Theorem ppivalnnnprmge6 48633

Description: Value of a term of the prime-counting function pi for positive integers, according to Ján Mináč, for a non-prime number greater than 4. (Contributed by AV, 4-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ppivalnnnprmge6	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)

Proof of Theorem ppivalnnnprmge6

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nprmdvdsfacm1 48631	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
2		eluzelz 12945	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		6nn 12402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℕ
4		elnnuz 12975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 ∈ ℕ ↔ 6 ∈ (ℤ≥‘1))
5	3, 4	mpbi 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ (ℤ≥‘1)
6		uzss 12958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘1) → (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘1))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘1)
8	7	sseli 3926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
9		elnnuz 12975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
10	8, 9	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ ℕ)
11		nnm1nn0 12617	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
13	12	faccld 14396	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12689	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
15		divides 16392	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1))))
16	2, 14, 15	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1))))
17		oveq1 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) = (𝑚 · 𝑁) → ((!‘(𝑁 − 1)) + 1) = ((𝑚 · 𝑁) + 1))
18	17	oveq1d 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) = (𝑚 · 𝑁) → (((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) = (((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁))
19		fvoveq1 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) = (𝑚 · 𝑁) → (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)) = (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)))
20	18, 19	oveq12d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) = (𝑚 · 𝑁) → ((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁))) = ((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁))))
21	20	fveq2d 6877	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) = (𝑚 · 𝑁) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = (⌊‘((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)))))
22	21	eqcoms 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = (⌊‘((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)))))
23		zcn 12668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
24	23	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
25		eluzelcn 12947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ ℂ)
26	25	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
27		1cnd 11274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
28	10	nnne0d 12358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ≠ 0)
29	28	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
30	24, 26, 27, 29	muldivdid 11981	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) = (𝑚 + (1 / 𝑁)))
31	24, 26, 29	divcan4d 12069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑁) / 𝑁) = 𝑚)
32	31	fveq2d 6877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)) = (⌊‘𝑚))
33		flid 13917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘𝑚) = 𝑚)
34	33	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘𝑚) = 𝑚)
35	32, 34	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)) = 𝑚)
36	30, 35	oveq12d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁))) = ((𝑚 + (1 / 𝑁)) − 𝑚))
37	36	fveq2d 6877	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)))) = (⌊‘((𝑚 + (1 / 𝑁)) − 𝑚)))
38	25, 28	reccld 12056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
39	38	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
40	24, 39	pncan2d 11643	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 + (1 / 𝑁)) − 𝑚) = (1 / 𝑁))
41	40	fveq2d 6877	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑚 + (1 / 𝑁)) − 𝑚)) = (⌊‘(1 / 𝑁)))
42		2z 12698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
43	3	nnzi 12690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℤ
44		2re 12387	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
45		6re 12403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℝ
46		2lt6 12499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 < 6
47	44, 45, 46	ltleii 11405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≤ 6
48		eluz2 12941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 6))
49	42, 43, 47, 48	mpbir3an 1360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ (ℤ≥‘2)
50		uzss 12958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘2) → (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘2))
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘2)
52	51	sseli 3926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
53		nnge2recfl0 48334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(1 / 𝑁)) = 0)
54	52, 53	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (⌊‘(1 / 𝑁)) = 0)
55	54	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘(1 / 𝑁)) = 0)
56	37, 41, 55	3eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)))) = 0)
57	22, 56	sylan9eqr 2817	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1))) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
58	57	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
59	58	rexlimdva 3163	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
60	16, 59	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
61	60	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
62	1, 61	mpd 16	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∉ wnel 3061  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℂcc 11170  0cc0 11172  1c1 11173   + caddc 11175   · cmul 11177   ≤ cle 11316   − cmin 11513   / cdiv 11943  ℕcn 12305  2c2 12367  6c6 12371  ℕ₀cn0 12576  ℤcz 12663  ℤ_≥cuz 12935  ⌊cfl 13899  !cfa 14385   ∥ cdvds 16390  ℙcprime 16809

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-rp 13091  df-ico 13452  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-fl 13901  df-seq 14114  df-exp 14174  df-fac 14386  df-bc 14415  df-cj 15234  df-re 15235  df-im 15236  df-sqrt 15370  df-abs 15371  df-dvds 16391  df-prm 16810

This theorem is used by:  ppivalnnnprm  48635