MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptmhm 19849
Description: Apply a group homomorphism to a group sum expressed with a mapping. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Sep-2018.) (Revised by AV, 8-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptmhm.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptmhm.z 0 = (0g𝐺)
gsummptmhm.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptmhm.h (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
gsummptmhm.a (𝜑𝐴𝑉)
gsummptmhm.k (𝜑𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsummptmhm.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
gsummptmhm.w (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsummptmhm (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐾𝐶))) = (𝐾‘(𝐺 Σg (𝑥𝐴𝐶))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem gsummptmhm
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummptmhm.c . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
2 eqidd 2731 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶))
3 gsummptmhm.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
4 gsummptmhm.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
5 eqid 2730 . . . . . . 7 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
64, 5mhmf 18711 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → 𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻))
7 ffn 6716 . . . . . 6 (𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻) → 𝐾 Fn 𝐵)
83, 6, 73syl 18 . . . . 5 (𝜑𝐾 Fn 𝐵)
9 dffn5 6949 . . . . 5 (𝐾 Fn 𝐵𝐾 = (𝑦𝐵 ↦ (𝐾𝑦)))
108, 9sylib 217 . . . 4 (𝜑𝐾 = (𝑦𝐵 ↦ (𝐾𝑦)))
11 fveq2 6890 . . . 4 (𝑦 = 𝐶 → (𝐾𝑦) = (𝐾𝐶))
121, 2, 10, 11fmptco 7128 . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∘ (𝑥𝐴𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐾𝐶)))
1312oveq2d 7427 . 2 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ (𝑥𝐴𝐶))) = (𝐻 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐾𝐶))))
14 gsummptmhm.z . . 3 0 = (0g𝐺)
15 gsummptmhm.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
16 gsummptmhm.h . . 3 (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
17 gsummptmhm.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
181fmpttd 7115 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶):𝐴𝐵)
19 gsummptmhm.w . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) finSupp 0 )
204, 14, 15, 16, 17, 3, 18, 19gsummhm 19847 . 2 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ (𝑥𝐴𝐶))) = (𝐾‘(𝐺 Σg (𝑥𝐴𝐶))))
2113, 20eqtr3d 2772 1 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐾𝐶))) = (𝐾‘(𝐺 Σg (𝑥𝐴𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ccom 5679   Fn wfn 6537  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7411   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17148  0gc0g 17389   Σg cgsu 17390  Mndcmnd 18659   MndHom cmhm 18703  CMndccmn 19689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-cntz 19222  df-cmn 19691
This theorem is referenced by:  evlsgsumadd  21873  evlsgsummul  21874  evls1gsumadd  22063  evls1gsummul  22064  evl1gsummul  22099  mat2pmatmul  22453  pm2mp  22547  cayhamlem4  22610  rhmcomulmpl  41426
  Copyright terms: Public domain W3C validator