Theorem frmdup3 18976

Description: Universal property of the free monoid by existential uniqueness. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdup3.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdup3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
frmdup3.u	⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frmdup3	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → ∃!𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐵,𝑚   𝑚,𝐺   𝑚,𝐼   𝑚,𝑀   𝑈,𝑚   𝑚,𝑉

Proof of Theorem frmdup3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frmdup3.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
2		frmdup3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))
4		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
5		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → 𝐴:𝐼⟶𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	frmdup1 18973	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
8	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ Mnd)
9	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
10	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐴:𝐼⟶𝐵)
11		frmdup3.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)
12		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
13	1, 2, 3, 8, 9, 10, 11, 12	frmdup2 18974	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))‘(𝑈‘𝑦)) = (𝐴‘𝑦))
14	13	mpteq2dva 5198	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))‘(𝑈‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴‘𝑦)))
15		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
16	15, 2	mhmf 18897	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) → (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))):(Base‘𝑀)⟶𝐵)
17	7, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))):(Base‘𝑀)⟶𝐵)
18	11	vrmdf 18967	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
19	18	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
20	1, 15	frmdbas 18961	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
21	20	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
22	21	feq3d 6687	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀) ↔ 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼))
23	19, 22	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀))
24		fcompt 7127	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))):(Base‘𝑀)⟶𝐵 ∧ 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀)) → ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) ∘ 𝑈) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))‘(𝑈‘𝑦))))
25	17, 23, 24	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) ∘ 𝑈) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))‘(𝑈‘𝑦))))
26	6	feqmptd 6946	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → 𝐴 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴‘𝑦)))
27	14, 25, 26	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) ∘ 𝑈) = 𝐴)
28	1, 2, 11	frmdup3lem 18975	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → 𝑚 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))))
29	28	expr 462	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)) → ((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → 𝑚 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))))
30	29	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → ∀𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → 𝑚 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))))
31		coeq1 5837	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) → (𝑚 ∘ 𝑈) = ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) ∘ 𝑈))
32	31	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) → ((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 ↔ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) ∘ 𝑈) = 𝐴))
33	32	eqreu 3687	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) ∘ 𝑈) = 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → 𝑚 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))))) → ∃!𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)
34	7, 27, 30, 33	syl3anc 1398	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → ∃!𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃!wreu 3363   ↦ cmpt 5186   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Word cword 14578  Basecbs 17301   Σ_g cgsu 17525  Mndcmnd 18836   MndHom cmhm 18889  freeMndcfrmd 18956  var_FMndcvrmd 18957

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-word 14579  df-lsw 14628  df-concat 14636  df-s1 14663  df-substr 14709  df-pfx 14741  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18891  df-submnd 18892  df-frmd 18958  df-vrmd 18959

This theorem is used by: (None)