Theorem mplbasss 22048

Description: The set of polynomials is a subset of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplval2.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplval2.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplval2.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplbasss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mplbasss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem mplbasss

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplval2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mplval2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3		mplbasss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
4		eqid 2762	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		mplval2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
6	1, 2, 3, 4, 5	mplbas 22041	. 2 ⊢ 𝑈 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}
7	6	ssrab3 4035	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1560   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   finSupp cfsupp 9307  Basecbs 17245  0_gc0g 17468   mPwSer cmps 21956   mPoly cmpl 21958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-1cn 11131  ax-addcl 11133

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-nn 12211  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-psr 21961  df-mpl 21963

This theorem is referenced by:  mplelf  22049  mplsubrglem  22055  mpladd  22060  mplneg  22061  mplmul  22062  mplvsca  22066  ressmpladd  22081  ressmplmul  22082  ressmplvsca  22083  mplbas2  22095  psdmplcl  22227  ply1bas  22257  ply1ass23l  22288  mplvrpmrhm  33844  mplgsum  33850  mplmonprod  33851