Theorem gt0ne0 11593

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11126	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		ltne 11221	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	sylan 580	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   class class class wbr 5095  ℝcr 11016  0cc0 11017   < clt 11157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-addrcl 11078  ax-rnegex 11088  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-ltxr 11162

This theorem is referenced by:  recgt0  11978  lemul1  11984  lediv1  11998  gt0div  11999  ge0div  12000  mulge0b  12003  ltdivmul  12008  ledivmul  12009  lt2mul2div  12011  lemuldiv  12013  ltdiv2  12019  ltrec1  12020  lerec2  12021  ledivdiv  12022  lediv2  12023  ltdiv23  12024  lediv23  12025  lediv12a  12026  recreclt  12032  nnrecl  12390  elnnz  12489  recnz  12558  rpne0  12913  divelunit  13401  resqrex  15164  sqrtgt0  15172  argregt0  26566  argimgt0  26568  logneg2  26571  logcnlem3  26600  atanlogsublem  26872  leopmul  32135  cdj1i  32434  lediv2aALT  35793  nndivlub  36574  knoppndvlem15  36642  knoppndvlem17  36644  sineq0ALT  45093  eenglngeehlnmlem1  48899  eenglngeehlnmlem2  48900