Theorem negcld 10986

Description: Closure law for negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negcl 10888	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ℂcc 10537  -cneg 10873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682  df-sub 10874  df-neg 10875

This theorem is referenced by:  negcon1ad  10994  mulsubaddmulsub  11106  recextlem1  11272  mul2lt0rlt0  12494  xov1plusxeqvd  12887  ceim1l  13218  modnegd  13297  expaddzlem  13475  cjreb  14484  sqrtneg  14629  max0add  14672  reusq0  14824  iseraltlem2  15041  iseraltlem3  15042  fsumsub  15145  telfsumo2  15160  incexc  15194  incexc2  15195  fallrisefac  15381  binomrisefac  15398  efi4p  15492  oexpneg  15696  bitscmp  15789  bitsf1  15797  pcadd2  16228  gznegcl  16273  mulgdirlem  18260  mulgdir  18261  znunit  20712  cphsqrtcl2  23792  pjthlem1  24042  mbfsub  24265  iblcnlem1  24390  itgcnlem  24392  iblneg  24405  itgneg  24406  iblsub  24424  itgsub  24428  ditgcl  24458  dvrec  24554  dvmptsub  24566  dvrecg  24572  dvmptdiv  24573  dvsincos  24580  rolle  24589  vieta1lem2  24902  vieta1  24903  sinmpi  25075  cosmpi  25076  sinppi  25077  cosppi  25078  tanabsge  25094  efeq1  25115  tanord  25124  logtayl  25245  logtayl2  25247  logccv  25248  cxpneg  25266  cxpmul2z  25276  logreclem  25342  cosangneg2d  25387  isosctrlem2  25399  isosctrlem3  25400  angpieqvdlem  25408  quad2  25419  dcubic1lem  25423  dcubic2  25424  dcubic  25426  mcubic  25427  dquartlem1  25431  dquartlem2  25432  dquart  25433  quartlem1  25437  quartlem2  25438  quartlem3  25439  quartlem4  25440  quart  25441  asinlem  25448  asinlem2  25449  asinneg  25466  sinasin  25469  cosasin  25484  atandmneg  25486  tanatan  25499  atandmtan  25500  atantan  25503  atantayl  25517  zetacvg  25594  dmgmaddnn0  25606  lgamgulmlem2  25609  lgamgulmlem4  25611  lgambdd  25616  lgamucov  25617  ftalem4  25655  ftalem5  25656  ftalem7  25658  basellem5  25664  chpdifbndlem1  26131  padicabvcxp  26210  brbtwn2  26693  ipasslem2  28611  pjhthlem1  29170  divnumden2  30536  archirngz  30820  madjusmdetlem4  31097  circlemeth  31913  logdivsqrle  31923  poimirlem29  34923  dvtan  34944  itg2addnclem3  34947  iblsubnc  34955  itgsubnc  34956  itgmulc2nc  34962  ftc1anclem5  34973  ftc1anclem8  34976  dvasin  34980  areacirclem1  34984  dffltz  39278  3cubeslem3r  39291  pell1234qrreccl  39458  pell14qrdich  39473  rmxyneg  39524  acongsym  39580  jm2.26a  39604  jm2.26lem3  39605  expgrowth  40674  binomcxplemdvbinom  40692  binomcxplemnotnn0  40695  sineq0ALT  41278  fzisoeu  41574  fperiodmul  41578  isumneg  41890  climneg  41898  neglimc  41935  sublimc  41940  reclimc  41941  dvcosre  42203  dvcosax  42218  itgsin0pilem1  42242  itgsinexplem1  42246  itgsincmulx  42266  stoweidlem13  42305  stirlinglem5  42370  dirkertrigeqlem3  42392  fourierdlem30  42429  fourierdlem39  42438  fourierdlem40  42439  fourierdlem41  42440  fourierdlem43  42442  fourierdlem47  42445  fourierdlem48  42446  fourierdlem49  42447  fourierdlem73  42471  fourierdlem78  42476  fourierdlem92  42490  fourierdlem101  42499  fourierdlem103  42501  fourierdlem111  42509  sqwvfoura  42520  fouriersw  42523  etransclem17  42543  etransclem18  42544  etransclem23  42549  etransclem46  42572  sigarms  43120  sigaradd  43130  sqrtnegnre  43514  quad1  43792  requad01  43793  requad1  43794  requad2  43795  oexpnegALTV  43849  oexpnegnz  43850  2zrngagrp  44221  altgsumbc  44407  dignn0flhalflem1  44682  line2ylem  44745  itschlc0yqe  44754  itsclc0yqsol  44758  itschlc0xyqsol  44761  amgmwlem  44910