Theorem gt0ne0 10840

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 10380	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		ltne 10473	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	sylan 575	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968   class class class wbr 4886  ℝcr 10271  0cc0 10272   < clt 10411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-addrcl 10333  ax-rnegex 10343  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-ltxr 10416

This theorem is referenced by:  recgt0  11221  lemul1  11229  lediv1  11242  gt0div  11243  ge0div  11244  mulge0b  11247  ltdivmul  11252  ledivmul  11253  lt2mul2div  11255  lemuldiv  11257  ltdiv2  11263  ltrec1  11264  lerec2  11265  ledivdiv  11266  lediv2  11267  ltdiv23  11268  lediv23  11269  lediv12a  11270  recreclt  11276  nnrecl  11640  elnnz  11738  recnz  11804  rpne0  12155  divelunit  12631  resqrex  14398  sqrtgt0  14406  argregt0  24793  argimgt0  24795  logneg2  24798  logcnlem3  24827  atanlogsublem  25093  leopmul  29565  cdj1i  29864  lediv2aALT  32168  nndivlub  33040  knoppndvlem15  33099  knoppndvlem17  33101  sineq0ALT  40088  eenglngeehlnmlem1  43455  eenglngeehlnmlem2  43456