MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0ne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gt0ne0 11627
Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
gt0ne0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0
StepHypRef Expression
1 0red 11165 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2 ltne 11259 . 2 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
31, 2sylan 581 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  wne 2944   class class class wbr 5110  cr 11057  0cc0 11058   < clt 11196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-addrcl 11119  ax-rnegex 11129  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201
This theorem is referenced by:  recgt0  12008  lemul1  12014  lediv1  12027  gt0div  12028  ge0div  12029  mulge0b  12032  ltdivmul  12037  ledivmul  12038  lt2mul2div  12040  lemuldiv  12042  ltdiv2  12048  ltrec1  12049  lerec2  12050  ledivdiv  12051  lediv2  12052  ltdiv23  12053  lediv23  12054  lediv12a  12055  recreclt  12061  nnrecl  12418  elnnz  12516  recnz  12585  rpne0  12938  divelunit  13418  resqrex  15142  sqrtgt0  15150  argregt0  25981  argimgt0  25983  logneg2  25986  logcnlem3  26015  atanlogsublem  26281  leopmul  31118  cdj1i  31417  lediv2aALT  34305  nndivlub  34959  knoppndvlem15  35018  knoppndvlem17  35020  sineq0ALT  43293  eenglngeehlnmlem1  46897  eenglngeehlnmlem2  46898
  Copyright terms: Public domain W3C validator