Theorem gt0ne0 11786

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11316	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		ltne 11412	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	sylan 592	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ℝcr 11204  0cc0 11205   < clt 11348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-addrcl 11266  ax-rnegex 11276  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-ltxr 11353

This theorem is used by:  recgt0  12168  lemul1  12174  lediv1  12187  gt0div  12188  ge0div  12189  mulge0b  12192  ltdivmul  12197  ledivmul  12198  lt2mul2div  12200  lemuldiv  12202  ltdiv2  12208  ltrec1  12209  lerec2  12210  ledivdiv  12211  lediv2  12212  ltdiv23  12213  lediv23  12214  lediv12a  12215  recreclt  12221  nnrecl  12609  elnnz  12708  recnz  12779  rpne0  13142  divelunit  13630  resqrex  15424  sqrtgt0  15432  argregt0  26945  argimgt0  26947  logneg2  26950  logcnlem3  26979  atanlogsublem  27250  leopmul  32743  cdj1i  33042  lediv2aALT  36530  nndivlub  37340  knoppndvlem15  37486  knoppndvlem17  37488  sineq0ALT  46026  eenglngeehlnmlem1  49957  eenglngeehlnmlem2  49958