Theorem gsummptmhm 19059

Description: Apply a group homomorphism to a group sum expressed with a mapping. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Sep-2018.) (Revised by AV, 8-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptmhm.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptmhm.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptmhm.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
gsummptmhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummptmhm.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsummptmhm.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummptmhm.w	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummptmhm	⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐾‘𝐶))) = (𝐾‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem gsummptmhm

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptmhm.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		eqidd 2822	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
3		gsummptmhm.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
4		gsummptmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
6	4, 5	mhmf 17960	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → 𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻))
7		ffn 6513	. . . . . 6 ⊢ (𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻) → 𝐾 Fn 𝐵)
8	3, 6, 7	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 Fn 𝐵)
9		dffn5 6723	. . . . 5 ⊢ (𝐾 Fn 𝐵 ↔ 𝐾 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐾‘𝑦)))
10	8, 9	sylib 220	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐾‘𝑦)))
11		fveq2 6669	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝐾‘𝑦) = (𝐾‘𝐶))
12	1, 2, 10, 11	fmptco 6890	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐾‘𝐶)))
13	12	oveq2d 7171	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐾‘𝐶))))
14		gsummptmhm.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
15		gsummptmhm.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
16		gsummptmhm.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
17		gsummptmhm.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
18	1	fmpttd 6878	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶𝐵)
19		gsummptmhm.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) finSupp 0 )
20	4, 14, 15, 16, 17, 3, 18, 19	gsummhm 19057	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = (𝐾‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
21	13, 20	eqtr3d 2858	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐾‘𝐶))) = (𝐾‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5065   ↦ cmpt 5145   ∘ ccom 5558   Fn wfn 6349  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155   finSupp cfsupp 8832  Basecbs 16482  0_gc0g 16712   Σ_g cgsu 16713  Mndcmnd 17910   MndHom cmhm 17953  CMndccmn 18905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13690  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-mhm 17955  df-cntz 18446  df-cmn 18907

This theorem is referenced by:  evlsgsumadd  20303  evlsgsummul  20304  evls1gsumadd  20486  evls1gsummul  20487  evl1gsummul  20522  mat2pmatmul  21338  pm2mp  21432  cayhamlem4  21495