Theorem gsummptmhm 20011

Description: Apply a group homomorphism to a group sum expressed with a mapping. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Sep-2018.) (Revised by AV, 8-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptmhm.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptmhm.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptmhm.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
gsummptmhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummptmhm.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsummptmhm.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummptmhm.w	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummptmhm	⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐾‘𝐶))) = (𝐾‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem gsummptmhm

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptmhm.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
3		gsummptmhm.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
4		gsummptmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
6	4, 5	mhmf 18848	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → 𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻))
7		ffn 6707	. . . . . 6 ⊢ (𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻) → 𝐾 Fn 𝐵)
8	3, 6, 7	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 Fn 𝐵)
9		dffn5 6941	. . . . 5 ⊢ (𝐾 Fn 𝐵 ↔ 𝐾 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐾‘𝑦)))
10	8, 9	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐾‘𝑦)))
11		fveq2 6883	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝐾‘𝑦) = (𝐾‘𝐶))
12	1, 2, 10, 11	fmptco 7127	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐾‘𝐶)))
13	12	oveq2d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐾‘𝐶))))
14		gsummptmhm.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
15		gsummptmhm.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
16		gsummptmhm.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
17		gsummptmhm.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
18	1	fmpttd 7112	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶𝐵)
19		gsummptmhm.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) finSupp 0 )
20	4, 14, 15, 16, 17, 3, 18, 19	gsummhm 20009	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = (𝐾‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
21	13, 20	eqtr3d 2800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐾‘𝐶))) = (𝐾‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   ∘ ccom 5667   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   finSupp cfsupp 9322  Basecbs 17270  0_gc0g 17493   Σ_g cgsu 17494  Mndcmnd 18793   MndHom cmhm 18840  CMndccmn 19851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-cntz 19388  df-cmn 19853

This theorem is referenced by:  evlsgsumadd  22228  evlsgsummul  22229  rhmcomulmpl  22256  evls1gsumadd  22465  evls1gsummul  22466  evl1gsummul  22501  mat2pmatmul  22869  pm2mp  22963  cayhamlem4  23026  rhmcomulpsr  43297