MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minmar1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minmar1cl 22546
Description: Closure of the row replacement function for square matrices: The matrix for a minor is a matrix. (Contributed by AV, 13-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
minmar1cl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
minmar1cl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
minmar1cl (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) → (𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐿) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem minmar1cl
StepHypRef Expression
1 minmar1cl.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 minmar1cl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 eqid 2727 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
41, 2, 3minmar1marrep 22545 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)(1r𝑅)))
54adantr 480 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)(1r𝑅)))
65oveqd 7431 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) → (𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐿) = (𝐾(𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)(1r𝑅))𝐿))
7 simpl 482 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
8 simpr 484 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀𝐵)
9 eqid 2727 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
109, 3ringidcl 20195 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1110adantr 480 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
127, 8, 113jca 1126 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
131, 2marrepcl 22459 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) → (𝐾(𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)(1r𝑅))𝐿) ∈ 𝐵)
1412, 13sylan 579 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) → (𝐾(𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)(1r𝑅))𝐿) ∈ 𝐵)
156, 14eqeltrd 2828 1 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) → (𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐿) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  1rcur 20114  Ringcrg 20166   Mat cmat 22300   matRRep cmarrep 22451   minMatR1 cminmar1 22528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-sup 9459  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-hom 17250  df-cco 17251  df-0g 17416  df-prds 17422  df-pws 17424  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-mgp 20068  df-ur 20115  df-ring 20168  df-sra 21051  df-rgmod 21052  df-dsmm 21659  df-frlm 21674  df-mat 22301  df-marrep 22453  df-minmar1 22530
This theorem is referenced by:  smadiadetg  22568  madjusmdetlem1  33418  madjusmdetlem4  33421
  Copyright terms: Public domain W3C validator