MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetf 20724
Description: Functionality of the determinant, see also definition in [Lang] p. 513. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetf.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetf.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetf.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetf.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
mdetf (𝑅 ∈ CRing → 𝐷:𝐵𝐾)

Proof of Theorem mdetf
Dummy variables 𝑝 𝑐 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetf.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
2 crngring 18871 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
32adantr 473 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
4 ringcmn 18894 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
6 mdetf.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7 mdetf.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
86, 7matrcl 20540 . . . . . 6 (𝑚𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
98adantl 474 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
109simpld 489 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
11 eqid 2797 . . . . 5 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
12 eqid 2797 . . . . 5 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
1311, 12symgbasfi 18115 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
1410, 13syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
152ad2antrr 718 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
16 zrhpsgnmhm 20248 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
173, 10, 16syl2anc 580 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
18 eqid 2797 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1918, 1mgpbas 18808 . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
2012, 19mhmf 17652 . . . . . . 7 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
2117, 20syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
2221ffvelrnda 6583 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾)
2318crngmgp 18868 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
2423ad2antrr 718 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
2510adantr 473 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
266, 1, 7matbas2i 20550 . . . . . . . . . 10 (𝑚𝐵𝑚 ∈ (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
2726ad3antlr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑚 ∈ (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
28 elmapi 8115 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → 𝑚:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑚:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
3011, 12symgbasf 18113 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → 𝑝:𝑁𝑁)
3130adantl 474 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁𝑁)
3231ffvelrnda 6583 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → (𝑝𝑐) ∈ 𝑁)
33 simpr 478 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑐𝑁)
3429, 32, 33fovrnd 7038 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐)𝑚𝑐) ∈ 𝐾)
3534ralrimiva 3145 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑐𝑁 ((𝑝𝑐)𝑚𝑐) ∈ 𝐾)
3619, 24, 25, 35gsummptcl 18678 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐))) ∈ 𝐾)
37 eqid 2797 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
381, 37ringcl 18874 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾 ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐))) ∈ 𝐾) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐)))) ∈ 𝐾)
3915, 22, 36, 38syl3anc 1491 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐)))) ∈ 𝐾)
4039ralrimiva 3145 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → ∀𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐)))) ∈ 𝐾)
411, 5, 14, 40gsummptcl 18678 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐)))))) ∈ 𝐾)
42 mdetf.d . . 3 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
43 eqid 2797 . . 3 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
44 eqid 2797 . . 3 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
4542, 6, 7, 12, 43, 44, 37, 18mdetfval 20715 . 2 𝐷 = (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐)))))))
4641, 45fmptd 6608 1 (𝑅 ∈ CRing → 𝐷:𝐵𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3383  cmpt 4920   × cxp 5308  ccom 5314  wf 6095  cfv 6099  (class class class)co 6876  𝑚 cmap 8093  Fincfn 8193  Basecbs 16181  .rcmulr 16265   Σg cgsu 16413   MndHom cmhm 17645  SymGrpcsymg 18106  pmSgncpsgn 18218  CMndccmn 18505  mulGrpcmgp 18802  Ringcrg 18860  CRingccrg 18861  ℤRHomczrh 20167   Mat cmat 20535   maDet cmdat 20713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-inf2 8786  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-addf 10301  ax-mulf 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-xor 1635  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-ot 4375  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-se 5270  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-supp 7531  df-tpos 7588  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-2o 7798  df-oadd 7801  df-er 7980  df-map 8095  df-pm 8096  df-ixp 8147  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-fsupp 8516  df-sup 8588  df-oi 8655  df-card 9049  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-xnn0 11649  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-rp 12071  df-fz 12577  df-fzo 12717  df-seq 13052  df-exp 13111  df-hash 13367  df-word 13531  df-lsw 13579  df-concat 13587  df-s1 13612  df-substr 13662  df-pfx 13711  df-splice 13818  df-reverse 13836  df-s2 13930  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-starv 16279  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-ip 16282  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-unif 16287  df-hom 16288  df-cco 16289  df-0g 16414  df-gsum 16415  df-prds 16420  df-pws 16422  df-mre 16558  df-mrc 16559  df-acs 16561  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-mhm 17647  df-submnd 17648  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-mulg 17854  df-subg 17901  df-ghm 17968  df-gim 18011  df-cntz 18059  df-oppg 18085  df-symg 18107  df-pmtr 18171  df-psgn 18220  df-cmn 18507  df-abl 18508  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-ring 18862  df-cring 18863  df-oppr 18936  df-dvdsr 18954  df-unit 18955  df-invr 18985  df-dvr 18996  df-rnghom 19030  df-drng 19064  df-subrg 19093  df-sra 19492  df-rgmod 19493  df-cnfld 20066  df-zring 20138  df-zrh 20171  df-dsmm 20398  df-frlm 20413  df-mat 20536  df-mdet 20714
This theorem is referenced by:  mdetcl  20725  mdetr0  20734  mdetero  20739  mdetuni0  20750  mdetmul  20752  maduf  20770  madurid  20773  madulid  20774  matunit  20808  cramerimp  20817
  Copyright terms: Public domain W3C validator