Theorem ressmplbas2 21950

Description: The base set of a restricted polynomial algebra consists of power series in the subring which are also polynomials (in the parent ring). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmpl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ressmpl.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressmpl.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
ressmpl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressmpl.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
ressmpl.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressmplbas2.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
ressmplbas2.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
ressmplbas2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ressmplbas2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 ∩ 𝐾))

Proof of Theorem ressmplbas2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmpl.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		ressmpl.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
3		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		ressmpl.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
5		ressmplbas2.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
6		ressmplbas2.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	subrgpsr 21903	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
8	1, 2, 7	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
9		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
10	9	subrgss 20475	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → 𝐶 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
11	8, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
12		dfss2 3923	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↔ (𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝐶)
13	11, 12	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝐶)
14		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15	4, 14	subrg0 20482	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
16	2, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
17	16	breq2d 5107	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓 finSupp (0g‘𝑅) ↔ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)))
18	17	abbidv 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)} = {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)})
19	13, 18	ineq12d 4174	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}) = (𝐶 ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)}))
20	19	eqcomd 2735	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)}) = ((𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}))
21		ressmpl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
22		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
23		ressmpl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
24	21, 5, 6, 22, 23	mplbas 21915	. . 3 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)}
25		dfrab3 4272	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)} = (𝐶 ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)})
26	24, 25	eqtri 2752	. 2 ⊢ 𝐵 = (𝐶 ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝐻)})
27		ressmpl.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
28		ressmplbas2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
29	27, 3, 9, 14, 28	mplbas 21915	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}
30		dfrab3 4272	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)} = ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)})
31	29, 30	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)})
32	31	ineq2i 4170	. . 3 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐾) = (𝐶 ∩ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}))
33		inass 4181	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}) = (𝐶 ∩ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}))
34	32, 33	eqtr4i 2755	. 2 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐾) = ((𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∩ {𝑓 ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)})
35	20, 26, 34	3eqtr4g 2789	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 ∩ 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  {crab 3396   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   finSupp cfsupp 9270  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  0_gc0g 17361  SubRingcsubrg 20472   mPwSer cmps 21829   mPoly cmpl 21831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-mulg 18965  df-subg 19020  df-ghm 19110  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-subrng 20449  df-subrg 20473  df-psr 21834  df-mpl 21836

This theorem is referenced by:  ressmplbas  21951  subrgmpl  21955  ressply1bas2  22128