Theorem gt0ne0 11582

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11115	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		ltne 11210	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	sylan 580	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5091  ℝcr 11005  0cc0 11006   < clt 11146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-addrcl 11067  ax-rnegex 11077  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151

This theorem is referenced by:  recgt0  11967  lemul1  11973  lediv1  11987  gt0div  11988  ge0div  11989  mulge0b  11992  ltdivmul  11997  ledivmul  11998  lt2mul2div  12000  lemuldiv  12002  ltdiv2  12008  ltrec1  12009  lerec2  12010  ledivdiv  12011  lediv2  12012  ltdiv23  12013  lediv23  12014  lediv12a  12015  recreclt  12021  nnrecl  12379  elnnz  12478  recnz  12548  rpne0  12907  divelunit  13394  resqrex  15157  sqrtgt0  15165  argregt0  26547  argimgt0  26549  logneg2  26552  logcnlem3  26581  atanlogsublem  26853  leopmul  32112  cdj1i  32411  lediv2aALT  35719  nndivlub  36498  knoppndvlem15  36566  knoppndvlem17  36568  sineq0ALT  44975  eenglngeehlnmlem1  48775  eenglngeehlnmlem2  48776