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Theorem itscnhlinecirc02plem1 45139
Description: Lemma 1 for itscnhlinecirc02p 45142. (Contributed by AV, 6-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2itscp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2itscp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2itscp.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2itscp.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
2itscp.d 𝐷 = (𝑋𝐴)
2itscp.e 𝐸 = (𝐵𝑌)
2itscp.c 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
2itscp.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
2itscp.l (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))
itscnhlinecirc02plem1.n (𝜑𝐵𝑌)
Assertion
Ref Expression
itscnhlinecirc02plem1 (𝜑 → 0 < ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))

Proof of Theorem itscnhlinecirc02plem1
StepHypRef Expression
1 4re 11709 . . . . 5 4 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
3 2itscp.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑋𝐴)
4 2itscp.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
5 2itscp.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
64, 5resubcld 11057 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℝ)
73, 6eqeltrid 2918 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
87resqcld 13607 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ)
9 2itscp.c . . . . . . . 8 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
10 2itscp.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
117, 10remulcld 10660 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℝ)
12 2itscp.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (𝐵𝑌)
13 2itscp.y . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
1410, 13resubcld 11057 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝑌) ∈ ℝ)
1512, 14eqeltrid 2918 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
1615, 5remulcld 10660 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 · 𝐴) ∈ ℝ)
1711, 16readdcld 10659 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴)) ∈ ℝ)
189, 17eqeltrid 2918 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1918resqcld 13607 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
208, 19remulcld 10660 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
2115resqcld 13607 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
2221, 8readdcld 10659 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℝ)
23 2itscp.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
2423resqcld 13607 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
2521, 24remulcld 10660 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℝ)
2619, 25resubcld 11057 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℝ)
2722, 26remulcld 10660 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) ∈ ℝ)
2820, 27resubcld 11057 . . . 4 (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))) ∈ ℝ)
29 4pos 11732 . . . . 5 0 < 4
3029a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 < 4)
318, 24remulcld 10660 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℝ)
3225, 31readdcld 10659 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℝ)
3332, 19resubcld 11057 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
3412a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 = (𝐵𝑌))
3510recnd 10658 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3613recnd 10658 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
37 itscnhlinecirc02plem1.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝑌)
3835, 36, 37subne0d 10995 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑌) ≠ 0)
3934, 38eqnetrd 3078 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ≠ 0)
4015, 39sqgt0d 13609 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < (𝐸↑2))
41 2itscp.l . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))
4237orcd 870 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑌𝐴𝑋))
43 eqid 2822 . . . . . . . . 9 ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))
44 eqid 2822 . . . . . . . . 9 (((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))) − (𝐶↑2)) = (((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))) − (𝐶↑2))
455, 10, 4, 13, 3, 12, 9, 23, 41, 42, 43, 442itscp 45138 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))) − (𝐶↑2)))
4621recnd 10658 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
478recnd 10658 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
4824recnd 10658 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
4946, 47, 48adddird 10655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · (𝑅↑2)) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))))
5046, 47addcld 10649 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
5150, 48mulcomd 10651 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · (𝑅↑2)) = ((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))))
5249, 51eqtr3d 2859 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) = ((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))))
5352oveq1d 7155 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2)) = (((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))) − (𝐶↑2)))
5445, 53breqtrrd 5070 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2)))
5521, 33, 40, 54mulgt0d 10784 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < ((𝐸↑2) · ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2))))
5647, 46, 48mul12d 10838 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) = ((𝐸↑2) · ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))))
5756oveq2d 7156 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) = (((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐸↑2) · ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))))
5846, 48mulcld 10650 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
5947, 48mulcld 10650 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
6046, 58, 59adddid 10654 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸↑2) · (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))) = (((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐸↑2) · ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))))
6157, 60eqtr4d 2860 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) = ((𝐸↑2) · (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))))
6261oveq1d 7155 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))) = (((𝐸↑2) · (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))))
6358, 59addcld 10649 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
6419recnd 10658 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
6546, 63, 64subdid 11085 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸↑2) · ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2))) = (((𝐸↑2) · (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))))
6662, 65eqtr4d 2860 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))) = ((𝐸↑2) · ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2))))
6755, 66breqtrrd 5070 . . . . 5 (𝜑 → 0 < ((((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))))
6815recnd 10658 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
6968sqcld 13504 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
707recnd 10658 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
7170sqcld 13504 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
7225recnd 10658 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
73 mulsubaddmulsub 11093 . . . . . 6 ((((𝐸↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷↑2) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)) → (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))) = ((((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))))
7469, 71, 64, 72, 73syl22anc 837 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))) = ((((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))))
7567, 74breqtrrd 5070 . . . 4 (𝜑 → 0 < (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))))
762, 28, 30, 75mulgt0d 10784 . . 3 (𝜑 → 0 < (4 · (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
77 4cn 11710 . . . . 5 4 ∈ ℂ
7877a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
7918recnd 10658 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
8079sqcld 13504 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
8171, 80mulcld 10650 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
8269, 71addcld 10649 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
8323recnd 10658 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
8483sqcld 13504 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
8569, 84mulcld 10650 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
8680, 85subcld 10986 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
8782, 86mulcld 10650 . . . 4 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) ∈ ℂ)
8878, 81, 87subdid 11085 . . 3 (𝜑 → (4 · (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((4 · ((𝐷↑2) · (𝐶↑2))) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
8976, 88breqtrd 5068 . 2 (𝜑 → 0 < ((4 · ((𝐷↑2) · (𝐶↑2))) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
90 2cnd 11703 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
9170, 79mulcld 10650 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
9290, 91mulcld 10650 . . . . 5 (𝜑 → (2 · (𝐷 · 𝐶)) ∈ ℂ)
93 sqneg 13478 . . . . 5 ((2 · (𝐷 · 𝐶)) ∈ ℂ → (-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) = ((2 · (𝐷 · 𝐶))↑2))
9492, 93syl 17 . . . 4 (𝜑 → (-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) = ((2 · (𝐷 · 𝐶))↑2))
9590, 91sqmuld 13518 . . . 4 (𝜑 → ((2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) · ((𝐷 · 𝐶)↑2)))
96 sq2 13556 . . . . . 6 (2↑2) = 4
9796a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (2↑2) = 4)
9870, 79sqmuld 13518 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶)↑2) = ((𝐷↑2) · (𝐶↑2)))
9997, 98oveq12d 7158 . . . 4 (𝜑 → ((2↑2) · ((𝐷 · 𝐶)↑2)) = (4 · ((𝐷↑2) · (𝐶↑2))))
10094, 95, 993eqtrd 2861 . . 3 (𝜑 → (-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) = (4 · ((𝐷↑2) · (𝐶↑2))))
101100oveq1d 7155 . 2 (𝜑 → ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((4 · ((𝐷↑2) · (𝐶↑2))) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
10289, 101breqtrrd 5070 1 (𝜑 → 0 < ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011   class class class wbr 5042  (class class class)co 7140  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  cmin 10859  -cneg 10860  2c2 11680  4c4 11682  cexp 13425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426
This theorem is referenced by:  itscnhlinecirc02plem2  45140
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