MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdup3lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdup3lem 18677
Description: Lemma for frmdup3 18678. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdup3.m 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
frmdup3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
frmdup3.u π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
frmdup3lem (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝐹   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉

Proof of Theorem frmdup3lem
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
2 frmdup3.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
31, 2mhmf 18608 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘€)⟢𝐡)
43ad2antrl 727 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘€)⟢𝐡)
5 frmdup3.m . . . . . . . 8 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
65, 1frmdbas 18663 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
763ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
87adantr 482 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
98feq2d 6655 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ (𝐹:(Baseβ€˜π‘€)⟢𝐡 ↔ 𝐹:Word 𝐼⟢𝐡))
104, 9mpbid 231 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ 𝐹:Word 𝐼⟢𝐡)
1110feqmptd 6911 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
12 simplrl 776 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
13 simpr 486 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐼)
14 frmdup3.u . . . . . . . . . 10 π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
1514vrmdf 18669 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼)
16153ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼)
177feq3d 6656 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ (π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘€) ↔ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼))
1816, 17mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘€))
1918ad2antrr 725 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘€))
20 wrdco 14721 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ∧ π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) ∈ Word (Baseβ€˜π‘€))
2113, 19, 20syl2anc 585 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) ∈ Word (Baseβ€˜π‘€))
221gsumwmhm 18656 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (π‘ˆ ∘ π‘₯) ∈ Word (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜(𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯))) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘ (π‘ˆ ∘ π‘₯))))
2312, 21, 22syl2anc 585 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (πΉβ€˜(𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯))) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘ (π‘ˆ ∘ π‘₯))))
24 simpll2 1214 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
255, 14frmdgsum 18673 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯)
2624, 13, 25syl2anc 585 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯)
2726fveq2d 6847 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (πΉβ€˜(𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯))) = (πΉβ€˜π‘₯))
28 coass 6218 . . . . . 6 ((𝐹 ∘ π‘ˆ) ∘ π‘₯) = (𝐹 ∘ (π‘ˆ ∘ π‘₯))
29 simplrr 777 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)
3029coeq1d 5818 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ ((𝐹 ∘ π‘ˆ) ∘ π‘₯) = (𝐴 ∘ π‘₯))
3128, 30eqtr3id 2791 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (𝐹 ∘ (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = (𝐴 ∘ π‘₯))
3231oveq2d 7374 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘ (π‘ˆ ∘ π‘₯))) = (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)))
3323, 27, 323eqtr3d 2785 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)))
3433mpteq2dva 5206 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))))
3511, 34eqtrd 2777 1 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5189   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Word cword 14403  Basecbs 17084   Ξ£g cgsu 17323  Mndcmnd 18557   MndHom cmhm 18600  freeMndcfrmd 18658  varFMndcvrmd 18659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-hash 14232  df-word 14404  df-lsw 14452  df-concat 14460  df-s1 14485  df-substr 14530  df-pfx 14560  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-0g 17324  df-gsum 17325  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-mhm 18602  df-submnd 18603  df-frmd 18660  df-vrmd 18661
This theorem is referenced by:  frmdup3  18678  elmrsubrn  34117
  Copyright terms: Public domain W3C validator