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Theorem itscnhlinecirc02plem1 48703
Description: Lemma 1 for itscnhlinecirc02p 48706. (Contributed by AV, 6-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2itscp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2itscp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2itscp.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2itscp.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
2itscp.d 𝐷 = (𝑋𝐴)
2itscp.e 𝐸 = (𝐵𝑌)
2itscp.c 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
2itscp.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
2itscp.l (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))
itscnhlinecirc02plem1.n (𝜑𝐵𝑌)
Assertion
Ref Expression
itscnhlinecirc02plem1 (𝜑 → 0 < ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))

Proof of Theorem itscnhlinecirc02plem1
StepHypRef Expression
1 4re 12350 . . . . 5 4 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
3 2itscp.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑋𝐴)
4 2itscp.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
5 2itscp.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
64, 5resubcld 11691 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℝ)
73, 6eqeltrid 2845 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
87resqcld 14165 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ)
9 2itscp.c . . . . . . . 8 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
10 2itscp.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
117, 10remulcld 11291 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℝ)
12 2itscp.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (𝐵𝑌)
13 2itscp.y . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
1410, 13resubcld 11691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝑌) ∈ ℝ)
1512, 14eqeltrid 2845 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
1615, 5remulcld 11291 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 · 𝐴) ∈ ℝ)
1711, 16readdcld 11290 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴)) ∈ ℝ)
189, 17eqeltrid 2845 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1918resqcld 14165 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
208, 19remulcld 11291 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
2115resqcld 14165 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
2221, 8readdcld 11290 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℝ)
23 2itscp.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
2423resqcld 14165 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
2521, 24remulcld 11291 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℝ)
2619, 25resubcld 11691 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℝ)
2722, 26remulcld 11291 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) ∈ ℝ)
2820, 27resubcld 11691 . . . 4 (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))) ∈ ℝ)
29 4pos 12373 . . . . 5 0 < 4
3029a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 < 4)
318, 24remulcld 11291 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℝ)
3225, 31readdcld 11290 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℝ)
3332, 19resubcld 11691 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
3412a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 = (𝐵𝑌))
3510recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3613recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
37 itscnhlinecirc02plem1.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝑌)
3835, 36, 37subne0d 11629 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑌) ≠ 0)
3934, 38eqnetrd 3008 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ≠ 0)
4015, 39sqgt0d 14289 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < (𝐸↑2))
41 2itscp.l . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))
4237orcd 874 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑌𝐴𝑋))
43 eqid 2737 . . . . . . . . 9 ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))
44 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))) − (𝐶↑2)) = (((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))) − (𝐶↑2))
455, 10, 4, 13, 3, 12, 9, 23, 41, 42, 43, 442itscp 48702 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))) − (𝐶↑2)))
4621recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
478recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
4824recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
4946, 47, 48adddird 11286 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · (𝑅↑2)) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))))
5046, 47addcld 11280 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
5150, 48mulcomd 11282 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · (𝑅↑2)) = ((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))))
5249, 51eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) = ((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))))
5352oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2)) = (((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))) − (𝐶↑2)))
5445, 53breqtrrd 5171 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2)))
5521, 33, 40, 54mulgt0d 11416 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < ((𝐸↑2) · ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2))))
5647, 46, 48mul12d 11470 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) = ((𝐸↑2) · ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))))
5756oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) = (((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐸↑2) · ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))))
5846, 48mulcld 11281 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
5947, 48mulcld 11281 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
6046, 58, 59adddid 11285 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸↑2) · (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))) = (((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐸↑2) · ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))))
6157, 60eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) = ((𝐸↑2) · (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))))
6261oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))) = (((𝐸↑2) · (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))))
6358, 59addcld 11280 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
6419recnd 11289 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
6546, 63, 64subdid 11719 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸↑2) · ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2))) = (((𝐸↑2) · (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))))
6662, 65eqtr4d 2780 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))) = ((𝐸↑2) · ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2))))
6755, 66breqtrrd 5171 . . . . 5 (𝜑 → 0 < ((((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))))
6815recnd 11289 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
6968sqcld 14184 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
707recnd 11289 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
7170sqcld 14184 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
7225recnd 11289 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
73 mulsubaddmulsub 11727 . . . . . 6 ((((𝐸↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷↑2) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)) → (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))) = ((((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))))
7469, 71, 64, 72, 73syl22anc 839 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))) = ((((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))))
7567, 74breqtrrd 5171 . . . 4 (𝜑 → 0 < (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))))
762, 28, 30, 75mulgt0d 11416 . . 3 (𝜑 → 0 < (4 · (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
77 4cn 12351 . . . . 5 4 ∈ ℂ
7877a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
7918recnd 11289 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
8079sqcld 14184 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
8171, 80mulcld 11281 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
8269, 71addcld 11280 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
8323recnd 11289 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
8483sqcld 14184 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
8569, 84mulcld 11281 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
8680, 85subcld 11620 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
8782, 86mulcld 11281 . . . 4 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) ∈ ℂ)
8878, 81, 87subdid 11719 . . 3 (𝜑 → (4 · (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((4 · ((𝐷↑2) · (𝐶↑2))) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
8976, 88breqtrd 5169 . 2 (𝜑 → 0 < ((4 · ((𝐷↑2) · (𝐶↑2))) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
90 2cnd 12344 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
9170, 79mulcld 11281 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
9290, 91mulcld 11281 . . . . 5 (𝜑 → (2 · (𝐷 · 𝐶)) ∈ ℂ)
93 sqneg 14156 . . . . 5 ((2 · (𝐷 · 𝐶)) ∈ ℂ → (-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) = ((2 · (𝐷 · 𝐶))↑2))
9492, 93syl 17 . . . 4 (𝜑 → (-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) = ((2 · (𝐷 · 𝐶))↑2))
9590, 91sqmuld 14198 . . . 4 (𝜑 → ((2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) · ((𝐷 · 𝐶)↑2)))
96 sq2 14236 . . . . . 6 (2↑2) = 4
9796a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (2↑2) = 4)
9870, 79sqmuld 14198 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶)↑2) = ((𝐷↑2) · (𝐶↑2)))
9997, 98oveq12d 7449 . . . 4 (𝜑 → ((2↑2) · ((𝐷 · 𝐶)↑2)) = (4 · ((𝐷↑2) · (𝐶↑2))))
10094, 95, 993eqtrd 2781 . . 3 (𝜑 → (-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) = (4 · ((𝐷↑2) · (𝐶↑2))))
101100oveq1d 7446 . 2 (𝜑 → ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((4 · ((𝐷↑2) · (𝐶↑2))) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
10289, 101breqtrrd 5171 1 (𝜑 → 0 < ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cmin 11492  -cneg 11493  2c2 12321  4c4 12323  cexp 14102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103
This theorem is referenced by:  itscnhlinecirc02plem2  48704
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