Theorem gt0ne0 11674

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11206	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		ltne 11302	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	sylan 591	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5109  ℝcr 11094  0cc0 11095   < clt 11238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-addrcl 11156  ax-rnegex 11166  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243

This theorem is referenced by:  recgt0  12056  lemul1  12062  lediv1  12075  gt0div  12076  ge0div  12077  mulge0b  12080  ltdivmul  12085  ledivmul  12086  lt2mul2div  12088  lemuldiv  12090  ltdiv2  12096  ltrec1  12097  lerec2  12098  ledivdiv  12099  lediv2  12100  ltdiv23  12101  lediv23  12102  lediv12a  12103  recreclt  12109  nnrecl  12497  elnnz  12596  recnz  12666  rpne0  13028  divelunit  13516  resqrex  15297  sqrtgt0  15305  argregt0  26775  argimgt0  26777  logneg2  26780  logcnlem3  26809  atanlogsublem  27080  leopmul  32486  cdj1i  32785  lediv2aALT  36169  nndivlub  36969  knoppndvlem15  37115  knoppndvlem17  37117  sineq0ALT  45645  eenglngeehlnmlem1  49517  eenglngeehlnmlem2  49518