MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetf 21132
Description: Functionality of the determinant, see also definition in [Lang] p. 513. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetf.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetf.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetf.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetf.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
mdetf (𝑅 ∈ CRing → 𝐷:𝐵𝐾)

Proof of Theorem mdetf
Dummy variables 𝑝 𝑐 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetf.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
2 crngring 19237 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
32adantr 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
4 ringcmn 19260 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
6 mdetf.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7 mdetf.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
86, 7matrcl 20949 . . . . . 6 (𝑚𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
98adantl 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
109simpld 495 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
11 eqid 2818 . . . . 5 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
12 eqid 2818 . . . . 5 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
1311, 12symgbasfi 18442 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
1410, 13syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
152ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
16 zrhpsgnmhm 20656 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
173, 10, 16syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
18 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1918, 1mgpbas 19174 . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
2012, 19mhmf 17949 . . . . . . 7 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
2117, 20syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
2221ffvelrnda 6843 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾)
2318crngmgp 19234 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
2423ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
2510adantr 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
266, 1, 7matbas2i 20959 . . . . . . . . . 10 (𝑚𝐵𝑚 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)))
2726ad3antlr 727 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑚 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)))
28 elmapi 8417 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑚:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑚:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
3011, 12symgbasf 18440 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → 𝑝:𝑁𝑁)
3130adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁𝑁)
3231ffvelrnda 6843 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → (𝑝𝑐) ∈ 𝑁)
33 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑐𝑁)
3429, 32, 33fovrnd 7309 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑐𝑁) → ((𝑝𝑐)𝑚𝑐) ∈ 𝐾)
3534ralrimiva 3179 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑐𝑁 ((𝑝𝑐)𝑚𝑐) ∈ 𝐾)
3619, 24, 25, 35gsummptcl 19016 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐))) ∈ 𝐾)
37 eqid 2818 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
381, 37ringcl 19240 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾 ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐))) ∈ 𝐾) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐)))) ∈ 𝐾)
3915, 22, 36, 38syl3anc 1363 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐)))) ∈ 𝐾)
4039ralrimiva 3179 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → ∀𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐)))) ∈ 𝐾)
411, 5, 14, 40gsummptcl 19016 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐)))))) ∈ 𝐾)
42 mdetf.d . . 3 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
43 eqid 2818 . . 3 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
44 eqid 2818 . . 3 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
4542, 6, 7, 12, 43, 44, 37, 18mdetfval 21123 . 2 𝐷 = (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑝𝑐)𝑚𝑐)))))))
4641, 45fmptd 6870 1 (𝑅 ∈ CRing → 𝐷:𝐵𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cmpt 5137   × cxp 5546  ccom 5552  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395  Fincfn 8497  Basecbs 16471  .rcmulr 16554   Σg cgsu 16702   MndHom cmhm 17942  SymGrpcsymg 18433  pmSgncpsgn 18546  CMndccmn 18835  mulGrpcmgp 19168  Ringcrg 19226  CRingccrg 19227  ℤRHomczrh 20575   Mat cmat 20944   maDet cmdat 21121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-xor 1496  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-ot 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-word 13850  df-lsw 13903  df-concat 13911  df-s1 13938  df-substr 13991  df-pfx 14021  df-splice 14100  df-reverse 14109  df-s2 14198  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-prds 16709  df-pws 16711  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-gim 18337  df-cntz 18385  df-oppg 18412  df-symg 18434  df-pmtr 18499  df-psgn 18548  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-rnghom 19396  df-drng 19433  df-subrg 19462  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-cnfld 20474  df-zring 20546  df-zrh 20579  df-dsmm 20804  df-frlm 20819  df-mat 20945  df-mdet 21122
This theorem is referenced by:  mdetcl  21133  mdetr0  21142  mdetero  21147  mdetuni0  21158  mdetmul  21160  maduf  21178  madurid  21181  madulid  21182  matunit  21215  cramerimp  21223
  Copyright terms: Public domain W3C validator