Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetf 21288
 Description: Functionality of the determinant, see also definition in [Lang] p. 513. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetf.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetf.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetf.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetf.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
mdetf (𝑅 ∈ CRing → 𝐷:𝐵𝐾)

Proof of Theorem mdetf
Dummy variables 𝑝 𝑐 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetf.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
2 crngring 19370 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
32adantr 485 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
4 ringcmn 19395 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
6 mdetf.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7 mdetf.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
86, 7matrcl 21105 . . . . . 6 (𝑚𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
98adantl 486 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
109simpld 499 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
11 eqid 2759 . . . . 5 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
12 eqid 2759 . . . . 5 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
1311, 12symgbasfi 18567 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
1410, 13syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
152ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
16 zrhpsgnmhm 20342 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
173, 10, 16syl2anc 588 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
18 eqid 2759 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1918, 1mgpbas 19306 . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
2012, 19mhmf 18020 . . . . . . 7 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
2117, 20syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
2221ffvelrnda 6843 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾)
2318crngmgp 19366 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
2423ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
2510adantr 485 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
266, 1, 7matbas2i 21115 . . . . . . . . . 10 (𝑚𝐵𝑚 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)))
2726ad3antlr 731 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑚 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)))
28 elmapi 8439 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑚:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑚:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
3011, 12symgbasf 18564 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → 𝑝:𝑁𝑁)
3130adantl 486 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁𝑁)
3231ffvelrnda 6843 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → (𝑝𝑐) ∈ 𝑁)
33 simpr 489 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑐𝑁)
3429, 32, 33fovrnd 7317 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐)𝑚𝑐) ∈ 𝐾)
3534ralrimiva 3114 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑐𝑁 ((𝑝𝑐)𝑚𝑐) ∈ 𝐾)
3619, 24, 25, 35gsummptcl 19148 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐))) ∈ 𝐾)
37 eqid 2759 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
381, 37ringcl 19375 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾 ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐))) ∈ 𝐾) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐)))) ∈ 𝐾)
3915, 22, 36, 38syl3anc 1369 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐)))) ∈ 𝐾)
4039ralrimiva 3114 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → ∀𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐)))) ∈ 𝐾)
411, 5, 14, 40gsummptcl 19148 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐)))))) ∈ 𝐾)
42 mdetf.d . . 3 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
43 eqid 2759 . . 3 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
44 eqid 2759 . . 3 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
4542, 6, 7, 12, 43, 44, 37, 18mdetfval 21279 . 2 𝐷 = (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐)))))))
4641, 45fmptd 6870 1 (𝑅 ∈ CRing → 𝐷:𝐵𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3410   ↦ cmpt 5113   × cxp 5523   ∘ ccom 5529  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151   ↑m cmap 8417  Fincfn 8528  Basecbs 16534  .rcmulr 16617   Σg cgsu 16765   MndHom cmhm 18013  SymGrpcsymg 18555  pmSgncpsgn 18677  CMndccmn 18966  mulGrpcmgp 19300  Ringcrg 19358  CRingccrg 19359  ℤRHomczrh 20262   Mat cmat 21100   maDet cmdat 21277 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-addf 10647  ax-mulf 10648 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1504  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-ot 4532  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-supp 7837  df-tpos 7903  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-2o 8114  df-oadd 8117  df-er 8300  df-map 8419  df-pm 8420  df-ixp 8481  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-fsupp 8860  df-sup 8932  df-oi 9000  df-card 9394  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-7 11735  df-8 11736  df-9 11737  df-n0 11928  df-xnn0 12000  df-z 12014  df-dec 12131  df-uz 12276  df-rp 12424  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-seq 13412  df-exp 13473  df-hash 13734  df-word 13907  df-lsw 13955  df-concat 13963  df-s1 13990  df-substr 14043  df-pfx 14073  df-splice 14152  df-reverse 14161  df-s2 14250  df-struct 16536  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-ress 16542  df-plusg 16629  df-mulr 16630  df-starv 16631  df-sca 16632  df-vsca 16633  df-ip 16634  df-tset 16635  df-ple 16636  df-ds 16638  df-unif 16639  df-hom 16640  df-cco 16641  df-0g 16766  df-gsum 16767  df-prds 16772  df-pws 16774  df-mre 16908  df-mrc 16909  df-acs 16911  df-mgm 17911  df-sgrp 17960  df-mnd 17971  df-mhm 18015  df-submnd 18016  df-efmnd 18093  df-grp 18165  df-minusg 18166  df-mulg 18285  df-subg 18336  df-ghm 18416  df-gim 18459  df-cntz 18507  df-oppg 18534  df-symg 18556  df-pmtr 18630  df-psgn 18679  df-cmn 18968  df-abl 18969  df-mgp 19301  df-ur 19313  df-ring 19360  df-cring 19361  df-oppr 19437  df-dvdsr 19455  df-unit 19456  df-invr 19486  df-dvr 19497  df-rnghom 19531  df-drng 19565  df-subrg 19594  df-sra 20005  df-rgmod 20006  df-cnfld 20160  df-zring 20232  df-zrh 20266  df-dsmm 20490  df-frlm 20505  df-mat 21101  df-mdet 21278 This theorem is referenced by:  mdetcl  21289  mdetr0  21298  mdetero  21303  mdetuni0  21314  mdetmul  21316  maduf  21334  madurid  21337  madulid  21338  matunit  21371  cramerimp  21379
 Copyright terms: Public domain W3C validator