MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdup3lem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frmdup3lem 18791
Description: Lemma for frmdup3 18792. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdup3.m 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
frmdup3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
frmdup3.u π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
frmdup3lem (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝐹   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉
Proof of Theorem frmdup3lem
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
2 frmdup3.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
31, 2mhmf 18719 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘€)⟢𝐡)
43ad2antrl 725 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘€)⟢𝐡)
5 frmdup3.m . . . . . . . 8 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
65, 1frmdbas 18777 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
763ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
87adantr 480 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
98feq2d 6697 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ (𝐹:(Baseβ€˜π‘€)⟢𝐡 ↔ 𝐹:Word 𝐼⟢𝐡))
104, 9mpbid 231 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ 𝐹:Word 𝐼⟢𝐡)
1110feqmptd 6954 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
12 simplrl 774 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
13 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐼)
14 frmdup3.u . . . . . . . . . 10 π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
1514vrmdf 18783 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼)
16153ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼)
177feq3d 6698 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ (π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘€) ↔ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼))
1816, 17mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘€))
1918ad2antrr 723 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘€))
20 wrdco 14788 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ∧ π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) ∈ Word (Baseβ€˜π‘€))
2113, 19, 20syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) ∈ Word (Baseβ€˜π‘€))
221gsumwmhm 18770 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (π‘ˆ ∘ π‘₯) ∈ Word (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜(𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯))) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘ (π‘ˆ ∘ π‘₯))))
2312, 21, 22syl2anc 583 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (πΉβ€˜(𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯))) = (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘ (π‘ˆ ∘ π‘₯))))
24 simpll2 1210 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
255, 14frmdgsum 18787 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯)
2624, 13, 25syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯)
2726fveq2d 6889 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (πΉβ€˜(𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯))) = (πΉβ€˜π‘₯))
28 coass 6258 . . . . . 6 ((𝐹 ∘ π‘ˆ) ∘ π‘₯) = (𝐹 ∘ (π‘ˆ ∘ π‘₯))
29 simplrr 775 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)
3029coeq1d 5855 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ ((𝐹 ∘ π‘ˆ) ∘ π‘₯) = (𝐴 ∘ π‘₯))
3128, 30eqtr3id 2780 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (𝐹 ∘ (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = (𝐴 ∘ π‘₯))
3231oveq2d 7421 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘ (π‘ˆ ∘ π‘₯))) = (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)))
3323, 27, 323eqtr3d 2774 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)))
3433mpteq2dva 5241 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))))
3511, 34eqtrd 2766 1 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ π‘ˆ) = 𝐴)) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Word cword 14470  Basecbs 17153   Ξ£g cgsu 17395  Mndcmnd 18667   MndHom cmhm 18711  freeMndcfrmd 18772  varFMndcvrmd 18773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-word 14471  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-frmd 18774  df-vrmd 18775
This theorem is referenced by:  frmdup3  18792  elmrsubrn  35039
  Copyright terms: Public domain W3C validator