Theorem mplbas 20203

Description: Base set of the set of multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplval.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mplval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplbas.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mplbas	⊢ 𝑈 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 }

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   0 ,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑓)

Proof of Theorem mplbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplbas.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
2		ssrab2 4055	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 } ⊆ 𝐵
3		mplval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		mplval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
5		mplval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
6		mplval.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 } = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 }
8	3, 4, 5, 6, 7	mplval 20202	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 })
9	8, 5	ressbas2 16549	. . 3 ⊢ ({𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 } ⊆ 𝐵 → {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 } = (Base‘𝑃))
10	2, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 } = (Base‘𝑃)
11	1, 10	eqtr4i 2847	1 ⊢ 𝑈 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 }

Syntax hints:   = wceq 1533  {crab 3142   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   finSupp cfsupp 8827  Basecbs 16477  0_gc0g 16707   mPwSer cmps 20125   mPoly cmpl 20127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-1cn 10589  ax-addcl 10591

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-nn 11633  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-psr 20130  df-mpl 20132

This theorem is referenced by:  mplelbas  20204  mplval2  20205  mplbasss  20206  mplsubglem2  20210  ressmplbas2  20230  mhpinvcl  20333  mplbaspropd  20399