Theorem ressmplbas2 22335

Description: The base set of a restricted polynomial algebra consists of power series in the subring which are also polynomials (in the parent ring). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmpl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ressmpl.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressmpl.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
ressmpl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressmpl.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
ressmpl.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressmplbas2.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
ressmplbas2.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
ressmplbas2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ressmplbas2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 ∩ 𝐾))

Proof of Theorem ressmplbas2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmpl.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		ressmpl.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
3		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		ressmpl.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
5		ressmplbas2.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
6		ressmplbas2.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	subrgpsr 22285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
8	1, 2, 7	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
9		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
10	9	subrgss 20824	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → 𝐶 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
11	8, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
12		dfss2 3917	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↔ (𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝐶)
13	11, 12	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝐶)
14		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15	4, 14	subrg0 20831	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
16	2, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
17	16	breq2d 5115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓 finSupp (0g‘𝑅) ↔ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)))
18	17	abbidv 2827	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)} = {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)})
19	13, 18	ineq12d 4167	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}) = (𝐶 ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)}))
20	19	eqcomd 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)}) = ((𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}))
21		ressmpl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
22		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
23		ressmpl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
24	21, 5, 6, 22, 23	mplbas 22297	. . 3 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)}
25		dfrab3 4265	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)} = (𝐶 ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)})
26	24, 25	eqtri 2784	. 2 ⊢ 𝐵 = (𝐶 ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)})
27		ressmpl.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
28		ressmplbas2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
29	27, 3, 9, 14, 28	mplbas 22297	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}
30		dfrab3 4265	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)} = ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)})
31	29, 30	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)})
32	31	ineq2i 4163	. . 3 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐾) = (𝐶 ∩ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}))
33		inass 4173	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}) = (𝐶 ∩ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}))
34	32, 33	eqtr4i 2787	. 2 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐾) = ((𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)})
35	20, 26, 34	3eqtr4g 2821	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 ∩ 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2739  {crab 3413   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   finSupp cfsupp 9353  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  0_gc0g 17610  SubRingcsubrg 20821   mPwSer cmps 22212   mPoly cmpl 22214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-psr 22217  df-mpl 22219

This theorem is used by:  ressmplbas  22336  subrgmpl  22340  ressply1bas2  22545