Theorem gt0ne0 11603

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11137	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		ltne 11231	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	sylan 580	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5095  ℝcr 11027  0cc0 11028   < clt 11168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-addrcl 11089  ax-rnegex 11099  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173

This theorem is referenced by:  recgt0  11988  lemul1  11994  lediv1  12008  gt0div  12009  ge0div  12010  mulge0b  12013  ltdivmul  12018  ledivmul  12019  lt2mul2div  12021  lemuldiv  12023  ltdiv2  12029  ltrec1  12030  lerec2  12031  ledivdiv  12032  lediv2  12033  ltdiv23  12034  lediv23  12035  lediv12a  12036  recreclt  12042  nnrecl  12400  elnnz  12499  recnz  12569  rpne0  12928  divelunit  13415  resqrex  15175  sqrtgt0  15183  argregt0  26535  argimgt0  26537  logneg2  26540  logcnlem3  26569  atanlogsublem  26841  leopmul  32096  cdj1i  32395  lediv2aALT  35652  nndivlub  36434  knoppndvlem15  36502  knoppndvlem17  36504  sineq0ALT  44913  eenglngeehlnmlem1  48726  eenglngeehlnmlem2  48727