Theorem mplbas 22120

Description: Base set of the set of multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplval.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mplval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplbas.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mplbas	⊢ 𝑈 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 }

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   0 ,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑓)

Proof of Theorem mplbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplbas.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
2		ssrab2 4035	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 } ⊆ 𝐵
3		mplval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		mplval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
5		mplval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
6		mplval.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 } = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 }
8	3, 4, 5, 6, 7	mplval 22119	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 })
9	8, 5	ressbas2 17299	. . 3 ⊢ ({𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 } ⊆ 𝐵 → {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 } = (Base‘𝑃))
10	2, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 } = (Base‘𝑃)
11	1, 10	eqtr4i 2789	1 ⊢ 𝑈 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 }

Syntax hints:   = wceq 1570  {crab 3416   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   finSupp cfsupp 9322  Basecbs 17270  0_gc0g 17493   mPwSer cmps 22035   mPoly cmpl 22037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-1cn 11159  ax-addcl 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-nn 12235  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-psr 22040  df-mpl 22042

This theorem is referenced by:  mplelbas  22121  mplval2  22126  mplbasss  22127  mplsubglem2  22131  ressmplbas2  22158  mplbaspropd  22377  mplnzr  33884