Theorem frmdup3lem 18892

Description: Lemma for frmdup3 18893. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdup3.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdup3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
frmdup3.u	⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frmdup3lem	⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝐹   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉

Proof of Theorem frmdup3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2		frmdup3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	mhmf 18815	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶𝐵)
4	3	ad2antrl 728	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶𝐵)
5		frmdup3.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
6	5, 1	frmdbas 18878	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
7	6	3ad2ant2 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
9	8	feq2d 6723	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → (𝐹:(Base‘𝑀)⟶𝐵 ↔ 𝐹:Word 𝐼⟶𝐵))
10	4, 9	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → 𝐹:Word 𝐼⟶𝐵)
11	10	feqmptd 6977	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
12		simplrl 777	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
13		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
14		frmdup3.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)
15	14	vrmdf 18884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
16	15	3ad2ant2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
17	7	feq3d 6724	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀) ↔ 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼))
18	16, 17	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀))
19	18	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀))
20		wrdco 14867	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀)) → (𝑈 ∘ 𝑥) ∈ Word (Base‘𝑀))
21	13, 19, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝑈 ∘ 𝑥) ∈ Word (Base‘𝑀))
22	1	gsumwmhm 18871	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝑈 ∘ 𝑥) ∈ Word (Base‘𝑀)) → (𝐹‘(𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥))) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑈 ∘ 𝑥))))
23	12, 21, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹‘(𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥))) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑈 ∘ 𝑥))))
24		simpll2 1212	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
25	5, 14	frmdgsum 18888	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥)
26	24, 13, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥)
27	26	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹‘(𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥))) = (𝐹‘𝑥))
28		coass 6287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝑈) ∘ 𝑥) = (𝐹 ∘ (𝑈 ∘ 𝑥))
29		simplrr 778	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)
30	29	coeq1d 5875	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → ((𝐹 ∘ 𝑈) ∘ 𝑥) = (𝐴 ∘ 𝑥))
31	28, 30	eqtr3id 2789	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹 ∘ (𝑈 ∘ 𝑥)) = (𝐴 ∘ 𝑥))
32	31	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑈 ∘ 𝑥))) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))
33	23, 27, 32	3eqtr3d 2783	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))
34	33	mpteq2dva 5248	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))))
35	11, 34	eqtrd 2775	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5693  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Word cword 14549  Basecbs 17245   Σ_g cgsu 17487  Mndcmnd 18760   MndHom cmhm 18807  freeMndcfrmd 18873  var_FMndcvrmd 18874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-frmd 18875  df-vrmd 18876

This theorem is referenced by:  frmdup3  18893  elmrsubrn  35505