MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetf 22419
Description: Functionality of the determinant, see also definition in [Lang] p. 513. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetf.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetf.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetf.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetf.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
mdetf (𝑅 ∈ CRing → 𝐷:𝐵𝐾)

Proof of Theorem mdetf
Dummy variables 𝑝 𝑐 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetf.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
2 crngring 20140 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
32adantr 480 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
4 ringcmn 20171 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
6 mdetf.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7 mdetf.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
86, 7matrcl 22234 . . . . . 6 (𝑚𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
98adantl 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
109simpld 494 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
11 eqid 2724 . . . . 5 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
12 eqid 2724 . . . . 5 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
1311, 12symgbasfi 19288 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
1410, 13syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
152ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
16 zrhpsgnmhm 21445 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
173, 10, 16syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
18 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1918, 1mgpbas 20035 . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
2012, 19mhmf 18709 . . . . . . 7 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
2117, 20syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
2221ffvelcdmda 7076 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾)
2318crngmgp 20136 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
2423ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
2510adantr 480 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
266, 1, 7matbas2i 22246 . . . . . . . . . 10 (𝑚𝐵𝑚 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)))
2726ad3antlr 728 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑚 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)))
28 elmapi 8839 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑚:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑚:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
3011, 12symgbasf 19285 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → 𝑝:𝑁𝑁)
3130adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁𝑁)
3231ffvelcdmda 7076 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → (𝑝𝑐) ∈ 𝑁)
33 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑐𝑁)
3429, 32, 33fovcdmd 7572 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐)𝑚𝑐) ∈ 𝐾)
3534ralrimiva 3138 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑐𝑁 ((𝑝𝑐)𝑚𝑐) ∈ 𝐾)
3619, 24, 25, 35gsummptcl 19877 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐))) ∈ 𝐾)
37 eqid 2724 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
381, 37ringcl 20145 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾 ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐))) ∈ 𝐾) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐)))) ∈ 𝐾)
3915, 22, 36, 38syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐)))) ∈ 𝐾)
4039ralrimiva 3138 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → ∀𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐)))) ∈ 𝐾)
411, 5, 14, 40gsummptcl 19877 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐)))))) ∈ 𝐾)
42 mdetf.d . . 3 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
43 eqid 2724 . . 3 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
44 eqid 2724 . . 3 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
4542, 6, 7, 12, 43, 44, 37, 18mdetfval 22410 . 2 𝐷 = (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐)))))))
4641, 45fmptd 7105 1 (𝑅 ∈ CRing → 𝐷:𝐵𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3466  cmpt 5221   × cxp 5664  ccom 5670  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7401  m cmap 8816  Fincfn 8935  Basecbs 17143  .rcmulr 17197   Σg cgsu 17385   MndHom cmhm 18701  SymGrpcsymg 19276  pmSgncpsgn 19399  CMndccmn 19690  mulGrpcmgp 20029  Ringcrg 20128  CRingccrg 20129  ℤRHomczrh 21354   Mat cmat 22229   maDet cmdat 22408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-word 14462  df-lsw 14510  df-concat 14518  df-s1 14543  df-substr 14588  df-pfx 14618  df-splice 14697  df-reverse 14706  df-s2 14796  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-submnd 18704  df-efmnd 18784  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-gim 19174  df-cntz 19223  df-oppg 19252  df-symg 19277  df-pmtr 19352  df-psgn 19401  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-rhm 20364  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-drng 20579  df-sra 21011  df-rgmod 21012  df-cnfld 21229  df-zring 21302  df-zrh 21358  df-dsmm 21595  df-frlm 21610  df-mat 22230  df-mdet 22409
This theorem is referenced by:  mdetcl  22420  mdetr0  22429  mdetero  22434  mdetuni0  22445  mdetmul  22447  maduf  22465  madurid  22468  madulid  22469  matunit  22502  cramerimp  22510
  Copyright terms: Public domain W3C validator