Theorem mplval2 22039

Description: Self-referential expression for the set of multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplval2.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplval2.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplval2.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mplval2	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝑈)

Proof of Theorem mplval2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplval2.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mplval2.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3		eqid 2740	. 2 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4		eqid 2740	. 2 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		mplval2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
6	1, 2, 3, 4, 5	mplbas 22033	. 2 ⊢ 𝑈 = {𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}
7	1, 2, 3, 4, 6	mplval 22032	1 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1537  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  0_gc0g 17499   mPwSer cmps 21947   mPoly cmpl 21949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-1cn 11242  ax-addcl 11244

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-nn 12294  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-psr 21952  df-mpl 21954

This theorem is referenced by:  mpl0  22049  mplplusg  22050  mplmulr  22051  mplneg  22053  mpl1  22055  mplsca  22056  mplvsca2  22057  mplgrp  22060  mpllmod  22061  mplring  22062  mplcrng  22064  mplassa  22065  ressmpladd  22070  ressmplmul  22071  ressmplvsca  22072  subrgmpl  22073  mplbas2  22083  mplind  22117  evlseu  22130