MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdup3lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdup3lem 18147
Description: Lemma for frmdup3 18148. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdup3.m 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdup3.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
frmdup3.u 𝑈 = (varFMnd𝐼)
Assertion
Ref Expression
frmdup3lem (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝐹   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉

Proof of Theorem frmdup3lem
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . . . . 6 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2 frmdup3.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
31, 2mhmf 18077 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶𝐵)
43ad2antrl 728 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶𝐵)
5 frmdup3.m . . . . . . . 8 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
65, 1frmdbas 18133 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
763ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
87adantr 484 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
98feq2d 6490 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) → (𝐹:(Base‘𝑀)⟶𝐵𝐹:Word 𝐼𝐵))
104, 9mpbid 235 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) → 𝐹:Word 𝐼𝐵)
1110feqmptd 6737 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
12 simplrl 777 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
13 simpr 488 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
14 frmdup3.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = (varFMnd𝐼)
1514vrmdf 18139 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
16153ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
177feq3d 6491 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → (𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀) ↔ 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼))
1816, 17mpbird 260 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀))
1918ad2antrr 726 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀))
20 wrdco 14282 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ Word 𝐼𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀)) → (𝑈𝑥) ∈ Word (Base‘𝑀))
2113, 19, 20syl2anc 587 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝑈𝑥) ∈ Word (Base‘𝑀))
221gsumwmhm 18126 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝑈𝑥) ∈ Word (Base‘𝑀)) → (𝐹‘(𝑀 Σg (𝑈𝑥))) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑈𝑥))))
2312, 21, 22syl2anc 587 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹‘(𝑀 Σg (𝑈𝑥))) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑈𝑥))))
24 simpll2 1214 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝐼𝑉)
255, 14frmdgsum 18143 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥)
2624, 13, 25syl2anc 587 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥)
2726fveq2d 6678 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹‘(𝑀 Σg (𝑈𝑥))) = (𝐹𝑥))
28 coass 6098 . . . . . 6 ((𝐹𝑈) ∘ 𝑥) = (𝐹 ∘ (𝑈𝑥))
29 simplrr 778 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹𝑈) = 𝐴)
3029coeq1d 5704 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → ((𝐹𝑈) ∘ 𝑥) = (𝐴𝑥))
3128, 30eqtr3id 2787 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹 ∘ (𝑈𝑥)) = (𝐴𝑥))
3231oveq2d 7186 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑈𝑥))) = (𝐺 Σg (𝐴𝑥)))
3323, 27, 323eqtr3d 2781 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹𝑥) = (𝐺 Σg (𝐴𝑥)))
3433mpteq2dva 5125 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) → (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥))))
3511, 34eqtrd 2773 1 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  cmpt 5110  ccom 5529  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7170  Word cword 13955  Basecbs 16586   Σg cgsu 16817  Mndcmnd 18027   MndHom cmhm 18070  freeMndcfrmd 18128  varFMndcvrmd 18129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-n0 11977  df-xnn0 12049  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-hash 13783  df-word 13956  df-lsw 14004  df-concat 14012  df-s1 14039  df-substr 14092  df-pfx 14122  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mhm 18072  df-submnd 18073  df-frmd 18130  df-vrmd 18131
This theorem is referenced by:  frmdup3  18148  elmrsubrn  33053
  Copyright terms: Public domain W3C validator