Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummhm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummhm2 19059
 Description: Apply a group homomorphism to a group sum, mapping version with implicit substitution. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2015.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummhm2.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummhm2.z 0 = (0g𝐺)
gsummhm2.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummhm2.h (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
gsummhm2.a (𝜑𝐴𝑉)
gsummhm2.k (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsummhm2.f ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
gsummhm2.w (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp 0 )
gsummhm2.1 (𝑥 = 𝑋𝐶 = 𝐷)
gsummhm2.2 (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) → 𝐶 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
gsummhm2 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑘𝐴𝐷)) = 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘,𝑥   𝐶,𝑘   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑘   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑥,𝑘)

Proof of Theorem gsummhm2
StepHypRef Expression
1 gsummhm2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsummhm2.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsummhm2.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsummhm2.h . . 3 (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
5 gsummhm2.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
6 gsummhm2.k . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
7 gsummhm2.f . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
87fmpttd 6870 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋):𝐴𝐵)
9 gsummhm2.w . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp 0 )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9gsummhm 19058 . 2 (𝜑 → (𝐻 Σg ((𝑥𝐵𝐶) ∘ (𝑘𝐴𝑋))) = ((𝑥𝐵𝐶)‘(𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋))))
11 eqidd 2825 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) = (𝑘𝐴𝑋))
12 eqidd 2825 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) = (𝑥𝐵𝐶))
13 gsummhm2.1 . . . 4 (𝑥 = 𝑋𝐶 = 𝐷)
147, 11, 12, 13fmptco 6882 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∘ (𝑘𝐴𝑋)) = (𝑘𝐴𝐷))
1514oveq2d 7165 . 2 (𝜑 → (𝐻 Σg ((𝑥𝐵𝐶) ∘ (𝑘𝐴𝑋))) = (𝐻 Σg (𝑘𝐴𝐷)))
16 eqid 2824 . . 3 (𝑥𝐵𝐶) = (𝑥𝐵𝐶)
17 gsummhm2.2 . . 3 (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) → 𝐶 = 𝐸)
181, 2, 3, 5, 8, 9gsumcl 19035 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) ∈ 𝐵)
1917eleq1d 2900 . . . 4 (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) → (𝐶 ∈ (Base‘𝐻) ↔ 𝐸 ∈ (Base‘𝐻)))
20 eqid 2824 . . . . . . 7 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
211, 20mhmf 17961 . . . . . 6 ((𝑥𝐵𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → (𝑥𝐵𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
226, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
2316fmpt 6865 . . . . 5 (∀𝑥𝐵 𝐶 ∈ (Base‘𝐻) ↔ (𝑥𝐵𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
2422, 23sylibr 237 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 𝐶 ∈ (Base‘𝐻))
2519, 24, 18rspcdva 3611 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (Base‘𝐻))
2616, 17, 18, 25fvmptd3 6782 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶)‘(𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋))) = 𝐸)
2710, 15, 263eqtr3d 2867 1 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑘𝐴𝐷)) = 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133   class class class wbr 5052   ↦ cmpt 5132   ∘ ccom 5546  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   finSupp cfsupp 8830  Basecbs 16483  0gc0g 16713   Σg cgsu 16714  Mndcmnd 17911   MndHom cmhm 17954  CMndccmn 18906 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-hash 13696  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-cntz 18447  df-cmn 18908 This theorem is referenced by:  gsummulglem  19061  prdsgsum  19101  srgsummulcr  19287  sgsummulcl  19288  gsummulc1  19359  gsummulc2  19360  gsumvsmul  19698  lgseisenlem4  25965  gsumvsmul1  30721
 Copyright terms: Public domain W3C validator