Theorem frmdup3lem 18505

Description: Lemma for frmdup3 18506. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdup3.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdup3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
frmdup3.u	⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frmdup3lem	⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝐹   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉

Proof of Theorem frmdup3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2		frmdup3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	mhmf 18435	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶𝐵)
4	3	ad2antrl 725	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶𝐵)
5		frmdup3.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
6	5, 1	frmdbas 18491	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
7	6	3ad2ant2 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
8	7	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
9	8	feq2d 6586	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → (𝐹:(Base‘𝑀)⟶𝐵 ↔ 𝐹:Word 𝐼⟶𝐵))
10	4, 9	mpbid 231	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → 𝐹:Word 𝐼⟶𝐵)
11	10	feqmptd 6837	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
12		simplrl 774	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
13		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
14		frmdup3.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)
15	14	vrmdf 18497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
16	15	3ad2ant2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
17	7	feq3d 6587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀) ↔ 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼))
18	16, 17	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀))
19	18	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀))
20		wrdco 14544	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀)) → (𝑈 ∘ 𝑥) ∈ Word (Base‘𝑀))
21	13, 19, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝑈 ∘ 𝑥) ∈ Word (Base‘𝑀))
22	1	gsumwmhm 18484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝑈 ∘ 𝑥) ∈ Word (Base‘𝑀)) → (𝐹‘(𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥))) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑈 ∘ 𝑥))))
23	12, 21, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹‘(𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥))) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑈 ∘ 𝑥))))
24		simpll2 1212	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
25	5, 14	frmdgsum 18501	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥)
26	24, 13, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥)
27	26	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹‘(𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥))) = (𝐹‘𝑥))
28		coass 6169	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝑈) ∘ 𝑥) = (𝐹 ∘ (𝑈 ∘ 𝑥))
29		simplrr 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)
30	29	coeq1d 5770	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → ((𝐹 ∘ 𝑈) ∘ 𝑥) = (𝐴 ∘ 𝑥))
31	28, 30	eqtr3id 2792	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹 ∘ (𝑈 ∘ 𝑥)) = (𝐴 ∘ 𝑥))
32	31	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑈 ∘ 𝑥))) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))
33	23, 27, 32	3eqtr3d 2786	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))
34	33	mpteq2dva 5174	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))))
35	11, 34	eqtrd 2778	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5157   ∘ ccom 5593  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Word cword 14217  Basecbs 16912   Σ_g cgsu 17151  Mndcmnd 18385   MndHom cmhm 18428  freeMndcfrmd 18486  var_FMndcvrmd 18487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-word 14218  df-lsw 14266  df-concat 14274  df-s1 14301  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-frmd 18488  df-vrmd 18489

This theorem is referenced by:  frmdup3  18506  elmrsubrn  33482