Theorem divsubdir 11991

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by NM, 4-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
divsubdir	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 11538	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
2		divdir 11980	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + -𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (-𝐵 / 𝐶)))
3	1, 2	syl3an2 1182	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + -𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (-𝐵 / 𝐶)))
4		negsub 11587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
5	4	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + -𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶))
6	5	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + -𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶))
7	3, 6	eqtr3d 2798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐶) + (-𝐵 / 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶))
8		divneg 11989	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → -(𝐵 / 𝐶) = (-𝐵 / 𝐶))
9	8	3expb 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → -(𝐵 / 𝐶) = (-𝐵 / 𝐶))
10	9	3adant1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → -(𝐵 / 𝐶) = (-𝐵 / 𝐶))
11	10	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐶) + -(𝐵 / 𝐶)) = ((𝐴 / 𝐶) + (-𝐵 / 𝐶)))
12		divcl 11961	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
13	12	3expb 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
14	13	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
15		divcl 11961	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
16	15	3expb 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
17	16	3adant1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
18	14, 17	negsubd 11656	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐶) + -(𝐵 / 𝐶)) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
19	11, 18	eqtr3d 2798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐶) + (-𝐵 / 𝐶)) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
20	7, 19	eqtr3d 2798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181   + caddc 11184   − cmin 11522  -cneg 11523   / cdiv 11954

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955

This theorem is used by:  subdivcomb1  11993  subdivcomb2  11994  divsubdird  12113  halfaddsub  12560  zeo  12766  quoremz  13975  quoremnn0ALT  13977  mulsubdivbinom2  14386  facndiv  14412  bpoly3  16204  cos2bnd  16336  rpnnen2lem3  16364  rpnnen2lem11  16372  pythagtriplem15  16987  ovolscalem1  25814  sinq12gt0  26818  sincos6thpi  26826  ang180lem2  27120  log2cnv  27254  log2tlbnd  27255  basellem3  27392  ppiub  27513  logfacrlim  27533  logexprlim  27534  bposlem8  27600  gausslemma2dlem1a  27674  chtppilimlem1  27782  vmadivsum  27791  rplogsumlem2  27794  rpvmasumlem  27796  rplogsum  27836  mulog2sumlem1  27843  selberg2lem  27859  selberg2  27860  selbergr  27877  pntlemr  27911  pntlemj  27912  ballotth  35153  nndivsub  37215  heiborlem6  38718  areaquad  44176  lhe4.4ex1a  45272  stirlinglem10  47037  ppivalnn4  48656  divsub1dir  49573  line2  49808