Theorem ressmplbas2 21226

Description: The base set of a restricted polynomial algebra consists of power series in the subring which are also polynomials (in the parent ring). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmpl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ressmpl.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressmpl.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
ressmpl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressmpl.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
ressmpl.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressmplbas2.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
ressmplbas2.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
ressmplbas2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ressmplbas2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 ∩ 𝐾))

Proof of Theorem ressmplbas2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmpl.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		ressmpl.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
3		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		ressmpl.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
5		ressmplbas2.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
6		ressmplbas2.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	subrgpsr 21186	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
8	1, 2, 7	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
9		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
10	9	subrgss 20023	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → 𝐶 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
11	8, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
12		df-ss 3909	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↔ (𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝐶)
13	11, 12	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝐶)
14		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15	4, 14	subrg0 20029	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
16	2, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
17	16	breq2d 5091	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓 finSupp (0g‘𝑅) ↔ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)))
18	17	abbidv 2809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)} = {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)})
19	13, 18	ineq12d 4153	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}) = (𝐶 ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)}))
20	19	eqcomd 2746	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)}) = ((𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}))
21		ressmpl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
22		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
23		ressmpl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
24	21, 5, 6, 22, 23	mplbas 21196	. . 3 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)}
25		dfrab3 4249	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)} = (𝐶 ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)})
26	24, 25	eqtri 2768	. 2 ⊢ 𝐵 = (𝐶 ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)})
27		ressmpl.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
28		ressmplbas2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
29	27, 3, 9, 14, 28	mplbas 21196	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}
30		dfrab3 4249	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)} = ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)})
31	29, 30	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)})
32	31	ineq2i 4149	. . 3 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐾) = (𝐶 ∩ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}))
33		inass 4159	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}) = (𝐶 ∩ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}))
34	32, 33	eqtr4i 2771	. 2 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐾) = ((𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)})
35	20, 26, 34	3eqtr4g 2805	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 ∩ 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  {cab 2717  {crab 3070   ∩ cin 3891   ⊆ wss 3892   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271   finSupp cfsupp 9106  Basecbs 16910   ↾_s cress 16939  0_gc0g 17148  SubRingcsubrg 20018   mPwSer cmps 21105   mPoly cmpl 21107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-ofr 7528  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-seq 13720  df-hash 14043  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-tset 16979  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-mhm 18428  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-mulg 18699  df-subg 18750  df-ghm 18830  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-subrg 20020  df-psr 21110  df-mpl 21112

This theorem is referenced by:  ressmplbas  21227  subrgmpl  21231  ressply1bas2  21397