itscnhlinecirc02plem1 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem itscnhlinecirc02plem1 47557

Description: Lemma 1 for itscnhlinecirc02p 47560. (Contributed by AV, 6-Mar-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2itscp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2itscp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2itscp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
2itscp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
2itscp.d	⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
2itscp.e	⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
2itscp.c	⊢ 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
2itscp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
2itscp.l	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))
itscnhlinecirc02plem1.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑌)

**Assertion**
Ref	Expression
itscnhlinecirc02plem1	⊢ (𝜑 → 0 < ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))

**Proof of Theorem itscnhlinecirc02plem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 12302	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
3		2itscp.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
4		2itscp.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
5		2itscp.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	4, 5	resubcld 11648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℝ)
7	3, 6	eqeltrid 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
8	7	resqcld 14096	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ)
9		2itscp.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
10		2itscp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11	7, 10	remulcld 11250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℝ)
12		2itscp.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
13		2itscp.y	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
14	10, 13	resubcld 11648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ∈ ℝ)
15	12, 14	eqeltrid 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
16	15, 5	remulcld 11250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐴) ∈ ℝ)
17	11, 16	readdcld 11249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴)) ∈ ℝ)
18	9, 17	eqeltrid 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
19	18	resqcld 14096	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
20	8, 19	remulcld 11250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
21	15	resqcld 14096	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
22	21, 8	readdcld 11249	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℝ)
23		2itscp.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
24	23	resqcld 14096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
25	21, 24	remulcld 11250	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℝ)
26	19, 25	resubcld 11648	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℝ)
27	22, 26	remulcld 11250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) ∈ ℝ)
28	20, 27	resubcld 11648	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))) ∈ ℝ)
29		4pos 12325	. . . . 5 ⊢ 0 < 4
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 4)
31	8, 24	remulcld 11250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℝ)
32	25, 31	readdcld 11249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℝ)
33	32, 19	resubcld 11648	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
34	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐵 − 𝑌))
35	10	recnd 11248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
36	13	recnd 11248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
37		itscnhlinecirc02plem1.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑌)
38	35, 36, 37	subne0d 11586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ≠ 0)
39	34, 38	eqnetrd 3006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
40	15, 39	sqgt0d 14219	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐸↑2))
41		2itscp.l	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))
42	37	orcd 869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 𝑌 ∨ 𝐴 ≠ 𝑋))
43		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))
44		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))) − (𝐶↑2)) = (((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))) − (𝐶↑2))
45	5, 10, 4, 13, 3, 12, 9, 23, 41, 42, 43, 44	2itscp 47556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))) − (𝐶↑2)))
46	21	recnd 11248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
47	8	recnd 11248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
48	24	recnd 11248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
49	46, 47, 48	adddird 11245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · (𝑅↑2)) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))))
50	46, 47	addcld 11239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
51	50, 48	mulcomd 11241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · (𝑅↑2)) = ((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))))
52	49, 51	eqtr3d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) = ((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))))
53	52	oveq1d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2)) = (((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))) − (𝐶↑2)))
54	45, 53	breqtrrd 5177	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2)))
55	21, 33, 40, 54	mulgt0d 11375	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐸↑2) · ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2))))
56	47, 46, 48	mul12d 11429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) = ((𝐸↑2) · ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))))
57	56	oveq2d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) = (((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐸↑2) · ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))))
58	46, 48	mulcld 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
59	47, 48	mulcld 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
60	46, 58, 59	adddid 11244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))) = (((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐸↑2) · ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))))
61	57, 60	eqtr4d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) = ((𝐸↑2) · (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))))
62	61	oveq1d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))) = (((𝐸↑2) · (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))))
63	58, 59	addcld 11239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
64	19	recnd 11248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
65	46, 63, 64	subdid 11676	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2))) = (((𝐸↑2) · (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))))
66	62, 65	eqtr4d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))) = ((𝐸↑2) · ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2))))
67	55, 66	breqtrrd 5177	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < ((((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))))
68	15	recnd 11248	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
69	68	sqcld 14115	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
70	7	recnd 11248	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
71	70	sqcld 14115	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
72	25	recnd 11248	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
73		mulsubaddmulsub 11684	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐸↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷↑2) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)) → (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))) = ((((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))))
74	69, 71, 64, 72, 73	syl22anc 835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))) = ((((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))))
75	67, 74	breqtrrd 5177	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))))
76	2, 28, 30, 75	mulgt0d 11375	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < (4 · (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
77		4cn 12303	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
78	77	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
79	18	recnd 11248	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
80	79	sqcld 14115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
81	71, 80	mulcld 11240	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
82	69, 71	addcld 11239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
83	23	recnd 11248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
84	83	sqcld 14115	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
85	69, 84	mulcld 11240	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
86	80, 85	subcld 11577	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
87	82, 86	mulcld 11240	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) ∈ ℂ)
88	78, 81, 87	subdid 11676	. . 3 ⊢ (𝜑 → (4 · (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((4 · ((𝐷↑2) · (𝐶↑2))) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
89	76, 88	breqtrd 5175	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < ((4 · ((𝐷↑2) · (𝐶↑2))) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
90		2cnd 12296	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
91	70, 79	mulcld 11240	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
92	90, 91	mulcld 11240	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐷 · 𝐶)) ∈ ℂ)
93		sqneg 14087	. . . . 5 ⊢ ((2 · (𝐷 · 𝐶)) ∈ ℂ → (-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) = ((2 · (𝐷 · 𝐶))↑2))
94	92, 93	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) = ((2 · (𝐷 · 𝐶))↑2))
95	90, 91	sqmuld 14129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) · ((𝐷 · 𝐶)↑2)))
96		sq2 14167	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) = 4
97	96	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑2) = 4)
98	70, 79	sqmuld 14129	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶)↑2) = ((𝐷↑2) · (𝐶↑2)))
99	97, 98	oveq12d 7431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2↑2) · ((𝐷 · 𝐶)↑2)) = (4 · ((𝐷↑2) · (𝐶↑2))))
100	94, 95, 99	3eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) = (4 · ((𝐷↑2) · (𝐶↑2))))
101	100	oveq1d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((4 · ((𝐷↑2) · (𝐶↑2))) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
102	89, 101	breqtrrd 5177	1 ⊢ (𝜑 → 0 < ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1539 ∈ wcel 2104 ≠ wne 2938 class class class wbr 5149 (class class class)co 7413 ℂcc 11112 ℝcr 11113 0cc0 11114 + caddc 11117 · cmul 11119 < clt 11254 − cmin 11450 -cneg 11451 2c2 12273 4c4 12275 ↑cexp 14033

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7729 ax-cnex 11170 ax-resscn 11171 ax-1cn 11172 ax-icn 11173 ax-addcl 11174 ax-addrcl 11175 ax-mulcl 11176 ax-mulrcl 11177 ax-mulcom 11178 ax-addass 11179 ax-mulass 11180 ax-distr 11181 ax-i2m1 11182 ax-1ne0 11183 ax-1rid 11184 ax-rnegex 11185 ax-rrecex 11186 ax-cnre 11187 ax-pre-lttri 11188 ax-pre-lttrn 11189 ax-pre-ltadd 11190 ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-riota 7369 df-ov 7416 df-oprab 7417 df-mpo 7418 df-om 7860 df-2nd 7980 df-frecs 8270 df-wrecs 8301 df-recs 8375 df-rdg 8414 df-er 8707 df-en 8944 df-dom 8945 df-sdom 8946 df-pnf 11256 df-mnf 11257 df-xr 11258 df-ltxr 11259 df-le 11260 df-sub 11452 df-neg 11453 df-nn 12219 df-2 12281 df-3 12282 df-4 12283 df-n0 12479 df-z 12565 df-uz 12829 df-rp 12981 df-seq 13973 df-exp 14034

This theorem is referenced by: itscnhlinecirc02plem2 47558

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