Theorem negcld 11583

Description: Closure law for negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negcl 11484	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ℂcc 11125  -cneg 11469

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11470  df-neg 11471

This theorem is used by:  negcon1ad  11591  mulsubaddmulsub  11705  recextlem1  11871  mul2lt0rlt0  13148  xov1plusxeqvd  13553  ceim1l  13910  modnegd  13992  expaddzlem  14171  cjreb  15212  sqrtneg  15356  max0add  15399  reusq0  15554  iseraltlem2  15772  iseraltlem3  15773  fsumsub  15876  telfsumo2  15892  incexc  15928  incexc2  15929  fallrisefac  16116  binomrisefac  16132  efne0d  16187  efi4p  16229  oexpneg  16439  bitscmp  16532  bitsf1  16540  pcadd2  16986  gznegcl  17031  mulgdirlem  19229  mulgdir  19230  znunit  21777  cphsqrtcl2  25415  pjthlem1  25666  mbfsub  25891  iblcnlem1  26017  itgcnlem  26019  iblneg  26032  itgneg  26033  iblsub  26051  itgsub  26055  ditgcl  26087  dvrec  26184  dvmptsub  26196  dvrecg  26202  dvmptdiv  26203  dvsincos  26210  rolle  26219  vieta1lem2  26542  vieta1  26543  sinmpi  26722  cosmpi  26723  sinppi  26724  cosppi  26725  tanabsge  26741  efeq1  26763  tanord  26773  logtayl  26895  logtayl2  26897  logccv  26898  cxpneg  26916  cxpmul2z  26926  logreclem  26997  cosangneg2d  27042  isosctrlem2  27054  isosctrlem3  27055  angpieqvdlem  27063  quad2  27074  dcubic1lem  27078  dcubic2  27079  dcubic  27081  mcubic  27082  dquartlem1  27086  dquartlem2  27087  dquart  27088  quartlem1  27092  quartlem2  27093  quartlem3  27094  quartlem4  27095  quart  27096  asinlem  27103  asinlem2  27104  asinneg  27121  sinasin  27124  cosasin  27139  atandmneg  27141  tanatan  27154  atandmtan  27155  atantan  27158  atantayl  27172  zetacvg  27249  dmgmaddnn0  27261  lgamgulmlem2  27264  lgamgulmlem4  27266  lgambdd  27271  lgamucov  27272  ftalem4  27310  ftalem5  27311  ftalem7  27313  basellem5  27319  chpdifbndlem1  27787  padicabvcxp  27866  brbtwn2  29348  ipasslem2  31299  pjhthlem1  31858  quad3d  33207  divnumden2  33273  archirngz  33616  constrrtlc1  34229  constrrtcclem  34231  constrrtcc  34232  constrfin  34243  constrnegcl  34260  iconstr  34263  constrremulcl  34264  2sqr3minply  34277  cos9thpiminplylem1  34279  cos9thpiminplylem2  34280  madjusmdetlem4  34327  circlemeth  35135  logdivsqrle  35145  poimirlem29  38385  dvtan  38406  itg2addnclem3  38409  iblsubnc  38417  itgsubnc  38418  itgmulc2nc  38424  ftc1anclem5  38433  ftc1anclem8  38436  dvasin  38440  areacirclem1  38444  lcmineqlem10  42891  lcmineqlem12  42893  posbezout  42953  redvmptabs  43222  dffltz  43467  3cubeslem3r  43519  pell1234qrreccl  43682  pell14qrdich  43697  rmxyneg  43748  acongsym  43804  jm2.26a  43828  jm2.26lem3  43829  expgrowth  45146  binomcxplemdvbinom  45164  binomcxplemnotnn0  45167  sineq0ALT  45746  fzisoeu  46120  fperiodmul  46124  isumneg  46419  climneg  46427  neglimc  46462  sublimc  46467  reclimc  46468  dvcosre  46727  dvcosax  46741  itgsin0pilem1  46765  itgsinexplem1  46769  itgsincmulx  46789  stoweidlem13  46828  stirlinglem5  46893  dirkertrigeqlem3  46915  fourierdlem30  46952  fourierdlem39  46961  fourierdlem40  46962  fourierdlem41  46963  fourierdlem43  46965  fourierdlem47  46968  fourierdlem48  46969  fourierdlem49  46970  fourierdlem73  46994  fourierdlem78  46999  fourierdlem92  47013  fourierdlem101  47022  fourierdlem103  47024  fourierdlem111  47032  sqwvfoura  47043  fouriersw  47046  etransclem17  47066  etransclem18  47067  etransclem23  47072  etransclem46  47095  sigarms  47671  sigaradd  47681  sqrtnegnre  48182  quad1  48523  requad01  48524  requad1  48525  requad2  48526  oexpnegALTV  48580  oexpnegnz  48581  2zrngagrp  49151  altgsumbc  49269  dignn0flhalflem1  49532  line2ylem  49668  itschlc0yqe  49677  itsclc0yqsol  49681  itschlc0xyqsol  49684  dvsec  50676  dvcot  50678  amgmwlem  50807