Theorem ppivalnnnprmge6 48086

Description: Value of a term of the prime-counting function pi for positive integers, according to Ján Mináč, for a non-prime number greater than 4. (Contributed by AV, 4-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ppivalnnnprmge6	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)

Proof of Theorem ppivalnnnprmge6

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nprmdvdsfacm1 48084	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
2		eluzelz 12787	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		6nn 12259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℕ
4		elnnuz 12817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 ∈ ℕ ↔ 6 ∈ (ℤ≥‘1))
5	3, 4	mpbi 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ (ℤ≥‘1)
6		uzss 12800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘1) → (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘1))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘1)
8	7	sseli 3918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
9		elnnuz 12817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
10	8, 9	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ ℕ)
11		nnm1nn0 12467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
13	12	faccld 14235	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12539	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
15		divides 16212	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1))))
16	2, 14, 15	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1))))
17		oveq1 7365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) = (𝑚 · 𝑁) → ((!‘(𝑁 − 1)) + 1) = ((𝑚 · 𝑁) + 1))
18	17	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) = (𝑚 · 𝑁) → (((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) = (((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁))
19		fvoveq1 7381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) = (𝑚 · 𝑁) → (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)) = (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)))
20	18, 19	oveq12d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) = (𝑚 · 𝑁) → ((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁))) = ((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁))))
21	20	fveq2d 6836	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) = (𝑚 · 𝑁) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = (⌊‘((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)))))
22	21	eqcoms 2745	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = (⌊‘((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)))))
23		zcn 12518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
25		eluzelcn 12789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ ℂ)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
27		1cnd 11128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
28	10	nnne0d 12216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ≠ 0)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
30	24, 26, 27, 29	muldivdid 11838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) = (𝑚 + (1 / 𝑁)))
31	24, 26, 29	divcan4d 11926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑁) / 𝑁) = 𝑚)
32	31	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)) = (⌊‘𝑚))
33		flid 13756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘𝑚) = 𝑚)
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘𝑚) = 𝑚)
35	32, 34	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)) = 𝑚)
36	30, 35	oveq12d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁))) = ((𝑚 + (1 / 𝑁)) − 𝑚))
37	36	fveq2d 6836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)))) = (⌊‘((𝑚 + (1 / 𝑁)) − 𝑚)))
38	25, 28	reccld 11913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
40	24, 39	pncan2d 11496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 + (1 / 𝑁)) − 𝑚) = (1 / 𝑁))
41	40	fveq2d 6836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑚 + (1 / 𝑁)) − 𝑚)) = (⌊‘(1 / 𝑁)))
42		2z 12548	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
43	3	nnzi 12540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℤ
44		2re 12244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
45		6re 12260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℝ
46		2lt6 12349	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 < 6
47	44, 45, 46	ltleii 11258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≤ 6
48		eluz2 12783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 6))
49	42, 43, 47, 48	mpbir3an 1343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ (ℤ≥‘2)
50		uzss 12800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘2) → (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘2))
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘2)
52	51	sseli 3918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
53		nnge2recfl0 47787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(1 / 𝑁)) = 0)
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (⌊‘(1 / 𝑁)) = 0)
55	54	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘(1 / 𝑁)) = 0)
56	37, 41, 55	3eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)))) = 0)
57	22, 56	sylan9eqr 2794	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1))) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
58	57	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
59	58	rexlimdva 3139	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
60	16, 59	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
61	60	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
62	1, 61	mpd 15	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∉ wnel 3037  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032   ≤ cle 11169   − cmin 11366   / cdiv 11796  ℕcn 12163  2c2 12225  6c6 12229  ℕ₀cn0 12426  ℤcz 12513  ℤ_≥cuz 12777  ⌊cfl 13738  !cfa 14224   ∥ cdvds 16210  ℙcprime 16629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-ico 13293  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-seq 13953  df-exp 14013  df-fac 14225  df-bc 14254  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16211  df-prm 16630

This theorem is referenced by:  ppivalnnnprm  48088