Theorem ppivalnnnprmge6 48916

Description: Value of a term of the prime-counting function pi for positive integers, according to Ján Mináč, for a non-prime number greater than 4. (Contributed by AV, 4-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ppivalnnnprmge6	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)

Proof of Theorem ppivalnnnprmge6

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nprmdvdsfacm1 48914	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
2		eluzelz 13002	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		6nn 12459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℕ
4		elnnuz 13032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 ∈ ℕ ↔ 6 ∈ (ℤ≥‘1))
5	3, 4	mpbi 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ (ℤ≥‘1)
6		uzss 13015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘1) → (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘1))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘1)
8	7	sseli 3909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
9		elnnuz 13032	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
10	8, 9	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ ℕ)
11		nnm1nn0 12674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
13	12	faccld 14455	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12746	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
15		divides 16453	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1))))
16	2, 14, 15	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1))))
17		oveq1 7450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) = (𝑚 · 𝑁) → ((!‘(𝑁 − 1)) + 1) = ((𝑚 · 𝑁) + 1))
18	17	oveq1d 7458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) = (𝑚 · 𝑁) → (((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) = (((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁))
19		fvoveq1 7466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) = (𝑚 · 𝑁) → (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)) = (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)))
20	18, 19	oveq12d 7461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) = (𝑚 · 𝑁) → ((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁))) = ((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁))))
21	20	fveq2d 6912	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) = (𝑚 · 𝑁) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = (⌊‘((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)))))
22	21	eqcoms 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = (⌊‘((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)))))
23		zcn 12725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
24	23	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
25		eluzelcn 13004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ ℂ)
26	25	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
27		1cnd 11329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
28	10	nnne0d 12415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ≠ 0)
29	28	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
30	24, 26, 27, 29	muldivdid 12038	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) = (𝑚 + (1 / 𝑁)))
31	24, 26, 29	divcan4d 12126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑁) / 𝑁) = 𝑚)
32	31	fveq2d 6912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)) = (⌊‘𝑚))
33		flid 13975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘𝑚) = 𝑚)
34	33	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘𝑚) = 𝑚)
35	32, 34	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)) = 𝑚)
36	30, 35	oveq12d 7461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁))) = ((𝑚 + (1 / 𝑁)) − 𝑚))
37	36	fveq2d 6912	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)))) = (⌊‘((𝑚 + (1 / 𝑁)) − 𝑚)))
38	25, 28	reccld 12113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
39	38	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
40	24, 39	pncan2d 11698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 + (1 / 𝑁)) − 𝑚) = (1 / 𝑁))
41	40	fveq2d 6912	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑚 + (1 / 𝑁)) − 𝑚)) = (⌊‘(1 / 𝑁)))
42		2z 12755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
43	3	nnzi 12747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℤ
44		2re 12444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
45		6re 12460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℝ
46		2lt6 12556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 < 6
47	44, 45, 46	ltleii 11460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≤ 6
48		eluz2 12998	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 6))
49	42, 43, 47, 48	mpbir3an 1360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ (ℤ≥‘2)
50		uzss 13015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘2) → (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘2))
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘2)
52	51	sseli 3909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
53		nnge2recfl0 48617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(1 / 𝑁)) = 0)
54	52, 53	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (⌊‘(1 / 𝑁)) = 0)
55	54	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘(1 / 𝑁)) = 0)
56	37, 41, 55	3eqtrd 2802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)))) = 0)
57	22, 56	sylan9eqr 2820	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1))) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
58	57	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
59	58	rexlimdva 3167	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
60	16, 59	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
61	60	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
62	1, 61	mpd 16	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∉ wnel 3065  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232   ≤ cle 11371   − cmin 11568   / cdiv 12000  ℕcn 12362  2c2 12424  6c6 12428  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720  ℤ_≥cuz 12992  ⌊cfl 13957  !cfa 14444   ∥ cdvds 16451  ℙcprime 16875

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-ico 13509  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-fac 14445  df-bc 14474  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-dvds 16452  df-prm 16876

This theorem is used by:  ppivalnnnprm  48918