Theorem gt0ne0 11094

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 10633	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		ltne 10726	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	sylan 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  ℝcr 10525  0cc0 10526   < clt 10664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-addrcl 10587  ax-rnegex 10597  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669

This theorem is referenced by:  recgt0  11475  lemul1  11481  lediv1  11494  gt0div  11495  ge0div  11496  mulge0b  11499  ltdivmul  11504  ledivmul  11505  lt2mul2div  11507  lemuldiv  11509  ltdiv2  11515  ltrec1  11516  lerec2  11517  ledivdiv  11518  lediv2  11519  ltdiv23  11520  lediv23  11521  lediv12a  11522  recreclt  11528  nnrecl  11883  elnnz  11979  recnz  12045  rpne0  12393  divelunit  12872  resqrex  14602  sqrtgt0  14610  argregt0  25201  argimgt0  25203  logneg2  25206  logcnlem3  25235  atanlogsublem  25501  leopmul  29917  cdj1i  30216  lediv2aALT  33033  nndivlub  33919  knoppndvlem15  33978  knoppndvlem17  33980  sineq0ALT  41643  eenglngeehlnmlem1  45151  eenglngeehlnmlem2  45152