Theorem gsummptmhm 19921

Description: Apply a group homomorphism to a group sum expressed with a mapping. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Sep-2018.) (Revised by AV, 8-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptmhm.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptmhm.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptmhm.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
gsummptmhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummptmhm.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsummptmhm.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummptmhm.w	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummptmhm	⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐾‘𝐶))) = (𝐾‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem gsummptmhm

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptmhm.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		eqidd 2736	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
3		gsummptmhm.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
4		gsummptmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
6	4, 5	mhmf 18767	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → 𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻))
7		ffn 6706	. . . . . 6 ⊢ (𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻) → 𝐾 Fn 𝐵)
8	3, 6, 7	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 Fn 𝐵)
9		dffn5 6937	. . . . 5 ⊢ (𝐾 Fn 𝐵 ↔ 𝐾 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐾‘𝑦)))
10	8, 9	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐾‘𝑦)))
11		fveq2 6876	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝐾‘𝑦) = (𝐾‘𝐶))
12	1, 2, 10, 11	fmptco 7119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐾‘𝐶)))
13	12	oveq2d 7421	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐾‘𝐶))))
14		gsummptmhm.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
15		gsummptmhm.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
16		gsummptmhm.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
17		gsummptmhm.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
18	1	fmpttd 7105	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶𝐵)
19		gsummptmhm.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) finSupp 0 )
20	4, 14, 15, 16, 17, 3, 18, 19	gsummhm 19919	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = (𝐾‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
21	13, 20	eqtr3d 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐾‘𝐶))) = (𝐾‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201   ∘ ccom 5658   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   finSupp cfsupp 9373  Basecbs 17228  0_gc0g 17453   Σ_g cgsu 17454  Mndcmnd 18712   MndHom cmhm 18759  CMndccmn 19761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-cntz 19300  df-cmn 19763

This theorem is referenced by:  evlsgsumadd  22049  evlsgsummul  22050  evls1gsumadd  22262  evls1gsummul  22263  evl1gsummul  22298  rhmcomulmpl  22320  mat2pmatmul  22669  pm2mp  22763  cayhamlem4  22826  rhmcomulpsr  42574