Theorem mplelbas 22105

Description: Property of being a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplval.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mplval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplbas.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mplelbas	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 finSupp 0 ))

Proof of Theorem mplelbas

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5113	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝑋 → (𝑓 finSupp 0 ↔ 𝑋 finSupp 0 ))
2		mplval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mplval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		mplval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		mplval.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		mplbas.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
7	2, 3, 4, 5, 6	mplbas 22104	. 2 ⊢ 𝑈 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 }
8	1, 7	elrab2 3663	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 finSupp 0 ))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   finSupp cfsupp 9317  Basecbs 17265  0_gc0g 17488   mPwSer cmps 22019   mPoly cmpl 22021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-1cn 11154  ax-addcl 11156

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12230  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-psr 22024  df-mpl 22026

This theorem is referenced by:  mvrcl  22106  mplelsfi  22109  mplsubrglem  22118  mplsubrg  22119  mplmon  22151  mplcoe1  22153  mplbas2  22158  mhmcompl  22237  psdmplcl  22290  fply1  33789  0mplrim  33845  selvply1rhmlema  33849  selvply1rhmlem1  33851  extvfvcl  33867  mplvrpmga  33876  mplmonprod  33885  esplympl  33898  evlsbagval  43203  mhpind  43211