MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummhm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummhm2 18725
Description: Apply a group homomorphism to a group sum, mapping version with implicit substitution. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2015.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummhm2.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummhm2.z 0 = (0g𝐺)
gsummhm2.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummhm2.h (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
gsummhm2.a (𝜑𝐴𝑉)
gsummhm2.k (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsummhm2.f ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
gsummhm2.w (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp 0 )
gsummhm2.1 (𝑥 = 𝑋𝐶 = 𝐷)
gsummhm2.2 (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) → 𝐶 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
gsummhm2 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑘𝐴𝐷)) = 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘,𝑥   𝐶,𝑘   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑘   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑥,𝑘)

Proof of Theorem gsummhm2
StepHypRef Expression
1 gsummhm2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsummhm2.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsummhm2.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsummhm2.h . . 3 (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
5 gsummhm2.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
6 gsummhm2.k . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
7 gsummhm2.f . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
87fmpttd 6649 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋):𝐴𝐵)
9 gsummhm2.w . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp 0 )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9gsummhm 18724 . 2 (𝜑 → (𝐻 Σg ((𝑥𝐵𝐶) ∘ (𝑘𝐴𝑋))) = ((𝑥𝐵𝐶)‘(𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋))))
11 eqidd 2779 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) = (𝑘𝐴𝑋))
12 eqidd 2779 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) = (𝑥𝐵𝐶))
13 gsummhm2.1 . . . 4 (𝑥 = 𝑋𝐶 = 𝐷)
147, 11, 12, 13fmptco 6661 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∘ (𝑘𝐴𝑋)) = (𝑘𝐴𝐷))
1514oveq2d 6938 . 2 (𝜑 → (𝐻 Σg ((𝑥𝐵𝐶) ∘ (𝑘𝐴𝑋))) = (𝐻 Σg (𝑘𝐴𝐷)))
16 eqid 2778 . . 3 (𝑥𝐵𝐶) = (𝑥𝐵𝐶)
17 gsummhm2.2 . . 3 (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) → 𝐶 = 𝐸)
181, 2, 3, 5, 8, 9gsumcl 18702 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) ∈ 𝐵)
1917eleq1d 2844 . . . 4 (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) → (𝐶 ∈ (Base‘𝐻) ↔ 𝐸 ∈ (Base‘𝐻)))
20 eqid 2778 . . . . . . 7 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
211, 20mhmf 17726 . . . . . 6 ((𝑥𝐵𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → (𝑥𝐵𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
226, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
2316fmpt 6644 . . . . 5 (∀𝑥𝐵 𝐶 ∈ (Base‘𝐻) ↔ (𝑥𝐵𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
2422, 23sylibr 226 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 𝐶 ∈ (Base‘𝐻))
2519, 24, 18rspcdva 3517 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (Base‘𝐻))
2616, 17, 18, 25fvmptd3 6564 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶)‘(𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋))) = 𝐸)
2710, 15, 263eqtr3d 2822 1 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑘𝐴𝐷)) = 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090   class class class wbr 4886  cmpt 4965  ccom 5359  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922   finSupp cfsupp 8563  Basecbs 16255  0gc0g 16486   Σg cgsu 16487  Mndcmnd 17680   MndHom cmhm 17719  CMndccmn 18579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-hash 13436  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-cntz 18133  df-cmn 18581
This theorem is referenced by:  gsummulglem  18727  prdsgsum  18763  srgsummulcr  18924  sgsummulcl  18925  gsummulc1  18993  gsummulc2  18994  gsumvsmul  19319  lgseisenlem4  25555
  Copyright terms: Public domain W3C validator