Theorem gt0ne0 11646

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11178	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		ltne 11274	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	sylan 589	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5097  ℝcr 11066  0cc0 11067   < clt 11210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-addrcl 11128  ax-rnegex 11138  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-ltxr 11215

This theorem is referenced by:  recgt0  12031  lemul1  12037  lediv1  12051  gt0div  12052  ge0div  12053  mulge0b  12056  ltdivmul  12061  ledivmul  12062  lt2mul2div  12064  lemuldiv  12066  ltdiv2  12072  ltrec1  12073  lerec2  12074  ledivdiv  12075  lediv2  12076  ltdiv23  12077  lediv23  12078  lediv12a  12079  recreclt  12085  nnrecl  12473  elnnz  12572  recnz  12642  rpne0  13004  divelunit  13492  resqrex  15268  sqrtgt0  15276  argregt0  26663  argimgt0  26665  logneg2  26668  logcnlem3  26697  atanlogsublem  26968  leopmul  32294  cdj1i  32593  lediv2aALT  35988  nndivlub  36779  knoppndvlem15  36925  knoppndvlem17  36927  sineq0ALT  45473  eenglngeehlnmlem1  49320  eenglngeehlnmlem2  49321