Theorem frmdup3lem 18935

Description: Lemma for frmdup3 18936. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdup3.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdup3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
frmdup3.u	⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frmdup3lem	⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝐹   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉

Proof of Theorem frmdup3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2		frmdup3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	mhmf 18857	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶𝐵)
4	3	ad2antrl 741	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶𝐵)
5		frmdup3.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
6	5, 1	frmdbas 18921	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
7	6	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
9	8	feq2d 6693	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → (𝐹:(Base‘𝑀)⟶𝐵 ↔ 𝐹:Word 𝐼⟶𝐵))
10	4, 9	mpbid 235	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → 𝐹:Word 𝐼⟶𝐵)
11	10	feqmptd 6953	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
12		simplrl 789	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
13		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
14		frmdup3.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)
15	14	vrmdf 18927	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
16	15	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
17	7	feq3d 6694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀) ↔ 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼))
18	16, 17	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀))
19	18	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀))
20		wrdco 14879	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀)) → (𝑈 ∘ 𝑥) ∈ Word (Base‘𝑀))
21	13, 19, 20	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝑈 ∘ 𝑥) ∈ Word (Base‘𝑀))
22	1	gsumwmhm 18914	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝑈 ∘ 𝑥) ∈ Word (Base‘𝑀)) → (𝐹‘(𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥))) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑈 ∘ 𝑥))))
23	12, 21, 22	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹‘(𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥))) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑈 ∘ 𝑥))))
24		simpll2 1232	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
25	5, 14	frmdgsum 18931	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥)
26	24, 13, 25	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥)
27	26	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹‘(𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥))) = (𝐹‘𝑥))
28		coass 6270	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝑈) ∘ 𝑥) = (𝐹 ∘ (𝑈 ∘ 𝑥))
29		simplrr 790	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)
30	29	coeq1d 5850	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → ((𝐹 ∘ 𝑈) ∘ 𝑥) = (𝐴 ∘ 𝑥))
31	28, 30	eqtr3id 2815	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹 ∘ (𝑈 ∘ 𝑥)) = (𝐴 ∘ 𝑥))
32	31	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑈 ∘ 𝑥))) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))
33	23, 27, 32	3eqtr3d 2809	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))
34	33	mpteq2dva 5207	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))))
35	11, 34	eqtrd 2801	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ↦ cmpt 5195   ∘ ccom 5668  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Word cword 14561  Basecbs 17279   Σ_g cgsu 17503  Mndcmnd 18802   MndHom cmhm 18849  freeMndcfrmd 18916  var_FMndcvrmd 18917

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9936  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12244  df-2 12313  df-n0 12515  df-xnn0 12588  df-z 12602  df-uz 12873  df-fz 13546  df-fzo 13694  df-seq 14049  df-hash 14378  df-word 14562  df-lsw 14611  df-concat 14619  df-s1 14645  df-substr 14690  df-pfx 14720  df-struct 17217  df-sets 17234  df-slot 17252  df-ndx 17264  df-base 17280  df-ress 17301  df-plusg 17333  df-0g 17504  df-gsum 17505  df-mgm 18708  df-sgrp 18787  df-mnd 18803  df-mhm 18851  df-submnd 18852  df-frmd 18918  df-vrmd 18919

This theorem is used by:  frmdup3  18936  elmrsubrn  36024