MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gt0ne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gt0ne0 11097
Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
gt0ne0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0
StepHypRef Expression
1 0red 10636 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2 ltne 10729 . 2 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
31, 2sylan 583 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2115  wne 3014   class class class wbr 5052  cr 10528  0cc0 10529   < clt 10667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-addrcl 10590  ax-rnegex 10600  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-op 4556  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672
This theorem is referenced by:  recgt0  11478  lemul1  11484  lediv1  11497  gt0div  11498  ge0div  11499  mulge0b  11502  ltdivmul  11507  ledivmul  11508  lt2mul2div  11510  lemuldiv  11512  ltdiv2  11518  ltrec1  11519  lerec2  11520  ledivdiv  11521  lediv2  11522  ltdiv23  11523  lediv23  11524  lediv12a  11525  recreclt  11531  nnrecl  11888  elnnz  11984  recnz  12050  rpne0  12398  divelunit  12877  resqrex  14606  sqrtgt0  14614  argregt0  25197  argimgt0  25199  logneg2  25202  logcnlem3  25231  atanlogsublem  25497  leopmul  29913  cdj1i  30212  lediv2aALT  32945  nndivlub  33831  knoppndvlem15  33890  knoppndvlem17  33892  sineq0ALT  41500  eenglngeehlnmlem1  45002  eenglngeehlnmlem2  45003
  Copyright terms: Public domain W3C validator