Theorem negcld 11459

Description: Closure law for negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negcl 11360	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ℂcc 11004  -cneg 11345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346  df-neg 11347

This theorem is referenced by:  negcon1ad  11467  mulsubaddmulsub  11581  recextlem1  11747  mul2lt0rlt0  12994  xov1plusxeqvd  13398  ceim1l  13751  modnegd  13833  expaddzlem  14012  cjreb  15030  sqrtneg  15174  max0add  15217  reusq0  15372  iseraltlem2  15590  iseraltlem3  15591  fsumsub  15695  telfsumo2  15710  incexc  15744  incexc2  15745  fallrisefac  15932  binomrisefac  15949  efne0d  16004  efi4p  16046  oexpneg  16256  bitscmp  16349  bitsf1  16357  pcadd2  16802  gznegcl  16847  mulgdirlem  19018  mulgdir  19019  znunit  21500  cphsqrtcl2  25113  pjthlem1  25364  mbfsub  25590  iblcnlem1  25716  itgcnlem  25718  iblneg  25731  itgneg  25732  iblsub  25750  itgsub  25754  ditgcl  25786  dvrec  25886  dvmptsub  25898  dvrecg  25904  dvmptdiv  25905  dvsincos  25912  rolle  25921  vieta1lem2  26246  vieta1  26247  sinmpi  26423  cosmpi  26424  sinppi  26425  cosppi  26426  tanabsge  26442  efeq1  26464  tanord  26474  logtayl  26596  logtayl2  26598  logccv  26599  cxpneg  26617  cxpmul2z  26627  logreclem  26699  cosangneg2d  26744  isosctrlem2  26756  isosctrlem3  26757  angpieqvdlem  26765  quad2  26776  dcubic1lem  26780  dcubic2  26781  dcubic  26783  mcubic  26784  dquartlem1  26788  dquartlem2  26789  dquart  26790  quartlem1  26794  quartlem2  26795  quartlem3  26796  quartlem4  26797  quart  26798  asinlem  26805  asinlem2  26806  asinneg  26823  sinasin  26826  cosasin  26841  atandmneg  26843  tanatan  26856  atandmtan  26857  atantan  26860  atantayl  26874  zetacvg  26952  dmgmaddnn0  26964  lgamgulmlem2  26967  lgamgulmlem4  26969  lgambdd  26974  lgamucov  26975  ftalem4  27013  ftalem5  27014  ftalem7  27016  basellem5  27022  chpdifbndlem1  27491  padicabvcxp  27570  brbtwn2  28883  ipasslem2  30812  pjhthlem1  31371  quad3d  32733  divnumden2  32798  archirngz  33158  constrrtlc1  33745  constrrtcclem  33747  constrrtcc  33748  constrfin  33759  constrnegcl  33776  iconstr  33779  constrremulcl  33780  2sqr3minply  33793  cos9thpiminplylem1  33795  cos9thpiminplylem2  33796  madjusmdetlem4  33843  circlemeth  34653  logdivsqrle  34663  poimirlem29  37688  dvtan  37709  itg2addnclem3  37712  iblsubnc  37720  itgsubnc  37721  itgmulc2nc  37727  ftc1anclem5  37736  ftc1anclem8  37739  dvasin  37743  areacirclem1  37747  lcmineqlem10  42130  lcmineqlem12  42132  posbezout  42192  redvmptabs  42452  dffltz  42726  3cubeslem3r  42779  pell1234qrreccl  42946  pell14qrdich  42961  rmxyneg  43012  acongsym  43068  jm2.26a  43092  jm2.26lem3  43093  expgrowth  44427  binomcxplemdvbinom  44445  binomcxplemnotnn0  44448  sineq0ALT  45028  fzisoeu  45400  fperiodmul  45404  isumneg  45701  climneg  45709  neglimc  45744  sublimc  45749  reclimc  45750  dvcosre  46009  dvcosax  46023  itgsin0pilem1  46047  itgsinexplem1  46051  itgsincmulx  46071  stoweidlem13  46110  stirlinglem5  46175  dirkertrigeqlem3  46197  fourierdlem30  46234  fourierdlem39  46243  fourierdlem40  46244  fourierdlem41  46245  fourierdlem43  46247  fourierdlem47  46250  fourierdlem48  46251  fourierdlem49  46252  fourierdlem73  46276  fourierdlem78  46281  fourierdlem92  46295  fourierdlem101  46304  fourierdlem103  46306  fourierdlem111  46314  sqwvfoura  46325  fouriersw  46328  etransclem17  46348  etransclem18  46349  etransclem23  46354  etransclem46  46377  sigarms  46953  sigaradd  46963  sqrtnegnre  47406  quad1  47719  requad01  47720  requad1  47721  requad2  47722  oexpnegALTV  47776  oexpnegnz  47777  2zrngagrp  48348  altgsumbc  48451  dignn0flhalflem1  48715  line2ylem  48851  itschlc0yqe  48860  itsclc0yqsol  48864  itschlc0xyqsol  48867  amgmwlem  49902