Theorem minmar1cl 22902

Description: Closure of the row replacement function for square matrices: The matrix for a minor is a matrix. (Contributed by AV, 13-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
minmar1cl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
minmar1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
minmar1cl	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → (𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐿) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem minmar1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minmar1cl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		minmar1cl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	1, 2, 3	minmar1marrep 22901	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)(1r‘𝑅)))
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)(1r‘𝑅)))
6	5	oveqd 7432	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → (𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐿) = (𝐾(𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐿))
7		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
8		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
9		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	9, 3	ringidcl 20430	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
12	7, 8, 11	3jca 1146	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
13	1, 2	marrepcl 22815	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → (𝐾(𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐿) ∈ 𝐵)
14	12, 13	sylan 592	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → (𝐾(𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐿) ∈ 𝐵)
15	6, 14	eqeltrd 2860	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → (𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐿) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6534  (class class class)co 7415  Basecbs 17323  1_rcur 20343  Ringcrg 20395   Mat cmat 22658   matRRep cmarrep 22807   minMatR1 cminmar1 22884

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7738  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7372  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-frecs 8282  df-wrecs 8313  df-recs 8362  df-rdg 8401  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11489  df-neg 11490  df-nn 12280  df-2 12349  df-3 12350  df-4 12351  df-5 12352  df-6 12353  df-7 12354  df-8 12355  df-9 12356  df-n0 12551  df-z 12638  df-dec 12759  df-uz 12910  df-fz 13584  df-struct 17261  df-sets 17278  df-slot 17296  df-ndx 17308  df-base 17324  df-ress 17345  df-plusg 17377  df-mulr 17378  df-sca 17380  df-vsca 17381  df-ip 17382  df-tset 17383  df-ple 17384  df-ds 17386  df-hom 17388  df-cco 17389  df-0g 17548  df-prds 17554  df-pws 17556  df-mgm 18752  df-sgrp 18844  df-mnd 18860  df-grp 19083  df-mgp 20297  df-ur 20344  df-ring 20397  df-sra 21384  df-rgmod 21385  df-dsmm 21974  df-frlm 21989  df-mat 22659  df-marrep 22809  df-minmar1 22886

This theorem is used by:  smadiadetg  22924  madjusmdetlem1  34367  madjusmdetlem4  34370