Theorem negcld 11412

Description: Closure law for negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negcl 11314	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  ℂcc 10962  -cneg 11299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-id 5512  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-ltxr 11107  df-sub 11300  df-neg 11301

This theorem is referenced by:  negcon1ad  11420  mulsubaddmulsub  11532  recextlem1  11698  mul2lt0rlt0  12925  xov1plusxeqvd  13323  ceim1l  13660  modnegd  13739  expaddzlem  13919  cjreb  14925  sqrtneg  15070  max0add  15113  reusq0  15265  iseraltlem2  15485  iseraltlem3  15486  fsumsub  15591  telfsumo2  15606  incexc  15640  incexc2  15641  fallrisefac  15826  binomrisefac  15843  efi4p  15937  oexpneg  16145  bitscmp  16236  bitsf1  16244  pcadd2  16680  gznegcl  16725  mulgdirlem  18822  mulgdir  18823  znunit  20869  cphsqrtcl2  24448  pjthlem1  24699  mbfsub  24924  iblcnlem1  25050  itgcnlem  25052  iblneg  25065  itgneg  25066  iblsub  25084  itgsub  25088  ditgcl  25120  dvrec  25217  dvmptsub  25229  dvrecg  25235  dvmptdiv  25236  dvsincos  25243  rolle  25252  vieta1lem2  25569  vieta1  25570  sinmpi  25742  cosmpi  25743  sinppi  25744  cosppi  25745  tanabsge  25761  efeq1  25782  tanord  25792  logtayl  25913  logtayl2  25915  logccv  25916  cxpneg  25934  cxpmul2z  25944  logreclem  26010  cosangneg2d  26055  isosctrlem2  26067  isosctrlem3  26068  angpieqvdlem  26076  quad2  26087  dcubic1lem  26091  dcubic2  26092  dcubic  26094  mcubic  26095  dquartlem1  26099  dquartlem2  26100  dquart  26101  quartlem1  26105  quartlem2  26106  quartlem3  26107  quartlem4  26108  quart  26109  asinlem  26116  asinlem2  26117  asinneg  26134  sinasin  26137  cosasin  26152  atandmneg  26154  tanatan  26167  atandmtan  26168  atantan  26171  atantayl  26185  zetacvg  26262  dmgmaddnn0  26274  lgamgulmlem2  26277  lgamgulmlem4  26279  lgambdd  26284  lgamucov  26285  ftalem4  26323  ftalem5  26324  ftalem7  26326  basellem5  26332  chpdifbndlem1  26799  padicabvcxp  26878  brbtwn2  27503  ipasslem2  29423  pjhthlem1  29982  divnumden2  31360  archirngz  31671  madjusmdetlem4  32019  circlemeth  32861  logdivsqrle  32871  poimirlem29  35904  dvtan  35925  itg2addnclem3  35928  iblsubnc  35936  itgsubnc  35937  itgmulc2nc  35943  ftc1anclem5  35952  ftc1anclem8  35955  dvasin  35959  areacirclem1  35963  lcmineqlem10  40293  lcmineqlem12  40295  dffltz  40721  3cubeslem3r  40759  pell1234qrreccl  40926  pell14qrdich  40941  rmxyneg  40993  acongsym  41049  jm2.26a  41073  jm2.26lem3  41074  expgrowth  42263  binomcxplemdvbinom  42281  binomcxplemnotnn0  42284  sineq0ALT  42867  fzisoeu  43163  fperiodmul  43167  isumneg  43468  climneg  43476  neglimc  43513  sublimc  43518  reclimc  43519  dvcosre  43778  dvcosax  43792  itgsin0pilem1  43816  itgsinexplem1  43820  itgsincmulx  43840  stoweidlem13  43879  stirlinglem5  43944  dirkertrigeqlem3  43966  fourierdlem30  44003  fourierdlem39  44012  fourierdlem40  44013  fourierdlem41  44014  fourierdlem43  44016  fourierdlem47  44019  fourierdlem48  44020  fourierdlem49  44021  fourierdlem73  44045  fourierdlem78  44050  fourierdlem92  44064  fourierdlem101  44073  fourierdlem103  44075  fourierdlem111  44083  sqwvfoura  44094  fouriersw  44097  etransclem17  44117  etransclem18  44118  etransclem23  44123  etransclem46  44146  sigarms  44712  sigaradd  44722  sqrtnegnre  45139  quad1  45412  requad01  45413  requad1  45414  requad2  45415  oexpnegALTV  45469  oexpnegnz  45470  2zrngagrp  45841  altgsumbc  46028  dignn0flhalflem1  46301  line2ylem  46437  itschlc0yqe  46446  itsclc0yqsol  46450  itschlc0xyqsol  46453  amgmwlem  46846