Theorem subidd 11563

Description: Subtraction of a number from itself. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subidd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = 0)

Proof of Theorem subidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		subid 11483	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  0cc0 11106   − cmin 11447

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11449

This theorem is used by:  mulsubaddmulsub  11684  leaddle0  11735  cru  12216  iccf1o  13529  elfzo0suble  13742  fzocatel  13765  zmod10  13927  hashfzo  14473  hashfzp1  14475  ccatval21sw  14630  ccats1val2  14672  swrd00  14689  ccatpfx  14745  swrdccat3blem  14783  revccat  14810  repswswrd  14828  climconst  15601  rlimconst  15602  telfsumo  15861  fsumparts  15865  incexc  15898  pwdif  15929  cvgrat  15944  binomfallfaclem2  16100  fallfacfac  16105  bpolysum  16113  divalglem5  16461  nn0seqcvgd  16634  pcmpt2  16959  4sqlem15  17025  efgtlen  19802  srgbinomlem3  20316  fermltlchr  21690  freshmansdream  21735  cayhamlem1  23034  vitalilem1  25778  dvcnp2  26090  dvferm1lem  26154  c1lip1  26167  dv11cn  26171  ftc1lem5  26210  ftc2  26214  plyeq0lem  26378  dgrcolem2  26442  plydivlem4  26468  qaa  26495  aalioulem3  26508  aaliou3lem2  26517  tayl0  26536  dvntaylp  26545  taylthlem1  26547  taylthlem2  26548  abelthlem9  26614  isosctrlem1  26994  birthdaylem2  27128  rlimcnp  27141  lgam1  27239  basellem2  27257  basellem5  27260  chpub  27395  dchrsum2  27443  sumdchr2  27445  2sqmod  27611  rplogsumlem2  27660  dchrisumlem1  27664  pntlemf  27780  colinearalglem4  29270  crctcsh  30184  eucrct2eupth  30607  ipidsq  31073  dip0r  31080  riesz3i  32425  riesz4i  32426  hmopidmpji  32515  pjclem4  32562  pj3si  32570  cycpmco2lem2  33456  cycpmco2lem4  33458  cycpmco2lem6  33460  znfermltl  33690  vietalem  33978  ccfldextdgrr  34071  constrrtcc  34134  signsply0  34947  itgexpif  35002  dnizeq0  37092  unbdqndv2lem2  37127  qdiff  37999  poimir  38332  itg2addnclem3  38352  ftc1cnnc  38371  ftc2nc  38381  areacirc  38392  posbezout  42895  aks6d1c5lem1  42931  aks6d1c5lem2  42933  sticksstones10  42950  sticksstones12a  42952  bcle2d  42974  fltnltalem  43422  3cubeslem2  43444  congid  43726  congabseq  43729  jm2.18  43743  dgrsub2  43890  areaquad  43971  ofsubid  45062  isosctrlem1ALT  45670  supxrgelem  46081  constlimc  46368  ioodvbdlimc1lem1  46673  dvnxpaek  46684  dvnmul  46685  voliooico  46734  voliccico  46741  stoweidlem13  46755  stoweidlem23  46765  stoweidlem26  46768  stirlinglem5  46820  dirkertrigeqlem2  46841  fourierdlem4  46853  fourierdlem42  46891  fourierdlem60  46908  fourierdlem61  46909  fourierdlem74  46922  fourierdlem75  46923  fourierdlem89  46937  fourierdlem90  46938  fourierdlem91  46939  fourierdlem103  46951  fourierdlem104  46952  fourierdlem107  46955  sqwvfoura  46970  etransclem24  47000  etransclem25  47001  hoidmv1lelem1  47333  hoidmv1lelem2  47334  hoidmvlelem1  47337  hoidmvlelem2  47338  volico2  47383  2elfz2melfz  48083  m1mod0mod1  48125  m1modmmod  48129  pgnbgreunbgrlem2lem1  48907  pgnbgreunbgrlem2lem2  48908  eenglngeehlnmlem2  49546  rrx2linest  49550  line2x  49562  itscnhlc0yqe  49567  itsclc0yqsollem1  49570