Theorem mplbasss 21478

Description: The set of polynomials is a subset of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplval2.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplval2.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplval2.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplbasss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mplbasss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem mplbasss

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplval2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mplval2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3		mplbasss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
4		eqid 2731	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		mplval2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
6	1, 2, 3, 4, 5	mplbas 21473	. 2 ⊢ 𝑈 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}
7	6	ssrab3 4071	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1541   ⊆ wss 3939   class class class wbr 5136  ‘cfv 6527  (class class class)co 7388   finSupp cfsupp 9339  Basecbs 17121  0_gc0g 17362   mPwSer cmps 21381   mPoly cmpl 21383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5287  ax-nul 5294  ax-pow 5351  ax-pr 5415  ax-un 7703  ax-cnex 11143  ax-1cn 11145  ax-addcl 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3375  df-rab 3429  df-v 3471  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4314  df-if 4518  df-pw 4593  df-sn 4618  df-pr 4620  df-op 4624  df-uni 4897  df-iun 4987  df-br 5137  df-opab 5199  df-mpt 5220  df-tr 5254  df-id 5562  df-eprel 5568  df-po 5576  df-so 5577  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6284  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7391  df-oprab 7392  df-mpo 7393  df-om 7834  df-2nd 7953  df-frecs 8243  df-wrecs 8274  df-recs 8348  df-rdg 8387  df-nn 12190  df-sets 17074  df-slot 17092  df-ndx 17104  df-base 17122  df-ress 17151  df-psr 21386  df-mpl 21388

This theorem is referenced by:  mplelf  21479  mplsubrglem  21485  mpladd  21488  mplneg  21489  mplmul  21490  mplvsca  21494  ressmpladd  21505  ressmplmul  21506  ressmplvsca  21507  mplbas2  21518  ply1bas  21641  ply1ass23l  46648