Theorem negcld 11481

Description: Closure law for negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negcl 11382	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ℂcc 11026  -cneg 11367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11368  df-neg 11369

This theorem is referenced by:  negcon1ad  11489  mulsubaddmulsub  11603  recextlem1  11769  mul2lt0rlt0  13011  xov1plusxeqvd  13416  ceim1l  13769  modnegd  13851  expaddzlem  14030  cjreb  15048  sqrtneg  15192  max0add  15235  reusq0  15390  iseraltlem2  15608  iseraltlem3  15609  fsumsub  15713  telfsumo2  15728  incexc  15762  incexc2  15763  fallrisefac  15950  binomrisefac  15967  efne0d  16022  efi4p  16064  oexpneg  16274  bitscmp  16367  bitsf1  16375  pcadd2  16820  gznegcl  16865  mulgdirlem  19037  mulgdir  19038  znunit  21520  cphsqrtcl2  25144  pjthlem1  25395  mbfsub  25621  iblcnlem1  25747  itgcnlem  25749  iblneg  25762  itgneg  25763  iblsub  25781  itgsub  25785  ditgcl  25817  dvrec  25917  dvmptsub  25929  dvrecg  25935  dvmptdiv  25936  dvsincos  25943  rolle  25952  vieta1lem2  26277  vieta1  26278  sinmpi  26454  cosmpi  26455  sinppi  26456  cosppi  26457  tanabsge  26473  efeq1  26495  tanord  26505  logtayl  26627  logtayl2  26629  logccv  26630  cxpneg  26648  cxpmul2z  26658  logreclem  26730  cosangneg2d  26775  isosctrlem2  26787  isosctrlem3  26788  angpieqvdlem  26796  quad2  26807  dcubic1lem  26811  dcubic2  26812  dcubic  26814  mcubic  26815  dquartlem1  26819  dquartlem2  26820  dquart  26821  quartlem1  26825  quartlem2  26826  quartlem3  26827  quartlem4  26828  quart  26829  asinlem  26836  asinlem2  26837  asinneg  26854  sinasin  26857  cosasin  26872  atandmneg  26874  tanatan  26887  atandmtan  26888  atantan  26891  atantayl  26905  zetacvg  26983  dmgmaddnn0  26995  lgamgulmlem2  26998  lgamgulmlem4  27000  lgambdd  27005  lgamucov  27006  ftalem4  27044  ftalem5  27045  ftalem7  27047  basellem5  27053  chpdifbndlem1  27522  padicabvcxp  27601  brbtwn2  28959  ipasslem2  30888  pjhthlem1  31447  quad3d  32808  divnumden2  32875  archirngz  33250  constrrtlc1  33868  constrrtcclem  33870  constrrtcc  33871  constrfin  33882  constrnegcl  33899  iconstr  33902  constrremulcl  33903  2sqr3minply  33916  cos9thpiminplylem1  33918  cos9thpiminplylem2  33919  madjusmdetlem4  33966  circlemeth  34776  logdivsqrle  34786  poimirlem29  37819  dvtan  37840  itg2addnclem3  37843  iblsubnc  37851  itgsubnc  37852  itgmulc2nc  37858  ftc1anclem5  37867  ftc1anclem8  37870  dvasin  37874  areacirclem1  37878  lcmineqlem10  42327  lcmineqlem12  42329  posbezout  42389  redvmptabs  42652  dffltz  42914  3cubeslem3r  42966  pell1234qrreccl  43133  pell14qrdich  43148  rmxyneg  43199  acongsym  43255  jm2.26a  43279  jm2.26lem3  43280  expgrowth  44613  binomcxplemdvbinom  44631  binomcxplemnotnn0  44634  sineq0ALT  45214  fzisoeu  45585  fperiodmul  45589  isumneg  45885  climneg  45893  neglimc  45928  sublimc  45933  reclimc  45934  dvcosre  46193  dvcosax  46207  itgsin0pilem1  46231  itgsinexplem1  46235  itgsincmulx  46255  stoweidlem13  46294  stirlinglem5  46359  dirkertrigeqlem3  46381  fourierdlem30  46418  fourierdlem39  46427  fourierdlem40  46428  fourierdlem41  46429  fourierdlem43  46431  fourierdlem47  46434  fourierdlem48  46435  fourierdlem49  46436  fourierdlem73  46460  fourierdlem78  46465  fourierdlem92  46479  fourierdlem101  46488  fourierdlem103  46490  fourierdlem111  46498  sqwvfoura  46509  fouriersw  46512  etransclem17  46532  etransclem18  46533  etransclem23  46538  etransclem46  46561  sigarms  47137  sigaradd  47147  sqrtnegnre  47590  quad1  47903  requad01  47904  requad1  47905  requad2  47906  oexpnegALTV  47960  oexpnegnz  47961  2zrngagrp  48532  altgsumbc  48635  dignn0flhalflem1  48898  line2ylem  49034  itschlc0yqe  49043  itsclc0yqsol  49047  itschlc0xyqsol  49050  amgmwlem  50084