MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplelbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplelbas 21395
Description: Property of being a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplval.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplval.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
mplval.z 0 = (0g𝑅)
mplbas.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
mplelbas (𝑋𝑈 ↔ (𝑋𝐵𝑋 finSupp 0 ))

Proof of Theorem mplelbas
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5107 . 2 (𝑓 = 𝑋 → (𝑓 finSupp 0𝑋 finSupp 0 ))
2 mplval.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 mplval.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4 mplval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
5 mplval.z . . 3 0 = (0g𝑅)
6 mplbas.u . . 3 𝑈 = (Base‘𝑃)
72, 3, 4, 5, 6mplbas 21394 . 2 𝑈 = {𝑓𝐵𝑓 finSupp 0 }
81, 7elrab2 3647 1 (𝑋𝑈 ↔ (𝑋𝐵𝑋 finSupp 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5104  cfv 6494  (class class class)co 7354   finSupp cfsupp 9302  Basecbs 17080  0gc0g 17318   mPwSer cmps 21302   mPoly cmpl 21304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-1cn 11106  ax-addcl 11108
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-2nd 7919  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-nn 12151  df-sets 17033  df-slot 17051  df-ndx 17063  df-base 17081  df-ress 17110  df-psr 21307  df-mpl 21309
This theorem is referenced by:  mplelsfi  21397  mplsubrglem  21406  mplsubrg  21407  mvrcl  21417  mplmon  21432  mplcoe1  21434  mplbas2  21439  fply1  32156  mhmcompl  40714  evlsbagval  40726  mhpind  40745  mhphf  40747
  Copyright terms: Public domain W3C validator