)((((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) maDet ๐‘…)โ€˜(๐‘(((1...๐‘) subMat ๐‘…)โ€˜๐‘Š)๐‘))))
1586fveq1i 6893 . . . . . . . . 9 (๐ทโ€˜(๐‘(๐‘Š((1...๐‘) matRRep ๐‘…)(1rโ€˜๐‘…))๐‘)) = (((1...๐‘) maDet ๐‘…)โ€˜(๐‘(๐‘Š((1...๐‘) matRRep ๐‘…)(1rโ€˜๐‘…))๐‘))
15916oveqi 7422 . . . . . . . . 9 ((1rโ€˜๐‘…) ยท ((((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) maDet ๐‘…)โ€˜(๐‘(((1...๐‘) subMat ๐‘…)โ€˜๐‘Š)๐‘))) = ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)((((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) maDet ๐‘…)โ€˜(๐‘(((1...๐‘) subMat ๐‘…)โ€˜๐‘Š)๐‘)))
160158, 159eqeq12i 2751 . . . . . . . 8 ((๐ทโ€˜(๐‘(๐‘Š((1...๐‘) matRRep ๐‘…)(1rโ€˜๐‘…))๐‘)) = ((1rโ€˜๐‘…) ยท ((((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) maDet ๐‘…)โ€˜(๐‘(((1...๐‘) subMat ๐‘…)โ€˜๐‘Š)๐‘))) โ†” (((1...๐‘) maDet ๐‘…)โ€˜(๐‘(๐‘Š((1...๐‘) matRRep ๐‘…)(1rโ€˜๐‘…))๐‘)) = ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)((((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) maDet ๐‘…)โ€˜(๐‘(((1...๐‘) subMat ๐‘…)โ€˜๐‘Š)๐‘))))
161157, 160sylibr 233 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘(๐‘Š((1...๐‘) matRRep ๐‘…)(1rโ€˜๐‘…))๐‘)) = ((1rโ€˜๐‘…) ยท ((((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) maDet ๐‘…)โ€˜(๐‘(((1...๐‘) subMat ๐‘…)โ€˜๐‘Š)๐‘))))
162137oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) maDet ๐‘…) = ((1...(๐‘ โˆ’ 1)) maDet ๐‘…))
163162, 146eqtr4di 2791 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) maDet ๐‘…) = ๐ธ)
164163fveq1d 6894 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) maDet ๐‘…)โ€˜(๐‘(((1...๐‘) subMat ๐‘…)โ€˜๐‘Š)๐‘)) = (๐ธโ€˜(๐‘(((1...๐‘) subMat ๐‘…)โ€˜๐‘Š)๐‘)))
165164oveq2d 7425 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1rโ€˜๐‘…) ยท ((((1...๐‘) โˆ– {๐‘}) maDet ๐‘…)โ€˜(๐‘(((1...๐‘) subMat ๐‘…)โ€˜๐‘Š)๐‘))) = ((1rโ€˜๐‘…) ยท (๐ธโ€˜(๐‘(((1...๐‘) subMat ๐‘…)โ€˜๐‘Š)๐‘))))
166161, 165eqtrd 2773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘(๐‘Š((1...๐‘) matRRep ๐‘…)(1rโ€˜๐‘…))๐‘)) = ((1rโ€˜๐‘…) ยท (๐ธโ€˜(๐‘(((1...๐‘) subMat ๐‘…)โ€˜๐‘Š)๐‘))))
1674, 5submat1n 32785 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Š โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘(subMat1โ€˜๐‘Š)๐‘) = (๐‘(((1...๐‘) subMat ๐‘…)โ€˜๐‘Š)๐‘))
16887, 124, 167syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘(subMat1โ€˜๐‘Š)๐‘) = (๐‘(((1...๐‘) subMat ๐‘…)โ€˜๐‘Š)๐‘))
169168fveq2d 6896 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ€˜(๐‘(subMat1โ€˜๐‘Š)๐‘)) = (๐ธโ€˜(๐‘(((1...๐‘) subMat ๐‘…)โ€˜๐‘Š)๐‘)))
170152, 166, 1693eqtr4d 2783 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘(๐‘Š((1...๐‘) matRRep ๐‘…)(1rโ€˜๐‘…))๐‘)) = (๐ธโ€˜(๐‘(subMat1โ€˜๐‘Š)๐‘)))
171132, 170eqtr3d 2775 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Š) = (๐ธโ€˜(๐‘(subMat1โ€˜๐‘Š)๐‘)))
1724, 5, 87, 3, 2, 21, 1, 10submatminr1 32790 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ(subMat1โ€˜๐‘€)๐ฝ) = (๐ผ(subMat1โ€˜๐‘ˆ)๐ฝ))
173 madjusmdetlem1.3 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ(subMat1โ€˜๐‘ˆ)๐ฝ) = (๐‘(subMat1โ€˜๐‘Š)๐‘))
174172, 173eqtrd 2773 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ(subMat1โ€˜๐‘€)๐ฝ) = (๐‘(subMat1โ€˜๐‘Š)๐‘))
175174fveq2d 6896 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ€˜(๐ผ(subMat1โ€˜๐‘€)๐ฝ)) = (๐ธโ€˜(๐‘(subMat1โ€˜๐‘Š)๐‘)))
176171, 175eqtr4d 2776 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Š) = (๐ธโ€˜(๐ผ(subMat1โ€˜๐‘€)๐ฝ)))
177176oveq2d 7425 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜((๐‘†โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘†โ€˜๐‘„))) ยท (๐ทโ€˜๐‘Š)) = ((๐‘โ€˜((๐‘†โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘†โ€˜๐‘„))) ยท (๐ธโ€˜(๐ผ(subMat1โ€˜๐‘€)๐ฝ))))
17812, 27, 1773eqtrd 2777 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ(๐พโ€˜๐‘€)๐ผ) = ((๐‘โ€˜((๐‘†โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘†โ€˜๐‘„))) ยท (๐ธโ€˜(๐ผ(subMat1โ€˜๐‘€)๐ฝ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3475   โˆ– cdif 3946   โŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629  โ—กccnv 5676  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6543  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โˆˆ cmpo 7411  1c1 11111   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  โ„•cn 12212  โ„คโ‰ฅcuz 12822  ...cfz 13484  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  0gc0g 17385  SymGrpcsymg 19234  pmSgncpsgn 19357  1rcur 20004  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057  โ„คRHomczrh 21049   Mat cmat 21907   matRRep cmarrep 22058   subMat csubma 22078   maDet cmdat 22086   maAdju cmadu 22134   minMatR1 cminmar1 22135  subMat1csmat 32773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-word 14465  df-lsw 14513  df-concat 14521  df-s1 14546  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-splice 14700  df-reverse 14709  df-s2 14799  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-efmnd 18750  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-gim 19133  df-cntz 19181  df-oppg 19210  df-symg 19235  df-pmtr 19310  df-psgn 19359  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-dsmm 21287  df-frlm 21302  df-mat 21908  df-marrep 22060  df-subma 22079  df-mdet 22087  df-madu 22136  df-minmar1 22137  df-smat 32774
This theorem is referenced by:  madjusmdetlem4  32810
  Copyright terms: Public domain W3C validator