Theorem negcld 11556

Description: Closure law for negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negcl 11457	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  ℂcc 11098  -cneg 11442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-sub 11443  df-neg 11444

This theorem is referenced by:  negcon1ad  11564  mulsubaddmulsub  11678  recextlem1  11844  mul2lt0rlt0  13120  xov1plusxeqvd  13525  ceim1l  13880  modnegd  13962  expaddzlem  14141  cjreb  15174  sqrtneg  15318  max0add  15361  reusq0  15516  iseraltlem2  15734  iseraltlem3  15735  fsumsub  15839  telfsumo2  15855  incexc  15891  incexc2  15892  fallrisefac  16079  binomrisefac  16096  efne0d  16151  efi4p  16193  oexpneg  16403  bitscmp  16496  bitsf1  16504  pcadd2  16950  gznegcl  16995  mulgdirlem  19171  mulgdir  19172  znunit  21682  cphsqrtcl2  25314  pjthlem1  25565  mbfsub  25790  iblcnlem1  25916  itgcnlem  25918  iblneg  25931  itgneg  25932  iblsub  25950  itgsub  25954  ditgcl  25986  dvrec  26083  dvmptsub  26095  dvrecg  26101  dvmptdiv  26102  dvsincos  26109  rolle  26118  vieta1lem2  26441  vieta1  26442  sinmpi  26618  cosmpi  26619  sinppi  26620  cosppi  26621  tanabsge  26637  efeq1  26659  tanord  26669  logtayl  26791  logtayl2  26793  logccv  26794  cxpneg  26812  cxpmul2z  26822  logreclem  26893  cosangneg2d  26938  isosctrlem2  26950  isosctrlem3  26951  angpieqvdlem  26959  quad2  26970  dcubic1lem  26974  dcubic2  26975  dcubic  26977  mcubic  26978  dquartlem1  26982  dquartlem2  26983  dquart  26984  quartlem1  26988  quartlem2  26989  quartlem3  26990  quartlem4  26991  quart  26992  asinlem  26999  asinlem2  27000  asinneg  27017  sinasin  27020  cosasin  27035  atandmneg  27037  tanatan  27050  atandmtan  27051  atantan  27054  atantayl  27068  zetacvg  27145  dmgmaddnn0  27157  lgamgulmlem2  27160  lgamgulmlem4  27162  lgambdd  27167  lgamucov  27168  ftalem4  27206  ftalem5  27207  ftalem7  27209  basellem5  27215  chpdifbndlem1  27683  padicabvcxp  27762  brbtwn2  29196  ipasslem2  31125  pjhthlem1  31684  quad3d  33035  divnumden2  33101  archirngz  33450  constrrtlc1  34067  constrrtcclem  34069  constrrtcc  34070  constrfin  34081  constrnegcl  34098  iconstr  34101  constrremulcl  34102  2sqr3minply  34115  cos9thpiminplylem1  34117  cos9thpiminplylem2  34118  madjusmdetlem4  34165  circlemeth  34972  logdivsqrle  34982  poimirlem29  38223  dvtan  38244  itg2addnclem3  38247  iblsubnc  38255  itgsubnc  38256  itgmulc2nc  38262  ftc1anclem5  38271  ftc1anclem8  38274  dvasin  38278  areacirclem1  38282  lcmineqlem10  42730  lcmineqlem12  42732  posbezout  42792  redvmptabs  43046  dffltz  43293  3cubeslem3r  43345  pell1234qrreccl  43508  pell14qrdich  43523  rmxyneg  43574  acongsym  43630  jm2.26a  43654  jm2.26lem3  43655  expgrowth  44972  binomcxplemdvbinom  44990  binomcxplemnotnn0  44993  sineq0ALT  45572  fzisoeu  45946  fperiodmul  45950  isumneg  46245  climneg  46253  neglimc  46288  sublimc  46293  reclimc  46294  dvcosre  46553  dvcosax  46567  itgsin0pilem1  46591  itgsinexplem1  46595  itgsincmulx  46615  stoweidlem13  46654  stirlinglem5  46719  dirkertrigeqlem3  46741  fourierdlem30  46778  fourierdlem39  46787  fourierdlem40  46788  fourierdlem41  46789  fourierdlem43  46791  fourierdlem47  46794  fourierdlem48  46795  fourierdlem49  46796  fourierdlem73  46820  fourierdlem78  46825  fourierdlem92  46839  fourierdlem101  46848  fourierdlem103  46850  fourierdlem111  46858  sqwvfoura  46869  fouriersw  46872  etransclem17  46892  etransclem18  46893  etransclem23  46898  etransclem46  46921  sigarms  47497  sigaradd  47507  sqrtnegnre  47968  quad1  48309  requad01  48310  requad1  48311  requad2  48312  oexpnegALTV  48366  oexpnegnz  48367  2zrngagrp  48938  altgsumbc  49052  dignn0flhalflem1  49315  line2ylem  49451  itschlc0yqe  49460  itsclc0yqsol  49464  itschlc0xyqsol  49467  amgmwlem  50511