Theorem mplbaspropd 22177

Description: Property deduction for polynomial base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrplusgpropd.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
psrplusgpropd.b2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
psrplusgpropd.p	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
mplbaspropd	⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦,𝑥   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝑅,𝑥   𝑦,𝑆,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mplbaspropd

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrplusgpropd.b1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2		psrplusgpropd.b2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
3	1, 2	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))
4	3	psrbaspropd 22175	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ V) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
6		psrplusgpropd.p	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))
7	1, 2, 6	grpidpropd 18645	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑆))
8	7	breq2d 5136	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 finSupp (0g‘𝑅) ↔ 𝑎 finSupp (0g‘𝑆)))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ V) → (𝑎 finSupp (0g‘𝑅) ↔ 𝑎 finSupp (0g‘𝑆)))
10	5, 9	rabeqbidv 3439	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ V) → {𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)} = {𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑆)})
11		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
12		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
13		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
14		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
16	11, 12, 13, 14, 15	mplbas 21955	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = {𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)}
17		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑆) = (𝐼 mPoly 𝑆)
18		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑆) = (𝐼 mPwSer 𝑆)
19		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
20		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
21		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆))
22	17, 18, 19, 20, 21	mplbas 21955	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) = {𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑆)}
23	10, 16, 22	3eqtr4g 2796	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ V) → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
24		reldmmpl 21953	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mPoly
25	24	ovprc1 7449	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐼 mPoly 𝑅) = ∅)
26	24	ovprc1 7449	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐼 mPoly 𝑆) = ∅)
27	25, 26	eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑆))
28	27	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
29	28	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ V) → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
30	23, 29	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3420  Vcvv 3464  ∅c0 4313   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   finSupp cfsupp 9378  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  0_gc0g 17458   mPwSer cmps 21869   mPoly cmpl 21871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-tset 17295  df-0g 17460  df-psr 21874  df-mpl 21876

This theorem is referenced by:  ply1baspropd  22183  mdegpropd  26046