Theorem gt0ne0 11679

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		ltne 11311	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	sylan 581	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   class class class wbr 5149  ℝcr 11109  0cc0 11110   < clt 11248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-addrcl 11171  ax-rnegex 11181  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253

This theorem is referenced by:  recgt0  12060  lemul1  12066  lediv1  12079  gt0div  12080  ge0div  12081  mulge0b  12084  ltdivmul  12089  ledivmul  12090  lt2mul2div  12092  lemuldiv  12094  ltdiv2  12100  ltrec1  12101  lerec2  12102  ledivdiv  12103  lediv2  12104  ltdiv23  12105  lediv23  12106  lediv12a  12107  recreclt  12113  nnrecl  12470  elnnz  12568  recnz  12637  rpne0  12990  divelunit  13471  resqrex  15197  sqrtgt0  15205  argregt0  26118  argimgt0  26120  logneg2  26123  logcnlem3  26152  atanlogsublem  26420  leopmul  31418  cdj1i  31717  lediv2aALT  34693  nndivlub  35391  knoppndvlem15  35450  knoppndvlem17  35452  sineq0ALT  43746  eenglngeehlnmlem1  47471  eenglngeehlnmlem2  47472