Theorem subidd 11491

Description: Subtraction of a number from itself. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subidd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = 0)

Proof of Theorem subidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		subid 11411	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036   − cmin 11375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182  df-sub 11377

This theorem is referenced by:  mulsubaddmulsub  11612  leaddle0  11663  cru  12149  iccf1o  13447  elfzo0suble  13659  fzocatel  13682  zmod10  13844  hashfzo  14389  hashfzp1  14391  ccatval21sw  14546  ccats1val2  14588  swrd00  14605  ccatpfx  14661  swrdccat3blem  14699  revccat  14726  repswswrd  14744  climconst  15503  rlimconst  15504  telfsumo  15763  fsumparts  15767  incexc  15800  pwdif  15831  cvgrat  15846  binomfallfaclem2  16003  fallfacfac  16008  bpolysum  16016  divalglem5  16364  nn0seqcvgd  16537  pcmpt2  16862  4sqlem15  16928  efgtlen  19699  srgbinomlem3  20207  fermltlchr  21511  freshmansdream  21556  cayhamlem1  22856  vitalilem1  25600  dvcnp2  25912  dvferm1lem  25976  c1lip1  25989  dv11cn  25993  ftc1lem5  26032  ftc2  26036  plyeq0lem  26200  dgrcolem2  26264  plydivlem4  26287  qaa  26314  aalioulem3  26325  aaliou3lem2  26334  tayl0  26352  dvntaylp  26361  taylthlem1  26363  taylthlem2  26364  abelthlem9  26430  isosctrlem1  26807  birthdaylem2  26941  rlimcnp  26954  lgam1  27052  basellem2  27070  basellem5  27073  chpub  27208  dchrsum2  27256  sumdchr2  27258  2sqmod  27424  rplogsumlem2  27473  dchrisumlem1  27477  pntlemf  27593  colinearalglem4  29003  crctcsh  29917  eucrct2eupth  30340  ipidsq  30806  dip0r  30813  riesz3i  32158  riesz4i  32159  hmopidmpji  32248  pjclem4  32295  pj3si  32303  cycpmco2lem2  33215  cycpmco2lem4  33217  cycpmco2lem6  33219  znfermltl  33456  vietalem  33770  ccfldextdgrr  33863  constrrtcc  33926  signsply0  34742  itgexpif  34797  dnizeq0  36782  unbdqndv2lem2  36817  qdiff  37688  poimir  38021  itg2addnclem3  38041  ftc1cnnc  38060  ftc2nc  38070  areacirc  38081  posbezout  42586  aks6d1c5lem1  42622  aks6d1c5lem2  42624  sticksstones10  42641  sticksstones12a  42643  bcle2d  42665  fltnltalem  43113  3cubeslem2  43135  congid  43417  congabseq  43420  jm2.18  43434  dgrsub2  43581  areaquad  43662  ofsubid  44769  isosctrlem1ALT  45378  supxrgelem  45783  constlimc  46070  ioodvbdlimc1lem1  46375  dvnxpaek  46386  dvnmul  46387  voliooico  46436  voliccico  46443  stoweidlem13  46457  stoweidlem23  46467  stoweidlem26  46470  stirlinglem5  46522  dirkertrigeqlem2  46543  fourierdlem4  46555  fourierdlem42  46593  fourierdlem60  46610  fourierdlem61  46611  fourierdlem74  46624  fourierdlem75  46625  fourierdlem89  46639  fourierdlem90  46640  fourierdlem91  46641  fourierdlem103  46653  fourierdlem104  46654  fourierdlem107  46657  sqwvfoura  46672  etransclem24  46702  etransclem25  46703  hoidmv1lelem1  47035  hoidmv1lelem2  47036  hoidmvlelem1  47039  hoidmvlelem2  47040  volico2  47085  2elfz2melfz  47782  m1mod0mod1  47824  m1modmmod  47828  pgnbgreunbgrlem2lem1  48606  pgnbgreunbgrlem2lem2  48607  eenglngeehlnmlem2  49230  rrx2linest  49234  line2x  49246  itscnhlc0yqe  49251  itsclc0yqsollem1  49254