Theorem negcld 11176

Description: Closure law for negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negcl 11078	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  ℂcc 10727  -cneg 11063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-ltxr 10872  df-sub 11064  df-neg 11065

This theorem is referenced by:  negcon1ad  11184  mulsubaddmulsub  11296  recextlem1  11462  mul2lt0rlt0  12688  xov1plusxeqvd  13086  ceim1l  13420  modnegd  13499  expaddzlem  13678  cjreb  14686  sqrtneg  14831  max0add  14874  reusq0  15026  iseraltlem2  15246  iseraltlem3  15247  fsumsub  15352  telfsumo2  15367  incexc  15401  incexc2  15402  fallrisefac  15587  binomrisefac  15604  efi4p  15698  oexpneg  15906  bitscmp  15997  bitsf1  16005  pcadd2  16443  gznegcl  16488  mulgdirlem  18522  mulgdir  18523  znunit  20528  cphsqrtcl2  24083  pjthlem1  24334  mbfsub  24559  iblcnlem1  24685  itgcnlem  24687  iblneg  24700  itgneg  24701  iblsub  24719  itgsub  24723  ditgcl  24755  dvrec  24852  dvmptsub  24864  dvrecg  24870  dvmptdiv  24871  dvsincos  24878  rolle  24887  vieta1lem2  25204  vieta1  25205  sinmpi  25377  cosmpi  25378  sinppi  25379  cosppi  25380  tanabsge  25396  efeq1  25417  tanord  25427  logtayl  25548  logtayl2  25550  logccv  25551  cxpneg  25569  cxpmul2z  25579  logreclem  25645  cosangneg2d  25690  isosctrlem2  25702  isosctrlem3  25703  angpieqvdlem  25711  quad2  25722  dcubic1lem  25726  dcubic2  25727  dcubic  25729  mcubic  25730  dquartlem1  25734  dquartlem2  25735  dquart  25736  quartlem1  25740  quartlem2  25741  quartlem3  25742  quartlem4  25743  quart  25744  asinlem  25751  asinlem2  25752  asinneg  25769  sinasin  25772  cosasin  25787  atandmneg  25789  tanatan  25802  atandmtan  25803  atantan  25806  atantayl  25820  zetacvg  25897  dmgmaddnn0  25909  lgamgulmlem2  25912  lgamgulmlem4  25914  lgambdd  25919  lgamucov  25920  ftalem4  25958  ftalem5  25959  ftalem7  25961  basellem5  25967  chpdifbndlem1  26434  padicabvcxp  26513  brbtwn2  26996  ipasslem2  28913  pjhthlem1  29472  divnumden2  30852  archirngz  31162  madjusmdetlem4  31494  circlemeth  32332  logdivsqrle  32342  poimirlem29  35543  dvtan  35564  itg2addnclem3  35567  iblsubnc  35575  itgsubnc  35576  itgmulc2nc  35582  ftc1anclem5  35591  ftc1anclem8  35594  dvasin  35598  areacirclem1  35602  lcmineqlem10  39780  lcmineqlem12  39782  dffltz  40174  3cubeslem3r  40212  pell1234qrreccl  40379  pell14qrdich  40394  rmxyneg  40445  acongsym  40501  jm2.26a  40525  jm2.26lem3  40526  expgrowth  41626  binomcxplemdvbinom  41644  binomcxplemnotnn0  41647  sineq0ALT  42230  fzisoeu  42512  fperiodmul  42516  isumneg  42818  climneg  42826  neglimc  42863  sublimc  42868  reclimc  42869  dvcosre  43128  dvcosax  43142  itgsin0pilem1  43166  itgsinexplem1  43170  itgsincmulx  43190  stoweidlem13  43229  stirlinglem5  43294  dirkertrigeqlem3  43316  fourierdlem30  43353  fourierdlem39  43362  fourierdlem40  43363  fourierdlem41  43364  fourierdlem43  43366  fourierdlem47  43369  fourierdlem48  43370  fourierdlem49  43371  fourierdlem73  43395  fourierdlem78  43400  fourierdlem92  43414  fourierdlem101  43423  fourierdlem103  43425  fourierdlem111  43433  sqwvfoura  43444  fouriersw  43447  etransclem17  43467  etransclem18  43468  etransclem23  43473  etransclem46  43496  sigarms  44044  sigaradd  44054  sqrtnegnre  44472  quad1  44745  requad01  44746  requad1  44747  requad2  44748  oexpnegALTV  44802  oexpnegnz  44803  2zrngagrp  45174  altgsumbc  45361  dignn0flhalflem1  45634  line2ylem  45770  itschlc0yqe  45779  itsclc0yqsol  45783  itschlc0xyqsol  45786  amgmwlem  46177