Theorem gsummhm2 19970

Description: Apply a group homomorphism to a group sum, mapping version with implicit substitution. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2015.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummhm2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummhm2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummhm2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummhm2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
gsummhm2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummhm2.k	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsummhm2.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsummhm2.w	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
gsummhm2.1	⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐶 = 𝐷)
gsummhm2.2	⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → 𝐶 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
gsummhm2	⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)) = 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘,𝑥   𝐶,𝑘   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑘   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑥,𝑘)

Proof of Theorem gsummhm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummhm2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummhm2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsummhm2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsummhm2.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
5		gsummhm2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		gsummhm2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
7		gsummhm2.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8	7	fmpttd 7091	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋):𝐴⟶𝐵)
9		gsummhm2.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9	gsummhm 19969	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))))
11		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
12		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
13		gsummhm2.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐶 = 𝐷)
14	7, 11, 12, 13	fmptco 7106	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷))
15	14	oveq2d 7407	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))) = (𝐻 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)))
16		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
17		gsummhm2.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → 𝐶 = 𝐸)
18	1, 2, 3, 5, 8, 9	gsumcl 19946	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) ∈ 𝐵)
19	17	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → (𝐶 ∈ (Base‘𝐻) ↔ 𝐸 ∈ (Base‘𝐻)))
20		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
21	1, 20	mhmf 18814	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
22	6, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
23	16	fmpt 7086	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (Base‘𝐻) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
24	22, 23	sylibr 236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (Base‘𝐻))
25	19, 24, 18	rspcdva 3581	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Base‘𝐻))
26	16, 17, 18, 25	fvmptd3 6994	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))) = 𝐸)
27	10, 15, 26	3eqtr3d 2804	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)) = 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178   ∘ ccom 5647  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391   finSupp cfsupp 9301  Basecbs 17236  0_gc0g 17459   Σ_g cgsu 17460  Mndcmnd 18759   MndHom cmhm 18806  CMndccmn 19811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-seq 14009  df-hash 14338  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-cntz 19348  df-cmn 19813

This theorem is referenced by:  gsummulglem  19972  prdsgsum  20012  srgsummulcr  20260  sgsummulcl  20261  gsummulc1  20351  gsummulc2  20352  pwsgprod  20365  gsumvsmul  20981  lgseisenlem4  27430  gsumvsmul1  33192  gsummulgc2  33207  mhphflem  43139