Theorem minmar1cl 22546

Description: Closure of the row replacement function for square matrices: The matrix for a minor is a matrix. (Contributed by AV, 13-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
minmar1cl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
minmar1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
minmar1cl	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → (𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐿) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem minmar1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minmar1cl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		minmar1cl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	1, 2, 3	minmar1marrep 22545	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)(1r‘𝑅)))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)(1r‘𝑅)))
6	5	oveqd 7431	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → (𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐿) = (𝐾(𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐿))
7		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
8		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
9		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	9, 3	ringidcl 20195	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
12	7, 8, 11	3jca 1126	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
13	1, 2	marrepcl 22459	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → (𝐾(𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐿) ∈ 𝐵)
14	12, 13	sylan 579	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → (𝐾(𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐿) ∈ 𝐵)
15	6, 14	eqeltrd 2828	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → (𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐿) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  1_rcur 20114  Ringcrg 20166   Mat cmat 22300   matRRep cmarrep 22451   minMatR1 cminmar1 22528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-sup 9459  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-hom 17250  df-cco 17251  df-0g 17416  df-prds 17422  df-pws 17424  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-mgp 20068  df-ur 20115  df-ring 20168  df-sra 21051  df-rgmod 21052  df-dsmm 21659  df-frlm 21674  df-mat 22301  df-marrep 22453  df-minmar1 22530

This theorem is referenced by:  smadiadetg  22568  madjusmdetlem1  33418  madjusmdetlem4  33421