Theorem ressmplbas2 22137

Description: The base set of a restricted polynomial algebra consists of power series in the subring which are also polynomials (in the parent ring). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmpl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ressmpl.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressmpl.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
ressmpl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressmpl.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
ressmpl.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressmplbas2.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
ressmplbas2.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
ressmplbas2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ressmplbas2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 ∩ 𝐾))

Proof of Theorem ressmplbas2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmpl.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		ressmpl.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
3		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		ressmpl.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
5		ressmplbas2.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
6		ressmplbas2.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	subrgpsr 22087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
8	1, 2, 7	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
9		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
10	9	subrgss 20648	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → 𝐶 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
11	8, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
12		dfss2 3925	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↔ (𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝐶)
13	11, 12	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝐶)
14		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15	4, 14	subrg0 20655	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
16	2, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
17	16	breq2d 5117	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓 finSupp (0g‘𝑅) ↔ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)))
18	17	abbidv 2831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)} = {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)})
19	13, 18	ineq12d 4176	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}) = (𝐶 ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)}))
20	19	eqcomd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)}) = ((𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}))
21		ressmpl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
22		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
23		ressmpl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
24	21, 5, 6, 22, 23	mplbas 22099	. . 3 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)}
25		dfrab3 4274	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)} = (𝐶 ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)})
26	24, 25	eqtri 2788	. 2 ⊢ 𝐵 = (𝐶 ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)})
27		ressmpl.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
28		ressmplbas2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
29	27, 3, 9, 14, 28	mplbas 22099	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}
30		dfrab3 4274	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)} = ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)})
31	29, 30	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)})
32	31	ineq2i 4172	. . 3 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐾) = (𝐶 ∩ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}))
33		inass 4182	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}) = (𝐶 ∩ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}))
34	32, 33	eqtr4i 2791	. 2 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐾) = ((𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)})
35	20, 26, 34	3eqtr4g 2825	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 ∩ 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {cab 2743  {crab 3417   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   finSupp cfsupp 9309  Basecbs 17259   ↾_s cress 17280  0_gc0g 17482  SubRingcsubrg 20645   mPwSer cmps 22014   mPoly cmpl 22016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-hash 14358  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-hom 17324  df-cco 17325  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-prds 17490  df-pws 17492  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mhm 18831  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-mulg 19125  df-subg 19180  df-ghm 19275  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-subrng 20622  df-subrg 20646  df-psr 22019  df-mpl 22021

This theorem is referenced by:  ressmplbas  22138  subrgmpl  22142  ressply1bas2  22347