Theorem frmdup3 18804

Description: Universal property of the free monoid by existential uniqueness. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdup3.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdup3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
frmdup3.u	⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frmdup3	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → ∃!𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐵,𝑚   𝑚,𝐺   𝑚,𝐼   𝑚,𝑀   𝑈,𝑚   𝑚,𝑉

Proof of Theorem frmdup3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frmdup3.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
2		frmdup3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))
4		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
5		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → 𝐴:𝐼⟶𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	frmdup1 18801	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
8	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ Mnd)
9	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
10	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐴:𝐼⟶𝐵)
11		frmdup3.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)
12		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
13	1, 2, 3, 8, 9, 10, 11, 12	frmdup2 18802	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))‘(𝑈‘𝑦)) = (𝐴‘𝑦))
14	13	mpteq2dva 5193	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))‘(𝑈‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴‘𝑦)))
15		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
16	15, 2	mhmf 18726	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) → (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))):(Base‘𝑀)⟶𝐵)
17	7, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))):(Base‘𝑀)⟶𝐵)
18	11	vrmdf 18795	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
19	18	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
20	1, 15	frmdbas 18789	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
21	20	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
22	21	feq3d 6655	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀) ↔ 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼))
23	19, 22	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀))
24		fcompt 7088	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))):(Base‘𝑀)⟶𝐵 ∧ 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀)) → ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) ∘ 𝑈) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))‘(𝑈‘𝑦))))
25	17, 23, 24	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) ∘ 𝑈) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))‘(𝑈‘𝑦))))
26	6	feqmptd 6910	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → 𝐴 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴‘𝑦)))
27	14, 25, 26	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) ∘ 𝑈) = 𝐴)
28	1, 2, 11	frmdup3lem 18803	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → 𝑚 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))))
29	28	expr 456	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)) → ((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → 𝑚 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))))
30	29	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → ∀𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → 𝑚 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))))
31		coeq1 5814	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) → (𝑚 ∘ 𝑈) = ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) ∘ 𝑈))
32	31	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) → ((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 ↔ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) ∘ 𝑈) = 𝐴))
33	32	eqreu 3689	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))) ∘ 𝑈) = 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → 𝑚 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))))) → ∃!𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)
34	7, 27, 30, 33	syl3anc 1374	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → ∃!𝑚 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃!wreu 3350   ↦ cmpt 5181   ∘ ccom 5636  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Word cword 14448  Basecbs 17148   Σ_g cgsu 17372  Mndcmnd 18671   MndHom cmhm 18718  freeMndcfrmd 18784  var_FMndcvrmd 18785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-word 14449  df-lsw 14498  df-concat 14506  df-s1 14532  df-substr 14577  df-pfx 14607  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-frmd 18786  df-vrmd 18787

This theorem is referenced by: (None)