Theorem subidd 11470

Description: Subtraction of a number from itself. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subidd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = 0)

Proof of Theorem subidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		subid 11390	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7355  ℂcc 11014  0cc0 11016   − cmin 11354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-ltxr 11161  df-sub 11356

This theorem is referenced by:  mulsubaddmulsub  11591  leaddle0  11642  cru  12127  iccf1o  13406  elfzo0suble  13616  fzocatel  13639  zmod10  13801  hashfzo  14346  hashfzp1  14348  ccatval21sw  14503  ccats1val2  14545  swrd00  14562  ccatpfx  14618  swrdccat3blem  14656  revccat  14683  repswswrd  14701  climconst  15460  rlimconst  15461  telfsumo  15719  fsumparts  15723  incexc  15754  pwdif  15785  cvgrat  15800  binomfallfaclem2  15957  fallfacfac  15962  bpolysum  15970  divalglem5  16318  nn0seqcvgd  16491  pcmpt2  16815  4sqlem15  16881  efgtlen  19648  srgbinomlem3  20156  fermltlchr  21476  freshmansdream  21521  cayhamlem1  22791  vitalilem1  25546  dvcnp2  25858  dvcnp2OLD  25859  dvferm1lem  25925  c1lip1  25939  dv11cn  25943  ftc1lem5  25984  ftc2  25988  plyeq0lem  26152  dgrcolem2  26217  plydivlem4  26241  qaa  26268  aalioulem3  26279  aaliou3lem2  26288  tayl0  26306  dvntaylp  26316  taylthlem1  26318  taylthlem2  26319  taylthlem2OLD  26320  abelthlem9  26387  isosctrlem1  26765  birthdaylem2  26899  rlimcnp  26912  lgam1  27011  basellem2  27029  basellem5  27032  chpub  27168  dchrsum2  27216  sumdchr2  27218  2sqmod  27384  rplogsumlem2  27433  dchrisumlem1  27437  pntlemf  27553  colinearalglem4  28898  crctcsh  29813  eucrct2eupth  30236  ipidsq  30701  dip0r  30708  riesz3i  32053  riesz4i  32054  hmopidmpji  32143  pjclem4  32190  pj3si  32198  cycpmco2lem2  33107  cycpmco2lem4  33109  cycpmco2lem6  33111  znfermltl  33342  ccfldextdgrr  33696  constrrtcc  33759  signsply0  34575  itgexpif  34630  dnizeq0  36530  unbdqndv2lem2  36565  poimir  37703  itg2addnclem3  37723  ftc1cnnc  37742  ftc2nc  37752  areacirc  37763  posbezout  42203  aks6d1c5lem1  42239  aks6d1c5lem2  42241  sticksstones10  42258  sticksstones12a  42260  bcle2d  42282  fltnltalem  42770  3cubeslem2  42792  congid  43078  congabseq  43081  jm2.18  43095  dgrsub2  43242  areaquad  43323  ofsubid  44431  isosctrlem1ALT  45040  supxrgelem  45450  constlimc  45738  ioodvbdlimc1lem1  46043  dvnxpaek  46054  dvnmul  46055  voliooico  46104  voliccico  46111  stoweidlem13  46125  stoweidlem23  46135  stoweidlem26  46138  stirlinglem5  46190  dirkertrigeqlem2  46211  fourierdlem4  46223  fourierdlem42  46261  fourierdlem60  46278  fourierdlem61  46279  fourierdlem74  46292  fourierdlem75  46293  fourierdlem89  46307  fourierdlem90  46308  fourierdlem91  46309  fourierdlem103  46321  fourierdlem104  46322  fourierdlem107  46325  sqwvfoura  46340  etransclem24  46370  etransclem25  46371  hoidmv1lelem1  46703  hoidmv1lelem2  46704  hoidmvlelem1  46707  hoidmvlelem2  46708  volico2  46753  2elfz2melfz  47432  m1mod0mod1  47468  m1modmmod  47472  pgnbgreunbgrlem2lem1  48228  pgnbgreunbgrlem2lem2  48229  eenglngeehlnmlem2  48853  rrx2linest  48857  line2x  48869  itscnhlc0yqe  48874  itsclc0yqsollem1  48877