Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itscnhlinecirc02plem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itscnhlinecirc02plem1 47468
Description: Lemma 1 for itscnhlinecirc02p 47471. (Contributed by AV, 6-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2itscp.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2itscp.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2itscp.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
2itscp.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
2itscp.d ๐ท = (๐‘‹ โˆ’ ๐ด)
2itscp.e ๐ธ = (๐ต โˆ’ ๐‘Œ)
2itscp.c ๐ถ = ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))
2itscp.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
2itscp.l (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) < (๐‘…โ†‘2))
itscnhlinecirc02plem1.n (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  ๐‘Œ)
Assertion
Ref Expression
itscnhlinecirc02plem1 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((-(2 ยท (๐ท ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))

Proof of Theorem itscnhlinecirc02plem1
StepHypRef Expression
1 4re 12296 . . . . 5 4 โˆˆ โ„
21a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„)
3 2itscp.d . . . . . . . 8 ๐ท = (๐‘‹ โˆ’ ๐ด)
4 2itscp.x . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
5 2itscp.a . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
64, 5resubcld 11642 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
73, 6eqeltrid 2838 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
87resqcld 14090 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„)
9 2itscp.c . . . . . . . 8 ๐ถ = ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))
10 2itscp.b . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
117, 10remulcld 11244 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
12 2itscp.e . . . . . . . . . . 11 ๐ธ = (๐ต โˆ’ ๐‘Œ)
13 2itscp.y . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
1410, 13resubcld 11642 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
1512, 14eqeltrid 2838 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
1615, 5remulcld 11244 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
1711, 16readdcld 11243 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
189, 17eqeltrid 2838 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
1918resqcld 14090 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„)
208, 19remulcld 11244 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„)
2115resqcld 14090 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„)
2221, 8readdcld 11243 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) โˆˆ โ„)
23 2itscp.r . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
2423resqcld 14090 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘…โ†‘2) โˆˆ โ„)
2521, 24remulcld 11244 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆˆ โ„)
2619, 25resubcld 11642 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆˆ โ„)
2722, 26remulcld 11244 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) โˆˆ โ„)
2820, 27resubcld 11642 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ทโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))) โˆˆ โ„)
29 4pos 12319 . . . . 5 0 < 4
3029a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 < 4)
318, 24remulcld 11244 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆˆ โ„)
3225, 31readdcld 11243 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆˆ โ„)
3332, 19resubcld 11642 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„)
3412a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = (๐ต โˆ’ ๐‘Œ))
3510recnd 11242 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3613recnd 11242 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
37 itscnhlinecirc02plem1.n . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  ๐‘Œ)
3835, 36, 37subne0d 11580 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘Œ) โ‰  0)
3934, 38eqnetrd 3009 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โ‰  0)
4015, 39sqgt0d 14213 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐ธโ†‘2))
41 2itscp.l . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) < (๐‘…โ†‘2))
4237orcd 872 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โ‰  ๐‘Œ โˆจ ๐ด โ‰  ๐‘‹))
43 eqid 2733 . . . . . . . . 9 ((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) = ((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))
44 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (((๐‘…โ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) = (((๐‘…โ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))) โˆ’ (๐ถโ†‘2))
455, 10, 4, 13, 3, 12, 9, 23, 41, 42, 43, 442itscp 47467 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 < (((๐‘…โ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))) โˆ’ (๐ถโ†‘2)))
4621recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
478recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4824recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘…โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4946, 47, 48adddird 11239 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท (๐‘…โ†‘2)) = (((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))
5046, 47addcld 11233 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
5150, 48mulcomd 11235 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท (๐‘…โ†‘2)) = ((๐‘…โ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))))
5249, 51eqtr3d 2775 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) = ((๐‘…โ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))))
5352oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) = (((๐‘…โ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))) โˆ’ (๐ถโ†‘2)))
5445, 53breqtrrd 5177 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ (๐ถโ†‘2)))
5521, 33, 40, 54mulgt0d 11369 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((๐ธโ†‘2) ยท ((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ (๐ถโ†‘2))))
5647, 46, 48mul12d 11423 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) = ((๐ธโ†‘2) ยท ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))
5756oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ทโ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) = (((๐ธโ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ธโ†‘2) ยท ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))
5846, 48mulcld 11234 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
5947, 48mulcld 11234 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
6046, 58, 59adddid 11238 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) ยท (((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) = (((๐ธโ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ธโ†‘2) ยท ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))
6157, 60eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ทโ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) = ((๐ธโ†‘2) ยท (((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))
6261oveq1d 7424 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ธโ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ทโ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))) = (((๐ธโ†‘2) ยท (((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))))
6358, 59addcld 11233 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
6419recnd 11242 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6546, 63, 64subdid 11670 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) ยท ((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ (๐ถโ†‘2))) = (((๐ธโ†‘2) ยท (((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))))
6662, 65eqtr4d 2776 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ธโ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ทโ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))) = ((๐ธโ†‘2) ยท ((((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ทโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ (๐ถโ†‘2))))
6755, 66breqtrrd 5177 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((((๐ธโ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ทโ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))))
6815recnd 11242 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
6968sqcld 14109 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
707recnd 11242 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
7170sqcld 14109 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
7225recnd 11242 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
73 mulsubaddmulsub 11678 . . . . . 6 ((((๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ทโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))) = ((((๐ธโ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ทโ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))))
7469, 71, 64, 72, 73syl22anc 838 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ทโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))) = ((((๐ธโ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ทโ†‘2) ยท ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))))
7567, 74breqtrrd 5177 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 < (((๐ทโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))))
762, 28, 30, 75mulgt0d 11369 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 < (4 ยท (((๐ทโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))
77 4cn 12297 . . . . 5 4 โˆˆ โ„‚
7877a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
7918recnd 11242 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
8079sqcld 14109 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8171, 80mulcld 11234 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
8269, 71addcld 11233 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
8323recnd 11242 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
8483sqcld 14109 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘…โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8569, 84mulcld 11234 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
8680, 85subcld 11571 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
8782, 86mulcld 11234 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) โˆˆ โ„‚)
8878, 81, 87subdid 11670 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (((๐ทโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))) = ((4 ยท ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))
8976, 88breqtrd 5175 . 2 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((4 ยท ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))
90 2cnd 12290 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
9170, 79mulcld 11234 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
9290, 91mulcld 11234 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ท ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
93 sqneg 14081 . . . . 5 ((2 ยท (๐ท ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(2 ยท (๐ท ยท ๐ถ))โ†‘2) = ((2 ยท (๐ท ยท ๐ถ))โ†‘2))
9492, 93syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (-(2 ยท (๐ท ยท ๐ถ))โ†‘2) = ((2 ยท (๐ท ยท ๐ถ))โ†‘2))
9590, 91sqmuld 14123 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐ท ยท ๐ถ))โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท ((๐ท ยท ๐ถ)โ†‘2)))
96 sq2 14161 . . . . . 6 (2โ†‘2) = 4
9796a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘2) = 4)
9870, 79sqmuld 14123 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท ๐ถ)โ†‘2) = ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)))
9997, 98oveq12d 7427 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘2) ยท ((๐ท ยท ๐ถ)โ†‘2)) = (4 ยท ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))))
10094, 95, 993eqtrd 2777 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (-(2 ยท (๐ท ยท ๐ถ))โ†‘2) = (4 ยท ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))))
101100oveq1d 7424 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((-(2 ยท (๐ท ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))) = ((4 ยท ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))
10289, 101breqtrrd 5177 1 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((-(2 ยท (๐ท ยท ๐ถ))โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (((๐ธโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  2c2 12267  4c4 12269  โ†‘cexp 14027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028
This theorem is referenced by:  itscnhlinecirc02plem2  47469
  Copyright terms: Public domain W3C validator