Theorem mplelbas 22011

Description: Property of being a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplval.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mplval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplbas.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mplelbas	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 finSupp 0 ))

Proof of Theorem mplelbas

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5146	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝑋 → (𝑓 finSupp 0 ↔ 𝑋 finSupp 0 ))
2		mplval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mplval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		mplval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		mplval.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		mplbas.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
7	2, 3, 4, 5, 6	mplbas 22010	. 2 ⊢ 𝑈 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ 𝑓 finSupp 0 }
8	1, 7	elrab2 3695	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 finSupp 0 ))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   finSupp cfsupp 9401  Basecbs 17247  0_gc0g 17484   mPwSer cmps 21924   mPoly cmpl 21926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-nn 12267  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-psr 21929  df-mpl 21931

This theorem is referenced by:  mvrcl  22012  mplelsfi  22015  mplsubrglem  22024  mplsubrg  22025  mplmon  22053  mplcoe1  22055  mplbas2  22060  psdmplcl  22166  mhmcompl  22384  fply1  33584  evlsbagval  42576  mhpind  42604