Theorem negcld 11462

Description: Closure law for negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negcl 11363	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ℂcc 11007  -cneg 11348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154  df-sub 11349  df-neg 11350

This theorem is referenced by:  negcon1ad  11470  mulsubaddmulsub  11584  recextlem1  11750  mul2lt0rlt0  12997  xov1plusxeqvd  13401  ceim1l  13751  modnegd  13833  expaddzlem  14012  cjreb  15030  sqrtneg  15174  max0add  15217  reusq0  15372  iseraltlem2  15590  iseraltlem3  15591  fsumsub  15695  telfsumo2  15710  incexc  15744  incexc2  15745  fallrisefac  15932  binomrisefac  15949  efne0d  16004  efi4p  16046  oexpneg  16256  bitscmp  16349  bitsf1  16357  pcadd2  16802  gznegcl  16847  mulgdirlem  18984  mulgdir  18985  znunit  21470  cphsqrtcl2  25084  pjthlem1  25335  mbfsub  25561  iblcnlem1  25687  itgcnlem  25689  iblneg  25702  itgneg  25703  iblsub  25721  itgsub  25725  ditgcl  25757  dvrec  25857  dvmptsub  25869  dvrecg  25875  dvmptdiv  25876  dvsincos  25883  rolle  25892  vieta1lem2  26217  vieta1  26218  sinmpi  26394  cosmpi  26395  sinppi  26396  cosppi  26397  tanabsge  26413  efeq1  26435  tanord  26445  logtayl  26567  logtayl2  26569  logccv  26570  cxpneg  26588  cxpmul2z  26598  logreclem  26670  cosangneg2d  26715  isosctrlem2  26727  isosctrlem3  26728  angpieqvdlem  26736  quad2  26747  dcubic1lem  26751  dcubic2  26752  dcubic  26754  mcubic  26755  dquartlem1  26759  dquartlem2  26760  dquart  26761  quartlem1  26765  quartlem2  26766  quartlem3  26767  quartlem4  26768  quart  26769  asinlem  26776  asinlem2  26777  asinneg  26794  sinasin  26797  cosasin  26812  atandmneg  26814  tanatan  26827  atandmtan  26828  atantan  26831  atantayl  26845  zetacvg  26923  dmgmaddnn0  26935  lgamgulmlem2  26938  lgamgulmlem4  26940  lgambdd  26945  lgamucov  26946  ftalem4  26984  ftalem5  26985  ftalem7  26987  basellem5  26993  chpdifbndlem1  27462  padicabvcxp  27541  brbtwn2  28854  ipasslem2  30780  pjhthlem1  31339  quad3d  32702  divnumden2  32769  archirngz  33140  constrrtlc1  33715  constrrtcclem  33717  constrrtcc  33718  constrfin  33729  constrnegcl  33746  iconstr  33749  constrremulcl  33750  2sqr3minply  33763  cos9thpiminplylem1  33765  cos9thpiminplylem2  33766  madjusmdetlem4  33813  circlemeth  34624  logdivsqrle  34634  poimirlem29  37649  dvtan  37670  itg2addnclem3  37673  iblsubnc  37681  itgsubnc  37682  itgmulc2nc  37688  ftc1anclem5  37697  ftc1anclem8  37700  dvasin  37704  areacirclem1  37708  lcmineqlem10  42031  lcmineqlem12  42033  posbezout  42093  redvmptabs  42353  dffltz  42627  3cubeslem3r  42680  pell1234qrreccl  42847  pell14qrdich  42862  rmxyneg  42913  acongsym  42969  jm2.26a  42993  jm2.26lem3  42994  expgrowth  44328  binomcxplemdvbinom  44346  binomcxplemnotnn0  44349  sineq0ALT  44930  fzisoeu  45302  fperiodmul  45306  isumneg  45603  climneg  45611  neglimc  45648  sublimc  45653  reclimc  45654  dvcosre  45913  dvcosax  45927  itgsin0pilem1  45951  itgsinexplem1  45955  itgsincmulx  45975  stoweidlem13  46014  stirlinglem5  46079  dirkertrigeqlem3  46101  fourierdlem30  46138  fourierdlem39  46147  fourierdlem40  46148  fourierdlem41  46149  fourierdlem43  46151  fourierdlem47  46154  fourierdlem48  46155  fourierdlem49  46156  fourierdlem73  46180  fourierdlem78  46185  fourierdlem92  46199  fourierdlem101  46208  fourierdlem103  46210  fourierdlem111  46218  sqwvfoura  46229  fouriersw  46232  etransclem17  46252  etransclem18  46253  etransclem23  46258  etransclem46  46281  sigarms  46857  sigaradd  46867  sqrtnegnre  47311  quad1  47624  requad01  47625  requad1  47626  requad2  47627  oexpnegALTV  47681  oexpnegnz  47682  2zrngagrp  48253  altgsumbc  48356  dignn0flhalflem1  48620  line2ylem  48756  itschlc0yqe  48765  itsclc0yqsol  48769  itschlc0xyqsol  48772  amgmwlem  49807