Theorem negcld 11562

Description: Closure law for negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negcl 11463	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142  ℂcc 11104  -cneg 11448

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11449  df-neg 11450

This theorem is used by:  negcon1ad  11570  mulsubaddmulsub  11684  recextlem1  11850  mul2lt0rlt0  13126  xov1plusxeqvd  13531  ceim1l  13887  modnegd  13969  expaddzlem  14148  cjreb  15181  sqrtneg  15325  max0add  15368  reusq0  15523  iseraltlem2  15741  iseraltlem3  15742  fsumsub  15846  telfsumo2  15862  incexc  15898  incexc2  15899  fallrisefac  16086  binomrisefac  16102  efne0d  16157  efi4p  16199  oexpneg  16409  bitscmp  16502  bitsf1  16510  pcadd2  16956  gznegcl  17001  mulgdirlem  19177  mulgdir  19178  znunit  21724  cphsqrtcl2  25356  pjthlem1  25607  mbfsub  25832  iblcnlem1  25958  itgcnlem  25960  iblneg  25973  itgneg  25974  iblsub  25992  itgsub  25996  ditgcl  26028  dvrec  26125  dvmptsub  26137  dvrecg  26143  dvmptdiv  26144  dvsincos  26151  rolle  26160  vieta1lem2  26483  vieta1  26484  sinmpi  26663  cosmpi  26664  sinppi  26665  cosppi  26666  tanabsge  26682  efeq1  26704  tanord  26714  logtayl  26836  logtayl2  26838  logccv  26839  cxpneg  26857  cxpmul2z  26867  logreclem  26938  cosangneg2d  26983  isosctrlem2  26995  isosctrlem3  26996  angpieqvdlem  27004  quad2  27015  dcubic1lem  27019  dcubic2  27020  dcubic  27022  mcubic  27023  dquartlem1  27027  dquartlem2  27028  dquart  27029  quartlem1  27033  quartlem2  27034  quartlem3  27035  quartlem4  27036  quart  27037  asinlem  27044  asinlem2  27045  asinneg  27062  sinasin  27065  cosasin  27080  atandmneg  27082  tanatan  27095  atandmtan  27096  atantan  27099  atantayl  27113  zetacvg  27190  dmgmaddnn0  27202  lgamgulmlem2  27205  lgamgulmlem4  27207  lgambdd  27212  lgamucov  27213  ftalem4  27251  ftalem5  27252  ftalem7  27254  basellem5  27260  chpdifbndlem1  27728  padicabvcxp  27807  brbtwn2  29266  ipasslem2  31195  pjhthlem1  31754  quad3d  33105  divnumden2  33171  archirngz  33518  constrrtlc1  34131  constrrtcclem  34133  constrrtcc  34134  constrfin  34145  constrnegcl  34162  iconstr  34165  constrremulcl  34166  2sqr3minply  34179  cos9thpiminplylem1  34181  cos9thpiminplylem2  34182  madjusmdetlem4  34229  circlemeth  35036  logdivsqrle  35046  poimirlem29  38328  dvtan  38349  itg2addnclem3  38352  iblsubnc  38360  itgsubnc  38361  itgmulc2nc  38367  ftc1anclem5  38376  ftc1anclem8  38379  dvasin  38383  areacirclem1  38387  lcmineqlem10  42833  lcmineqlem12  42835  posbezout  42895  redvmptabs  43149  dffltz  43394  3cubeslem3r  43446  pell1234qrreccl  43609  pell14qrdich  43624  rmxyneg  43675  acongsym  43731  jm2.26a  43755  jm2.26lem3  43756  expgrowth  45073  binomcxplemdvbinom  45091  binomcxplemnotnn0  45094  sineq0ALT  45673  fzisoeu  46047  fperiodmul  46051  isumneg  46346  climneg  46354  neglimc  46389  sublimc  46394  reclimc  46395  dvcosre  46654  dvcosax  46668  itgsin0pilem1  46692  itgsinexplem1  46696  itgsincmulx  46716  stoweidlem13  46755  stirlinglem5  46820  dirkertrigeqlem3  46842  fourierdlem30  46879  fourierdlem39  46888  fourierdlem40  46889  fourierdlem41  46890  fourierdlem43  46892  fourierdlem47  46895  fourierdlem48  46896  fourierdlem49  46897  fourierdlem73  46921  fourierdlem78  46926  fourierdlem92  46940  fourierdlem101  46949  fourierdlem103  46951  fourierdlem111  46959  sqwvfoura  46970  fouriersw  46973  etransclem17  46993  etransclem18  46994  etransclem23  46999  etransclem46  47022  sigarms  47598  sigaradd  47608  sqrtnegnre  48072  quad1  48413  requad01  48414  requad1  48415  requad2  48416  oexpnegALTV  48470  oexpnegnz  48471  2zrngagrp  49042  altgsumbc  49160  dignn0flhalflem1  49423  line2ylem  49559  itschlc0yqe  49568  itsclc0yqsol  49572  itschlc0xyqsol  49575  amgmwlem  50677