Theorem ppivalnnnprmge6 48105

Description: Value of a term of the prime-counting function pi for positive integers, according to Ján Mináč, for a non-prime number greater than 4. (Contributed by AV, 4-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ppivalnnnprmge6	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)

Proof of Theorem ppivalnnnprmge6

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nprmdvdsfacm1 48103	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
2		eluzelz 12796	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		6nn 12268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℕ
4		elnnuz 12826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 ∈ ℕ ↔ 6 ∈ (ℤ≥‘1))
5	3, 4	mpbi 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ (ℤ≥‘1)
6		uzss 12809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘1) → (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘1))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘1)
8	7	sseli 3918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
9		elnnuz 12826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
10	8, 9	sylibr 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ ℕ)
11		nnm1nn0 12476	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
13	12	faccld 14244	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12548	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
15		divides 16221	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1))))
16	2, 14, 15	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1))))
17		oveq1 7370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) = (𝑚 · 𝑁) → ((!‘(𝑁 − 1)) + 1) = ((𝑚 · 𝑁) + 1))
18	17	oveq1d 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) = (𝑚 · 𝑁) → (((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) = (((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁))
19		fvoveq1 7386	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) = (𝑚 · 𝑁) → (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)) = (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)))
20	18, 19	oveq12d 7381	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) = (𝑚 · 𝑁) → ((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁))) = ((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁))))
21	20	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) = (𝑚 · 𝑁) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = (⌊‘((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)))))
22	21	eqcoms 2748	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = (⌊‘((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)))))
23		zcn 12527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
24	23	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
25		eluzelcn 12798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ ℂ)
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
27		1cnd 11137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
28	10	nnne0d 12225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ≠ 0)
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
30	24, 26, 27, 29	muldivdid 11847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) = (𝑚 + (1 / 𝑁)))
31	24, 26, 29	divcan4d 11935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑁) / 𝑁) = 𝑚)
32	31	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)) = (⌊‘𝑚))
33		flid 13765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘𝑚) = 𝑚)
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘𝑚) = 𝑚)
35	32, 34	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)) = 𝑚)
36	30, 35	oveq12d 7381	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁))) = ((𝑚 + (1 / 𝑁)) − 𝑚))
37	36	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)))) = (⌊‘((𝑚 + (1 / 𝑁)) − 𝑚)))
38	25, 28	reccld 11922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
40	24, 39	pncan2d 11505	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 + (1 / 𝑁)) − 𝑚) = (1 / 𝑁))
41	40	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑚 + (1 / 𝑁)) − 𝑚)) = (⌊‘(1 / 𝑁)))
42		2z 12557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
43	3	nnzi 12549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℤ
44		2re 12253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
45		6re 12269	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℝ
46		2lt6 12358	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 < 6
47	44, 45, 46	ltleii 11267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≤ 6
48		eluz2 12792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 6))
49	42, 43, 47, 48	mpbir3an 1348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ (ℤ≥‘2)
50		uzss 12809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘2) → (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘2))
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘2)
52	51	sseli 3918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
53		nnge2recfl0 47806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(1 / 𝑁)) = 0)
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (⌊‘(1 / 𝑁)) = 0)
55	54	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘(1 / 𝑁)) = 0)
56	37, 41, 55	3eqtrd 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (⌊‘((((𝑚 · 𝑁) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((𝑚 · 𝑁) / 𝑁)))) = 0)
57	22, 56	sylan9eqr 2797	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1))) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
58	57	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
59	58	rexlimdva 3141	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑁) = (!‘(𝑁 − 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
60	16, 59	sylbid 241	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
61	60	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
62	1, 61	mpd 15	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   ∉ wnel 3039  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   ≤ cle 11178   − cmin 11375   / cdiv 11805  ℕcn 12172  2c2 12234  6c6 12238  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ⌊cfl 13747  !cfa 14233   ∥ cdvds 16219  ℙcprime 16638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-ico 13302  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-bc 14263  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-dvds 16220  df-prm 16639

This theorem is referenced by:  ppivalnnnprm  48107