MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdup3lem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frmdup3lem 18747
Description: Lemma for frmdup3 18748. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdup3.m 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
frmdup3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
frmdup3.u π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
frmdup3lem (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝐹   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉
Proof of Theorem frmdup3lem
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
2 frmdup3.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
31, 2mhmf 18677 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘€)⟢𝐡)
43ad2antrl 727 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘€)⟢𝐡)
5 frmdup3.m . . . . . . . 8 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
65, 1frmdbas 18733 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
763ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
87adantr 482 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
98feq2d 6704 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ (𝐹:(Baseβ€˜π‘€)⟢𝐡 ↔ 𝐹:Word 𝐼⟢𝐡))
104, 9mpbid 231 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ 𝐹:Word 𝐼⟢𝐡)
1110feqmptd 6961 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
12 simplrl 776 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
13 simpr 486 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐼)
14 frmdup3.u . . . . . . . . . 10 π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
1514vrmdf 18739 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼)
16153ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼)
177feq3d 6705 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ (π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘€) ↔ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼))
1816, 17mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘€))
1918ad2antrr 725 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘€))
20 wrdco 14782 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ∧ π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) ∈ Word (Baseβ€˜π‘€))
2113, 19, 20syl2anc 585 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) ∈ Word (Baseβ€˜π‘€))
221gsumwmhm 18726 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (π‘ˆ ∘ π‘₯) ∈ Word (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜(𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯))) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘ (π‘ˆ ∘ π‘₯))))
2312, 21, 22syl2anc 585 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (πΉβ€˜(𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯))) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘ (π‘ˆ ∘ π‘₯))))
24 simpll2 1214 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
255, 14frmdgsum 18743 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯)
2624, 13, 25syl2anc 585 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯)
2726fveq2d 6896 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (πΉβ€˜(𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯))) = (πΉβ€˜π‘₯))
28 coass 6265 . . . . . 6 ((𝐹 ∘ π‘ˆ) ∘ π‘₯) = (𝐹 ∘ (π‘ˆ ∘ π‘₯))
29 simplrr 777 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)
3029coeq1d 5862 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ ((𝐹 ∘ π‘ˆ) ∘ π‘₯) = (𝐴 ∘ π‘₯))
3128, 30eqtr3id 2787 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (𝐹 ∘ (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = (𝐴 ∘ π‘₯))
3231oveq2d 7425 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘ (π‘ˆ ∘ π‘₯))) = (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)))
3323, 27, 323eqtr3d 2781 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)))
3433mpteq2dva 5249 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))))
3511, 34eqtrd 2773 1 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5232   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Word cword 14464  Basecbs 17144   Ξ£g cgsu 17386  Mndcmnd 18625   MndHom cmhm 18669  freeMndcfrmd 18728  varFMndcvrmd 18729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-word 14465  df-lsw 14513  df-concat 14521  df-s1 14546  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-frmd 18730  df-vrmd 18731
This theorem is referenced by:  frmdup3  18748  elmrsubrn  34511
  Copyright terms: Public domain W3C validator