Theorem negcld 11249

Description: Closure law for negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negcl 11151	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ℂcc 10800  -cneg 11136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-neg 11138

This theorem is referenced by:  negcon1ad  11257  mulsubaddmulsub  11369  recextlem1  11535  mul2lt0rlt0  12761  xov1plusxeqvd  13159  ceim1l  13495  modnegd  13574  expaddzlem  13754  cjreb  14762  sqrtneg  14907  max0add  14950  reusq0  15102  iseraltlem2  15322  iseraltlem3  15323  fsumsub  15428  telfsumo2  15443  incexc  15477  incexc2  15478  fallrisefac  15663  binomrisefac  15680  efi4p  15774  oexpneg  15982  bitscmp  16073  bitsf1  16081  pcadd2  16519  gznegcl  16564  mulgdirlem  18649  mulgdir  18650  znunit  20683  cphsqrtcl2  24255  pjthlem1  24506  mbfsub  24731  iblcnlem1  24857  itgcnlem  24859  iblneg  24872  itgneg  24873  iblsub  24891  itgsub  24895  ditgcl  24927  dvrec  25024  dvmptsub  25036  dvrecg  25042  dvmptdiv  25043  dvsincos  25050  rolle  25059  vieta1lem2  25376  vieta1  25377  sinmpi  25549  cosmpi  25550  sinppi  25551  cosppi  25552  tanabsge  25568  efeq1  25589  tanord  25599  logtayl  25720  logtayl2  25722  logccv  25723  cxpneg  25741  cxpmul2z  25751  logreclem  25817  cosangneg2d  25862  isosctrlem2  25874  isosctrlem3  25875  angpieqvdlem  25883  quad2  25894  dcubic1lem  25898  dcubic2  25899  dcubic  25901  mcubic  25902  dquartlem1  25906  dquartlem2  25907  dquart  25908  quartlem1  25912  quartlem2  25913  quartlem3  25914  quartlem4  25915  quart  25916  asinlem  25923  asinlem2  25924  asinneg  25941  sinasin  25944  cosasin  25959  atandmneg  25961  tanatan  25974  atandmtan  25975  atantan  25978  atantayl  25992  zetacvg  26069  dmgmaddnn0  26081  lgamgulmlem2  26084  lgamgulmlem4  26086  lgambdd  26091  lgamucov  26092  ftalem4  26130  ftalem5  26131  ftalem7  26133  basellem5  26139  chpdifbndlem1  26606  padicabvcxp  26685  brbtwn2  27176  ipasslem2  29095  pjhthlem1  29654  divnumden2  31034  archirngz  31345  madjusmdetlem4  31682  circlemeth  32520  logdivsqrle  32530  poimirlem29  35733  dvtan  35754  itg2addnclem3  35757  iblsubnc  35765  itgsubnc  35766  itgmulc2nc  35772  ftc1anclem5  35781  ftc1anclem8  35784  dvasin  35788  areacirclem1  35792  lcmineqlem10  39974  lcmineqlem12  39976  dffltz  40387  3cubeslem3r  40425  pell1234qrreccl  40592  pell14qrdich  40607  rmxyneg  40658  acongsym  40714  jm2.26a  40738  jm2.26lem3  40739  expgrowth  41842  binomcxplemdvbinom  41860  binomcxplemnotnn0  41863  sineq0ALT  42446  fzisoeu  42729  fperiodmul  42733  isumneg  43033  climneg  43041  neglimc  43078  sublimc  43083  reclimc  43084  dvcosre  43343  dvcosax  43357  itgsin0pilem1  43381  itgsinexplem1  43385  itgsincmulx  43405  stoweidlem13  43444  stirlinglem5  43509  dirkertrigeqlem3  43531  fourierdlem30  43568  fourierdlem39  43577  fourierdlem40  43578  fourierdlem41  43579  fourierdlem43  43581  fourierdlem47  43584  fourierdlem48  43585  fourierdlem49  43586  fourierdlem73  43610  fourierdlem78  43615  fourierdlem92  43629  fourierdlem101  43638  fourierdlem103  43640  fourierdlem111  43648  sqwvfoura  43659  fouriersw  43662  etransclem17  43682  etransclem18  43683  etransclem23  43688  etransclem46  43711  sigarms  44259  sigaradd  44269  sqrtnegnre  44687  quad1  44960  requad01  44961  requad1  44962  requad2  44963  oexpnegALTV  45017  oexpnegnz  45018  2zrngagrp  45389  altgsumbc  45576  dignn0flhalflem1  45849  line2ylem  45985  itschlc0yqe  45994  itsclc0yqsol  45998  itschlc0xyqsol  46001  amgmwlem  46392