Theorem gsummptmhm 19998

Description: Apply a group homomorphism to a group sum expressed with a mapping. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Sep-2018.) (Revised by AV, 8-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptmhm.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptmhm.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptmhm.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
gsummptmhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummptmhm.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsummptmhm.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummptmhm.w	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummptmhm	⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐾‘𝐶))) = (𝐾‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem gsummptmhm

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptmhm.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		eqidd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
3		gsummptmhm.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
4		gsummptmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
6	4, 5	mhmf 18835	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → 𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻))
7		ffn 6695	. . . . . 6 ⊢ (𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻) → 𝐾 Fn 𝐵)
8	3, 6, 7	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 Fn 𝐵)
9		dffn5 6929	. . . . 5 ⊢ (𝐾 Fn 𝐵 ↔ 𝐾 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐾‘𝑦)))
10	8, 9	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐾‘𝑦)))
11		fveq2 6871	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝐾‘𝑦) = (𝐾‘𝐶))
12	1, 2, 10, 11	fmptco 7115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐾‘𝐶)))
13	12	oveq2d 7416	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐾‘𝐶))))
14		gsummptmhm.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
15		gsummptmhm.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
16		gsummptmhm.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
17		gsummptmhm.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
18	1	fmpttd 7100	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶𝐵)
19		gsummptmhm.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) finSupp 0 )
20	4, 14, 15, 16, 17, 3, 18, 19	gsummhm 19996	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = (𝐾‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
21	13, 20	eqtr3d 2802	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐾‘𝐶))) = (𝐾‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185   ∘ ccom 5655   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   finSupp cfsupp 9309  Basecbs 17257  0_gc0g 17480   Σ_g cgsu 17481  Mndcmnd 18780   MndHom cmhm 18827  CMndccmn 19838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-seq 14026  df-hash 14355  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-mhm 18829  df-cntz 19375  df-cmn 19840

This theorem is referenced by:  evlsgsumadd  22204  evlsgsummul  22205  rhmcomulmpl  22232  evls1gsumadd  22441  evls1gsummul  22442  evl1gsummul  22477  mat2pmatmul  22845  pm2mp  22939  cayhamlem4  23002  rhmcomulpsr  43171