Theorem gsummhm2 19957

Description: Apply a group homomorphism to a group sum, mapping version with implicit substitution. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2015.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummhm2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummhm2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummhm2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummhm2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
gsummhm2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummhm2.k	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsummhm2.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsummhm2.w	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
gsummhm2.1	⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐶 = 𝐷)
gsummhm2.2	⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → 𝐶 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
gsummhm2	⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)) = 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘,𝑥   𝐶,𝑘   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑘   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑥,𝑘)

Proof of Theorem gsummhm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummhm2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummhm2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsummhm2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsummhm2.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
5		gsummhm2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		gsummhm2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
7		gsummhm2.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8	7	fmpttd 7135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋):𝐴⟶𝐵)
9		gsummhm2.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9	gsummhm 19956	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))))
11		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
12		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
13		gsummhm2.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐶 = 𝐷)
14	7, 11, 12, 13	fmptco 7149	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷))
15	14	oveq2d 7447	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))) = (𝐻 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)))
16		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
17		gsummhm2.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → 𝐶 = 𝐸)
18	1, 2, 3, 5, 8, 9	gsumcl 19933	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) ∈ 𝐵)
19	17	eleq1d 2826	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → (𝐶 ∈ (Base‘𝐻) ↔ 𝐸 ∈ (Base‘𝐻)))
20		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
21	1, 20	mhmf 18802	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
22	6, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
23	16	fmpt 7130	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (Base‘𝐻) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
24	22, 23	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (Base‘𝐻))
25	19, 24, 18	rspcdva 3623	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Base‘𝐻))
26	16, 17, 18, 25	fvmptd3 7039	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))) = 𝐸)
27	10, 15, 26	3eqtr3d 2785	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)) = 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225   ∘ ccom 5689  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   finSupp cfsupp 9401  Basecbs 17247  0_gc0g 17484   Σ_g cgsu 17485  Mndcmnd 18747   MndHom cmhm 18794  CMndccmn 19798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-cntz 19335  df-cmn 19800

This theorem is referenced by:  gsummulglem  19959  prdsgsum  19999  srgsummulcr  20220  sgsummulcl  20221  gsummulc1OLD  20311  gsummulc2OLD  20312  gsummulc1  20313  gsummulc2  20314  gsumvsmul  20924  lgseisenlem4  27422  gsumvsmul1  33054  gsummulgc2  33063  pwsgprod  42554  mhphflem  42606