Theorem divsubdir 11047

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by NM, 4-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
divsubdir	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 10602	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
2		divdir 11036	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + -𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (-𝐵 / 𝐶)))
3	1, 2	syl3an2 1209	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + -𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (-𝐵 / 𝐶)))
4		negsub 10651	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
5	4	oveq1d 6921	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + -𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶))
6	5	3adant3 1168	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + -𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶))
7	3, 6	eqtr3d 2864	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐶) + (-𝐵 / 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶))
8		divneg 11045	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → -(𝐵 / 𝐶) = (-𝐵 / 𝐶))
9	8	3expb 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → -(𝐵 / 𝐶) = (-𝐵 / 𝐶))
10	9	3adant1 1166	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → -(𝐵 / 𝐶) = (-𝐵 / 𝐶))
11	10	oveq2d 6922	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐶) + -(𝐵 / 𝐶)) = ((𝐴 / 𝐶) + (-𝐵 / 𝐶)))
12		divcl 11017	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
13	12	3expb 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
14	13	3adant2 1167	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
15		divcl 11017	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
16	15	3expb 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
17	16	3adant1 1166	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
18	14, 17	negsubd 10720	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐶) + -(𝐵 / 𝐶)) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
19	11, 18	eqtr3d 2864	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐶) + (-𝐵 / 𝐶)) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
20	7, 19	eqtr3d 2864	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  (class class class)co 6906  ℂcc 10251  0cc0 10253   + caddc 10256   − cmin 10586  -cneg 10587   / cdiv 11010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-po 5264  df-so 5265  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011

This theorem is referenced by:  subdivcomb2  11048  divsubdird  11167  1mhlfehlf  11578  halfpm6th  11580  halfaddsub  11592  zeo  11792  quoremz  12950  quoremnn0ALT  12952  mulsubdivbinom2  13343  facndiv  13369  bpoly3  15162  cos2bnd  15291  rpnnen2lem3  15320  rpnnen2lem11  15328  pythagtriplem15  15906  ovolscalem1  23680  sinq12gt0  24660  sincos6thpi  24668  ang180lem2  24951  log2cnv  25085  log2tlbnd  25086  basellem3  25223  ppiub  25343  logfacrlim  25363  logexprlim  25364  bposlem8  25430  gausslemma2dlem1a  25504  chtppilimlem1  25576  vmadivsum  25585  rplogsumlem2  25588  rpvmasumlem  25590  rplogsum  25630  mulog2sumlem1  25637  selberg2lem  25653  selberg2  25654  selbergr  25671  pntlemr  25705  pntlemj  25706  ballotth  31146  subdivcomb1  32156  nndivsub  32990  heiborlem6  34158  areaquad  38645  lhe4.4ex1a  39369  stirlinglem10  41095  divsub1dir  43155  line2  43305