itscnhlinecirc02plem1 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem itscnhlinecirc02plem1 46858

Description: Lemma 1 for itscnhlinecirc02p 46861. (Contributed by AV, 6-Mar-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2itscp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2itscp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2itscp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
2itscp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
2itscp.d	⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
2itscp.e	⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
2itscp.c	⊢ 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
2itscp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
2itscp.l	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))
itscnhlinecirc02plem1.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑌)

**Assertion**
Ref	Expression
itscnhlinecirc02plem1	⊢ (𝜑 → 0 < ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))

**Proof of Theorem itscnhlinecirc02plem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 12237	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
3		2itscp.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
4		2itscp.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
5		2itscp.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	4, 5	resubcld 11583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℝ)
7	3, 6	eqeltrid 2842	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
8	7	resqcld 14030	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ)
9		2itscp.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
10		2itscp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11	7, 10	remulcld 11185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℝ)
12		2itscp.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
13		2itscp.y	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
14	10, 13	resubcld 11583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ∈ ℝ)
15	12, 14	eqeltrid 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
16	15, 5	remulcld 11185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐴) ∈ ℝ)
17	11, 16	readdcld 11184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴)) ∈ ℝ)
18	9, 17	eqeltrid 2842	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
19	18	resqcld 14030	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
20	8, 19	remulcld 11185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
21	15	resqcld 14030	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
22	21, 8	readdcld 11184	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℝ)
23		2itscp.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
24	23	resqcld 14030	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
25	21, 24	remulcld 11185	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℝ)
26	19, 25	resubcld 11583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℝ)
27	22, 26	remulcld 11185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) ∈ ℝ)
28	20, 27	resubcld 11583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))) ∈ ℝ)
29		4pos 12260	. . . . 5 ⊢ 0 < 4
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 4)
31	8, 24	remulcld 11185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℝ)
32	25, 31	readdcld 11184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℝ)
33	32, 19	resubcld 11583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
34	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐵 − 𝑌))
35	10	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
36	13	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
37		itscnhlinecirc02plem1.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑌)
38	35, 36, 37	subne0d 11521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ≠ 0)
39	34, 38	eqnetrd 3011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
40	15, 39	sqgt0d 14153	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐸↑2))
41		2itscp.l	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))
42	37	orcd 871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 𝑌 ∨ 𝐴 ≠ 𝑋))
43		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))
44		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))) − (𝐶↑2)) = (((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))) − (𝐶↑2))
45	5, 10, 4, 13, 3, 12, 9, 23, 41, 42, 43, 44	2itscp 46857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))) − (𝐶↑2)))
46	21	recnd 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
47	8	recnd 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
48	24	recnd 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
49	46, 47, 48	adddird 11180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · (𝑅↑2)) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))))
50	46, 47	addcld 11174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
51	50, 48	mulcomd 11176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · (𝑅↑2)) = ((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))))
52	49, 51	eqtr3d 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) = ((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))))
53	52	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2)) = (((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))) − (𝐶↑2)))
54	45, 53	breqtrrd 5133	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2)))
55	21, 33, 40, 54	mulgt0d 11310	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐸↑2) · ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2))))
56	47, 46, 48	mul12d 11364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) = ((𝐸↑2) · ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))))
57	56	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) = (((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐸↑2) · ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))))
58	46, 48	mulcld 11175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
59	47, 48	mulcld 11175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
60	46, 58, 59	adddid 11179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))) = (((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐸↑2) · ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))))
61	57, 60	eqtr4d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) = ((𝐸↑2) · (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))))
62	61	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))) = (((𝐸↑2) · (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))))
63	58, 59	addcld 11174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
64	19	recnd 11183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
65	46, 63, 64	subdid 11611	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2))) = (((𝐸↑2) · (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))))
66	62, 65	eqtr4d 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))) = ((𝐸↑2) · ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2))))
67	55, 66	breqtrrd 5133	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < ((((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))))
68	15	recnd 11183	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
69	68	sqcld 14049	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
70	7	recnd 11183	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
71	70	sqcld 14049	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
72	25	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
73		mulsubaddmulsub 11619	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐸↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷↑2) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)) → (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))) = ((((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))))
74	69, 71, 64, 72, 73	syl22anc 837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))) = ((((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))))
75	67, 74	breqtrrd 5133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))))
76	2, 28, 30, 75	mulgt0d 11310	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < (4 · (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
77		4cn 12238	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
78	77	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
79	18	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
80	79	sqcld 14049	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
81	71, 80	mulcld 11175	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
82	69, 71	addcld 11174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
83	23	recnd 11183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
84	83	sqcld 14049	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
85	69, 84	mulcld 11175	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
86	80, 85	subcld 11512	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
87	82, 86	mulcld 11175	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) ∈ ℂ)
88	78, 81, 87	subdid 11611	. . 3 ⊢ (𝜑 → (4 · (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((4 · ((𝐷↑2) · (𝐶↑2))) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
89	76, 88	breqtrd 5131	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < ((4 · ((𝐷↑2) · (𝐶↑2))) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
90		2cnd 12231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
91	70, 79	mulcld 11175	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
92	90, 91	mulcld 11175	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐷 · 𝐶)) ∈ ℂ)
93		sqneg 14021	. . . . 5 ⊢ ((2 · (𝐷 · 𝐶)) ∈ ℂ → (-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) = ((2 · (𝐷 · 𝐶))↑2))
94	92, 93	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) = ((2 · (𝐷 · 𝐶))↑2))
95	90, 91	sqmuld 14063	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) · ((𝐷 · 𝐶)↑2)))
96		sq2 14101	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) = 4
97	96	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑2) = 4)
98	70, 79	sqmuld 14063	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶)↑2) = ((𝐷↑2) · (𝐶↑2)))
99	97, 98	oveq12d 7375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2↑2) · ((𝐷 · 𝐶)↑2)) = (4 · ((𝐷↑2) · (𝐶↑2))))
100	94, 95, 99	3eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) = (4 · ((𝐷↑2) · (𝐶↑2))))
101	100	oveq1d 7372	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((4 · ((𝐷↑2) · (𝐶↑2))) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
102	89, 101	breqtrrd 5133	1 ⊢ (𝜑 → 0 < ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 class class class wbr 5105 (class class class)co 7357 ℂcc 11049 ℝcr 11050 0cc0 11051 + caddc 11054 · cmul 11056 < clt 11189 − cmin 11385 -cneg 11386 2c2 12208 4c4 12210 ↑cexp 13967

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pow 5320 ax-pr 5384 ax-un 7672 ax-cnex 11107 ax-resscn 11108 ax-1cn 11109 ax-icn 11110 ax-addcl 11111 ax-addrcl 11112 ax-mulcl 11113 ax-mulrcl 11114 ax-mulcom 11115 ax-addass 11116 ax-mulass 11117 ax-distr 11118 ax-i2m1 11119 ax-1ne0 11120 ax-1rid 11121 ax-rnegex 11122 ax-rrecex 11123 ax-cnre 11124 ax-pre-lttri 11125 ax-pre-lttrn 11126 ax-pre-ltadd 11127 ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3065 df-rex 3074 df-reu 3354 df-rab 3408 df-v 3447 df-sbc 3740 df-csb 3856 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-pss 3929 df-nul 4283 df-if 4487 df-pw 4562 df-sn 4587 df-pr 4589 df-op 4593 df-uni 4866 df-iun 4956 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5189 df-tr 5223 df-id 5531 df-eprel 5537 df-po 5545 df-so 5546 df-fr 5588 df-we 5590 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-rn 5644 df-res 5645 df-ima 5646 df-pred 6253 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fn 6499 df-f 6500 df-f1 6501 df-fo 6502 df-f1o 6503 df-fv 6504 df-riota 7313 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-om 7803 df-2nd 7922 df-frecs 8212 df-wrecs 8243 df-recs 8317 df-rdg 8356 df-er 8648 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-pnf 11191 df-mnf 11192 df-xr 11193 df-ltxr 11194 df-le 11195 df-sub 11387 df-neg 11388 df-nn 12154 df-2 12216 df-3 12217 df-4 12218 df-n0 12414 df-z 12500 df-uz 12764 df-rp 12916 df-seq 13907 df-exp 13968

This theorem is referenced by: itscnhlinecirc02plem2 46859

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