MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdup3lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdup3lem 18811
Description: Lemma for frmdup3 18812. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdup3.m 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdup3.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
frmdup3.u 𝑈 = (varFMnd𝐼)
Assertion
Ref Expression
frmdup3lem (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝐹   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉

Proof of Theorem frmdup3lem
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . . . . . 6 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2 frmdup3.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
31, 2mhmf 18739 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶𝐵)
43ad2antrl 727 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶𝐵)
5 frmdup3.m . . . . . . . 8 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
65, 1frmdbas 18797 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
763ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
87adantr 480 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
98feq2d 6702 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) → (𝐹:(Base‘𝑀)⟶𝐵𝐹:Word 𝐼𝐵))
104, 9mpbid 231 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) → 𝐹:Word 𝐼𝐵)
1110feqmptd 6961 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
12 simplrl 776 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
13 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
14 frmdup3.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = (varFMnd𝐼)
1514vrmdf 18803 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
16153ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
177feq3d 6703 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → (𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀) ↔ 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼))
1816, 17mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀))
1918ad2antrr 725 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀))
20 wrdco 14808 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ Word 𝐼𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀)) → (𝑈𝑥) ∈ Word (Base‘𝑀))
2113, 19, 20syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝑈𝑥) ∈ Word (Base‘𝑀))
221gsumwmhm 18790 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝑈𝑥) ∈ Word (Base‘𝑀)) → (𝐹‘(𝑀 Σg (𝑈𝑥))) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑈𝑥))))
2312, 21, 22syl2anc 583 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹‘(𝑀 Σg (𝑈𝑥))) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑈𝑥))))
24 simpll2 1211 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝐼𝑉)
255, 14frmdgsum 18807 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥)
2624, 13, 25syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥)
2726fveq2d 6895 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹‘(𝑀 Σg (𝑈𝑥))) = (𝐹𝑥))
28 coass 6263 . . . . . 6 ((𝐹𝑈) ∘ 𝑥) = (𝐹 ∘ (𝑈𝑥))
29 simplrr 777 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹𝑈) = 𝐴)
3029coeq1d 5858 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → ((𝐹𝑈) ∘ 𝑥) = (𝐴𝑥))
3128, 30eqtr3id 2781 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹 ∘ (𝑈𝑥)) = (𝐴𝑥))
3231oveq2d 7430 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑈𝑥))) = (𝐺 Σg (𝐴𝑥)))
3323, 27, 323eqtr3d 2775 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹𝑥) = (𝐺 Σg (𝐴𝑥)))
3433mpteq2dva 5242 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) → (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥))))
3511, 34eqtrd 2767 1 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  cmpt 5225  ccom 5676  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  Word cword 14490  Basecbs 17173   Σg cgsu 17415  Mndcmnd 18687   MndHom cmhm 18731  freeMndcfrmd 18792  varFMndcvrmd 18793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-hash 14316  df-word 14491  df-lsw 14539  df-concat 14547  df-s1 14572  df-substr 14617  df-pfx 14647  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-mhm 18733  df-submnd 18734  df-frmd 18794  df-vrmd 18795
This theorem is referenced by:  frmdup3  18812  elmrsubrn  35120
  Copyright terms: Public domain W3C validator