Theorem negcld 11613

Description: Closure law for negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negcl 11514	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ℂcc 11155  -cneg 11499

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-ltxr 11305  df-sub 11500  df-neg 11501

This theorem is used by:  negcon1ad  11621  mulsubaddmulsub  11735  recextlem1  11901  mul2lt0rlt0  13179  xov1plusxeqvd  13584  ceim1l  13941  modnegd  14023  expaddzlem  14202  cjreb  15243  sqrtneg  15387  max0add  15430  reusq0  15585  iseraltlem2  15803  iseraltlem3  15804  fsumsub  15907  telfsumo2  15923  incexc  15959  incexc2  15960  fallrisefac  16145  binomrisefac  16161  efne0d  16216  efi4p  16258  oexpneg  16468  bitscmp  16561  bitsf1  16569  pcadd2  17015  gznegcl  17060  mulgdirlem  19262  mulgdir  19263  znunit  21816  cphsqrtcl2  25454  pjthlem1  25705  mbfsub  25930  iblcnlem1  26055  itgcnlem  26057  iblneg  26070  itgneg  26071  iblsub  26089  itgsub  26093  ditgcl  26125  dvrec  26222  dvmptsub  26234  dvrecg  26240  dvmptdiv  26241  dvsincos  26248  rolle  26257  vieta1lem2  26583  vieta1  26584  sinmpi  26765  cosmpi  26766  sinppi  26767  cosppi  26768  tanabsge  26784  efeq1  26805  tanord  26815  logtayl  26937  logtayl2  26939  logccv  26940  cxpneg  26958  cxpmul2z  26968  logreclem  27039  cosangneg2d  27084  isosctrlem2  27096  isosctrlem3  27097  angpieqvdlem  27105  quad2  27116  dcubic1lem  27120  dcubic2  27121  dcubic  27123  mcubic  27124  dquartlem1  27128  dquartlem2  27129  dquart  27130  quartlem1  27134  quartlem2  27135  quartlem3  27136  quartlem4  27137  quart  27138  asinlem  27145  asinlem2  27146  asinneg  27163  sinasin  27166  cosasin  27181  atandmneg  27183  tanatan  27196  atandmtan  27197  atantan  27200  atantayl  27214  zetacvg  27291  dmgmaddnn0  27303  lgamgulmlem2  27306  lgamgulmlem4  27308  lgambdd  27313  lgamucov  27314  ftalem4  27352  ftalem5  27353  ftalem7  27355  basellem5  27361  chpdifbndlem1  27829  padicabvcxp  27908  brbtwn2  29402  ipasslem2  31353  pjhthlem1  31912  quad3d  33260  divnumden2  33326  archirngz  33669  constrrtlc1  34283  constrrtcclem  34285  constrrtcc  34286  constrfin  34297  constrnegcl  34314  iconstr  34317  constrremulcl  34318  2sqr3minply  34331  cos9thpiminplylem1  34333  cos9thpiminplylem2  34334  madjusmdetlem4  34381  circlemeth  35189  logdivsqrle  35199  poimirlem29  38481  dvtan  38502  itg2addnclem3  38505  iblsubnc  38513  itgsubnc  38514  itgmulc2nc  38520  ftc1anclem5  38529  ftc1anclem8  38532  dvasin  38536  areacirclem1  38540  lcmineqlem10  43002  lcmineqlem12  43004  posbezout  43064  redvmptabs  43333  dffltz  43578  3cubeslem3r  43630  pell1234qrreccl  43793  pell14qrdich  43808  rmxyneg  43859  acongsym  43915  jm2.26a  43939  jm2.26lem3  43940  expgrowth  45257  binomcxplemdvbinom  45275  binomcxplemnotnn0  45278  sineq0ALT  45857  fzisoeu  46231  fperiodmul  46235  isumneg  46530  climneg  46538  neglimc  46573  sublimc  46578  reclimc  46579  dvcosre  46838  dvcosax  46852  itgsin0pilem1  46876  itgsinexplem1  46880  itgsincmulx  46900  stoweidlem13  46939  stirlinglem5  47004  dirkertrigeqlem3  47026  fourierdlem30  47063  fourierdlem39  47072  fourierdlem40  47073  fourierdlem41  47074  fourierdlem43  47076  fourierdlem47  47079  fourierdlem48  47080  fourierdlem49  47081  fourierdlem73  47105  fourierdlem78  47110  fourierdlem92  47124  fourierdlem101  47133  fourierdlem103  47135  fourierdlem111  47143  sqwvfoura  47154  fouriersw  47157  etransclem17  47177  etransclem18  47178  etransclem23  47183  etransclem46  47206  sigarms  47782  sigaradd  47792  sqrtnegnre  48293  quad1  48634  requad01  48635  requad1  48636  requad2  48637  oexpnegALTV  48691  oexpnegnz  48692  2zrngagrp  49262  altgsumbc  49380  dignn0flhalflem1  49643  line2ylem  49779  itschlc0yqe  49788  itsclc0yqsol  49792  itschlc0xyqsol  49795  dvsec  50772  dvcot  50774  amgmwlem  50903