Theorem negcld 11498

Description: Closure law for negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negcl 11399	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ℂcc 11044  -cneg 11384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-ltxr 11191  df-sub 11385  df-neg 11386

This theorem is referenced by:  negcon1ad  11506  mulsubaddmulsub  11620  recextlem1  11786  mul2lt0rlt0  13033  xov1plusxeqvd  13437  ceim1l  13787  modnegd  13869  expaddzlem  14048  cjreb  15066  sqrtneg  15210  max0add  15253  reusq0  15408  iseraltlem2  15626  iseraltlem3  15627  fsumsub  15731  telfsumo2  15746  incexc  15780  incexc2  15781  fallrisefac  15968  binomrisefac  15985  efne0d  16040  efi4p  16082  oexpneg  16292  bitscmp  16385  bitsf1  16393  pcadd2  16838  gznegcl  16883  mulgdirlem  19020  mulgdir  19021  znunit  21506  cphsqrtcl2  25120  pjthlem1  25371  mbfsub  25597  iblcnlem1  25723  itgcnlem  25725  iblneg  25738  itgneg  25739  iblsub  25757  itgsub  25761  ditgcl  25793  dvrec  25893  dvmptsub  25905  dvrecg  25911  dvmptdiv  25912  dvsincos  25919  rolle  25928  vieta1lem2  26253  vieta1  26254  sinmpi  26430  cosmpi  26431  sinppi  26432  cosppi  26433  tanabsge  26449  efeq1  26471  tanord  26481  logtayl  26603  logtayl2  26605  logccv  26606  cxpneg  26624  cxpmul2z  26634  logreclem  26706  cosangneg2d  26751  isosctrlem2  26763  isosctrlem3  26764  angpieqvdlem  26772  quad2  26783  dcubic1lem  26787  dcubic2  26788  dcubic  26790  mcubic  26791  dquartlem1  26795  dquartlem2  26796  dquart  26797  quartlem1  26801  quartlem2  26802  quartlem3  26803  quartlem4  26804  quart  26805  asinlem  26812  asinlem2  26813  asinneg  26830  sinasin  26833  cosasin  26848  atandmneg  26850  tanatan  26863  atandmtan  26864  atantan  26867  atantayl  26881  zetacvg  26959  dmgmaddnn0  26971  lgamgulmlem2  26974  lgamgulmlem4  26976  lgambdd  26981  lgamucov  26982  ftalem4  27020  ftalem5  27021  ftalem7  27023  basellem5  27029  chpdifbndlem1  27498  padicabvcxp  27577  brbtwn2  28886  ipasslem2  30812  pjhthlem1  31371  quad3d  32724  divnumden2  32791  archirngz  33159  constrrtlc1  33716  constrrtcclem  33718  constrrtcc  33719  constrfin  33730  constrnegcl  33747  iconstr  33750  constrremulcl  33751  2sqr3minply  33764  cos9thpiminplylem1  33766  cos9thpiminplylem2  33767  madjusmdetlem4  33814  circlemeth  34625  logdivsqrle  34635  poimirlem29  37637  dvtan  37658  itg2addnclem3  37661  iblsubnc  37669  itgsubnc  37670  itgmulc2nc  37676  ftc1anclem5  37685  ftc1anclem8  37688  dvasin  37692  areacirclem1  37696  lcmineqlem10  42020  lcmineqlem12  42022  posbezout  42082  redvmptabs  42342  dffltz  42616  3cubeslem3r  42669  pell1234qrreccl  42836  pell14qrdich  42851  rmxyneg  42903  acongsym  42959  jm2.26a  42983  jm2.26lem3  42984  expgrowth  44318  binomcxplemdvbinom  44336  binomcxplemnotnn0  44339  sineq0ALT  44920  fzisoeu  45292  fperiodmul  45296  isumneg  45594  climneg  45602  neglimc  45639  sublimc  45644  reclimc  45645  dvcosre  45904  dvcosax  45918  itgsin0pilem1  45942  itgsinexplem1  45946  itgsincmulx  45966  stoweidlem13  46005  stirlinglem5  46070  dirkertrigeqlem3  46092  fourierdlem30  46129  fourierdlem39  46138  fourierdlem40  46139  fourierdlem41  46140  fourierdlem43  46142  fourierdlem47  46145  fourierdlem48  46146  fourierdlem49  46147  fourierdlem73  46171  fourierdlem78  46176  fourierdlem92  46190  fourierdlem101  46199  fourierdlem103  46201  fourierdlem111  46209  sqwvfoura  46220  fouriersw  46223  etransclem17  46243  etransclem18  46244  etransclem23  46249  etransclem46  46272  sigarms  46848  sigaradd  46858  sqrtnegnre  47302  quad1  47615  requad01  47616  requad1  47617  requad2  47618  oexpnegALTV  47672  oexpnegnz  47673  2zrngagrp  48231  altgsumbc  48334  dignn0flhalflem1  48598  line2ylem  48734  itschlc0yqe  48743  itsclc0yqsol  48747  itschlc0xyqsol  48750  amgmwlem  49785