MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdivcomb1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subdivcomb1 11906
Description: Bring a term in a subtraction into the numerator. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
subdivcomb1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด) โˆ’ ๐ต) / ๐ถ) = (๐ด โˆ’ (๐ต / ๐ถ)))

Proof of Theorem subdivcomb1
StepHypRef Expression
1 simp3l 1198 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2 simp1 1133 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
31, 2mulcld 11231 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4 divsubdir 11905 . . 3 (((๐ถ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด) โˆ’ ๐ต) / ๐ถ) = (((๐ถ ยท ๐ด) / ๐ถ) โˆ’ (๐ต / ๐ถ)))
53, 4syld3an1 1407 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด) โˆ’ ๐ต) / ๐ถ) = (((๐ถ ยท ๐ด) / ๐ถ) โˆ’ (๐ต / ๐ถ)))
6 divcan3 11895 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) / ๐ถ) = ๐ด)
763expb 1117 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) / ๐ถ) = ๐ด)
873adant2 1128 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) / ๐ถ) = ๐ด)
98oveq1d 7416 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด) / ๐ถ) โˆ’ (๐ต / ๐ถ)) = (๐ด โˆ’ (๐ต / ๐ถ)))
105, 9eqtrd 2764 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด) โˆ’ ๐ต) / ๐ถ) = (๐ด โˆ’ (๐ต / ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932  (class class class)co 7401  โ„‚cc 11104  0cc0 11106   ยท cmul 11111   โˆ’ cmin 11441   / cdiv 11868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869
This theorem is referenced by:  itschlc0xyqsol1  47640
  Copyright terms: Public domain W3C validator