MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplbasss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplbasss 19929
Description: The set of polynomials is a subset of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplval2.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplval2.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplval2.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplbasss.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
mplbasss 𝑈𝐵

Proof of Theorem mplbasss
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplval2.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mplval2.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3 mplbasss.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
4 eqid 2778 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5 mplval2.u . . 3 𝑈 = (Base‘𝑃)
61, 2, 3, 4, 5mplbas 19926 . 2 𝑈 = {𝑓𝐵𝑓 finSupp (0g𝑅)}
76ssrab3 3949 1 𝑈𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1507  wss 3831   class class class wbr 4930  cfv 6190  (class class class)co 6978   finSupp cfsupp 8630  Basecbs 16342  0gc0g 16572   mPwSer cmps 19848   mPoly cmpl 19850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-1cn 10395  ax-addcl 10397
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-nn 11442  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-psr 19853  df-mpl 19855
This theorem is referenced by:  mplelf  19930  mplsubrglem  19936  mpladd  19939  mplmul  19940  mplvsca  19944  ressmpladd  19954  ressmplmul  19955  ressmplvsca  19956  mplbas2  19967  ply1bas  20069  ply1ass23l  43804
  Copyright terms: Public domain W3C validator