Theorem mplelbas 22034

Description: Property of being a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplval.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mplval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplbas.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mplelbas	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 finSupp 0 ))

Proof of Theorem mplelbas

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5169	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝑋 → (𝑓 finSupp 0 ↔ 𝑋 finSupp 0 ))
2		mplval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mplval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		mplval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		mplval.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		mplbas.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
7	2, 3, 4, 5, 6	mplbas 22033	. 2 ⊢ 𝑈 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 }
8	1, 7	elrab2 3711	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 finSupp 0 ))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   finSupp cfsupp 9431  Basecbs 17258  0_gc0g 17499   mPwSer cmps 21947   mPoly cmpl 21949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-1cn 11242  ax-addcl 11244

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-nn 12294  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-psr 21952  df-mpl 21954

This theorem is referenced by:  mvrcl  22035  mplelsfi  22038  mplsubrglem  22047  mplsubrg  22048  mplmon  22076  mplcoe1  22078  mplbas2  22083  psdmplcl  22189  mhmcompl  22405  fply1  33549  evlsbagval  42521  mhpind  42549