Theorem negcld 11487

Description: Closure law for negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negcl 11388	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ℂcc 11031  -cneg 11373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-po 5534  df-so 5535  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-ltxr 11179  df-sub 11374  df-neg 11375

This theorem is referenced by:  negcon1ad  11495  mulsubaddmulsub  11609  recextlem1  11775  mul2lt0rlt0  13041  xov1plusxeqvd  13446  ceim1l  13801  modnegd  13883  expaddzlem  14062  cjreb  15080  sqrtneg  15224  max0add  15267  reusq0  15422  iseraltlem2  15640  iseraltlem3  15641  fsumsub  15745  telfsumo2  15761  incexc  15797  incexc2  15798  fallrisefac  15985  binomrisefac  16002  efne0d  16057  efi4p  16099  oexpneg  16309  bitscmp  16402  bitsf1  16410  pcadd2  16856  gznegcl  16901  mulgdirlem  19076  mulgdir  19077  znunit  21557  cphsqrtcl2  25167  pjthlem1  25418  mbfsub  25643  iblcnlem1  25769  itgcnlem  25771  iblneg  25784  itgneg  25785  iblsub  25803  itgsub  25807  ditgcl  25839  dvrec  25936  dvmptsub  25948  dvrecg  25954  dvmptdiv  25955  dvsincos  25962  rolle  25971  vieta1lem2  26292  vieta1  26293  sinmpi  26468  cosmpi  26469  sinppi  26470  cosppi  26471  tanabsge  26487  efeq1  26509  tanord  26519  logtayl  26641  logtayl2  26643  logccv  26644  cxpneg  26662  cxpmul2z  26672  logreclem  26743  cosangneg2d  26788  isosctrlem2  26800  isosctrlem3  26801  angpieqvdlem  26809  quad2  26820  dcubic1lem  26824  dcubic2  26825  dcubic  26827  mcubic  26828  dquartlem1  26832  dquartlem2  26833  dquart  26834  quartlem1  26838  quartlem2  26839  quartlem3  26840  quartlem4  26841  quart  26842  asinlem  26849  asinlem2  26850  asinneg  26867  sinasin  26870  cosasin  26885  atandmneg  26887  tanatan  26900  atandmtan  26901  atantan  26904  atantayl  26918  zetacvg  26996  dmgmaddnn0  27008  lgamgulmlem2  27011  lgamgulmlem4  27013  lgambdd  27018  lgamucov  27019  ftalem4  27057  ftalem5  27058  ftalem7  27060  basellem5  27066  chpdifbndlem1  27534  padicabvcxp  27613  brbtwn2  28992  ipasslem2  30922  pjhthlem1  31481  quad3d  32841  divnumden2  32908  archirngz  33269  constrrtlc1  33896  constrrtcclem  33898  constrrtcc  33899  constrfin  33910  constrnegcl  33927  iconstr  33930  constrremulcl  33931  2sqr3minply  33944  cos9thpiminplylem1  33946  cos9thpiminplylem2  33947  madjusmdetlem4  33994  circlemeth  34804  logdivsqrle  34814  poimirlem29  37990  dvtan  38011  itg2addnclem3  38014  iblsubnc  38022  itgsubnc  38023  itgmulc2nc  38029  ftc1anclem5  38038  ftc1anclem8  38041  dvasin  38045  areacirclem1  38049  lcmineqlem10  42497  lcmineqlem12  42499  posbezout  42559  redvmptabs  42812  dffltz  43087  3cubeslem3r  43139  pell1234qrreccl  43306  pell14qrdich  43321  rmxyneg  43372  acongsym  43428  jm2.26a  43452  jm2.26lem3  43453  expgrowth  44786  binomcxplemdvbinom  44804  binomcxplemnotnn0  44807  sineq0ALT  45387  fzisoeu  45757  fperiodmul  45761  isumneg  46056  climneg  46064  neglimc  46099  sublimc  46104  reclimc  46105  dvcosre  46364  dvcosax  46378  itgsin0pilem1  46402  itgsinexplem1  46406  itgsincmulx  46426  stoweidlem13  46465  stirlinglem5  46530  dirkertrigeqlem3  46552  fourierdlem30  46589  fourierdlem39  46598  fourierdlem40  46599  fourierdlem41  46600  fourierdlem43  46602  fourierdlem47  46605  fourierdlem48  46606  fourierdlem49  46607  fourierdlem73  46631  fourierdlem78  46636  fourierdlem92  46650  fourierdlem101  46659  fourierdlem103  46661  fourierdlem111  46669  sqwvfoura  46680  fouriersw  46683  etransclem17  46703  etransclem18  46704  etransclem23  46709  etransclem46  46732  sigarms  47308  sigaradd  47318  sqrtnegnre  47773  quad1  48114  requad01  48115  requad1  48116  requad2  48117  oexpnegALTV  48171  oexpnegnz  48172  2zrngagrp  48743  altgsumbc  48846  dignn0flhalflem1  49109  line2ylem  49245  itschlc0yqe  49254  itsclc0yqsol  49258  itschlc0xyqsol  49261  amgmwlem  50295