MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummhm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummhm2 19536
Description: Apply a group homomorphism to a group sum, mapping version with implicit substitution. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2015.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummhm2.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummhm2.z 0 = (0g𝐺)
gsummhm2.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummhm2.h (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
gsummhm2.a (𝜑𝐴𝑉)
gsummhm2.k (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsummhm2.f ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
gsummhm2.w (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp 0 )
gsummhm2.1 (𝑥 = 𝑋𝐶 = 𝐷)
gsummhm2.2 (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) → 𝐶 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
gsummhm2 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑘𝐴𝐷)) = 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘,𝑥   𝐶,𝑘   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑘   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑥,𝑘)

Proof of Theorem gsummhm2
StepHypRef Expression
1 gsummhm2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsummhm2.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsummhm2.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsummhm2.h . . 3 (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
5 gsummhm2.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
6 gsummhm2.k . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
7 gsummhm2.f . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
87fmpttd 6984 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋):𝐴𝐵)
9 gsummhm2.w . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp 0 )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9gsummhm 19535 . 2 (𝜑 → (𝐻 Σg ((𝑥𝐵𝐶) ∘ (𝑘𝐴𝑋))) = ((𝑥𝐵𝐶)‘(𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋))))
11 eqidd 2741 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) = (𝑘𝐴𝑋))
12 eqidd 2741 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) = (𝑥𝐵𝐶))
13 gsummhm2.1 . . . 4 (𝑥 = 𝑋𝐶 = 𝐷)
147, 11, 12, 13fmptco 6996 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∘ (𝑘𝐴𝑋)) = (𝑘𝐴𝐷))
1514oveq2d 7285 . 2 (𝜑 → (𝐻 Σg ((𝑥𝐵𝐶) ∘ (𝑘𝐴𝑋))) = (𝐻 Σg (𝑘𝐴𝐷)))
16 eqid 2740 . . 3 (𝑥𝐵𝐶) = (𝑥𝐵𝐶)
17 gsummhm2.2 . . 3 (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) → 𝐶 = 𝐸)
181, 2, 3, 5, 8, 9gsumcl 19512 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) ∈ 𝐵)
1917eleq1d 2825 . . . 4 (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) → (𝐶 ∈ (Base‘𝐻) ↔ 𝐸 ∈ (Base‘𝐻)))
20 eqid 2740 . . . . . . 7 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
211, 20mhmf 18431 . . . . . 6 ((𝑥𝐵𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → (𝑥𝐵𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
226, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
2316fmpt 6979 . . . . 5 (∀𝑥𝐵 𝐶 ∈ (Base‘𝐻) ↔ (𝑥𝐵𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
2422, 23sylibr 233 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 𝐶 ∈ (Base‘𝐻))
2519, 24, 18rspcdva 3563 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (Base‘𝐻))
2616, 17, 18, 25fvmptd3 6893 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶)‘(𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋))) = 𝐸)
2710, 15, 263eqtr3d 2788 1 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑘𝐴𝐷)) = 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wral 3066   class class class wbr 5079  cmpt 5162  ccom 5593  wf 6427  cfv 6431  (class class class)co 7269   finSupp cfsupp 9104  Basecbs 16908  0gc0g 17146   Σg cgsu 17147  Mndcmnd 18381   MndHom cmhm 18424  CMndccmn 19382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-supp 7967  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8479  df-map 8598  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-fsupp 9105  df-oi 9245  df-card 9696  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12580  df-fz 13237  df-fzo 13380  df-seq 13718  df-hash 14041  df-0g 17148  df-gsum 17149  df-mgm 18322  df-sgrp 18371  df-mnd 18382  df-mhm 18426  df-cntz 18919  df-cmn 19384
This theorem is referenced by:  gsummulglem  19538  prdsgsum  19578  srgsummulcr  19769  sgsummulcl  19770  gsummulc1  19841  gsummulc2  19842  gsumvsmul  20183  lgseisenlem4  26522  gsumvsmul1  31305  pwsgprod  40264  mhphflem  40279
  Copyright terms: Public domain W3C validator