Theorem gsummptmhm 20134

Description: Apply a group homomorphism to a group sum expressed with a mapping. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Sep-2018.) (Revised by AV, 8-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptmhm.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptmhm.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptmhm.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
gsummptmhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummptmhm.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsummptmhm.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummptmhm.w	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummptmhm	⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐾‘𝐶))) = (𝐾‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem gsummptmhm

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptmhm.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
3		gsummptmhm.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
4		gsummptmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
6	4, 5	mhmf 18964	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → 𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻))
7		ffn 6701	. . . . . 6 ⊢ (𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻) → 𝐾 Fn 𝐵)
8	3, 6, 7	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 Fn 𝐵)
9		dffn5 6935	. . . . 5 ⊢ (𝐾 Fn 𝐵 ↔ 𝐾 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐾‘𝑦)))
10	8, 9	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐾‘𝑦)))
11		fveq2 6877	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝐾‘𝑦) = (𝐾‘𝐶))
12	1, 2, 10, 11	fmptco 7122	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐾‘𝐶)))
13	12	oveq2d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐾‘𝐶))))
14		gsummptmhm.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
15		gsummptmhm.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
16		gsummptmhm.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
17		gsummptmhm.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
18	1	fmpttd 7107	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶𝐵)
19		gsummptmhm.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) finSupp 0 )
20	4, 14, 15, 16, 17, 3, 18, 19	gsummhm 20132	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = (𝐾‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
21	13, 20	eqtr3d 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐾‘𝐶))) = (𝐾‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   ∘ ccom 5655   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   finSupp cfsupp 9337  Basecbs 17367  0_gc0g 17590   Σ_g cgsu 17591  Mndcmnd 18903   MndHom cmhm 18956  CMndccmn 19974

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-hash 14455  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-cntz 19511  df-cmn 19976

This theorem is used by:  evlsgsumadd  22385  evlsgsummul  22386  rhmcomulmpl  22413  evls1gsumadd  22622  evls1gsummul  22623  evl1gsummul  22658  mat2pmatmul  23029  pm2mp  23123  cayhamlem4  23186  rhmcomulpsr  43572