Theorem ressmplbas2 22009

Description: The base set of a restricted polynomial algebra consists of power series in the subring which are also polynomials (in the parent ring). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmpl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ressmpl.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressmpl.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
ressmpl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressmpl.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
ressmpl.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressmplbas2.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
ressmplbas2.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
ressmplbas2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ressmplbas2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 ∩ 𝐾))

Proof of Theorem ressmplbas2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmpl.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		ressmpl.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
3		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		ressmpl.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
5		ressmplbas2.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
6		ressmplbas2.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	subrgpsr 21959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
8	1, 2, 7	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
9		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
10	9	subrgss 20551	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → 𝐶 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
11	8, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
12		dfss2 3908	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↔ (𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝐶)
13	11, 12	sylib 219	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝐶)
14		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15	4, 14	subrg0 20558	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
16	2, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
17	16	breq2d 5091	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓 finSupp (0g‘𝑅) ↔ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)))
18	17	abbidv 2806	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)} = {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)})
19	13, 18	ineq12d 4157	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}) = (𝐶 ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)}))
20	19	eqcomd 2746	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)}) = ((𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}))
21		ressmpl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
22		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
23		ressmpl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
24	21, 5, 6, 22, 23	mplbas 21971	. . 3 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)}
25		dfrab3 4254	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)} = (𝐶 ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)})
26	24, 25	eqtri 2763	. 2 ⊢ 𝐵 = (𝐶 ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)})
27		ressmpl.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
28		ressmplbas2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
29	27, 3, 9, 14, 28	mplbas 21971	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}
30		dfrab3 4254	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)} = ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)})
31	29, 30	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)})
32	31	ineq2i 4153	. . 3 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐾) = (𝐶 ∩ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}))
33		inass 4163	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}) = (𝐶 ∩ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}))
34	32, 33	eqtr4i 2766	. 2 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐾) = ((𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)})
35	20, 26, 34	3eqtr4g 2800	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 ∩ 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {cab 2718  {crab 3392   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   finSupp cfsupp 9271  Basecbs 17177   ↾_s cress 17198  0_gc0g 17400  SubRingcsubrg 20548   mPwSer cmps 21886   mPoly cmpl 21888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-ofr 7628  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-hash 14291  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-prds 17408  df-pws 17410  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-psr 21891  df-mpl 21893

This theorem is referenced by:  ressmplbas  22010  subrgmpl  22014  ressply1bas2  22219