Theorem mplval2 22216

Description: Self-referential expression for the set of multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplval2.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplval2.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplval2.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mplval2	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝑈)

Proof of Theorem mplval2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplval2.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mplval2.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3		eqid 2762	. 2 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4		eqid 2762	. 2 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		mplval2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
6	1, 2, 3, 4, 5	mplbas 22210	. 2 ⊢ 𝑈 = {𝑓 ∈ (Base‘𝑆) ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}
7	1, 2, 3, 4, 6	mplval 22209	1 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307   ↾_s cress 17328  0_gc0g 17530   mPwSer cmps 22125   mPoly cmpl 22127

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-1cn 11186  ax-addcl 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-nn 12262  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-psr 22130  df-mpl 22132

This theorem is used by:  mpl0  22226  mplplusg  22227  mplmulr  22228  mplneg  22230  mpl1  22232  mplsca  22233  mplvsca2  22234  mplgrp  22237  mpllmod  22238  mplring  22239  mplcrng  22241  mplassa  22242  ressmpladd  22250  ressmplmul  22251  ressmplvsca  22252  subrgmpl  22253  mplbas2  22264  mplind  22292  evlseu  22305  mplvrpmrhm  34065  mplgsum  34071  mplmonprod  34072