MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdup3lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdup3lem 18879
Description: Lemma for frmdup3 18880. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdup3.m 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdup3.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
frmdup3.u 𝑈 = (varFMnd𝐼)
Assertion
Ref Expression
frmdup3lem (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝐹   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉

Proof of Theorem frmdup3lem
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2 frmdup3.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
31, 2mhmf 18802 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶𝐵)
43ad2antrl 728 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶𝐵)
5 frmdup3.m . . . . . . . 8 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
65, 1frmdbas 18865 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
763ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
87adantr 480 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
98feq2d 6722 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) → (𝐹:(Base‘𝑀)⟶𝐵𝐹:Word 𝐼𝐵))
104, 9mpbid 232 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) → 𝐹:Word 𝐼𝐵)
1110feqmptd 6977 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
12 simplrl 777 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
13 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
14 frmdup3.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = (varFMnd𝐼)
1514vrmdf 18871 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
16153ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
177feq3d 6723 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → (𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀) ↔ 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼))
1816, 17mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀))
1918ad2antrr 726 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀))
20 wrdco 14870 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ Word 𝐼𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀)) → (𝑈𝑥) ∈ Word (Base‘𝑀))
2113, 19, 20syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝑈𝑥) ∈ Word (Base‘𝑀))
221gsumwmhm 18858 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝑈𝑥) ∈ Word (Base‘𝑀)) → (𝐹‘(𝑀 Σg (𝑈𝑥))) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑈𝑥))))
2312, 21, 22syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹‘(𝑀 Σg (𝑈𝑥))) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑈𝑥))))
24 simpll2 1214 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝐼𝑉)
255, 14frmdgsum 18875 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥)
2624, 13, 25syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥)
2726fveq2d 6910 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹‘(𝑀 Σg (𝑈𝑥))) = (𝐹𝑥))
28 coass 6285 . . . . . 6 ((𝐹𝑈) ∘ 𝑥) = (𝐹 ∘ (𝑈𝑥))
29 simplrr 778 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹𝑈) = 𝐴)
3029coeq1d 5872 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → ((𝐹𝑈) ∘ 𝑥) = (𝐴𝑥))
3128, 30eqtr3id 2791 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹 ∘ (𝑈𝑥)) = (𝐴𝑥))
3231oveq2d 7447 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑈𝑥))) = (𝐺 Σg (𝐴𝑥)))
3323, 27, 323eqtr3d 2785 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹𝑥) = (𝐺 Σg (𝐴𝑥)))
3433mpteq2dva 5242 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) → (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥))))
3511, 34eqtrd 2777 1 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴:𝐼𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹𝑈) = 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cmpt 5225  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Word cword 14552  Basecbs 17247   Σg cgsu 17485  Mndcmnd 18747   MndHom cmhm 18794  freeMndcfrmd 18860  varFMndcvrmd 18861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-frmd 18862  df-vrmd 18863
This theorem is referenced by:  frmdup3  18880  elmrsubrn  35525
  Copyright terms: Public domain W3C validator