Theorem negcld 11328

Description: Closure law for negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negcl 11230	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ℂcc 10878  -cneg 11215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-ltxr 11023  df-sub 11216  df-neg 11217

This theorem is referenced by:  negcon1ad  11336  mulsubaddmulsub  11448  recextlem1  11614  mul2lt0rlt0  12841  xov1plusxeqvd  13239  ceim1l  13576  modnegd  13655  expaddzlem  13835  cjreb  14843  sqrtneg  14988  max0add  15031  reusq0  15183  iseraltlem2  15403  iseraltlem3  15404  fsumsub  15509  telfsumo2  15524  incexc  15558  incexc2  15559  fallrisefac  15744  binomrisefac  15761  efi4p  15855  oexpneg  16063  bitscmp  16154  bitsf1  16162  pcadd2  16600  gznegcl  16645  mulgdirlem  18743  mulgdir  18744  znunit  20780  cphsqrtcl2  24359  pjthlem1  24610  mbfsub  24835  iblcnlem1  24961  itgcnlem  24963  iblneg  24976  itgneg  24977  iblsub  24995  itgsub  24999  ditgcl  25031  dvrec  25128  dvmptsub  25140  dvrecg  25146  dvmptdiv  25147  dvsincos  25154  rolle  25163  vieta1lem2  25480  vieta1  25481  sinmpi  25653  cosmpi  25654  sinppi  25655  cosppi  25656  tanabsge  25672  efeq1  25693  tanord  25703  logtayl  25824  logtayl2  25826  logccv  25827  cxpneg  25845  cxpmul2z  25855  logreclem  25921  cosangneg2d  25966  isosctrlem2  25978  isosctrlem3  25979  angpieqvdlem  25987  quad2  25998  dcubic1lem  26002  dcubic2  26003  dcubic  26005  mcubic  26006  dquartlem1  26010  dquartlem2  26011  dquart  26012  quartlem1  26016  quartlem2  26017  quartlem3  26018  quartlem4  26019  quart  26020  asinlem  26027  asinlem2  26028  asinneg  26045  sinasin  26048  cosasin  26063  atandmneg  26065  tanatan  26078  atandmtan  26079  atantan  26082  atantayl  26096  zetacvg  26173  dmgmaddnn0  26185  lgamgulmlem2  26188  lgamgulmlem4  26190  lgambdd  26195  lgamucov  26196  ftalem4  26234  ftalem5  26235  ftalem7  26237  basellem5  26243  chpdifbndlem1  26710  padicabvcxp  26789  brbtwn2  27282  ipasslem2  29203  pjhthlem1  29762  divnumden2  31141  archirngz  31452  madjusmdetlem4  31789  circlemeth  32629  logdivsqrle  32639  poimirlem29  35815  dvtan  35836  itg2addnclem3  35839  iblsubnc  35847  itgsubnc  35848  itgmulc2nc  35854  ftc1anclem5  35863  ftc1anclem8  35866  dvasin  35870  areacirclem1  35874  lcmineqlem10  40053  lcmineqlem12  40055  dffltz  40478  3cubeslem3r  40516  pell1234qrreccl  40683  pell14qrdich  40698  rmxyneg  40749  acongsym  40805  jm2.26a  40829  jm2.26lem3  40830  expgrowth  41960  binomcxplemdvbinom  41978  binomcxplemnotnn0  41981  sineq0ALT  42564  fzisoeu  42846  fperiodmul  42850  isumneg  43150  climneg  43158  neglimc  43195  sublimc  43200  reclimc  43201  dvcosre  43460  dvcosax  43474  itgsin0pilem1  43498  itgsinexplem1  43502  itgsincmulx  43522  stoweidlem13  43561  stirlinglem5  43626  dirkertrigeqlem3  43648  fourierdlem30  43685  fourierdlem39  43694  fourierdlem40  43695  fourierdlem41  43696  fourierdlem43  43698  fourierdlem47  43701  fourierdlem48  43702  fourierdlem49  43703  fourierdlem73  43727  fourierdlem78  43732  fourierdlem92  43746  fourierdlem101  43755  fourierdlem103  43757  fourierdlem111  43765  sqwvfoura  43776  fouriersw  43779  etransclem17  43799  etransclem18  43800  etransclem23  43805  etransclem46  43828  sigarms  44383  sigaradd  44393  sqrtnegnre  44810  quad1  45083  requad01  45084  requad1  45085  requad2  45086  oexpnegALTV  45140  oexpnegnz  45141  2zrngagrp  45512  altgsumbc  45699  dignn0flhalflem1  45972  line2ylem  46108  itschlc0yqe  46117  itsclc0yqsol  46121  itschlc0xyqsol  46124  amgmwlem  46517