MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdup3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdup3 18826
Description: Universal property of the free monoid by existential uniqueness. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdup3.m 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
frmdup3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
frmdup3.u π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
frmdup3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ βˆƒ!π‘š ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)(π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘š   𝐡,π‘š   π‘š,𝐺   π‘š,𝐼   π‘š,𝑀   π‘ˆ,π‘š   π‘š,𝑉

Proof of Theorem frmdup3
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdup3.m . . 3 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
2 frmdup3.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
3 eqid 2728 . . 3 (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))) = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)))
4 simp1 1133 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
5 simp2 1134 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
6 simp3 1135 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐡)
71, 2, 3, 4, 5, 6frmdup1 18823 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))) ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
84adantr 479 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
95adantr 479 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
106adantr 479 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐡)
11 frmdup3.u . . . . 5 π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
12 simpr 483 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
131, 2, 3, 8, 9, 10, 11, 12frmdup2 18824 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘¦)) = (π΄β€˜π‘¦))
1413mpteq2dva 5252 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π΄β€˜π‘¦)))
15 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
1615, 2mhmf 18753 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))) ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) β†’ (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))):(Baseβ€˜π‘€)⟢𝐡)
177, 16syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))):(Baseβ€˜π‘€)⟢𝐡)
1811vrmdf 18817 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼)
19183ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼)
201, 15frmdbas 18811 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
21203ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
2221feq3d 6714 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ (π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘€) ↔ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼))
2319, 22mpbird 256 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘€))
24 fcompt 7148 . . . 4 (((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))):(Baseβ€˜π‘€)⟢𝐡 ∧ π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))) ∘ π‘ˆ) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘¦))))
2517, 23, 24syl2anc 582 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))) ∘ π‘ˆ) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘¦))))
266feqmptd 6972 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ 𝐴 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π΄β€˜π‘¦)))
2714, 25, 263eqtr4d 2778 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))) ∘ π‘ˆ) = 𝐴)
281, 2, 11frmdup3lem 18825 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (π‘š ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ π‘š = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))))
2928expr 455 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ π‘š ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)) β†’ ((π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴 β†’ π‘š = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)))))
3029ralrimiva 3143 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ βˆ€π‘š ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)((π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴 β†’ π‘š = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)))))
31 coeq1 5864 . . . 4 (π‘š = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))) β†’ (π‘š ∘ π‘ˆ) = ((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))) ∘ π‘ˆ))
3231eqeq1d 2730 . . 3 (π‘š = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))) β†’ ((π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴 ↔ ((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))) ∘ π‘ˆ) = 𝐴))
3332eqreu 3726 . 2 (((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))) ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ ((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))) ∘ π‘ˆ) = 𝐴 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)((π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴 β†’ π‘š = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))))) β†’ βˆƒ!π‘š ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)(π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴)
347, 27, 30, 33syl3anc 1368 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ βˆƒ!π‘š ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)(π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒ!wreu 3372   ↦ cmpt 5235   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Word cword 14504  Basecbs 17187   Ξ£g cgsu 17429  Mndcmnd 18701   MndHom cmhm 18745  freeMndcfrmd 18806  varFMndcvrmd 18807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-word 14505  df-lsw 14553  df-concat 14561  df-s1 14586  df-substr 14631  df-pfx 14661  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-frmd 18808  df-vrmd 18809
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator