Theorem mplelbas 21876

Description: Property of being a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplval.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mplval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplbas.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mplelbas	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 finSupp 0 ))

Proof of Theorem mplelbas

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5105	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝑋 → (𝑓 finSupp 0 ↔ 𝑋 finSupp 0 ))
2		mplval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mplval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		mplval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		mplval.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		mplbas.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
7	2, 3, 4, 5, 6	mplbas 21875	. 2 ⊢ 𝑈 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 }
8	1, 7	elrab2 3659	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 finSupp 0 ))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   finSupp cfsupp 9288  Basecbs 17155  0_gc0g 17378   mPwSer cmps 21789   mPoly cmpl 21791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-1cn 11102  ax-addcl 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-nn 12163  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-psr 21794  df-mpl 21796

This theorem is referenced by:  mvrcl  21877  mplelsfi  21880  mplsubrglem  21889  mplsubrg  21890  mplmon  21918  mplcoe1  21920  mplbas2  21925  psdmplcl  22025  mhmcompl  22243  fply1  33500  evlsbagval  42527  mhpind  42555