Theorem subidd 11559

Description: Subtraction of a number from itself. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subidd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = 0)

Proof of Theorem subidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		subid 11479	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110   − cmin 11444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446

This theorem is referenced by:  mulsubaddmulsub  11678  leaddle0  11729  cru  12204  iccf1o  13473  fzocatel  13696  zmod10  13852  hashfzo  14389  hashfzp1  14391  ccatval21sw  14535  ccats1val2  14577  swrd00  14594  ccatpfx  14651  swrdccat3blem  14689  revccat  14716  repswswrd  14734  climconst  15487  rlimconst  15488  telfsumo  15748  fsumparts  15752  incexc  15783  pwdif  15814  cvgrat  15829  binomfallfaclem2  15984  fallfacfac  15989  bpolysum  15997  divalglem5  16340  nn0seqcvgd  16507  pcmpt2  16826  4sqlem15  16892  efgtlen  19594  srgbinomlem3  20051  cayhamlem1  22368  vitalilem1  25125  dvcnp2  25437  dvferm1lem  25501  c1lip1  25514  dv11cn  25518  ftc1lem5  25557  ftc2  25561  plyeq0lem  25724  dgrcolem2  25788  plydivlem4  25809  qaa  25836  aalioulem3  25847  aaliou3lem2  25856  tayl0  25874  dvntaylp  25883  taylthlem1  25885  taylthlem2  25886  abelthlem9  25952  isosctrlem1  26323  birthdaylem2  26457  rlimcnp  26470  lgam1  26568  basellem2  26586  basellem5  26589  chpub  26723  dchrsum2  26771  sumdchr2  26773  2sqmod  26939  rplogsumlem2  26988  dchrisumlem1  26992  pntlemf  27108  colinearalglem4  28198  crctcsh  29109  eucrct2eupth  29529  ipidsq  29994  dip0r  30001  riesz3i  31346  riesz4i  31347  hmopidmpji  31436  pjclem4  31483  pj3si  31491  cycpmco2lem2  32317  cycpmco2lem4  32319  cycpmco2lem6  32321  freshmansdream  32412  fermltlchr  32509  znfermltl  32510  ccfldextdgrr  32777  signsply0  33593  itgexpif  33649  gg-dvcnp2  35205  dnizeq0  35399  unbdqndv2lem2  35434  poimir  36569  itg2addnclem3  36589  ftc1cnnc  36608  ftc2nc  36618  areacirc  36629  sticksstones10  41019  sticksstones12a  41021  metakunt24  41056  lsubcom23d  41239  fltnltalem  41452  3cubeslem2  41471  congid  41758  congabseq  41761  jm2.18  41775  dgrsub2  41925  areaquad  42013  ofsubid  43131  isosctrlem1ALT  43743  supxrgelem  44095  constlimc  44388  ioodvbdlimc1lem1  44695  dvnxpaek  44706  dvnmul  44707  voliooico  44756  voliccico  44763  stoweidlem13  44777  stoweidlem23  44787  stoweidlem26  44790  stirlinglem5  44842  dirkertrigeqlem2  44863  fourierdlem4  44875  fourierdlem42  44913  fourierdlem60  44930  fourierdlem61  44931  fourierdlem74  44944  fourierdlem75  44945  fourierdlem89  44959  fourierdlem90  44960  fourierdlem91  44961  fourierdlem103  44973  fourierdlem104  44974  fourierdlem107  44977  sqwvfoura  44992  etransclem24  45022  etransclem25  45023  hoidmv1lelem1  45355  hoidmv1lelem2  45356  hoidmvlelem1  45359  hoidmvlelem2  45360  volico2  45405  2elfz2melfz  46074  m1mod0mod1  46085  m1modmmod  47255  eenglngeehlnmlem2  47472  rrx2linest  47476  line2x  47488  itscnhlc0yqe  47493  itsclc0yqsollem1  47496