Theorem mplbaspropd 20975

Description: Property deduction for polynomial base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrplusgpropd.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
psrplusgpropd.b2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
psrplusgpropd.p	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
mplbaspropd	⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦,𝑥   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝑅,𝑥   𝑦,𝑆,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mplbaspropd

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrplusgpropd.b1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2		psrplusgpropd.b2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
3	1, 2	eqtr3d 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))
4	3	psrbaspropd 20973	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
5	4	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ V) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
6		psrplusgpropd.p	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))
7	1, 2, 6	grpidpropd 17952	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑆))
8	7	breq2d 5048	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 finSupp (0g‘𝑅) ↔ 𝑎 finSupp (0g‘𝑆)))
9	8	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ V) → (𝑎 finSupp (0g‘𝑅) ↔ 𝑎 finSupp (0g‘𝑆)))
10	5, 9	rabeqbidv 3398	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ V) → {𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)} = {𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑆)})
11		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
12		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
13		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
14		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
16	11, 12, 13, 14, 15	mplbas 20771	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = {𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)}
17		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑆) = (𝐼 mPoly 𝑆)
18		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑆) = (𝐼 mPwSer 𝑆)
19		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
20		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
21		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆))
22	17, 18, 19, 20, 21	mplbas 20771	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) = {𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑆)}
23	10, 16, 22	3eqtr4g 2818	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ V) → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
24		reldmmpl 20769	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mPoly
25	24	ovprc1 7195	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐼 mPoly 𝑅) = ∅)
26	24	ovprc1 7195	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐼 mPoly 𝑆) = ∅)
27	25, 26	eqtr4d 2796	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑆))
28	27	fveq2d 6667	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
29	28	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ V) → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
30	23, 29	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3074  Vcvv 3409  ∅c0 4227   class class class wbr 5036  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   finSupp cfsupp 8879  Basecbs 16555  +_gcplusg 16637  0_gc0g 16785   mPwSer cmps 20680   mPoly cmpl 20682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-fz 12953  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-sca 16653  df-vsca 16654  df-tset 16656  df-0g 16787  df-psr 20685  df-mpl 20687

This theorem is referenced by:  ply1baspropd  20981  mdegpropd  24798