MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdup3lem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frmdup3lem 18820
Description: Lemma for frmdup3 18821. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdup3.m 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
frmdup3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
frmdup3.u π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
frmdup3lem (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝐹   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉
Proof of Theorem frmdup3lem
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
2 frmdup3.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
31, 2mhmf 18743 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘€)⟢𝐡)
43ad2antrl 726 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘€)⟢𝐡)
5 frmdup3.m . . . . . . . 8 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
65, 1frmdbas 18806 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
763ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
87adantr 479 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
98feq2d 6702 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ (𝐹:(Baseβ€˜π‘€)⟢𝐡 ↔ 𝐹:Word 𝐼⟢𝐡))
104, 9mpbid 231 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ 𝐹:Word 𝐼⟢𝐡)
1110feqmptd 6961 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
12 simplrl 775 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
13 simpr 483 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐼)
14 frmdup3.u . . . . . . . . . 10 π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
1514vrmdf 18812 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼)
16153ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼)
177feq3d 6703 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ (π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘€) ↔ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼))
1816, 17mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘€))
1918ad2antrr 724 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘€))
20 wrdco 14812 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ∧ π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) ∈ Word (Baseβ€˜π‘€))
2113, 19, 20syl2anc 582 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) ∈ Word (Baseβ€˜π‘€))
221gsumwmhm 18799 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (π‘ˆ ∘ π‘₯) ∈ Word (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜(𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯))) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘ (π‘ˆ ∘ π‘₯))))
2312, 21, 22syl2anc 582 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (πΉβ€˜(𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯))) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘ (π‘ˆ ∘ π‘₯))))
24 simpll2 1210 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
255, 14frmdgsum 18816 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯)
2624, 13, 25syl2anc 582 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯)
2726fveq2d 6895 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (πΉβ€˜(𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯))) = (πΉβ€˜π‘₯))
28 coass 6264 . . . . . 6 ((𝐹 ∘ π‘ˆ) ∘ π‘₯) = (𝐹 ∘ (π‘ˆ ∘ π‘₯))
29 simplrr 776 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)
3029coeq1d 5858 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ ((𝐹 ∘ π‘ˆ) ∘ π‘₯) = (𝐴 ∘ π‘₯))
3128, 30eqtr3id 2779 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (𝐹 ∘ (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = (𝐴 ∘ π‘₯))
3231oveq2d 7431 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘ (π‘ˆ ∘ π‘₯))) = (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)))
3323, 27, 323eqtr3d 2773 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)))
3433mpteq2dva 5243 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))))
3511, 34eqtrd 2765 1 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5226   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Word cword 14494  Basecbs 17177   Ξ£g cgsu 17419  Mndcmnd 18691   MndHom cmhm 18735  freeMndcfrmd 18801  varFMndcvrmd 18802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-hash 14320  df-word 14495  df-lsw 14543  df-concat 14551  df-s1 14576  df-substr 14621  df-pfx 14651  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-submnd 18738  df-frmd 18803  df-vrmd 18804
This theorem is referenced by:  frmdup3  18821  elmrsubrn  35186
  Copyright terms: Public domain W3C validator