Theorem mplelbas 22291

Description: Property of being a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplval.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mplval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplbas.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mplelbas	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 finSupp 0 ))

Proof of Theorem mplelbas

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5106	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝑋 → (𝑓 finSupp 0 ↔ 𝑋 finSupp 0 ))
2		mplval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mplval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		mplval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		mplval.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		mplbas.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
7	2, 3, 4, 5, 6	mplbas 22290	. 2 ⊢ 𝑈 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 }
8	1, 7	elrab2 3649	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 finSupp 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   finSupp cfsupp 9346  Basecbs 17380  0_gc0g 17603   mPwSer cmps 22205   mPoly cmpl 22207

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-1cn 11251  ax-addcl 11253

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-nn 12329  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-psr 22210  df-mpl 22212

This theorem is used by:  mvrcl  22292  mplelsfi  22295  mplsubrglem  22304  mplsubrg  22305  mplmon  22337  mplcoe1  22339  mplbas2  22344  mhmcompl  22423  psdmplcl  22476  fply1  34083  0mplrim  34139  selvply1rhmlema  34143  selvply1rhmlem1  34145  extvfvcl  34161  mplvrpmga  34170  mplmonprod  34179  esplympl  34192  evlsbagval  43594  mhpind  43602