Theorem ppivalnnnprmge6 48183

Description: Value of a term of the prime-counting function pi for positive integers, according to Ján Mináč, for a non-prime number greater than 4. (Contributed by AV, 4-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ppivalnnnprmge6	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)

Proof of Theorem ppivalnnnprmge6

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nprmdvdsfacm1 48181	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
2		eluzelz 12839	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		6nn 12297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℕ
4		elnnuz 12869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 ∈ ℕ ↔ 6 ∈ (ℤ≥‘1))
5	3, 4	mpbi 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ (ℤ≥‘1)
6		uzss 12852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘1) → (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘1))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘1)
8	7	sseli 3927	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
9		elnnuz 12869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
10	8, 9	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ ℕ)
11		nnm1nn0 12512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
13	12	faccld 14287	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12584	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
15		divides 16264	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1))))
16	2, 14, 15	syl2anc 592	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1))))
17		oveq1 7392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) = (𝑚 · 𝑁) → ((!‘(𝑁 − 1)) + 1) = ((𝑚 · 𝑁) + 1))
18	17	oveq1d 7400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) = (𝑚 · 𝑁) → (((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) = (((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁))
19		fvoveq1 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) = (𝑚 · 𝑁) → (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)) = (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)))
20	18, 19	oveq12d 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) = (𝑚 · 𝑁) → ((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁))) = ((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁))))
21	20	fveq2d 6860	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) = (𝑚 · 𝑁) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = (⌊‘((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)))))
22	21	eqcoms 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = (⌊‘((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)))))
23		zcn 12563	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
24	23	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
25		eluzelcn 12841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ ℂ)
26	25	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
27		1cnd 11165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
28	10	nnne0d 12253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ≠ 0)
29	28	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
30	24, 26, 27, 29	muldivdid 11875	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) = (𝑚 + (1 / 𝑁)))
31	24, 26, 29	divcan4d 11963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑁) / 𝑁) = 𝑚)
32	31	fveq2d 6860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)) = (⌊‘𝑚))
33		flid 13808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘𝑚) = 𝑚)
34	33	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘𝑚) = 𝑚)
35	32, 34	eqtrd 2791	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)) = 𝑚)
36	30, 35	oveq12d 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁))) = ((𝑚 + (1 / 𝑁)) − 𝑚))
37	36	fveq2d 6860	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)))) = (⌊‘((𝑚 + (1 / 𝑁)) − 𝑚)))
38	25, 28	reccld 11950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
39	38	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
40	24, 39	pncan2d 11534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 + (1 / 𝑁)) − 𝑚) = (1 / 𝑁))
41	40	fveq2d 6860	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑚 + (1 / 𝑁)) − 𝑚)) = (⌊‘(1 / 𝑁)))
42		2z 12593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
43	3	nnzi 12585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℤ
44		2re 12282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
45		6re 12298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℝ
46		2lt6 12394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 < 6
47	44, 45, 46	ltleii 11296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≤ 6
48		eluz2 12835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 6))
49	42, 43, 47, 48	mpbir3an 1351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ (ℤ≥‘2)
50		uzss 12852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘2) → (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘2))
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘2)
52	51	sseli 3927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
53		nnge2recfl0 47884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(1 / 𝑁)) = 0)
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (⌊‘(1 / 𝑁)) = 0)
55	54	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘(1 / 𝑁)) = 0)
56	37, 41, 55	3eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)))) = 0)
57	22, 56	sylan9eqr 2813	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1))) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
58	57	ex 415	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
59	58	rexlimdva 3157	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
60	16, 59	sylbid 242	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
61	60	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
62	1, 61	mpd 15	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951   ∉ wnel 3055  ∃wrex 3080   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5094  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  ℂcc 11061  0cc0 11063  1c1 11064   + caddc 11066   · cmul 11068   ≤ cle 11207   − cmin 11404   / cdiv 11834  ℕcn 12200  2c2 12262  6c6 12266  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12829  ⌊cfl 13790  !cfa 14276   ∥ cdvds 16262  ℙcprime 16681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-rp 12984  df-ico 13345  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-fl 13792  df-seq 14005  df-exp 14065  df-fac 14277  df-bc 14306  df-cj 15102  df-re 15103  df-im 15104  df-sqrt 15238  df-abs 15239  df-dvds 16263  df-prm 16682

This theorem is referenced by:  ppivalnnnprm  48185