MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negcld 11500
Description: Closure law for negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
negcld (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcld
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 negcl 11402 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  cc 11050  -cneg 11387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195  df-sub 11388  df-neg 11389
This theorem is referenced by:  negcon1ad  11508  mulsubaddmulsub  11620  recextlem1  11786  mul2lt0rlt0  13018  xov1plusxeqvd  13416  ceim1l  13753  modnegd  13832  expaddzlem  14012  cjreb  15009  sqrtneg  15153  max0add  15196  reusq0  15348  iseraltlem2  15568  iseraltlem3  15569  fsumsub  15674  telfsumo2  15689  incexc  15723  incexc2  15724  fallrisefac  15909  binomrisefac  15926  efi4p  16020  oexpneg  16228  bitscmp  16319  bitsf1  16327  pcadd2  16763  gznegcl  16808  mulgdirlem  18908  mulgdir  18909  znunit  20973  cphsqrtcl2  24553  pjthlem1  24804  mbfsub  25029  iblcnlem1  25155  itgcnlem  25157  iblneg  25170  itgneg  25171  iblsub  25189  itgsub  25193  ditgcl  25225  dvrec  25322  dvmptsub  25334  dvrecg  25340  dvmptdiv  25341  dvsincos  25348  rolle  25357  vieta1lem2  25674  vieta1  25675  sinmpi  25847  cosmpi  25848  sinppi  25849  cosppi  25850  tanabsge  25866  efeq1  25887  tanord  25897  logtayl  26018  logtayl2  26020  logccv  26021  cxpneg  26039  cxpmul2z  26049  logreclem  26115  cosangneg2d  26160  isosctrlem2  26172  isosctrlem3  26173  angpieqvdlem  26181  quad2  26192  dcubic1lem  26196  dcubic2  26197  dcubic  26199  mcubic  26200  dquartlem1  26204  dquartlem2  26205  dquart  26206  quartlem1  26210  quartlem2  26211  quartlem3  26212  quartlem4  26213  quart  26214  asinlem  26221  asinlem2  26222  asinneg  26239  sinasin  26242  cosasin  26257  atandmneg  26259  tanatan  26272  atandmtan  26273  atantan  26276  atantayl  26290  zetacvg  26367  dmgmaddnn0  26379  lgamgulmlem2  26382  lgamgulmlem4  26384  lgambdd  26389  lgamucov  26390  ftalem4  26428  ftalem5  26429  ftalem7  26431  basellem5  26437  chpdifbndlem1  26904  padicabvcxp  26983  brbtwn2  27857  ipasslem2  29777  pjhthlem1  30336  divnumden2  31717  archirngz  32028  madjusmdetlem4  32414  circlemeth  33256  logdivsqrle  33266  poimirlem29  36110  dvtan  36131  itg2addnclem3  36134  iblsubnc  36142  itgsubnc  36143  itgmulc2nc  36149  ftc1anclem5  36158  ftc1anclem8  36161  dvasin  36165  areacirclem1  36169  lcmineqlem10  40498  lcmineqlem12  40500  dffltz  40975  3cubeslem3r  41013  pell1234qrreccl  41180  pell14qrdich  41195  rmxyneg  41247  acongsym  41303  jm2.26a  41327  jm2.26lem3  41328  expgrowth  42622  binomcxplemdvbinom  42640  binomcxplemnotnn0  42643  sineq0ALT  43226  fzisoeu  43541  fperiodmul  43545  isumneg  43850  climneg  43858  neglimc  43895  sublimc  43900  reclimc  43901  dvcosre  44160  dvcosax  44174  itgsin0pilem1  44198  itgsinexplem1  44202  itgsincmulx  44222  stoweidlem13  44261  stirlinglem5  44326  dirkertrigeqlem3  44348  fourierdlem30  44385  fourierdlem39  44394  fourierdlem40  44395  fourierdlem41  44396  fourierdlem43  44398  fourierdlem47  44401  fourierdlem48  44402  fourierdlem49  44403  fourierdlem73  44427  fourierdlem78  44432  fourierdlem92  44446  fourierdlem101  44455  fourierdlem103  44457  fourierdlem111  44465  sqwvfoura  44476  fouriersw  44479  etransclem17  44499  etransclem18  44500  etransclem23  44505  etransclem46  44528  sigarms  45104  sigaradd  45114  sqrtnegnre  45546  quad1  45819  requad01  45820  requad1  45821  requad2  45822  oexpnegALTV  45876  oexpnegnz  45877  2zrngagrp  46248  altgsumbc  46435  dignn0flhalflem1  46708  line2ylem  46844  itschlc0yqe  46853  itsclc0yqsol  46857  itschlc0xyqsol  46860  amgmwlem  47256
  Copyright terms: Public domain W3C validator