Theorem lt0neg1 10865

Description: Comparison of a number and its negative to zero. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lt0neg1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))

Proof of Theorem lt0neg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10365	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		ltneg 10859	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 ↔ -0 < -𝐴))
3	1, 2	mpan2 682	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ -0 < -𝐴))
4		neg0 10655	. . 3 ⊢ -0 = 0
5	4	breq1i 4882	. 2 ⊢ (-0 < -𝐴 ↔ 0 < -𝐴)
6	3, 5	syl6bb 279	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4875  ℝcr 10258  0cc0 10259   < clt 10398  -cneg 10593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595

This theorem is referenced by:  mullt0  10878  lt0neg1d  10928  recgt0ii  11266  rpneg  12153  negelrp  12154  divalglem6  15502  sinhalfpilem  24622  atanbnd  25073  sgnmulsgp  31154  mulltgt0  39998  ztprmneprm  42990