![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > muldivdir | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Distribution of division over addition with a multiplication. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
muldivdir | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ (((๐ถ ยท ๐ด) + ๐ต) / ๐ถ) = (๐ด + (๐ต / ๐ถ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simp3l 1202 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ๐ถ โ โ) | |
2 | simp1 1137 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ๐ด โ โ) | |
3 | 1, 2 | mulcld 11176 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ (๐ถ ยท ๐ด) โ โ) |
4 | divdir 11839 | . . 3 โข (((๐ถ ยท ๐ด) โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ (((๐ถ ยท ๐ด) + ๐ต) / ๐ถ) = (((๐ถ ยท ๐ด) / ๐ถ) + (๐ต / ๐ถ))) | |
5 | 3, 4 | syld3an1 1411 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ (((๐ถ ยท ๐ด) + ๐ต) / ๐ถ) = (((๐ถ ยท ๐ด) / ๐ถ) + (๐ต / ๐ถ))) |
6 | 3anass 1096 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง ๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0) โ (๐ด โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0))) | |
7 | 6 | biimpri 227 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ (๐ด โ โ โง ๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) |
8 | 7 | 3adant2 1132 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ (๐ด โ โ โง ๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) |
9 | divcan3 11840 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0) โ ((๐ถ ยท ๐ด) / ๐ถ) = ๐ด) | |
10 | 8, 9 | syl 17 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ถ ยท ๐ด) / ๐ถ) = ๐ด) |
11 | 10 | oveq1d 7373 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ (((๐ถ ยท ๐ด) / ๐ถ) + (๐ต / ๐ถ)) = (๐ด + (๐ต / ๐ถ))) |
12 | 5, 11 | eqtrd 2777 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ (((๐ถ ยท ๐ด) + ๐ต) / ๐ถ) = (๐ด + (๐ต / ๐ถ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ wne 2944 (class class class)co 7358 โcc 11050 0cc0 11052 + caddc 11055 ยท cmul 11057 / cdiv 11813 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-resscn 11109 ax-1cn 11110 ax-icn 11111 ax-addcl 11112 ax-addrcl 11113 ax-mulcl 11114 ax-mulrcl 11115 ax-mulcom 11116 ax-addass 11117 ax-mulass 11118 ax-distr 11119 ax-i2m1 11120 ax-1ne0 11121 ax-1rid 11122 ax-rnegex 11123 ax-rrecex 11124 ax-cnre 11125 ax-pre-lttri 11126 ax-pre-lttrn 11127 ax-pre-ltadd 11128 ax-pre-mulgt0 11129 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3409 df-v 3448 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-id 5532 df-po 5546 df-so 5547 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-er 8649 df-en 8885 df-dom 8886 df-sdom 8887 df-pnf 11192 df-mnf 11193 df-xr 11194 df-ltxr 11195 df-le 11196 df-sub 11388 df-neg 11389 df-div 11814 |
This theorem is referenced by: ltoddhalfle 16244 halfleoddlt 16245 eenglngeehlnmlem1 46830 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |