Theorem frmdup3lem 19024

Description: Lemma for frmdup3 19025. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdup3.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdup3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
frmdup3.u	⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frmdup3lem	⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝐹   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉

Proof of Theorem frmdup3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2		frmdup3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	mhmf 18946	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶𝐵)
4	3	ad2antrl 741	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶𝐵)
5		frmdup3.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
6	5, 1	frmdbas 19010	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
7	6	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
9	8	feq2d 6681	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → (𝐹:(Base‘𝑀)⟶𝐵 ↔ 𝐹:Word 𝐼⟶𝐵))
10	4, 9	mpbid 235	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → 𝐹:Word 𝐼⟶𝐵)
11	10	feqmptd 6941	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
12		simplrl 789	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
13		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
14		frmdup3.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)
15	14	vrmdf 19016	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
16	15	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
17	7	feq3d 6682	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀) ↔ 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼))
18	16, 17	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀))
19	18	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀))
20		wrdco 14950	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝑀)) → (𝑈 ∘ 𝑥) ∈ Word (Base‘𝑀))
21	13, 19, 20	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝑈 ∘ 𝑥) ∈ Word (Base‘𝑀))
22	1	gsumwmhm 19003	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝑈 ∘ 𝑥) ∈ Word (Base‘𝑀)) → (𝐹‘(𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥))) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑈 ∘ 𝑥))))
23	12, 21, 22	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹‘(𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥))) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑈 ∘ 𝑥))))
24		simpll2 1232	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
25	5, 14	frmdgsum 19020	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥)
26	24, 13, 25	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥)
27	26	fveq2d 6877	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹‘(𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥))) = (𝐹‘𝑥))
28		coass 6256	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝑈) ∘ 𝑥) = (𝐹 ∘ (𝑈 ∘ 𝑥))
29		simplrr 790	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)
30	29	coeq1d 5835	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → ((𝐹 ∘ 𝑈) ∘ 𝑥) = (𝐴 ∘ 𝑥))
31	28, 30	eqtr3id 2809	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹 ∘ (𝑈 ∘ 𝑥)) = (𝐴 ∘ 𝑥))
32	31	oveq2d 7424	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑈 ∘ 𝑥))) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))
33	23, 27, 32	3eqtr3d 2803	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐼) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))
34	33	mpteq2dva 5197	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))))
35	11, 34	eqtrd 2795	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝑈) = 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5185   ∘ ccom 5651  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Word cword 14626  Basecbs 17349   Σ_g cgsu 17573  Mndcmnd 18885   MndHom cmhm 18938  freeMndcfrmd 19005  var_FMndcvrmd 19006

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-n0 12577  df-xnn0 12650  df-z 12664  df-uz 12936  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-seq 14114  df-hash 14443  df-word 14627  df-lsw 14676  df-concat 14684  df-s1 14711  df-substr 14757  df-pfx 14789  df-struct 17287  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-0g 17574  df-gsum 17575  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-mhm 18940  df-submnd 18941  df-frmd 19007  df-vrmd 19008

This theorem is used by:  frmdup3  19025  elmrsubrn  36206