itscnhlinecirc02plem1 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem itscnhlinecirc02plem1 45196

Description: Lemma 1 for itscnhlinecirc02p 45199. (Contributed by AV, 6-Mar-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2itscp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2itscp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2itscp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
2itscp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
2itscp.d	⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
2itscp.e	⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
2itscp.c	⊢ 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
2itscp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
2itscp.l	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))
itscnhlinecirc02plem1.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑌)

**Assertion**
Ref	Expression
itscnhlinecirc02plem1	⊢ (𝜑 → 0 < ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))

**Proof of Theorem itscnhlinecirc02plem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 11709	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
3		2itscp.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
4		2itscp.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
5		2itscp.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	4, 5	resubcld 11057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℝ)
7	3, 6	eqeltrid 2894	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
8	7	resqcld 13607	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ)
9		2itscp.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
10		2itscp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11	7, 10	remulcld 10660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℝ)
12		2itscp.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
13		2itscp.y	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
14	10, 13	resubcld 11057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ∈ ℝ)
15	12, 14	eqeltrid 2894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
16	15, 5	remulcld 10660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐴) ∈ ℝ)
17	11, 16	readdcld 10659	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴)) ∈ ℝ)
18	9, 17	eqeltrid 2894	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
19	18	resqcld 13607	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
20	8, 19	remulcld 10660	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
21	15	resqcld 13607	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
22	21, 8	readdcld 10659	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℝ)
23		2itscp.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
24	23	resqcld 13607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
25	21, 24	remulcld 10660	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℝ)
26	19, 25	resubcld 11057	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℝ)
27	22, 26	remulcld 10660	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) ∈ ℝ)
28	20, 27	resubcld 11057	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))) ∈ ℝ)
29		4pos 11732	. . . . 5 ⊢ 0 < 4
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 4)
31	8, 24	remulcld 10660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℝ)
32	25, 31	readdcld 10659	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℝ)
33	32, 19	resubcld 11057	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
34	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐵 − 𝑌))
35	10	recnd 10658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
36	13	recnd 10658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
37		itscnhlinecirc02plem1.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑌)
38	35, 36, 37	subne0d 10995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ≠ 0)
39	34, 38	eqnetrd 3054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
40	15, 39	sqgt0d 13609	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐸↑2))
41		2itscp.l	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))
42	37	orcd 870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 𝑌 ∨ 𝐴 ≠ 𝑋))
43		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))
44		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))) − (𝐶↑2)) = (((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))) − (𝐶↑2))
45	5, 10, 4, 13, 3, 12, 9, 23, 41, 42, 43, 44	2itscp 45195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))) − (𝐶↑2)))
46	21	recnd 10658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
47	8	recnd 10658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
48	24	recnd 10658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
49	46, 47, 48	adddird 10655	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · (𝑅↑2)) = (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))))
50	46, 47	addcld 10649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
51	50, 48	mulcomd 10651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · (𝑅↑2)) = ((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))))
52	49, 51	eqtr3d 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) = ((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))))
53	52	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2)) = (((𝑅↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))) − (𝐶↑2)))
54	45, 53	breqtrrd 5058	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2)))
55	21, 33, 40, 54	mulgt0d 10784	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐸↑2) · ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2))))
56	47, 46, 48	mul12d 10838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) = ((𝐸↑2) · ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))))
57	56	oveq2d 7151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) = (((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐸↑2) · ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))))
58	46, 48	mulcld 10650	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
59	47, 48	mulcld 10650	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
60	46, 58, 59	adddid 10654	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))) = (((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐸↑2) · ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))))
61	57, 60	eqtr4d 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) = ((𝐸↑2) · (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))))
62	61	oveq1d 7150	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))) = (((𝐸↑2) · (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))))
63	58, 59	addcld 10649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
64	19	recnd 10658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
65	46, 63, 64	subdid 11085	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2))) = (((𝐸↑2) · (((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))))
66	62, 65	eqtr4d 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))) = ((𝐸↑2) · ((((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝑅↑2))) − (𝐶↑2))))
67	55, 66	breqtrrd 5058	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < ((((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))))
68	15	recnd 10658	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
69	68	sqcld 13504	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
70	7	recnd 10658	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
71	70	sqcld 13504	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
72	25	recnd 10658	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
73		mulsubaddmulsub 11093	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐸↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷↑2) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)) → (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))) = ((((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))))
74	69, 71, 64, 72, 73	syl22anc 837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))) = ((((𝐸↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐸↑2) · (𝐶↑2))))
75	67, 74	breqtrrd 5058	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))))))
76	2, 28, 30, 75	mulgt0d 10784	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < (4 · (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
77		4cn 11710	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
78	77	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
79	18	recnd 10658	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
80	79	sqcld 13504	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
81	71, 80	mulcld 10650	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
82	69, 71	addcld 10649	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
83	23	recnd 10658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
84	83	sqcld 13504	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
85	69, 84	mulcld 10650	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
86	80, 85	subcld 10986	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
87	82, 86	mulcld 10650	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))) ∈ ℂ)
88	78, 81, 87	subdid 11085	. . 3 ⊢ (𝜑 → (4 · (((𝐷↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((4 · ((𝐷↑2) · (𝐶↑2))) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
89	76, 88	breqtrd 5056	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < ((4 · ((𝐷↑2) · (𝐶↑2))) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
90		2cnd 11703	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
91	70, 79	mulcld 10650	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
92	90, 91	mulcld 10650	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐷 · 𝐶)) ∈ ℂ)
93		sqneg 13478	. . . . 5 ⊢ ((2 · (𝐷 · 𝐶)) ∈ ℂ → (-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) = ((2 · (𝐷 · 𝐶))↑2))
94	92, 93	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) = ((2 · (𝐷 · 𝐶))↑2))
95	90, 91	sqmuld 13518	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) · ((𝐷 · 𝐶)↑2)))
96		sq2 13556	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) = 4
97	96	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑2) = 4)
98	70, 79	sqmuld 13518	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶)↑2) = ((𝐷↑2) · (𝐶↑2)))
99	97, 98	oveq12d 7153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2↑2) · ((𝐷 · 𝐶)↑2)) = (4 · ((𝐷↑2) · (𝐶↑2))))
100	94, 95, 99	3eqtrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) = (4 · ((𝐷↑2) · (𝐶↑2))))
101	100	oveq1d 7150	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((4 · ((𝐷↑2) · (𝐶↑2))) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))
102	89, 101	breqtrrd 5058	1 ⊢ (𝜑 → 0 < ((-(2 · (𝐷 · 𝐶))↑2) − (4 · (((𝐸↑2) + (𝐷↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐸↑2) · (𝑅↑2)))))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1538 ∈ wcel 2111 ≠ wne 2987 class class class wbr 5030 (class class class)co 7135 ℂcc 10524 ℝcr 10525 0cc0 10526 + caddc 10529 · cmul 10531 < clt 10664 − cmin 10859 -cneg 10860 2c2 11680 4c4 11682 ↑cexp 13425

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2770 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5231 ax-pr 5295 ax-un 7441 ax-cnex 10582 ax-resscn 10583 ax-1cn 10584 ax-icn 10585 ax-addcl 10586 ax-addrcl 10587 ax-mulcl 10588 ax-mulrcl 10589 ax-mulcom 10590 ax-addass 10591 ax-mulass 10592 ax-distr 10593 ax-i2m1 10594 ax-1ne0 10595 ax-1rid 10596 ax-rnegex 10597 ax-rrecex 10598 ax-cnre 10599 ax-pre-lttri 10600 ax-pre-lttrn 10601 ax-pre-ltadd 10602 ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1541 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2598 df-eu 2629 df-clab 2777 df-cleq 2791 df-clel 2870 df-nfc 2938 df-ne 2988 df-nel 3092 df-ral 3111 df-rex 3112 df-reu 3113 df-rab 3115 df-v 3443 df-sbc 3721 df-csb 3829 df-dif 3884 df-un 3886 df-in 3888 df-ss 3898 df-pss 3900 df-nul 4244 df-if 4426 df-pw 4499 df-sn 4526 df-pr 4528 df-tp 4530 df-op 4532 df-uni 4801 df-iun 4883 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-tr 5137 df-id 5425 df-eprel 5430 df-po 5438 df-so 5439 df-fr 5478 df-we 5480 df-xp 5525 df-rel 5526 df-cnv 5527 df-co 5528 df-dm 5529 df-rn 5530 df-res 5531 df-ima 5532 df-pred 6116 df-ord 6162 df-on 6163 df-lim 6164 df-suc 6165 df-iota 6283 df-fun 6326 df-fn 6327 df-f 6328 df-f1 6329 df-fo 6330 df-f1o 6331 df-fv 6332 df-riota 7093 df-ov 7138 df-oprab 7139 df-mpo 7140 df-om 7561 df-2nd 7672 df-wrecs 7930 df-recs 7991 df-rdg 8029 df-er 8272 df-en 8493 df-dom 8494 df-sdom 8495 df-pnf 10666 df-mnf 10667 df-xr 10668 df-ltxr 10669 df-le 10670 df-sub 10861 df-neg 10862 df-nn 11626 df-2 11688 df-3 11689 df-4 11690 df-n0 11886 df-z 11970 df-uz 12232 df-rp 12378 df-seq 13365 df-exp 13426

This theorem is referenced by: itscnhlinecirc02plem2 45197

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